分式的运算-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

5.2分式的运算2025-2026学年北师大版八年级数学下册

・选择题（共10小题）

计笆3a3

1・十•的结果是（）

1a-l1-a

a3

A.3B.aC.D.

a-la2-l

x2

2.计算一:—x—1的结果等于（）

x-1

11

A.x-1B.x+1C.D.

x-1x+1

crbz

3.力n坦小二人一《3XL//白々估旦/)

a-ba-b

A.-1()B.-5C.5D.1()

2x+12x-l

4.分式厂，，3的Jf最简公分母是（)

3%-2xz，4xs

A.12B.24xsC.12x6D.12?

5•若x-尸3,则言一言的结果为（）

6.定义新运算：对于两个非零代数式，规定M团N="需，例如2团3=,+齐高.则化简（1-x）X（f

-1）的结果是（）

111

A.——B.x+1C.——D.

x-1x+1x+1

7.已知时=击，N=-.当x＞（）,y＞（）时，M,N的大小关系是（)

人IJL4人1JL

A.M>NB.M=NC.M<ND.无法确定

,20262026,,

8.已知a〃一1,则_+4”的值为（)

a2+l

20262027

A.2026B.2027c.----D.

20272026

9.若x2-5x+4=(),则%一］的值为（）

A.±V21B.3C.±5D.±3

则――+A-

10.已知abc=l,a+b+c=2,a2^-b2+c2=3,+一--的值为（）

ab+c-1bc+a-1ca+b-1

A.-1B.C.2D.——

二,填空题（共6小题）

31

11.化简:

2a2a

―1111r,

12.已知一+—=3,—+—=8,则个=______

xyyL

13.计算：（工+：）2+（~7-77）=___________

abazb2

14.若a+i=V5.则小+i=

11

15.若非负实数。可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，­=1所以5是第1个“1阶倒差数”,

%1=15一1？所以”1第2个“1阶倒差数”，石1=131一丁所以石1是第3个“1阶倒差数”…，即一161,

那么我们称a是第〃个“I阶倒差数”；同理，力=：-击，那么我们称8为第"个"2阶倒差数”.

11•tI4

(1)第9个“1阶倒差数”是.

(2)若x,y均是由两连续偶数组成的“2阶倒差数”，且:一:二12,则》=.

16.新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式.

例如：(x-1)(y-1),它们都是交换对称式.已知：(x-a)(x-b)=x2-px+q.

①若p=2,夕=-1,则交换龙称式*+7=________;

ab

②若q=-2,则交换对称式"+与上的最小值为______________________.

ab

三.解答题(共3小题)

17.先化简，再求值：(号一生步?其中I.

18.在数学课上，老师给出了这样一道题：计算—7+二一.以下是小明同学的计算过程.

mz-164-m

解:原式="口招两一岛①

=16_________2(m+4)5、

~(m-4)(rn+4)(?7i-4)(m+4)<-y

16—2m+8⑥

二(m-4)(m+4)⑼

(1)以上过程中，第步是进行分式的通分，通分为依据是;

(2)以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步

出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程.

19.定义：若分式力与分式8的差等于它们的积.BPA-B=AB,则称分式8是分式4的“可存异分式”.如

1111111111

—与一；因为一--=-----------,—x—=----------,所以一是一的“可存异

x+1x+2x+1x+2(x+l)(x+2)x+1x+2(x+l)(x+2)x+2x+1

分式”.

(1)填空：分式」(填“是”或“不是”)分式工的“可存异分式”.

x+2--------x+3

2Y+3

(2)已知分式二一;是分式4的“可存异分式”.

3r+3

①求分式4的表达式；

②若整数x使得分式力的值是正整数，直接写出分式4的值.

(3)若关于x的分式是关于x的分式上二7的“可存异分式”,求〃?+〃的值.

mx+m£+nmx+n^

5.2分式的运算2025-2026学年北师大版八年级数学下册

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

L计算含+±的结果是（）

a3

A.3B.aC.——D.

n-1(72—1

3a33a33Q-3_3(a-l)

【解答】解:----+

a-1----1-aa-1a-1a-1a-1

故选：A.

%2

2.计算占7-1的结果等于（)

11

A.x-1B.x+\C.—D.

x-1x+1

x2

t解答】解:----x—1

x-1

_/—(%+l)(x—1)

x-1

_x2-(x2-l)

x-1

1

=x^T

故选：C.

a2b2

3.如果a+b=5QaAb）,那么一-——的值是（）

a-ba-b

A.-10B.-5C.5D.10

【解答】解：力=5(〃力力,

a2b2

*a-ba-b

_.2一户

a-b

=(a+b)(a-b)

a-b

=a+b

=5.

故选：C.

2x+12x—l

4.分式丁，——.的最简公分母是()

3%-2x24x3

A.12B.24xsC.12x6D.12?

【解答】解：分式二，三，。的最简公分母是12?,

3x-2x24x3

故选：D.

5.若x-y=3,则~~~2.~一的结果为()

xl-ylxz-yz

1

A.1B.3C.6D.-

3

【解答】解：•••x-y=3,

t2xx-y

**x2-y2-x2-y2

_2x-x+y

~(x+y)(x-y)

=_x±y__

-(x+y)(x-y)

1

二可

1

=可

故选：D.

6.定义新运算：对于两个非零代数式，规定MZN=^+得，例如2团3M+齐春则化简(l・x)X(f

7)的结果是()

11

C.——D.

x+1x+1

【解答】解：(1・x)派(x2-1)

21

=E+后

21

=(x-l)(x+l)

2x+1

=(x-l)(x+l)-(x-l)(x+l)

2-x-l

=(x-l)(x+l)

1-x

-(x-l)(x+l)

1

=~x+I'

故选：Q.

7.已知时=系，可=忠彳.当x>0,j，>0时，M,N的大小关系是()

人IJL4人IJL

A.M>NB.M=NC.M<ND.无法确定

【解答】解：己知M=Gy,N=

।JL4人1JL

则”・N=备一磊

_y(2x+l)-2y(x+l)

(x+l)(2x+l)

_2xy+y-2xy-2y

=(x+l)(2x+l)

一(x+l)(2x+l)'

Vx>0,y>0,

<T),

(x+l)(2x+l)

:.MVN,

故选：C.

20262026

8.已知。I，则百丁西的值为（)

20262027

A.2026B.2027c.D.-------

20272026

【解答】解：

•二原式=2026x(1；]'+~)

/+1+Q2+1

=2026x[-

(a2+l)(d2+l)

.a2+b2+2

=2026x(■)

a2b2+a2+b2+l

7fQ2+/?2+2、

=2026x(小2+西)

=2026x(。泗+2)

a2+bZ+2

=2026X1

=2026.

故选：A.

.4

9.若7・5x+4=0,则为—1的值为()

A.±V21B.3C.±5D.±3

【解答】解：当x=0时，x2・5x+4=4wo,

4

—5+-x=0,

4

・,・%+?=5,

4c4c4

一土)=(x+-)2-4-x--=52-16=9,

4

**«x--=±V9=±3,

故选：D.

10.已知abc=l,a+b+c=2,a2+/j2+c2=3,则-7^—+1-—+—\—的值为(

ab+c-1bc+a-1ca+b-1

12

--c2--

A.B.2D.3

【解答】解：由a+6+c=2,两边平方，

得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4,

将已知代入，得ab+hc+ac=i：

由。+加(=2得：c-1=1-a-6,

/.ab+c~1=ab+\-a~b=(。-1)Cb-1)»

同理，得bc+a-1=(/)-1)(c-1),

ca+b-1=(c-1)(a-1),

‘原式二(a-l)(b-l)++(c-l)(a-l)

c-l+a-l+b-1

=(a-l)(^-l)(c-l)

_—1

—(ab—a—b+l)(c—1)

__1

-abc-ac-bc+c-ab+a^b-1

-1

故选：D.

二.填空题（共6小题）

311

11.化简：—————=―

2a2a—a—

3____2__£

【解答】解:

2a2a2aa

故答案为：

a

12.已知工+二=3,2+2=8,则孙=2

xyx2y2

【解答】解：根据完全平方公式得©+》2=32,

121

展开得丁+一+丁=9，

x乙xy产

将2+^7=8代入上式得8+[=9,

x2*xy

2

移项得一=1,

xy

解得町，=2.

故答案为：2.

、-11•>11b+a

13.计算：（「三・（/一记”—有—

【解答】解：原式=喏、慝=恐.

故答案为F

b-a

14.若Q+\=V5.则Q2+/=3

【解答】解：由条件可知M+今

11

=(a+l)2_2a.l

=(V5)2-2

=5-2

故答案为：3.

15.若非负实数。可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，;=1-；，所以《是第1个"I阶倒差数”,

222

：=H所以，是第2个“1阶倒差数*=；;所以点是第3个“1阶倒差数”…，即a=：一磊，

那么我们称a是第〃个“1阶倒差数”；同理，力二：-心，那么我们称。为第〃个“2阶倒差数”.

nn+z

（1）第9个“1阶倒差数”是工.

一90一

（2）若x,歹均是由两连续偶数组成的“2阶倒差数”，旦工-工=12,则工=_3_.

xy-24—

【解答】解：⑴第〃个“I阶倒差数"=，告二忌用故第9个“1阶倒差数”是念=/；

故答案为：占;

90

⑵设-急，y=：-急（其中〃?，〃为偶数）•

11

则IZH-二=12，

mm+2nn+2

w2-n2+2m-2〃=24,

/.(ni+n)(m-n)+2(m-n)=24,

:.(m+n+2)(m-n)=24»

(m+n+2)(〃7-〃)=24=1X24=2X12=3X8=4X6,

,**m,n为偶数，

•\m+n+2>m-n都是偶数，

..口+n+2=12,

从而可得①

.m-n=2,

•=〃=4.

.111

X66+224,

m+n+2=6,

(7n—n=4,

/.w=4,w=0(舍).

综上所述x的值为三.

24

故答案为：白.

24

16.新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式.

例如：x2+j2,(x-1)(y・1),它们都是交换对称式.已知：(x-6?)(x・〃)=x2-px+q.

ba

①若〃=2,9=-1,则交换XT称式一+-=-6；

ab

Q?+2h3+2is

②若q=・2,则交换对称式——+1—的最小值为二.

ab—4—

【解答】解：①:(x-a)(x・b)=JC-px+qt(x-a)(x-b)=/・(a+b)x+ab,

:..v2-(a+b)x+ab=x^-px+q>

***p=ci^~bfq=ab,

.匕aa2+b2(a+d)2-2ab(a+d)2

-=---------=-------------------=------------2,

abababab

，：p=2,q=-1,

.•・p=a+b=2,q=ab=-1,

2

:.原式=~2—2=—4—2=-6,

故答案为：■6；

33

a+2b+2272?22?2(a+b)

②丁十丁4--+b+-=a'+b+a+b=fa+b)-2ab+^~

ab

■:q=-2,

:*q=ab=-2,

，原式=(a+b)2-2x(-2)4-2纹,

=(a+Z?)2+4-(a+b)

=p2+4-p

11

=p9_p+厂,+4

(1x2,15.15

=(P-2)+T-T

故答案为：-y.

4

三,解答题(共3小题)

17.先化简，再求值：(无!——等二7)+?，其中入=1・

xz4-2xxz+4x4-4x

【解答】解：(芯——孟三)♦写

x£+2xxz+4x+4x

tx-2x-1]4-x

=.+2)0-2)_x(x-l)1__X_

-LJCQ+2)2十2)2」4-T

_rX2-4_____x2-x,x

-X(X+2)2X(X+2)24r

x—4x

-x(x+2)24r

1

~~(x+2)2

VJT=1*

・二原式=-----7=

(1+2)29

18.在数学课上，老师给出了这样一道题：计算1二+一一.以下是小明同学的计算过程.

mz-164-m

解：原式=(m_4；*+4)一总①

=16__________2(m+4)小

(m-4)(7n+4)(m-4)(7n+4)-y

_16-2m+8号

一(m-4)(m+4)必

(1)以上过程中，第②步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质

(2)以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步

出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程.

【解答】解：(1)根据计算步骤可知，第②步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质,

故答案为：②，分式的基本性质;

(2)不正确，第③步出现错误，

正确的解题步骤如下：

序式_________________

"八一(m-4)(m+4)m-4

=_____16__________2(m+4)

一(m-4)(m+4)(m—4)(m4-4)

_16—2TH—8

一(m-4)(m+4)

一4)

2

一m+4'

19.定义：若分式力与分式8的差等于它们的积.即则称分式8是分式力的“可存异分式”.如

---与；因为-=,x=,所以是---的“可存异

x+1x+2------x+1----x+2---(x+l)(x+2)x+1---x+2---(