第一章集合与常用逻辑用语单元检测卷（含解析）2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

试卷第=page33页，共=sectionpages44页试卷第=page44页，共=sectionpages44页第一章集合与常用逻辑用语单元检测卷2026-2027学年学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（共40分）1．下列可以构成集合的是()A．2025年我校高一数学期中试卷中的难题B．高一年级所有高个子男生C．2025年所有受观众喜爱的影片D．所有大于3的自然数2．不小于2的所有整数构成的集合可表示为()A．{x∈Q∣x>2} B．{x∈N∣x>2} C．{x∈Q∣x≥2} 3．已知命题p:∃x>1, x2−1>0，则A．∀x>1, x2C．∃x≤1, x24．已知集合A=x−1<x≤1，B=x0<x<2A．x0<x≤1 B．C．x0<x<1 D．5．2022年11月1日凌晨4点27分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．下列命题中的真命题是()A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角C．若a2=b27．对集合A={1，2，3，…，n}的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合1,2,4,7,10的“交替和”为10−7+4−2+1=6，集合7,10的“交替和”为10−7=3，集合{10}的“交替和”为10，则集合A所有非空子集的“交替和”的总和为()A．n⋅2n−1 C．n(n+1)⋅2n−2 8．杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为m，则由上述可推断出m=()A．16 B．17 C．18 D．19二、多选题（共18分）9．下列命题正确的是()A．三角形全等是三角形面积相等的充分不必要条件B．∀x∈R，xC．有些平行四边形是菱形是全称量词命题D．至少有一个整数，使n210．图中阴影部分用集合符号可以表示为()A．B∩A∪C B．C．B∩CUA∪C11．对任意A,B⊆R，定义A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}，下列命题中为真命题的是A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=BC．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．若A,B⊆R，则∁三、填空题（共15分）12．若a∈1,a2−2a+2，则实数13．已知集合A=x|x2−3x+2=0,x∈R,B=x|0<x<8,x∈N，则满足条件14．已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根”，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，则实数m四、解答题（共77分）15．已知p:−2≤x≤6，q:m≤x≤m+1．(1)若m=2，那么p是q的什么条件；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．设A=x∣x2+ax+12=0，B=x∣(1)求a，b的值及A，B；(2)求A∪B∩C17．已知命题p:∀x∈R，x2+2m−3>0，命题q:∃x(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.18．已知数集A=a1,a2,⋅⋅⋅,an1≤a1<a2<⋅⋅⋅<an,n≥2具有性质(1)分别判断数集A=1,3,4与B=1,2(2)求a1(3)证明：a119．定义：若任意m,n∈A（m，n可以相等），都有1+mn≠0，则集合B=xx=m+n(1)求集合A={3,4}的生成集B；(2)若集合A={a,2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；(3)若集合A=(−1,1)，A的生成集为B，求证A=B.答案第=page99页，共=sectionpages99页答案第=page88页，共=sectionpages99页《第一章集合与常用逻辑用语单元检测卷2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册》参考答案题号12345678910答案DDABACAAABAD题号11答案ABD1．D【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合元素的确定性进行判断【详解】对于选项A，什么题目是难题是不确定的，所以A不能构成集合；对于选项B，高个子也没有标准，所以B不能构成集合；对于选项C，受观众喜爱的影片并非确定的，所以C不能构成集合；对于选项D，一个数是否是大于3的自然数是可以确定的，所以D可以构成集合.故选：D2．D【知识点】描述法表示集合【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为{x∈N∣x≥2}.3．A【知识点】特称命题的否定及其真假判断【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得出答案.【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以¬p是∀x>1, 故选：A4．B【知识点】并集的概念及运算【详解】已知A={x∣−1<x≤1}，B={x∣0<x<2}，所以A∪B={x∣−1<x<2}.5．A【知识点】判断命题的充分不必要条件【分析】由推出关系可确定结论.【详解】由题意知：“太空握手”⇒“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”；“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”⇏“太空握手”，∴“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.故选：A.6．C【知识点】判断命题的真假【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D.【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为45°对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误；对于C，若a2=b2，则a+b(a−b)=0，即a=b对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误；故选：C7．A【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数【分析】因为集合A的非空子集有2n−1个，逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必须通过分析“交替和”的特点，寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和”的规律，令n=4，则1,2,3,4

4−3+2−1=2；

1,2,4

4−2+1=3；

3,4

4−3=1；1,2,3

3−2+1=2；

1,2

2−1=1；

3

3；1,3,4

4−3+1=2；

2,3,4

4−3+2=3；

4

4.1,3

3−1=2；

2,3

3−2=1；1,4

4−1=3；

2,4

4−2=2；1

1；

2

2；从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合4以外，可以把集合A的子集分成两类：一类子集中包含4，另一类不包含4，并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设Ai是集合A的一个不包含4的子集，则令Ai与集合Ai∪4相对应，显然Ai与Ai∪【详解】解：集合A={1，2，3，…，n}的非空子集中，除去集合n，还有2n−2个非空子集，将这2n−2个子集分成两类：第一类是包含元素n的子集；第二类是不包含元素n的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系f:Ai→Ai∪n，其中Ai是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设Ai故选:A.8．A【知识点】容斥原理的应用【分析】不妨设观看过球类与田径类比赛的有x人，观看过球类与游泳类比赛的有y人，观看过田径类与游泳类比赛的有z人，只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为a，b，c，画出Veen图结合题意求解即可.【详解】不妨设观看过球类与田径类比赛的有x人，观看过球类与游泳类比赛的有y人，观看过田径类与游泳类比赛的有z人，则m=x+y+z，只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为a，b，c，如图，则a+b+c+x+y+z=50−15=35①，因为有18人没看过球类比赛，所以b+c+z=18，因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以a+c+y=20，a+b+x=16，所以2(a+b+c)+x+y+z=54②，由①②得a+b+c=19，则m=16．故选：A．9．AB【知识点】判断命题的真假、判断命题的充分不必要条件、判断命题是否为全称命题【分析】A：结合充分不必要条件的概念即可判断；B：由x2−x+1=x−【详解】A：三角形全等可以推出面积相等，但是面积相等不一定全等，如直角边为4，4的直角三角形和直角边为2，8的直角三角形，三角形面积相等，但是不全等，结合充分必要条件的概念即可判断三角形全等是三角形面积相等的充分不必要条件,所以A正确；B：x2C：全称量词命题的关键词为所有，全部，都，故C错误；D：n2+n=nn+1，当n为奇数时，则n+1为偶数，nn+1为偶数；当n为偶数时，则故选：AB.10．AD【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x，分析x与集合A、B、C的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C，所以阴影部分所表示的集合为A∩B∪B∩C，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为所以选项AD正确，选项BC不正确.故选：AD.11．ABD【知识点】集合新定义、交并补混合运算【分析】根据定义A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B，得到【详解】根据定义A⊕B=∁对于A：若A⊕B=B,则∁RA∩B=B,A∩∁RB=∅,对于B：若A⊕B=∅,则∁RA∩B=∅,A∩∁RB=∅,对于C：若A⊕B⊆A,则A⊕B⊆A,A∩∁RB对于D：左边∁RA⊕B=故选：ABD.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.12．2【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，即可求解.【详解】a∈1,则：a=1或a=a当a=1时：a2当a≠1时：a=a2−2a+2，解得：a=1故答案为：213．31【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数【分析】求出集合A,B中的元素，再根据集合间的包含关系求得满足题意的子集个数即可得出答案.【详解】易知集合A=x|x2因为A⊆C可得1∈C,2∈C，又CB，所以集合C中一定含有1,2，且1,2,3,4,5,6,7不能同时全部包含；满足条件A⊆CB的集合C的个数即为求集合3,4,5,6,7的真子集的个数，所以满足条件的集合C个数为25故答案为：3114．m>0【知识点】根据必要不充分条件求参数【分析】先求得p为真命题时a的取值范围，再根据必要不充分条件求得m的取值范围.【详解】若命题p:“方程axa=0时，2x+1=0,x=−1当a<0时，Δ=4−4a>0，且x则此时方程ax当a>0时，由Δ=4−4a=0，解得a=1此时方程为x2由Δ=4−4a>0解得0<a<1，此时x则此时方程ax综上所述，p为真命题时，a的取值范围是−∞若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1，则m+1>1,m>0.故答案为：m>0【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解.15．(1)必要不充分条件（必要条件也正确）(2)−2,5【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、判断命题的必要不充分条件【分析】（1）根据集合关系判断p是q的必要不充分条件；（2）根据p是q的必要不充分条件，得x∣m≤x≤m+1是x−2≤x≤6然后根据集合关系列不等式组求解即可.【详解】（1）当m=2时，q:2≤x≤3，显然x∣2≤x≤3是x∣−2≤x≤6的真子集，所以p是q的必要不充分条件（注：必要条件也正确）．（2）若p是q的必要不充分条件，则x∣m≤x≤m+1是x−2≤x≤6则有m≥−2,m+1<6或m>−2,m+1≤6,解得故实数m的取值范围为−2,5．16．(1)a=−8，b=−5，A=2,6，(2)A∪B∩C【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算【分析】（1）根据2∈A，2∈B，可求a,b的值，解方程可得集合A,B.（2）根据集合的交集、并集的概念进行运算.【详解】（1）因为2∈A，所以22+2a+12=0⇒由x2−8x+12=0⇒x−2x−6=0⇒x=2或因为2∈B，所以22+3×2+2b=0⇒由x2+3x−10=0⇒x+5x−2=0⇒x=−5或所以，a=−8，b=−5，A=2,6，B=（2）所以A∪B=−5,2,6，所以A∪B∩C17．(1)m|m>(2){m|m<−1或m>2}(3)m【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据或且非的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数【分析】（1），可转化个3−2m<x（2），可转化成方程x2（3），即p或q为真命题，结合（1）（2）即可得到答案【详解】（1）若命题p为真命题，则x2>3−2m对即3−2m<x2min，因此3−2m<0因此，实数m的取值范围是m|m>3（2）若命题q为真命题，则方程x2所以Δ=(−2m)2−4(m+2)>0，则m2因此，实数m的取值范围是{m|m<−1或m>2}.（3）若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题，则结合（1）（2）得m∈m|m>32∪{m|m<−1或m>2}因此，实数m的取值范围是m18．(1)数集