浙江省宁波市奉化区2024-2025学年高一年级下册期末联考数学试题+答案（含答案）

浙江省宁波市奉化区2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题+答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若复数z满足Z=1-i,则Z的虚部为()

A.1B.-1C.iD.-i

2.已知某平面图形。的直观图是如图所示的梯形O'[B'C'，且/fB'=2,0'c'=3,0'/f=2,则原图形

OABC的面积为()

A.5aB.挈C.12D.10

3.已知一组数勺,“2小，4的平均数是3,方差为4,则数据2*1+1,2xz+1.2X3+1,2X4+1的平均

数和方差分别是()

A.7,8B.7,16C.6,8D.6,16

4.若n为空间中两条不同的直线，a、/?为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是()

A.若m1a,n1a,则m||n

B.若m1a,TH||/?,贝1p

C.若a||夕，"i_La,nu0,则mJ.n

D.若m||a,n||a,则m||n

5.掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件M=“点数为奇数”，事件可=”点数为3的整数倍”，若P(M),

P(N)分别表示事件M,N发生的概率，则()

1111

A.P(M)=^,P(N)B.P(M)=*P(N)=W

J4乙J

11

C.P(M)=P(N)=*D.P(M)=P(/V)=1

6.已知同二百，且值i=一3，则向量石在向量五上的投影向量为()

A.—aB.iaC.—bD.ib

7.如图，一个底面半径为2dm,母线长为2遥dm的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向

下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的言，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌

面时，液面的高度为()

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A.yf7dmB.2dmC.3dmD.2\f7drrt

8.中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记

为图2中的正八边形ABCDEFG，，其中04=1,若点P是其内部任意一点，则而•丽+而,而的取值范围

是()

A.(―V2,V2+1)B.(―、②2)C.(―1,V2—1)D.(―1,V24-1)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设4B是一个随机试验的两个事件，则()

A.若4,B对立,则4,8一定互斥B.若AGB,贝iJPQIB)=P(8)

C.若P(A8)=P(A)P(8),则48相互独立D.若P(A〕+P(8)=1,则一定对立

10.在中，a,b,c分别是内角4,B,。的对边，下列说法正确的是()

A.若力为锐角,则必+(：2>Q2

B.若A为锐角,则庐+/VQ2

C.若sim4>sinBt则A>B

D.若A4BC为锐角三角形,则sin4>cosB

11.下列命题中正确的是()

A.若z=l-，5i，贝U|z|=4

B.若2=i+1,则z•Z=-2

C.已知m,neR,i是关于％的方程%2+mx+几=0的一个根，则m+n=1

D.若复数z满足|z—l|=2,则|z+t|的最大值为2+企

12.如图，在棱长为2的正方体力8。。一481加01中，。为正方体的中心，M为ODi的中点，F为侧面正方

形力公内。内一动点，且满足8/〃平面8GM,则()

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A.三棱锥Di-0C8的外接球表面积为121r

B.动点F的轨迹的线段为2a

C.三棱锥F-8GM的体积为暂

D.若过A、M、Ci三点作正方体的截面C,Q为C上一点，则线段4iQ长度最大值为2百

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

13.已知五=(%—2),?=(5,-7)，若五〃另，则％=.

42025

14.已知a+bi=i-3-i(i为虚数单位)，则Q+28=.

15.如图，在梯形A8C0中，/.ABC=LBAD=90°,AB=BC=^AD=2,将△BAC沿直线4c翻折至△

当47的位置，当三棱锥/-ACO的体积最大时，则三棱锥&-AC。的外接球的半径为.

四、解答题：本题共5小题，共71分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16,复数z满足Z?为纯虚数，复数z在复平面内所对应的点在第一象限.

(1)已知|z|=2,求复数z；

(2)己知z=l+t,复数z,Zz2所对应的向量为为石工，已知(入方+今,(＞加+9,求人的值.

17.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随

机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据

分别得到如下直方图：

“频率/组距八频率/组距

0.045..................0.040..................

0.020-

0.020--

0.016

0.010--0.006-

0.005二匚

5060708090100分数5060708090购/数

甲样本数据直方图乙样本数据宜方图

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已知乙样本中数据在［70,80)的有10个.

(1)求n和乙样本直方图中a的值；

(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成

绩的第75百位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)；

(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在［60,70)和［70,80)的学生中抽取6人,并从这6人中任取

2人，求这两人分数都在［70,80)中的概率.

18.如图，四楂锥P-A8co中，PC垂直平面ABCD,AB1AD.AB//CD,AD=CD=1,PC=AB=2,

E是线段PB上的动点.

(2)求二面角P—AB—C的正弦值；

(3)若尸0〃平面力CE,求点E的位置.

19.在△A8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2a-c=2bcosC.

(1)求B；

⑵若点D为边BC的中点，点E,F分别在边AB,AC(包括顶点)上一的建，b=c=2.设

乙BDE=a,将△DEF的面积S表示为a的函数，并求S的取值范围.

20.对于两个平面向量石,如果有五.石-五2>0,则称向量H是向量石的“迷你向量”.

(1)若沅=(1,外,n=(2,l-x),沅是五的“迷你向量”，求实数x的取值范围；

(2)一只蚂蚁从坐标原点。(0,0)沿最短路径爬行到点NS,几)处(几WN且九32).蚂蚁每次只能沿平行或

垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为P,(lWiW2zi),设M(7i—l,0).记事

件7=“蚂蚊经过的路径中至少有n个Pi使得而是西的迷你向量”.(假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的)

①写出从坐标原点。(0,0)沿最短路径爬行到点力(3,1)的所有路线(如：右右右上)一般地，总数n步中恰

有m步向上走其余各步向右走的方法总数为：="“TA2)21)

I•L黑”JLJ霁二氏J乙目JL-血+

②当n=3时，求P(T)；

③证明：。(丁)工方・

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答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：复数2=1-心虚部为一1.

故答案为：B.

【分析】根据复数的概念判断即可.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：设梯形。Z'B'C'的高为形

由/B'=2,O'C'=3,O')=2,^A'O'C=45°,可得梯形高九=O'Asin45°=企，

则梯形O'/B'C'的面积s'=4(A'B'+o'c')/i=零，

故原图形。48c的面积为s=2或S'=10.

故答案为：D.

【分析】设梯形o'/Z'c'的高为人由题意求得梯形的高，再根据梯形面积公式求山梯形O'/BC'的面积，利

用斜二测画法直观图与原图形面积关系求解即可.

3.【答案】B

22

【解析】【解答】解：数据工1，%％3,X4的平均数为元=/2r3+M=3,5=1[(%1-3)+

2

(%2-3)2+(x3-3)+(x4-3)2]=4,

则2必+1,2X2+L2X3+1,2X4+1的平均数:

___2勺+1+2%2+1+2%3+1+2%4+1_2(工]+%2+%3+”4)+4

=4=4=2x3+1=7，

222

方差s：=4x/[(%1-3)+(x2-3)+(x3-3)+(%4-3产]=16.

故答案为：B.

【分析】由题意，根据平均数与方差公式以及性质求解即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：A、若m1a,n1a,则m||n,故A正确；

若m1a,m\\则a1/?,故B正确；

C、若a||/?,m_La,则又nu0,则m_L几，故C正确；

D、若m||a,nIIa,则mII几或m与几异面或m与?i相交，故D错误.

故答案为：D.

【分析】根据线面垂直的性质即可判断A；根据线面平行得到面面平行，再根据线面垂直得到面面垂直即可

判断B；由题意先证明租1/?,冉根据TIU。，证明m_Ln即可判断C；举出反例即可判断D.

5.【答案】B

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【解析】【解答】解：由题意可得：掷一个骰子朝上面的点数可谓1,2,3,4,5,6共6种结果;

事件M=”点数为奇数”包含1,3,5共3种结果；

事件N=”点数为3的整数倍”包含3,6共2种结果,

则P(M)=|=1»P(N)=|=1,故B正确.

故答案为：B.

【分析】利用古典概型概率公式求解即可.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：向量坂在向量方上的投影向量为需备=展与五=一用

故答案为：A.

【分析】利用数量积求投影向量公式，从而可得向量石在向量。上的投影向量.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意可得：圆锥的高为J(2竭2-22=4,

当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的热即液面的半径为1,

液体的体积为V=氧产+22+1X2)x2=等，

当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥，

设圆锥的底面半径为r,高为h,则亨二夕即h=2r,

液体的体积为展会2%=等厂3,H停厂3=等，解得丁=疗则h二2万

故答案为：D.

【分析】由题意先求圆锥的高，再根据圆锥体积公式，利用液体的体积相等列式求解即可.

8.【答案】C

【解析］【解答】解：易知乙4。8=您=和

\AB\=\OA-OB\=^(OA-OS)2=+疗—20A•OB

2—2cos*=y/2—V2>

设。到48的距离为d,则S^OAB=引。*|08|sinE=：|A8|d,

凤2+&_/2+戊

解得d=一二2

2\l-422^2-^24-72

罚而+亦.而=函.而+前Q=(函+前)•荏=次而

=\BA\-\AP\x(-coszP/15),

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因为I而Ix(-C0S/P48)是Q在瓦?上的投影,

其最大值为〃欣川_^巨,

d~~-------T-

【分析】易知△4。9=争=?利用向量的线性运算结合向量的模长求得设。到4B的距离

为d,利用三角形面积求得。到48的距离区豆，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的

几何意义求解即可.

9.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A、互斥事件为两事件不能同时发生，对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一

发生，所以对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，故A正确；

B、若4G8,则PG48)=P(A),故B错误；

C、若PQ48)=PQ4)P(8),由相互独立事件的概念可知，事件48相互独立，故C正确；

D、投哪一枚骰子，事件A为：向上的点数为奇数，事件8为向上的点数不小于4,

满足PG4)+P(B)=1,但AB不是对立事件，故D错误.

故答案为：AC.

【分析】根据互斥事件和对立事件的关系即可判断A；根据事件的包含关系即可判断B；利用相互独立事件

的概念即可判断C；举反例即可判断D.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：AB、若A为锐角，由余弦定理可得/=必+。2-2儿854<小+。2,

故A正确、B错误；

C、^sinA>sinB,由正弦定理二=&,可得2=驾<1,则Q>b,由大边对大角，

sinAsinBasin71

可得故C正确；

D、若△ABC为锐角三角形，则48£(0点),且力+8>。0<^-B<A<^f

因为正弦函数在区间(0或)单调递增，所以sia4>sinOB)=cos从故D正确.

故答案为：ACD

【分析】若4为锐角，由余弦定理a?=力2+-2bccos4即可判断AB；由4,8€(0,;r),sim4>s讥B>0,结

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合正弦定理即可比较a,b大小，根据大边对大角即可判断C；若△A8C为锐角三角形，利用正弦函数性质结

合诱导公式求解即可判断D.

11.【答案】CD

【解析】【解答】解：A、若2=1-百3则|z|=312+(_国)2=2,故A错误；

B、若2=1+1,则2=1—i,z-z=(i+1)(—i4-1)=1—t2=2,故B错误；

C＞由题意可知：T也是关于％的方程为2+瓶工+九=0的一个根，

由韦达定理可得(溜)；丁，解得｛:二:，则m+n=l,故C正确：

D、设复数z=第+yt(x€R,yWR),由|z—1|=-1+yi|=2,

可得J(%-I)?+y2=2,即(x-l)+y2=4,则z的轨迹是以圆心为(1,0)，半径为2的圆，|z4-i|=|x+

(y4-l)i|=+(y+1)2表示圆上的点到点(0,—1)的距离,

因为圆心(1,0)到点(0,-1)的距离为J(o一1)2+(_1_o)2_&，

所以|z+“的最大值为2+四，故D正确.

故答案为：CD.

【分析】利用爱数的模长公式求解即可判断A；先求共规复数，再根据爱数代数形式的乘法法则化简即可判

断B；根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求得m和n的值即可判断C；设复数z=x+

yi(xe/?,yG/?),根据复数模长公式的几何意义，将忆-1|的模长转化为圆上的点，|2+i|的最大值为圆心

(1,0)到点(0,-1)的距离再加上半径即可判断D.

12.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A、易知三棱链D1-0C8的外接球即为正方体的外接球，因为正方体的棱长为2,所以

正方体的外接球的半径R=聒,则三棱锥氏—DC8的外接球表面积为44腔=12兀，

故A1E确；

B、分别取A4,小。1的中点H,G.连接&G,GH,HB»,ADV如图所示：

由正方体的性质可得：B1H/CM,且8i"u平面BiGH,U平面/GH,

所以QM〃平面&GH,同理可得：BG〃平面々GH,

且BGAC〔M=G，BCi，GMu平面BC]M,所以平面々GH〃平面8C〔M,

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而当F〃平面8ciM,所以8/u平面BiGH,所以点F的轨迹为线段GH,

其长度为鼻2遮=遮，故B错误；

C、由选项B可知，点F的轨迹为线段GH,因为GH〃平面8c1M,

则点F到平面8GM的距离为H到平面8GM的距离，过点B作6P1B/,

因为81cl_L平面4BBp4i，BPu平面力所以81cl1BP,

又因为Bign/H=/，8住1，8用u平面81GMH,所以BP_L平面81clMH,

=XXX

则8clM=B-B\CXMH8P

11=44

=2X5X2XV5X-^=^,故C正确；

D、设平面Q与平面44$$交于AN,N在8%上，如图所示：

因为截面Qn平面A&D10=4M,平面力A/iO〃平面8B1GC,所以AM〃GN,

同理可证AN〃GM,所以截面AMQN为平行四边形，所以点N为881的中点，

在四棱锥Ai—AMgN中，侧棱4cl最长，且必射=2鱼，故D错误.

故答案为：AC.

【分析】易知三棱锥Di-DCB的外接球即为正方体的外接球，根据正方体的棱长求得正方体外接球的半径，

再算三棱锥D1-0CB的外接球表面积即判断A；分别取的中点H,G,连接々G,GH,HB〉

4。1，证明平面&G"〃平面BCiM,从而得到点F的轨迹为线段GH即可判断B；根据选项B可得出GH〃平

面BQW,从而得到点F到平面的距离为H到平面BC】M的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四

棱锥的体积求解所求三棱锥的体积即可判断C；设N为B当的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截

面。即为面4MGN,从而线段4QK度的最大值为线段4G的长即可判断D.

13.【答案】学

【解析】【解答】解：a=(x,—2),^=(5,-7),

若M〃以则一7%=—2x5,解得％=学.

故答案为：羊.

【分析】根据平面向量共线的坐标表示列式求解即可.

14.【答案】一5

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【解析】【解答】解：Q+抗=/一3•/025=1_3•i506x4+1=l-3i,

即a=1,b=-3>则a+2b=-5.

故答案为：一5.

【分析】根据虚数的性质化简可得a+标=1-3「再根据复数相等的充要条件，求得a,匕的值，即可得Q+

2b的值.

15.【答案】2

【解析】【解答】解:设点当到平面AC。的距离为山

由题意可知：当平面A/C_1平面ACD,三棱锥力-AC。的体积最大时，

乂因为平面力81cn平面AC。=AC,且EH】u平面A8iC,所以EB】J_平面力CD,

取40的中点为。，连接0E,。斗,因为OEu平面ACD,所以E8i_L0E,

因为在梯形48co中，乙ABC=/-BAD=90°,AB=BC=^AD=2,

可得AC=CD=2或，满足=4。2+。。2,则力C_LC。，且。£=加，

在直角△/OF中，可得。a1=J0/?2+壮］月2=2,

在直角△ACO中，根据直角三角形的中线性质，可得。4=。0=0C=*A0=2,

所以。4=0D=0C=0B1=2,即。为三棱锥以一ACO外接球的球心，

设三棱锥四-4CD外接球的半径为R,则R=2.

故答案为：2.

【分析】设点/到平面48的距离为九，由题意可知：当平面4&C1平面力CD,三棱锥Bi-的体积最大

时，取AC的中点E,证得Ea1平面AC。，再取AO的中点为。，证得Ea10E,在直角^BiOE中，求得

。为=2,再在直角△ACO中，得到。4=。。=。。=2,得到。为三棱锥当一力CD外接球的球心，求解即可.

16•【答案】(1)解：设复数z=a+bi(a,bwR),

因为复数z在复平面内所对应的点在第一象限，所以Q>0/>0,

又因为|z|=2,所以JQ2+力2=2,则次+庐=4①,

又因为名2=(a+bi)2=a2-b24-2abi为纯虚数,所以a2—庐=。②,

联立①②可得其中a>0,b>0,解得Q=b=&,

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则z=^+&i：

(2)解:复数z=1+3则5=1—i,z‘一23即莅=(1,1),1=(1,—1),c—(0,2),

Aa+b=(A+1,2-1)，Ab+c=(A,-A+2)»

因为(疝+可1(焉+。，所以MO+1)+(4—1)(一;1+2)=0,即4%=2,解得入=，

【解析】【分析】(1)设复数z=Q+bi(a,bWR),根据|z|=2,求得。2+庐=4,再根据z?为纯虚数，求得

a2-b2=0,联立方程组求解即可；

(2)根据共粗复数以及复数代数形式的乘法求得Zz2,从而可得。=(1,1),5=(1,-1),m=(0,2),再根据

(Aa+S)1［Xb+?),数量积为零列式求2的值即可.

(1)解：设复数z=a+bi(a,b€R),

因为复数z在复平面内所对应的点在第一象限，所以Q>0,b>0,

又因为|z|=2,则在漉=2,即〃+庐=4

又由Z2=(a+bi)2=a2-b2+2a加为纯虚数,则在一白=0,

联立方程组其中a>0,b>0,

解得Q=b=V2»所以z=y/2+V2i.

(2)解：因为z=l+i,可得5=1—i,z?=23则向量苍=(1,1)，b=c=(0,2),

可得而+B=(4+1,/1-1)，Ab+c=(A,-A+2),

因为(府+E)_L(小+。，可得犯+1)+(；1—1)(一；1+2)=0,即44=2,解得"去

17•【答案】(1)解；由频率分布直方图可知；乙样本中数据在［70,80)的频率为0.020x10=0.20,

则¥=0.20,解得九=50；

n

由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：(0.006+0.016+0.020+0.040+a)X10=1,解得Q=0.018：

(2)解：甲样本数据的平均值估计值为

(55x0.005+65x0.010+75x0.020+85x0.045+95x0.020)x10=81.5,

乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.006+0.016+0.02)x10=0.42<0.75,

前4组的频率之和为(0.006+0.016+0.02+0.04)x10=0.82>0.75,

则乙样本数据的第75百位数在第4组，

设第75百位数为％,由题意可得(％-80)x0.04+0.42=0.75,解得％=88.25,

则乙样本数据的第75百位数为88.25,

即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5,

历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；

(3)解:由频率分布直方图可知：分数在［60,70)和［70,80)的频率比为1:2,

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则从分数在［60,70）和［70,80）的学生中分别抽取2人和4人，分别记为①，A2,瓦,历,仇，匕4，

则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：

（41，42），（，1也），（人1也），（41，83），（人1也），（42也），（人2也），（％2也），（42也），（瓦也），（瓦,力3），

（瓦也）,（3％），电也）,（%,%）共15个,所抽取的两人分数都在［70,80）中的基本事件有6个,

故这两人分数都在［70,80）中的概率为袅=1

【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在［70,80）的频率为0.2,这个组学生有10人，由此

能求出入再根据频率分布直方图各矩形的面积和为1列式求。的值即可；

（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值

和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；

（3）根据分层抽样确定分数在［60,70）和［70,80）的学生中分别抽取2人和4人，分别记为A2,a,必，

%，久，再利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.

（1）解：由直方图可知，乙样本中数据在［70,80）的频率为0.020x10=0.20,

则芋=0.20,

»V

解得九=50；

由乙样本数据直方图可知，（0.006+0.016+0.020+0.040+a）x10=1,

解得a=0.018；

（2）解：甲样本数据的平均值估计值为

（55X0.005+65x0.010+75X0.0204-85x0.0454-95x0.020）x10=81.5,

乙样本数据直方图中前3组的频率之和为（0.006+0.016+0.02）x10=0.42<0.75,

前4组的频率之和为（0.006+0.016+0.02+0.04）x10=0.82>0,75,

所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为工,

（x-80）x0.04+0.42=0.75,

解得x=88.25,所以乙样本数据的第75百位数为88.25,

即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5,历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75

仃位数为88.25；

（3）解：山频率分布直方图可知从分数在［60,70）和［70,80）的学生中分别抽取2人和4人，

将从分数在［60,70）中抽取的2名学生分别记为4,A2f

从分数在［70,80）中抽取的4名学生分别记为瓦,d2,b3t匕4，

则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：

（41，%2），（41，瓦），（&也），（力1也），（&也），（&,瓦）,（42也），（&也），（%也）,（瓦也），（瓦也），

（瓦也）,血也），（加也）,（%也）共15个,

所抽取的两人分数都在［70,80）中的基本事件有6个，

第12页

即这两人分数都在[70,80)中的概率为亮=

XKJ口

18.【答案】(1)证明：取A8的中点M,连接CM,PM,如图所示:

由题意可知：CD//AM,CD=AM,贝l〃DCM为平行四边形，且AB14。,

易知力DCM为矩形，则CM148,AC=BC=y[l,AB=2,

满足小+叱=用，则4C18C,

因为PC1平EL48c0,4。(=平面48。。，

因为4clpC,且BCnPC=C,8C,PCu平面PBC,所以AC_L平面PBC,

又因为G?「平面PBC,所以4c_LCE；

(2)解：由(1)可知：CMLAB,PCLAB,

且CMnPC=C,可得力B_L平面PCM,

且PMu平面PCM,所以481.0M,

可知二面角P—48—C的为乙PMC,

且PC=2,CM=1,可得PM=yJPC2+CM2=6，

则二面角P-A8-C的正弦值sin4尸MC=照=婆；

PM5

(3)解：设ACn8/)=。，连接。E,如图所示：

若PO〃平面4CE,且P。u平面PBD,平面ACEn平面PBO=OE,

则PD〃OE,即舞=能

又因为48〃小则黑=器外可得器用

所以点E为线段P8的三等分点，且嚣

【解析】【分析】(1)取4B的中点M,连接CM,PM,利用线面垂直的判定定理证明4C_L平面尸BC,即可证明

第13页

AC1CEx

(2)由(1)得结论，结合二垂线法分析可知乙PMC为二面角P-4〃一。的平面角，求解即可;

(3)根据线面平行的性质可得PD40E,结合平行线的性质分析求解即可.

(1)取4B的中点M,连接CM,PM,

由题意可知：CD//AM,CD=AM,则ADCM为平行四边形，

且48_AD,可知ADCM为矩形，则CM148,

可得AC=8C=企,48=2，即+8。2=4/2,则4C1BC,

因为PC1平面ABCD,ACu平面ABCD,

贝iL4c_LPC,且BCnPC=C,BC,PCu平面PBC,可得4cl平面PBC,

又CEu平面PBC,所以4cleE.

(2)由(1)可知：CMLAB,PCLAB,

且CMnPC=C,CM,PCu平面PCM,可得4BJ_平面PCM,

且PMu平面PCM,所以力B_LPM,

可知二面角P-AB-。的为4PMC,

且PC=2,CM=1,可得PM=>JPC24-CM2=星,

所以二面角P-AB-。的正弦值sinaPMC=/=挛.

PM5

(3)设ACflBO=0,连接OE,

若PD〃平面4CE,且P。u平面P80,平面4CEn平面PBD=OE,

则PO〃OE,可得嚣=黑，

又因为M〃m则器=器=/可得器=%

第14页

所以点E为线段PB的三等分点，且器=%

02+匕2<2_幻2+产一〈2,

19.【答案】(1)解：2Q-c=2bcosC,由余弦定理可得2Q_C=28

2ab-a

整理可得於十0?-反=QC，因为COS8=Q2+C2一庐=空=1,56（0,7T）,所以8=不

2ac2ac2°

（2）解：由（1）的结论8=不b=c=2,可知△ABC为等边三角形,

因为4ED尸乙BDE=a,所以羡WaW?,

O□L

在ABDE中一BED=狰—a,由正弦定理蔡=益髓,可得°公菊亳不

在△加中，“磊由正弦定理黑=益加可得。尸=就书

_3_______1_______.7T__________3_________nn

则Q耳xs出口一小加（a一强）s,r16si?i（竽-a）s网0一专）'3-戊—2,

sin传-a^sin（a-^）=[^-cosa+

=hinacosa-会。s2a+条勿2a=-^cos2a=hin2aT

244442

因为所以2a—5£号,引，所以si〃(2a—学€[孚,1],

所以;si九(2a-奇)e仔，卦所以16sin(竽-a)sin[a-5)E|4A/3,8],

所以正存。康呜，空__________3___固_____’

则16sfn(^-a)sin(a-g)

故S的取值范围为假,空].

【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理可得Q2+C2一户=ac，再根据余弦定理求解即可;

⑵由（1）的结论结合b=c=2可得△ABC为等边三角形，^<a<p在△80E与△CO”中，分别利用正

弦定理求出OE,DF,再根据三角形面积公式可得S的表达式，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质求解

即可.

a2+b2—c2a2+b2—c2

(1)因为2Q-c=2bcosC,所以2a_c=2b.

2ab

即次+,2—M=QC，所以cosB=-庐=^£=1

2ac2ac2

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因为9€（0,兀），所以8=全

（2）由8=鼻及b=c=2可知△4BC为等边三角形.

乂因为乙£1"=%乙BDE=a,所以冬WaW?.

OaL

在ABDE中，乙8E0=冬一。，由正弦定理可得黑=即

3smt5sin^Dcuzsini-ct\

在““中,©O=a/由正弦定理可得黑二而扁，即”二品|书.

…s_3_______1_______.n__________3________7Tn

所以_8sin（冬-印见。-DSm石16s讥俘-a）sin（Q-g）工一Q一2

(a一看)=(亨cosa+*sEa)(苧simr-^cosa

sin

=和皿。sa一空COS2Q+

21,cn1.(c兀、

a=TI5mza--^Icos2a=sin[\2a—OQz)9

因为找aS为所以独一狂除制，所以sE（2aW惇,1],

所以：sin（2a一副E怜外

所以16si“早一0）sin（a-看）€[4点8]，所以砌穿全丽玲，[I埠

__33________相回

所以$=国鲁