平面向量基本定理及坐标表示-高考数学复习之重难点题型讲义（新高考地区专用）解析版

专题5.3平面向量基本定理及坐标表示•重难点题型精讲

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1.平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果3,3是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量］有且只有一对实数4，

%，使4+22^.若3，［不共线，我们把｛V，3｝叫做表示这一平面内所有向量:的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量：在给出基底｛3,3｝的条件下进行分解——平面内的任一向量

都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.

2.平面向量的正交分解及坐标表示

(1)正交分解

不共线的两个向量相互垂直是•种重要的情形，把•个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量

作止交分解.

(2)向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、)，轴方向相同的两个单位向量分别为；，：，取｛；,力作为基

底.对于平面内的任意一个向量1由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数-)，，使得：:x；+,•.这样，

平面内的任一向量；都可由-y唯一确定，我们把有序数对(x,)，)叫做向最：的坐标，记作'±y)①.其中x

叫做;在x轴上的坐标，)，叫做a在1y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示.

显然，/=(1.0),)=(0.1),6=(0.0).

(3)点的坐标与向量的坐标的关系

表示形向量。=（".,）中间用爰号连接,而点4（x.y）中另没有

式不同等弓，

区点A（x,>）的坐标（x.y）表示点A在平面直角生标系中

别意义的位置,〃=（*•）•）的坐悚㈠.）既表示向量的大小,也

不同表示向晨的方向.另外，（“>）既可以表示点.也可以表

示向量,叙述时应指明点（x,y）或向黄（x,>）.

向it的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平直向置的

联系

起点在原点时,平面向星的坐悚与向量终点的坐啄相同.

3.平面向量线性运算的坐标表示

（1）两个向量和（差）的坐标表示

_->♦->->♦->->->♦->♦->

由于向量。=（汨,凹）,6=（必,、2）等价于。=%/+乂/，b=x2i+y2j,所以。+8=但i+必_/）+（占，+%/）=3

+x2）i+（yi+y2）j,即4+力=（川+工2,M+72）.同理可得。工二（x「X2,y「y2）.

这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向最相应坐标的和（差）.

（2）向量数乘的坐标表示

由a=（%»）,可得。=xi+yj，则2，=2（xi+yj）=kxi+Xyj,即2a=（2x,2y）.

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

4.平面向量数量积的坐标表示

（1）平面向量数量枳的坐标表示

由于向量。二（即,必）,6=（必J>）等价于a=%*+y/，b=x?i+y2j，所以。，/），（均，+乃/尸修

x2i~+xly2i-j+yix2j-i+yiy2j.又力，=1,j•j=\,i-j=j-i=（）,所以q•A=x1Xz+y乃.

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

（2）平面向量长度（模）的坐标表示

若7=（xj），则/十必或同=+»2.

其含义是：向量Z的长度（模）等于向量之的横、纵坐标平方和的算术平方根.

如果表示向量5的有向线段的起点和终点的坐标分别为（X|,y）,（工2,乃），那么2二（必-为,%-M），日|二

7（小一为）二十（。2-凹）^.

5.平面向量位置关系的坐标表示

（1）共线的坐标表示

①两向审:共线的坐标表示

设;=但,凶）,Z—其中方川.我们知道，"力共线的充要条件是存在实数入使1=斯.如果用

坐标表示，可写为3出曰（4,心），即厂=牛，消去晨得汨加.“尸0.这就是说，向量1h（力挽）

Iy=不

共线的充要条件是汨力-X2y尸。.

②二点共线的坐标表示

若A（XQI）,8（X2,玖），C（X3,心）三点共线，则有力4=2AC，

从而（必-汨，）‘2-"尸2（工3-4，力->2），即（X2-X］）（/-必）=*3-必）（»2-%），

或由力8=〃8C得到*2F）（乃-M）=（x3-x））（”-凹），

或由力C=y4c得到（X3-X1）（"-%）=（》3—2）（n-）'）

由此可知，当这些条件中有一个成立时，4,&C三点共线.

（2）夹角的坐标表示

设〃，〃都是非零向量，。=（-*1,乂），力=（5,心），。是。与〃的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示

所得COS0=i-1=LMXJJ?

印司+川•

（3）垂直的坐标表示

->-►->->

设4=（41,必）,6=（X2,%），则4J■力O为4+乂%=0.

即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.

wa芦一及三

【题型1用基底表示向量】

【方法点拨】

用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底

表示为止；另一种是通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解.

［例1］（2022•黑龙江•高二开学考试）如果｛瓦，瓦｝表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不

能作为一个基底的是（）

A.匹瓦+慈B.宙一2匹弓-2匹

C.C-2酝4芍-23D.瓦*+酝瓦—/

【解题思路】根据平面基底的定义和判定，逐项判定，即可求解.

【解答过程】根据平面基底的定义知，向量瓦，可为不共线非零向量，即不存在实数人使得瓦=2瓦,

对于A中，向量可和五+石，不存在实数九使得互=a（M+w）,可以作为一个基地；

对干B中，向最瓦一2瓦和石一2部，假设存在实数九使得瓦一2①=20-2五），

可得｛匕二?，此时方程组无解，所以瓦-2瓦和与-2瓦可以作为基底；

对于C中，向量瓦•-2瓦和4瓦-2瓦，假设存在实数人使得可-2瓦=%（4瓦一2瓦）

可得「；一2,解得2=-：，所以瓦一2孩和4石一2瓦不可以作为基底；

l—Z=4A2

对于D中，向量由+瓦和友-或，假设存在实数人使得瓦+五=兀（瓦-砧,

可得此时方程组无解，所以前+可和瓦-石可以作为基底；

故选：C.

【变式1-1］（2022・全国•高一课时练习）设｛瓦五｝是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的

是（）

A.瓦*+可和西-与B./和瓦+与

C.Ci+3©和-2+D.3。1—Ze2和4牝—64

【解题思路】根据向量是否成倍数关系可判断是否共线，即可确定是否可作为基底向量.

【解答过程】•・•瓦，石是平面内的一组基底，，瓦，瓦不共线，而4瓦一6瓦=一2（3瓦一2万），

则根据向量共线定理可得，（4瓦-6评）与（3匹-2坊共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意.

其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量.

故选:D.

【变式1-2］（2022•甘肃庆阳・高一期末）下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（）

A./=（2,-1）,互=（1,-2）B.瓦=（4,-2）,五=（一2,1）

C.瓦二（3,3）,可=（-1,1）D.宙=（2,3）,ei=（-1,3）

【解题思路】根据基底的定义分别判断各个选项即可得出答案.

【解答过程】解：对于A,因为两向最不共线，所以能作为一组基底；

对于B,因为瓦=-2石，所以瓦||石，所以两向量不能作为一组基底：

对于C,因为两向量不共线，所以能作为一组基底；

对于D,因为两向量不共线，所以能作为一组基底.

故选：B.

【变式1-3］（2022•湖北武汉•高一期末）已知向量由石工在正方形网格中的位置如图所示，用基底｛G,丹表示3

则（）

A.c=3d-2bB.c=—3d+2b

C.c=-2a+3bD.c=2d+3b

【解题思路】建立直角坐标系，用坐标表示出&b和号并设1=mG+nb,联立方程组求出力和八即可.

【解答过程】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1,

则6=(1,1),5=(-2,3),c=(7,-3),

设向量=ma+nb,

则膘工=仁

【题型2平面向量基本定理的应用】

【方法点拨】

结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.

【例2】(2022.福建.高二期中)△/1BC中，D为BC中点、,AE=2EC,AD交BE于P点、,若而=2而，则2=

()

A.-B.-C.-D.-

3556

【解题思路】根据。为中点，得至IJ而=3而+g正，因为瓦化£三点共线，推导出丽=。通+6通，

则a+b=l,结合而=入而，荏=：而得到而=?而+=冗，从而得到？=又a+匕=1,求

3Z3AA23A2

出2=

【解答过程】因为。为中点，所以而三^^+称

因为荏=2前，所以於=|前，

因为B,P,E三点共线，所以设丽=7几屈(mHO),

即通一同二7几(荏-而)，整理得：AP=—AE+—AB,

令a=二一,》=2-,则而=£55+匕荏，则a+b=l,

其中而=a而+?b前，

3

因为标=4而，所以入标=。彳5+|6彳？,

故而=§而+称宿

A34

因为而=3而+3宿

所以一=：,*=3又a+b=l,

AZ3A乙

解得：a=£

故选：c.

【变式2-1］（2022.广东深圳•高三阶段练习）在平行四边形48CD中，点E在边40上，点F在边CD上，且AE=

“D,C尸号C。，点G为线段E尸的中点，记瓦？=沆，万工=落则打=（）

A.泞+|泾B.|沆+]

C.9五+资D.河+)

【解题思路】选择瓦5=范近=亢作为基底，根据向量的加减运算即可求得答案.

【解答过程】由题意可知力E="D，CF=\CD,即荏*而，CF=^CD,

则而=BA+AE+EG=BA+^AD+^EF

=/+＜同+:（茄+而）=段+械+抬而-海

◊乙◊乙◊◊

=~BA+-~BC-~~BA=~~BA+-~BC

33663

5一.2-

=-?n+-n,

Oo

故选:A.

【变式2-2](2022•河南•高三阶段冻习(文))在A/IBC中，。为边BC的中点，E在边4c上，且EC=24E,AD

与BE交于点凡若而=入而+〃而，则%+〃=()

A.--B.--C.-D.-

2424

【解题思路】根据三点共线的结论：48,。三点共线，则历(=/(而+〃沆,2+〃=1,结合平面向量基本定

理、向量的线性运算求解.

【解答过程】以｛彳反冠｝为基底底量，则有：

,/B,E,尸三点共线，则而=xAB+(1-x)AE=xAB+-(1-x)AC,

3

又•・•4RD三点共线，且。为边BC的中点，则而=y75=：y而+：y前，

1

x=-y=—

4

・•.12解得

_1,

一2

即而=2■而+市.

44

\'CF=AF-AC=(AC^-AC=^AB-^AC,

-AB+-

44

・•・/!=；,〃=-；,则a+〃=一：.

442

故选:A.

【变式2-3](2022.全国•高三专题冻习)在△ABC中，D,E分别是线段A3,6c上的点，RAD=3DB,BE=

-BC,若方=%而+、无，Mx+y=()

3

A.B.--C.--D.-

【解题思路】根据已知条件结合平面向量基本定理将诙用而，就表示，从而可求出x,y的值，进而可求得x+

y-

【解答过程】因为AD=3DB,BE=加,

所以万万=[而，BE=-BC,

43

所以说=丽+而=:而+[就=工近+久尼-而)=-3而+9前=M5+y冠，

4134•*123

所以％=y=|»

所以x+y=一。+[=：.

故选:A.

【题型3平面向量的坐标运算】

【方法点拨】

⑴向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，

则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.

⑵利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.

【例3】(2023•广东•高三学业考试)已知向量G=(1,-2),b=(3,5),M2a+b=()

A.(4,3)B.(5,1)

C.(5,3)D.(7,8)

【解题思路】根据向量的坐标运算即得.

【解答过程】・・・2=(1,-2),5=(3,5),

:.2a+b=2(1,-2)+(3,5)=(5,1).

故选：B.

【变式3-1](2022•北京•高二阶段练习)已知M(5,-1,2),4(42,-1)，O为坐标原点，若丽=而，则点8

的坐标应为()

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)

C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-I)

(解题思路】根据向量的坐标运算即可求解.

【解答过程】而=(5,-1,2),所以而=(5",2),OB=OA+AB=(4,2,-1)4-(5,-1,2)=(9,1,1),

所以8(9,1,1),

故选:B.

【变式3-2](2022•广东•高一阶段练习)已知向量6=(2,1),b=(1,-1),则五+、=()

A.(3,0)B.(3,1)C.(-1,2)D.(1,2)

【解题思路】根据平面向量加法的坐标表示公式进行求解即可.

【解答过程】因为五=(2,1),5=(1,-1),

所以五+6=(2+1,1-1)=(3,0),

故选:A.

【变式3-3](2022•全国•高三专题练习)已知向量d=(1,I)»5=(-I>1),c=(4,2),若c=Xa+fib,

4、〃仁R,贝iJ[+〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解题思路】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案.

【解答过程】由乙=北+而，则(4,2)=也1)+〃(一1,1),即[二曰,解得一二3

故4+〃=2,

故选：D.

【题型4向量共线、垂直的坐标表示的应用】

【方法点拨】

向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线(平行)、垂直：二是根据向量共线、垂

直来求参数的值：根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.

【例4】(2022・山东•高三阶段练习)已知向量d=(2,-1),b=(-3,2),c=(l,l),则()

A.d//bB.(a+511cC.a4-b=cD.c=Sa—3b

【脩题思路】根据向量加减法、向量垂直和平行的坐标表示依次验证各个选项即可.

【解答过程】对于A,•••2x2H[一1)x(-3),.•.五是不平行，A错误；

对于B,d+族=(-1,1),二(d+8)，=-1x1+1x1=U,二(d+13B正确；

对于C,d+b=(-14)*c»C错误;

对于D,5a-3b=(10,-5)-(-9,6)=(19,-11)D错误.

故选:B.

【变式4-1](2022・广东•高三学业考试)已知向量d=(2,—2),若出行,则2+族=()

A.(-2,-1)B.(2,1)C.(3,-1)D.(一3,1)

【解题思路】由G〃b,利用向量共线的坐标运算解得x,再利用向量和的坐标运算求d+b.

【解答过程】解:因为出店，

所以2x(-2)=x,解得x=-4.

所以d+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).

故选：A.

【变式4-2](2022•北京•高二阶段练习)己知平面向量五=(-1.2),b=(3.-l),c=(t.t),若(本⑥II'则片()

A-iB-C.[D.1

【解题思路】先求出d+s的坐标，再由伍+1)11B列方程可求出t的值.

【解答过程】因为6=(-1,2),4(2,

所以d+}=(-1+t,2+t),

因为氏(3,-1),(a+c)||b,

所以警=斗，解得

3-14

故透:C.

【变式4-3](2022•甘肃•高三阶段练习(文))已知向量G=(-l,3),&=(2,1),c=ka+b,若必落则人()

A.-5B,1C.5D.1

【解题思路】首先求出前勺坐标，再由族_L3可得小3=0,根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【解答过程】解:因为答(-1,3),5=(2,1)，所以答4+梃(2«3叶1).

因为&JL泊所以『1=2x(2-k)+3hH=0,解得k=-5.

故选:A.

【题型5向量坐标运算与平面几何的交汇】

【方法点拨】

利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向

量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐

标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.

[例5](2022•黑龙江•高三阶段练习)如图所示，梯形48co中，AB//CD,且力B=2AD=2CD=2CB=2,

点P在线段BC上运动,若丽=%而+、而，则/+y2的最小值为()

D

2--A=2x+-

[解题思路】利用坐标法，设前=ABC,[O<A<1)，可得｛自6,进而可得％2+/=

(1-1A)2+A2,然后利用二次函数的性质即得.

【解答过程】如图建立平面直角坐标系,

则4(0,0),8(2,0),诟号),吒,务

・••屈=(2,0),而=C，泉屈=T务

设丽=/1瓦,(0W4W1),5P=AfiC=A(-py),

：.AP=AB+~BP=(2-1A,yA),

又而=xAB+yAD=x(2,0)+y(1,y)=(2x+1y,yy),

2--A=2x+-y

,，｛2W：

/=力

解得x=1=九

:+y2=(1-1A)2+A2=咨-a+1=浓一|)2+g宛,

即V+y2的最小值为！

故选；B.

【变式5-1］（2022.全国•高一课时练习）如图,在直角梯形48CD中，4B//CO,^DAB=90°,AD=AB=4,

CD=L动点P在边BCE且满足而=m而+几而",〃均为正数），则的最小值为（）

A.1B.-C.--D.

444

【解题思路】以4为原点，A8所在直线为大轴，力。所在直线为），轴建立平面直角坐标系，根据向量的坐标

表示而可得m+：八=1，再根据基本不等式求得三+三的最小值即可.

4mn

【解答过程】如图，以A为原点，A8所在直线为x轴，所在直线为），轴建立平面直角坐标系，

则“0,0),8(4,0),0(0,4),C(l,4),

则标=(4,0),AD=(0,4),BC=(-3,4),

设丽=ABC=(-3A,4A)(A6R),

则而=AB+BP=(4-3/1,4A).

因为4P=mAB+nAD=(4m,4n),

所以「二工)4血，消去九得m+"=l,

I42=4n4

因为m>0,n>0,所以2+2=(m(2+2)=1+网•+%+?2二+2户二=上回,

mn\4/\mnJ4mn44yj47nn4

当且仅当爪=枭时等号成立.

故工+工的最小值为上等.

mn4

故选:D.

【变式5-2］（2022•全国商一）在A/BC中，角4、8、。所对的边分别为a、6、c,a=b=5,c=8,/是△ABC

内切圆的圆心，若汨=义而+丫而，则％+y的值为（）

A.空B.WC.三D.兰

33218

【解题思路】计算出△力8c的内切圆半径，以48直线为X轴，48的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,

利用平面向量的坐标运算可求得小y的值，即可得解.

【解答过程】•.•Q=b=5,c=8,所以，△4BC内切圆的圆心/在AB边高线。。上（也是4B边上的中线），

OA=OB=4,0C=VBU-。卬=V52-4Z=3,

以48直线为%轴，48的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

则力（一4,0）、8（4,0）、C（0,3）,

设AABC的内切圆的半径为r,根据等面积法可得：^a-OC=1（a+b+c）r,

解得==麻二%即点/（0,§，则适=（8,0）,AC=（4,3）,AI=（4,j）,

一_,一5

f8x+4y=4x二受，则％+”得

因为4/=xAB+yAC,则；Q_4,解得｛

―

I"-y9

故选:D.

【变式5・3】（2022•新疆・高三阶段练习（文））在正方形A8CD中，”是8C的中点.若元=/拓+〃丽,

则4+〃的值为（）

A.-B.-C.竺D.2

338

【解题思路】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.

【解答过程】在正方形A8CO中，以点A为原点，直线人8,4。分别为x,y轴建立平面直角坐标系，如图,

令|AB|=2,则B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),AC=(2,2),AM=(2,1),前=(-2,2),

AAM+fiBD=(2A-2〃,2+2〃)，因方=XAM+〃前，

于是得疗二十二3解得

IA.i乙〃乙J，，

所以4+〃的值为・

J

故选：B.

【题型6向量坐标运算与三角函数的交汇】

【方法点拨】

先运用平面向量的坐标运算的相关知识将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再

利用三角函数的相关知识求解即可.

[例6](2022•河南南阳•高一阶段练习)已知向量&=(cosx,2sina+V2sinx),b=(sinx,2cosa—V2cosx).

(1)若求无+a的值；

(2)若戊=g,函数f(x)=Gi,求/'(x)的侑域.

【解题思路】(1)根据向量平行的坐标运算公式，结合两角和的余弦公式化简即可；

(2)根据向量数量积的坐标运算公式，运用三角函数相关知识叱简原函数后，换元求解即可.

【解答过程】(1)

因为出店,

所以cosx(2cosa—V2cosx)=sinx(2sina+V2sinx),

整理得2(COSXCOSQ-sinxsina)=V2(sin2x+cos2x),

所以2cos(x+a)=y/2,

BPcos(x4-a)=y,

则x+a=2kn±-,kEZ.

4

(2)

因为a=p

4

所以f(x)=a-b=sinxcosx+2(1+sinx)(l-cosx)

=-sinxcosx+2(sinx-cosx)+2

=-^[1—(sinx—cosx)2]+2(sinx-cosx)

乙

13

=-(sinx—cosx)2+2(sinx一cosx)+

令£=sinx—cosx,则t=V2sin(x—；)E[—A/2,V2].

设函数g(t)=12+2£+,"6[-四,&],

则C⑴在区间[一企,&]上单调递博，

所以9(£)min=9(-烟=>2或,g(t)max=9(&)岩+2企，

所以f(%)的值域为L-2e1+2«].

【变式6-1](2022•广西河池•高一阶段练习)已知向量而二(sine,cose-2sin。)，CD=(1,2).

⑴已知C(3,4),求。点坐标;

(2)若481CD,求tan。的值.

【解题思路】根据向量坐标的定义即可求解；

根据向量垂直的运算规则即可求解.

【解答过程】(1)

设D点坐标为(x,y),

因为C(3,4),所以而=(x-3,y—4),

因为而=(1,2),所以解得向量，

所以。点坐标为(4,6)；

(2)

因为万二(sin0,cos0-2sin。)，CD=(1,2),且而_L而，

所以sin。+2(cosO—2sin0)=0,

所以2cos6=3sin。，cos"0,tan。=黑=|；

综上，0(4,6),tan6»=

【变式6-2](2022•浙江•高一期中)已知向量d=d=(m,0),(m<0),c=(2cos0,2sin0),0E

[0"].若\a+方与2—33垂直.

(1)求??1的值及&-5与d之间的夹角；

(2)设5=府+〃坂，求2+〃的取信范围.

【解题思路】⑴由V+B与"3强直，可得(》+力值一3»=0,即可求出m的值；设2-族与眨间

的夹角为仇先求出G-3的坐标，再代入cos。=黑兽，即可得出答案：