三角恒等变换-高考数学重难点题型讲义（新高考地区专用）解析版

专题4.5三角恒等变换.重难点题型精讲

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1.两角差的余弦公式

对于任意角a，P有cos(“一片)=cosacos*+sinasin/?.

此公式给出了任意角〃力的止弦、余弦与其差角a-外的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作

C(a-fty•

公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.

2.两角和的余弦公式

(1)公式的结构特征

同角6的余弦、正弦

cos(a+6)=C<Macon6-sinasinB

同角a的余弦、正弦

(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反

①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用

两角差时用

3.两角和与差的正弦公式

(1)两角和与差的正弦公式的结构特征

同角6的余弦、正弦

sin(a±P)=sTinacos。±cTosasin。

同角a的正弦、余弦

(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同

①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两用和时用

两角差时用

4.两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式的结构特征

同号同号

III

tan(a+/3)=加11。,Btan(a-/?)=tana-tanB

tan

I---I-1ManpI1+tanatanp

异号异号

符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.

5.三角恒等变换思想一一角的代换、常值代换、辅助角公式

(1)角的代换

代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用

尤为突出.

常用的角的代换形式：

①a二(a+6)-成；

②-("a)：

③a=g［(a+/?)+(a-^)］；

④〃二;(6-a)];

@a~y=(a~P)+(”y).

(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其

中要特别注意的是“I”的代换.

(3)辅助角公式

通过应用公式asina+Z>cos«=y/a2b2sin(«+°)［或asina+Z)cos«=一°)将形如

£?sina+bcosa3,都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数后sin(a+伊)［或

百cos(a—*)］.这种恒等变形实质上是将同角的止弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个

三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.

6.二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

函数公式6=a简记符号

正弦sin2a=2sinorcosas%

余弦cos2a=cos2a-sin:a-2a»2a-1=1-2sin2ac(・“)C2a

.2tana

正切tan2a=)%

1-tana

短储千一五三

【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】

【方法点拨】

⑴使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

⑵使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

【例I】（2022春•巴宜区校级期末）已知sina=春，aeg,it）,cos£=-/,0是第三象限角，则cos（a

-p)=()

【解题思路】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosa,sin（3的值，进而利用两角差的余弦公式即

可计算得解cos（a-p）的值.

【解答过程】解：因为simz=g,awg,n）,cos£=—备，£是第三象限角，

所以cosa=—V1—sin2a=—sinp=-—cos2s=一肾

则cos（a-p）—cosacosp+sinasinp=（—F）X（一岛）+FX（—vi）=—ZF-

JXOJJLUJ

故选：A.

【变式1-1]（2022春•富平县期末）化简£即6+力）一£加4-4）二（）

A.2tan4B.-2tan4C.2tan2AD.-2tan2A

【解题思路】由条件利用两角差的正切公式、诱导公式证得结论.

【解答过程】解：tern©+A）-ta靖-A）

nTCTCn

=tan[(—+4)-(——A)]・[l+tan(-+A)tan(——A)]

4444

Tln

=tan2A*[l+tan(—+A)col(—+A)]

44

=tan2AX2

=2tan2A.

故选：C.

sin(a--)

【变式i-2]（2022•香坊区校级模拟）已知tana=-3£ang则------3一的值为()

X4cos(a--Ti)

-4B.-2C.2D.4

【解题思路】根据诱导公式cos(a-瑞)=sin(a+金)，再利用两角和与差的三角函数公式化简即可.

7cos(a-瑞)=sin(a+佥),7T

【解答过程】解:tana=-3tan讨

・/TT、.TC.TtTCTt

sin(a_^)sin(a一一-)stnacos—­cosasin—tana-tan--4tan—

则=TC=TC*=乙

cos(a-*r)sin(a+—)sinacos—+cosasin—tana+tan--2tan—

'12712121212

故选：C.

【变式1-3](2022春•汉中期末)已知si皿+sin(8+今=1,则£加(夕+看)=()

V6V3l

A.—B.—C.±V5D.±4丁1

332

【解题思路】由已知利用两角和的正弦公式可求sin(0+^),进而根据同角三角函数基本关系式即可求

O

解.

【解答过程】解:因为sin。+sin(8+刍=$in9+；sin9+竽cos8=血11。+竽cosB=gsin<94-=1,

所以sin(0+5)=g，

oJ

所以COS(0+g)=土J1_sE2(®+.)=土与,

nlnsin(8+分，、反

则.(°+G)=^4T±T

故选：D.

【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用】

【方法点拨】

⑴运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用.公式的逆

用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

(2)对asinx+bcosx化简时，辅助角3的值如何求要清楚.

【例2】(2022春•富县校级期末)cos125°cos5°+cos35°sin5°=()

A."B.C.-D.一孚

2222

【解题思路】由诱导公式可得cosl250=-sin35°,再利用两角差的正弦公式，得解.

【解答过程】解：cos125°cos5°+cos35°sin5°=cos(90°+35°)cos50+cos35°sin5°

=-sin35°cos5°+cos35°sin50=-sin(35°-5°)=-sin30;=~i.

故选：B.

【变式2-1](2022春•成都期末)tan45°-tan15°-^ytan45otan15°=()

L1-底W

A.V3B.V3-2C.一亭D.一

33

【解题思路】利用两角和与差fl勺正切公式化简可得答案.

【解答过程】解：tan450-tan15w—^-tan45°tan150

=lan(45°-15°)(l+laii450(an15°)-^laii45lanl50

73

=可

故选：D.

【变式2-2](2022春•安徽期末)化简(s)5。+cos50)(l+V3tanl0°)=()

V2L

A.—B.2V2C.2D.V2

2

【解题思路】由题意，根据二角恒等变换与诱导公式求解即可.

【解答过程】解：(sm5°+cos5°)(l+V3tanl0°)=/(孝s加5。+¥cos5。)竺i嗡需叱

2sin40°2\/2sin400cos400

=&•sin5(T•...............—...........................■，一一■一

coslO°si九800

故选：D.

【变式2-3](2022春•潍坊月考)己知gva<7?v],且si%2asi崂—cos2asi九;冗='，sin2/?cos£+

cos2Psin^=字，则cos(20-2a)的值为()

A.—B.—C.一等D.一堂

9393

【解题思路】根据两角和差的正弦公式，结合诱导公式，可得sin⑵+今)=1,sin(20+Q=冬再

由a,B的取值范围，利用同角三角函数的平方关系求得cos(2a+»cos(20+第的值，然后配凑角,

由两角差的余弦公式，得解.

【解答过程】解：由题意知,sin(2a+?)=A,sin(2p+5)=织

因为三中可苦,所以]<2a+*<20+X苧，

所以cos(2a+f=-Jl—sin2(2a+^)=2&

M'

cos(20+左)=-Jl-sin2(2^+=-苧,

所以cos（20-2a）=cos[（20+百）-（2。+与）]

=cos（20+今）cos（2a—+sin（20+第sin（2a—

「、反73

=T3X3-一"针

故选：A.

【题型3二倍角公式及其应用】

【方法点拨】

对于与二倍角公式有关的化简、求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角

的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式化简、求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系等知

识对已知式进行转化.

【例3】(2022•贵阳开学)已知sin(a+g)=*J3sin(2"^)=()

5533

A.-B.C.D.-

8888

【解题思路】由诱导公式，结合二倍角的余弦公式.

【解答过程】解：已知sin(a+.)=*，

则sin(2a-点)=sin2[(a+g)—^]=-cos2(a+—)=2sin2(a+g)-1=—

故选:B.

【变式3-1](2022•成都开学)若sin(-5-0)=7,则sin("一。)的值为()

/47

33)\[7

A.-3B.-C.D.一

4444

[解题思路]由已知利用诱导公式即可计算求解.

【解答过程】解：因为sin(-y-0)=-sing+e)=1,

7TQ

所以$in(-4-0)=—7，

74

6TT717T、3

则sin(———0)=sin[n-(―+0)]=sin(―+8)=­•?.

7774

故选：A.

【变式3-2](2022春•湖南期末)若立九(卷一。)=2，则cos(5-2a)=()

【解题思路】利用二倍角公式转化求解即可.

【解答过程】解：由sin(着一a)=得cos6-2a)=cos\2(^~a)]=1-2sin2(^~a)=1-2x(#=

1

2，

故选：A.

【变式3-3](2021秋•云南期末)已知sina=2sin(?+a),则cos2a=()

3434

A.TB.-gC.-D.-

5555

【解题思路】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得【ana的值，进而利用二倍角的

余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解.

【解答过程】解：因为sina=2si7i(*+a)=2cosa,

所以tana=2,

3

cos2a-si刀2Q_1-tan2a_l-Z?

则cos2a=5-

cos2a+sin2al+tan2a1+22

故选：A.

【题型4三角函数式的化简】

【方法点拨】

⑴三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.

⑵三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数

公式之间的共同点.

4sizi24°cos24°

【例4】(2022春•南阳期末)化蔺g=+〃皿2。=()

A.1B.V2C.V3D.2

【解题思路】直接根据二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.

【解答过程】解：,尸嚷：尸。十一一

邛+.2。

cos12°

_2sE(60。-12。)

+tanl20

cosl20

2x(^xcosl2°-1xsinl2°)

4-tanl2°

cos12。

=V3-tan12°+(an!2°

故选：c.

【变式4-1](2021秋•沙坪坝区校级月考)化简…2r、-=()

4sm2(-+a)tan(--a)

1

A.cosaB.sinaC.1D.-

2

【解题思路】先考虑分母化简，利用降次公式，正切的两角和与差公式打开，整理，可得答案.

【解答过程】解：先考虑分母：4血2今+0)£加4—a)=41一'"§+2。),

=2(1+stn2a)•—osa+si.a=2(cosa~stna)=2cos2a,

W7"1--------c-o-s-2-a------------c-o-s-2-a-..-1

4sin2(^+a)tan(-a)2cos2a2

故选：Q.

【变式4-2］（2022春•南阳月考）下列化简结果正确的个数为（）

(DCOS220sin520-sin220cos520=1；

.一tan24°+tan36°r-

②.....—―.......=V3；

-l-tan24°tan360

③cosl50—sin15"=芋；

®sinl50sin300sin7S0=

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】①由两角差的正弦公式，可判断:

②由两角和的正切公式，可判断；

③利用辅助角公式，可判断；

④结合诱导公式和二倍角公式，得解.

1

【解答过程】解：①cos22。sin52。-sin22°cos52°=sin(52°-22°)=sin30°=1,即①正确;

...tan240+tan36°

②----------------=tan(24°+36°=tan60°=V3»即②正确;

l-tan24°tan36°

③cosl50-sin150=V2(cos450cos150-sin45csin150)=V2cos(45°+15°)=V2cos60c=孝，

即③正确;

©sin15°sin30°sin75°=sinl5=sin30:cos150=isin30Qsin30:=5X5X5=^,即④错误,

LLLLXS

所以正确的个数为3个.

故选:c.

【变式4・3】（2022春•集宁区校级月考）下列化简正确的是（）

A.cos82°sin52°-sin82°cos520=i

B.sin!5°sin30°cos750

tan480+tan72°

C.----------=Vr3

l-tan48℃an72°

D.cos2150-sin215°=噂

【解题思路】利用三角函数恒等变换的应用化简求解即可.

【解答过程】解：对于A,cos?2°sin52°-sin82°cos52°=sin(52°-82°)=sin(-30°)=—

故错误：

对于B,sin15°sin30°cos75°=isinl5°cos75°=gin15°cos(90°-15°)=^sin15°cos15°

1iii

jsin30°=zx5*故错误;

对于C,原式=tan(48°+72")=tan120°=-V3,故错误;

对于。，原式=cos30。=孚，故正确.

故选：D.

【题型5三角函数求值问题】

【方法点拨】

⑴给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出

相应角的三角函数值，代入即可.

⑵给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之

间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而

得解.

⑶给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.

【例5】（2022春•江西期末）若反九（郎-a）=],则竺竺也学的值是.

【解题思路】利用两角差的正切公式求出tana,再根据同角三角函数关系式求值即可.

【解答过程】解：:£cm（¥-a）=卷,

rr31-tana3i

tan(^-a)=即;~~：----==，解得tana=7,

4b1+tana54

,,sin2a+cos2atan2a+l17

sin2a-cos2atan2a-l15'

故答案为:-圣

X

[cx/2sin(a-7)

【变式5-1](2021秋•广东月考)已知a为第二象限角，且cosa=-浮，则一;—十二一强

$cosda-stn^a

【解题思路】利用两角和差的上弦公式进行化简，利用同角关系进行求解即可.

yV2

V2sin(a--)yf2x^-(sina-cosa')1

【解答过程】解:==------------------

cos2a-sin2a----(cosa+sina)(cosa-sina)>--------sina+cosa

•・・a为第二象限角，且cosa="

・・・sina=J1一(-昌2=等，

则原式一七一专一倔

~s~~s~s

故答案为：-瓜

【变式5-2](2022春•凭祥市校级月考)求下列各式的值：

2sin47°-V3sinl7°1

(1)--------=—.

2cos170-2—

(2)tan250+tan35°+\f3tan250tan350=_A/3_.

1/o

【解题思路】(I)利用两角和口勺正弦公式得出加47。=今C0S17—宁sinl71化简即可求解；

(2)利用两角和的正切公式得出tan250+tan350=tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°),代入求解即

可得出答案

【解答过程】解：(1)Vsin47°=sin(30°+17°)=4cosl7°+^sinl70,

A2sin47°-V3sinl7°=cos17°,

.2sin470-VIsinl70_cosH氐inV70-百sin\70_cosl7°_1

2cos17°-2COS17°~2cos170-2；

c3-♦RO、tan2S°+tan250百

(2).tan60—tan(25+35)=1=­；7甘苫-；-■OFZ=V3»

l-tan250-ta7i35°

tan250+tan35c=V3(1-tan25ctan350)=x/3—x/3tan25°tan35c,

tan250+tan35c4-73tan25°tan350=V3.

1

故答案为：-；V3.

【变式5-3］(2021秋•涪陵区校级期中)若sin2a=容sin(p-a)=且］，pG［ir,学］,则

771

【解题思路】根据知的变换可得，a+B=B-a+2a,从而可得cos(a+p)=cos(p-a)cos2a-sin(P-

a)sin2a,然后根据已知条件分别得到cos(0-a),cos2a的值，进而求解得到结果.具体过程详见解

析.

7T7T37r

【解答过程】解：根据题意，。日£，］1，­］,

*乙乙

•,*2a€g,TT]>/?—a€g,手],a+0€[^-,2TT],

又因为sin2a=电，sin(0-(x)=

口X\J

所以2a和0-a一定不为终边在坐标轴上的角，即得2a为第二象限角，0-a为第二象限侑,

所以根据同角三角函数关系可得，cos(p-a)=_/1_司角5_°)=_誓,

又因为sin2a=卓所以cos2a=V1-sin22a=2底

5",

又因为a+B=(p-a)+2a,

所以cos(a+p)=cos(p-a)cos2a-sin(p-a)sin2a=(-3；；。)x(—―^)—x=苧,

由上可得a+夕6(岑，2"),即a+0为第四象限角,

・

・・a+0=才77r.

故答案为a+0=*.

【题型6三角恒等变换的应用】

【方法点拨】

三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为

/(.r)=/sin(sx+8)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想

解决相关问题.

［例6］(2021春•金山区校级期中)已知函数/(%)=4sin3xcosx—2sinxcosx-icos4x.

(1)求函数/(x)的最小正底期及单调递增区间；

(2)求/(x)在区间［0,舟上的最大值和最小值及相应的x值;

【解题思路】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式/(幻=-华Sin(4x+^),利用周

期公式可求函数f(x)的最小正周期，由2Kr+$W4x+今工25+竽，依Z,可得函数/(x)的单调递增

区间.

(2)由问0,勺，可得4什今£琮，为，利用正弦函数的性质可得f(x)在区间［0,勺上的最大值和

最小值及相应的x值.

【解答过程】解：(I)V/(x)=4sin\cos.r-2sinvcosx—|cos4x

=sin2Kx(1-cosZr)-sin2r-^cos^

=-1sin4x-icos4x

二-孝sin(4x+»

・•・函数/(x)的最小正周期7=竿=%.

'・,由22TT+冬W4x+JW2E+擎，kEZ,可得：—+—<x<—+―,AWZ,

242216216

・•・函数/(x)的单调递增区间为：I竺+三，竺+"1，依Z；

216216

71

(2)VxGlO,R,

：.4x+^e竽］,

Asin(M+第曰-苧11，

f(x)=一空sin(4x+，)E［-空，一］,

/4乙2

7T1

可得当％=今时，/(x)在区间［0,R上的最大值为5，

当户余时，取得最小值为一冬

【变式6-1］(2021春•兴庆区校级期末)已知函数f(x)=bsinxcosx+-cos2%)(xGR).

(1)求/(x)的最小正周期与单调递增区间；

(2)求满足的x的集合.

【解题思路】(1)利用倍角公式降塞，再由辅助角公式化积，由周期公式求周期，再由复合函数的单调

性求函数的单调增区间；

(2)直接求解三角不等式得答案.

【解答过程】解：(1)f(x)=\/3sinxcosx+^(sin2x-cos2x')

=^-sin2x-|cos2x=sin(2x-5).

・•・T=^-=n.

由一£+2kll工2x-强式2+2k7t,解得一名+/<7r/x二与+kn»k£Z.

，/(x)的单调增区间为[一看+而，g+k/r],依Z；

(2)由si?i(2%一看)>—3，得一看+2/CTT<T2x—1+2版,

27T

ZnrVxV~^~+ZTT,k6Z.

工满足/'(%)>-/的X的集合为{入伙TTVxV号+Er，kez].

【变式6-2](2021•南通模拟)已知sinB+cos2=%L06(-3，

(1)求8的值：

(2)设函数/(x)=sin2x-sin2(x+0)xeR,求函数/(x)的单调增区间.

【解题思路】(1)由sin0+cos0=汽1,可得(sin0+cos0)2=sin20+cos20+2sin9cos0=2六,可得sin20=

一堂，结合范围攵(-*%即可解得8=

(2)Ftl(1)可得。=则/(%)=sin2x-sin2(x-1),利用倍角公式，两角差的余弦函数公式以及

辅助角公式化简可得/(x)=^sin(2x—1)，令2Kr—1W2x—5W2Kr+}k