人教八年级数学上册-重点几何模型-倍长中线（专项训练）

八上数学重点几何模型精讲精练

1倍长中线模型】

1定义

即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍.

其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角.

2示例剖析

E

其中8。=。。，延长AD使得=则△8/宏且/\6.

其模型也属于“8字型或成1字型”.

【题型1】基本型

【典题1】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，E是8。的中点，点A在OE上，且N8AE=NC0E,求证：AB=CD.

(1)延长DE至ljF,使得EF=DE；

(2)作CGLDE于G,BFLDE于F交DE的延长线于F；

⑶过C点作。尸〃交OE的延长线于F.

【典题2】如图，在四边形4BC。中，AB//DC,E为8C边的中点，ZBAE=ZEAFf4/与

。。的延长线相交于点立探

究线段A3与A凡CF之间的数量关系，并证明你的结论.

D

【巩固练习】

1如图，在△A3C中，AB=\O,AC=8,则3c边上的中线AO的取值范围是（）

A.2<AD<\SB.3<AD<6C.4<AD<\2D.1VAOV9

2.如图，在△ABC中，A。为8c边的中线，E为上一点，连接BE并延长交AC于点F,

若乙46产=/河£BE=4,EF=1.6,则C/的长为.

3.如图所示：/XABC是等边三角形，D、E分别是及AC延长线上的一点，且BD=CE,

连接OE交于点M.求证：MD=ME.

A

B

E

4.如图，在△ABC,A。平分/84C,E、尸分别在8Q、AQ上，且。E=CO,EF=AC,求证:

EF//AB.

5.如图，△ABC中，BD=DC=AC,七是力C的中点，求证：AB=2AE.

6.如图，己知△43C中，延长AC边上的中线8E到G,使EG=BE,延长AB边上的中线CO

至IJR使。/=。。，连接ARAG.

（1）补全图形；

（2）A/与AG的大小关系如何？证明你的结论；

（3）F,A,G三点的位置关系如何？证明你的结论.

DE

B

【题型2】模型变式

【典题1】已知I：如图，。为线段AB的中点，在A8上任取一点。(不与点A,B,。重合)，

分别以AC,3c为斜

边在AB同侧作等腰RtZ\4CE与等腰RtaBCRNAEC=NCFB=90。,连接DF,EF.

(1)求NECR的度数；

(2)求证：△力石尸为等腰直角三角形.

【巩固练习】

1.如图，点P为等边△A3C的边A3上一点，。为BC延长线上一点，AP=CQ,PQ交AC

于。，

⑴求证：DP=DQ；

(2)过户作PEJ_AC于E,若BC=4,求OE的长.

2.如图，分别以8c的边A8,AC为一边在三角形外作正方形和ACG”，M为FH上

的中点，求证：MALBC.

3.课堂上，老师出示了这样一个问题：

如图1,点。是△A8C边8C的中点，48=5,AC=3,求的取值范围.

⑴小明的想法是，过点8作3E〃AC交AO的延长线于点E,如图2,从而通过构造全等解

决问题，请你按照小明的想法解决此问题；

⑵请按照上述提示，解决下面问题：

在等腰RtZXABC中，ZBAC=90°,4B=AC,点。是边4c延长线上一点，连接80,过点A

作于点E,过点A作MAF=AE,连接石厂交8C于点G,连接。凡求证

BG=CG.

【课后练习】

1.如图，在△ABC中，44=4,4C=2,点。为8c的中点，则AO的长可能是（）

A.1B.2C.3D.4

2.如下右图，在△ABC中，点。、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；

@AB+AE>2AD；©ALHAO2AE；®AB+AC>AD+AE,贝lj以上结论正确是.

3.如图，已知在△48C中，4。是8C边上的中线，E是A。上一点，连接BE并延长交4c于

点RAF=EF,求证：AC=BE.

4.如图，在AA8c中，AB>AC,E为3c边的中点，AO为N84。的平分线，过E作AO的平

行线，交AB于F,交CA的延长线于G.求证：BF=CG.

BED

5.如图，在△/13c中，AB=AC,BE'是AC的中线，点0在AC的延长线上，连接BO,。。平

分/EBD.

⑴求证：/ABE=/D；(2)求证：BD=2BE.

6.(1)如图1,是△ABC的中线，延长A。至点E,使EO=A。，连接CE.

①证明△48Q四△ECQ；

②若A8=5,AC=3,设4£>=x,可得x的取值范围是；

⑵如图2,在△ABC中，。是8c边上的中点，DELDF,DE交AB于点E,DF交AC于点、

F,连接收，求证：BE+CF>EF.

图1图2

八上数学重点几何模型精讲精练

1倍长中线模型】

【答案版】

1定义

即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍.

其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角.

2示例剖析

其中=延长AP使得=则△SDEs/XmA.

其模型也属于“8字型或成□字型”.

【题型1】基本型

【典题1】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，E是的中点，点A在。石上，且/BAE=/CDE,求证：AB=CD.

⑴延长。七到F,使得EF=DE；

⑵作CG-LDE于G,BFA.DE于F交DE的延长线于F；

⑶过C点作CF"AB,交DE的延长线于F.

证明方法一：延长DE至点F,使EF=O£

•・・E是8C的中点，；・BE=CE,

(EF=DE

在仆BE尸和△CED中匚BEF=C1CED

(BE=CE

・・・△。巴金△CEO(SAS).

:・BF=CD,/D=/F.

又・.・NBAE=N。，：.ZBAE=ZF,

；・AB=BF.

；.AB=CD.

方法二：作8口LOE于点ECG_LDE于点G.

AZF=ZCGE=90°.

又,：/BEF=/CEG,BE=CE,

(EF=DCGE

在^BEFWACEG中匚BEF=DCEG，

(BE=CE

••.△BFEW4CGE.：.BF=CG.

(□F=QDGC

在4A8产和△DCG中心BAE=DCDE，

(BF=CG

:•丛ABFQXDCG.

:・AB=CD.

方法三：作CT〃A8,交DE的延长线于点F.

：.ZF=ZBAE.

又・.・NBAE=N£),AZF=ZD.

：.CF=CD.

nAPR=nFFC

□F=DBAE,：./\ABE^/\FCE.

!BE=CE

；・AB=CF.

:・AB=CD.

【典题2】如图，在四边形4BCD中，AB//DC,E为BC边的中点，/BAE=NEAF,AE与

。。的延长线相交于点E探

究线段A8与ARC户之间的数量关系，并证明你的结论.

D

BEVC

F

解析如图，延长AE交。厂的延长线于M,

A/

■:AB//CM,:./B=/ECM,

•；BE=EC,4BAE=/M：.'.△BEAg/XCEM(A4S),

：.AB=CM,

,/ZBAE=N£AF,/FAE=NM,

：.AF=FM,

VCM=CF+FM,

：.AB=CF+AF.

【巩固练习】

1如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,则8C边上的中线A。的取值范围是()

A.2<AD<18B.3VAOV6C.4VAOVI2D.\<AD<9

答案D

解析延长AQ至£,使。E=AO,连接CE.

■■

E

•:BD=CD,/ADB=/EDC,AD=DE,：.AABD^AECZ),

：.CE=AB.

在△ACE中，C£-ACVAEVCE+AC,

即2V2AZ)<18,・・・1VAOV9.

故选：D.

2.如图，在△ABC中，A。为BC边的中线，E为A。上一点，连接BE并延长交4C于点F,

若/A£产=/桁£,BE=4,£/=1.6,贝UC尸的长为.

解析如图，延长A。至G,使。G=A。，连接BG,

%

(BD=CD

在^BDG和^CDA中［IBDG=口CDA,

(DG=DA

/./\BDG^△CDA(SAS),：.BG=ACt/CAD=/G,

VZAEF=ZFAE,：.ZCAD=ZAEF,

•：/BEG=/AEF,：・/CAD=NBEG,

:・/G=NBEG,：・BG=BE=4,

・・・AC-B£-4,

VZAEF=ZFAE.：.AF=EF=\.6f

：.CF=AC-AF=4-1.6=2.4.

故答案为:2.4.

3.如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是A3及AC延长线上的一点，且3O=CE,

连接DE交于点M.求证：MD=ME.

D/

C

证明如图，过点E作硒〃A8,并交BC的延长线于N.

,:△ABC是等边三角形，：.ZB=ZACB=60°.

又•・・ZACB与/NCE是对顶角，JZACB=NNCE=60。.

,:AB〃NE,：.NB=NN=6()°.

・•.NNCE=NN=60。.

：.CE=NE.

又•：BD=CE,:.BD=NE.

(EBMD=DME

在^BDMfllANEM中DB=ClN

(BD=NE

・•・丛BDM9△N£M(A4S).

：.DM=EM.

4.如图，在△ABC,AO平分/B4C,E、b分别在8。、AQ上，且。E=CQ,EF=AC,求证:

EF//AB.

证明过E作AC的平行线于AO延长线交于G点，

,:EG〃AC,DEG=NC,

(□□□□=□□□□

在ZkOEG和△OCA中，□□二□□,•••△QEG丝△OCA(ASA),

□□□□=□□□□

；・EG=EF,/G=/CAD,XEF=AC

故EG=AC

TA。平分N5AC,：.ZBAD=ZCADf

♦：EG=EF,:・/G=/EFD,

:./EFD=/BAD,:・EF//AB.

5.如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是。C的中点，求证：AB=2AE.

证明：延长AE到F,使瑁连结。F,

••,七是OC中点，:・DE=CE,

(DE=CE

在^。砂和△CEA中DDEF=EICEA，

(EF=EA

•••△QEF丝△CEA(SAS),

:.DF=AC=BD,ZFDE=ZC,

9：DC=AC,：.ZADC=ZCAD,

VZADB=ZC+ZCAD,/ADF=/FDE+/ADC,

：.ZADF=/ADB,

(AD=AD

在^ADB和^ADF中|LJADB=匚ADF,

(DB=DF

・•・/^ADB^^ADF(SAS)

：.AB=AF=2AE.

6.如图，己知△ABC中，延长4c边上的中线BE到G,使EG=BE,延长A5边上的中线C£>

到F,使OE=CD,连接4F,AG.

（1）补全图形；

（2）A/与AG的大小关系如何？证明你的结论；

（3）F,A,G三点的位置关系如何？证明你的结论.

答案(1)略(2)AF=AG(3)F,A,G三点共线

解析(1)补全图形，如图所示；

(2)AF=AG,理由为：

=□□

在△4FQ和△BCD中□□□□=□□□□,

=□□

:.△AFDQ2BCD(SAS),：.AF=BC,

=□□

在^AGECBE中nnnn=nnnn,

=□□

:AAGE义4CBE(SAS),:・AG=BC,

贝ijAF=AG；

(3)F,A,G三点共线，理由为：

,:△AFDQ4BCD,△AGE^/XCBE,

:・/FAB=/ABC,ZGAC=ZACB,

ZBAC+ZABC+ZACB=180°,

：.ZFAB+ZBAC+ZGAC=180°,

则F,4,G三点共线.

【题型2】变式模型

【典题1】已知：如图，。为线段AB的中点，在A8上任取一点C（不与点4,B,。重合），

分别以AC,BC为斜边在AB同侧作等腰RIAACE与等腰RtABCF,/AEC=/CFB=

90°,连接OE,DF,EF.

（1）求NEC/的度数；

（2）求证：△£>£1/为等腰直角三角形.

解析(1):△ACE和△CBb均为等腰直角三角形，.・・/£C4=45。，ZFCB=45°.

ZECA+ZECF+ZFCB=180°,/.ZECF=90°.

(2)证明：延长EQ到点G,使得。G=OE,连接BG,FG.

(□口=□□

•・•在△石DA和△GO6中UULJU=ULIULJ,：./\EDA^/\GDB(5A5).

=nn

：・EA=GB,ZA=ZGBD=45°.

•••△4。石与^BC尸是等腰直角三角形

:・CF=FB,AE=EC,ZA=ZECA=ZFCB=ZFBC=45°.

:・CF=FB,EC=BG,ZECF=90°.

=□□

・・•在△ECF和△G8F中□□□□=□□□□,：./\ECF^/\GBF(SAS).

=□□

:・EF=GF,/EFC=NGFB.

'：NCFB=NCFG+NGFB=90。,：.ZEFG=ZEFC+ZCFG=90Q.

=□□

•・•在△£7力和^GFD中□□=:.AEFDm/XGFD.

=□□

，/EDF=ZGDF=90%/EFD=7GFD=45°.

:.ED=DF,•••△OEF为等腰直角三角形.

【巩固练习】

1.如图，点P为等边△A8C的边人8上一点，。为3c延长线上一点，AP=CQ,PQ交AC

于。，

(1)求证：DP=DQ；

(2)过P作尸EJ_4C于E,若BC=4,求。七的长.

答案(1)略(2)2

解析(1)证明：如图，过点P作尸M〃BC,则NDPM=NQ,

•••△ABC为等边三角形，•••△4PM是等边三角形，

：.AP=PM,

又・.・AP=CQ,:.PM=CQ,

[EIDPM=CIQ

在^DPM^\LOQC中|匚PDM=[IQDC,

(PM=CQ

•••△OPMdQQC(A4S),：.DP=DQ；

(2Y：ADPM^ADQC,：.DM=DC,

9：PELAC,ZkAPM是等边三角形，：.AE=EM,

:・DE=DM+EM="C,

•・•等边三角形ABC的边8C=4,・・・4C=4,

：.DE=^x4=2.

2.如图，分别以AABC的边/W,AC为一边在三角形外作正方形43EE和4CGH,M为"7上

的中点，求证：MAX.BC.

证明延长AM到N使MN=AM,如图，

•・・M为"7上的中点，:・FM=HM,

=□□

在AAM/和△NM8中，□□□□=□□□□,:.XAMFQ/XNMB,

=□□

:2MAF=4N,AF=NH,

四边形ABEF和四边形ACGH为正方形，

：.AB=AF,AC=AH,ZBAF=ZCAH=90°f

.*.ZMH+ZBAC=180°,HN=AB,

：.ZmZNAH+ZBAC=180°,

•・•NN+NNA"+NA"N=180。，/BAC=/AHN,

(ED=□□

在aABC和△HNA中，匚□□□=□□□□,^ABC^/XHNACSAS),

匚口=□□

・•・ZACB=/HAN,

•・•NHAN+NC4D=90。，・'・ZACD+ZCAD=90°,

AZADC=90°,J.ADLBC.

3.课堂上，老师出示了这样一个问题:

如图1,点。是△ABC边3c的中点，AB=5,4C=3,求A。的取值范围.

A

(1)小明的想法是，过点用作8£〃AC交A。的延长线于点E,如图2,从而通过构造全等

解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；

⑵请按照上述提示，解决下面问题：

在等腰RS/WC中，N84C=90。，A8=AC,点。是边AC延长线上一点，连接3。，过

点A作AELBD于点E,过点A作AFLAEf且AF=AE,连接EF交BC于点G,连接

CF,求证BG=CG.

答案(1)1<AD<4(2)略

解析；.NC=/EBD,

•・,。是△ABC边的中点，:.CD=BD,

(□C=CEBD

在^ACD和^EBD中CD=BD，

(□ADC=DEDB

•••△ACO也△EBO(ASA),：.AC=BE=3tAD=ED,

：.AE=2AD,

在^A8E中，AB-BE<AE<AB+BE,即5-3VAEV5+3,

.*.2<2AD<8,

・•.1<AD<4；

(2)过C作CM〃B。交E片于M,如图：

A

•・・A/_LAE,且A/=AE,二ZXAE/是等Jj要直角三角形，

・•・ZAEF=NA所=45。，

VZBAC=90°,AFLAE,：.ZBAE=90°-ZEAC=ZCAF,

AB=AC

BAE=OCAF，

!AE=AF

：.ABAE^ACAF(SAS),

・・・NAEB=NAFC,BE=CF,

，ZBEF=ZAEB+ZAEF=\35°t

，：CM〃BD,：・/CMG=/BEF=135。,

/.ZFMC=45°,

9：AELBD,：.ZAEB=ZAFC=90°,

AZCFM=ZAFC-ZAFE=45°,

：・4FMC=4CFM,

・・・CF-CM,

；・BE=CM,

(CBGE=DCGM

在仆BEG^llACMG中DBEG=EJCMG，

(BE=CM

Z.ABEG^ACMG(AAS),

:.BG=CG.

【课后练习】

1.如图，在△ABC中，A8=4,AC=2,点。为8C的中点，则A。的长可能是()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析延长A。到E,使。E=AZ),连接BE,

(AD=ED

在△ADC和AEOB中E]ADC=ljEDB，

(CD=BD

：・4ADC峪4EDB(SAS),：.BE=AC=2,

在^ABE中，BE-AB<AE<AB+BE,

即2V2AOV6,解得1VAO<3,

故选：B.

2.如下右图，在△ABC中，点。、E为边8C的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；

@AB+AE>2AD；©AD+AO2AE；®AB+AC>AD+AE,则以上结论正确是.

答案①②③④

解析：点。、E为边3C的三等分点，

:・BD=DE=EC,①正确；

延长AD至凡使。b=4。，连接所，

ran=□□

在△4。8和4/。片中口□□□=□□□□,

=□□

••・△ADB会/\FDE(SAS)

；・AB=EF,

在中，AE+EF>AF,B|JAB+AE>2AD,②正确;

同理可证，AD+AO2AE,③正确；

由②③得至lj,AB+AE+AEHAO2AD+2AE,

整王里得.AB+AOAD+AE.④正确：

故答案为；®®@@.

3.如图，已知在△ABC中，A。是BC边上的中线，E是A。上一点，连接BE并延长交AC于

点产，AF=EF,求证：AC=BE.

=□□

在和△COA中，V□□□□=□□□□,

=□□

:•△BDGQMCDA(SAS),

：.BG=AC,/CAD=NG,

又,：AF=EF,：.ZCAD=ZAEF,

又NBEG=NAEF,:・NCAD=NBEG,

:・/G=/BEG,；・BG=BE,：.AC=BE.

4.如图，在△ABC中，AB>AC,£为8c边的中点，40为N84。的平分线，过E作AO的平

行线，交AB于F,交CA的延长线于G.求证：BF=CG.

G

A

BEDC

证明延长尸七至Q,使EQ=EF,连接CQ,

•・・E为BC边的中点，：・BE=CE,

=□□

•・・在△8EF和△CEQ中□□□□=□□□□,•・•△BE/丝△CEQ,

=□□

:・BF=CQ,/BFE=/Q,

TA。平分N3AC：.