期中复习讲义：正余弦定理解三角形【8大题型】解析版-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

正余弦定理解三角形【8大题型】

内容导航

明♦期中考清把握命题趋势，明确备考路径

记•必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区

破•重难题型题型分类突破，方法技巧精讲

题型01余弦定理解三角形

题型02正弦定理解三角形

题型03面积公式的应用

题型04正余弦定理解三角形综合

题型05正余弦定理判定三角形形状

题型06正弦定理判断三角形解的个数

题型07正余弦定理的边角互化

题型08正余弦定理的应用

过•分层验收阶梯实战演练，验收复习成效

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

正余弦定理解三能根据已知条件合理选择正余弦定理：掌核心高频考题，需具备整体分析能力，根据

角形握边角互化技巧；熟练求解多解或需检验条件特征选择最优解法

的三角形

正余弦定理判定利用边角互化将条件转化为边的关系或中等难度，注意特殊三角形（等腰、直角、

三角形形状角的关系；结合三角恒等变换判断三角形等边）的判定条件，避免漏解

形状

正弦定理判断三掌握已知两边一对角时，通过比较距易错考点，需理解几何意义，结合图形分析

角形解的个数加出力、力的大小关系判断解的个数更直观

正余弦定理的边熟练将边化角（用正弦定理）或角化边贯穿所有题型，是解三角形综合题的关键步

角互化（用余弦定理）；能识别条件中的齐次式骤，需根据目标灵活选择互化方向

结构

1/40

正余弦定理的应掌握解三角形在实际问题中的应用（测基础题，注重数学建模素养，需准确理解角

用量、航海、几何图形等）：能建立数学模度术语（仰角、俯角、方向角等）

型并求解

■记•必备知识,

限知识点01余弦定理

对三角形△ABC,角A对应的边为a,角B对应的边为b,角C对应的边为c

余弦定理公式：a2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2—2accos8；c2=a2+b2-2abcosC.

^+江―c2

推论:cos力=十;［一0,cos-=

2be2ab

典知识点02正弦定理

1、正弦定理的表示

abc

仕中，若角4A,C对应的边分别是a,b,c,则有

sinAs:nBsinC

若ZUBC外接圆半径为R,则有sinJ-sin5sin「R

2、正弦定理常见变形：

-sinAasinCcsinBb

Qsin8=/7sin4,tzsinC=csinA,/)sinC=csinB；

sinBbsinAa,sinCc

②a_bca+b4+。b+ca+b+c

ysinAsinBsinCsin4+sin4sinA+sinCsinB+sinCsin力+sin4+sinC'

@a:b:c=s\nA:s\nB:sinC；

3、三角形的边角关系：

由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.

〃>6o/>6。sin力>sin8ocos4<cos8

EX知识点03三角形的面积公式

1、SAABC=^absinC=gbesinA=^acsinB

2、SAABC=^=^a+b+cyr（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径.）

属知识点04解三角形

1、解三角形的概念

一般地，三角形的三个角48C和它们的对边Q,瓦c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个

元素求其他元素的过程叫做解三角形.

2、余弦定理在解.三角形中的应用

2/40

（1）利用余弦定理求边跟角：

已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；

已知三边，求三角形的三个角.

（2）判断三角形形状

将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。

若a2+b2=c2,则90。（勾股定理逆定理）。

若小+炉>。2,则“<90°（锐角）。

若a2+/〈c2,则，C>90°（钝角）。

（3）求三角形边长或角的范围

结合余弦定理与基本不等式（如〃+c2z2bc）或二次函数性质，确定边或角的取值范围。

3、正弦定理在解三角形中的应用

（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理

（3）在解三角形题口中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑

用正弦定理。

三角形中的射影定理：在中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB

湾知识点05三角形解的个数

在△/IBC中，己知”，方和/时，求B角的时，解的情况如下:

若A为锐角时：

若A为直角或者钝角时:

RX知识点06测量问题

3/40

1、测量距离问题：解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通

过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角

形是解题的突破11。

（1）两点间不可达又不可视，如图，A、B两点间有障碍物，但分别可以到达力

和8,并能测量力C、BC及

方法：已知两边及夹角（AC、BC、ZC）,用余弦定理直接求AB。

①在△4C0中由CD及匕AOC求AC或力。。

②在△BC。或△中继续用正弦定理或余弦定理最终求力从

2、测量高度问题：利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测显角度和可及距离，计算出不可直

接测量的高度。基本关系（在直角三角形中）：高度=水平距离Xta〃（仰角），其中仰角是观测点与目标顶

端连线和水平线的夹角。

（1）底部可达：利用直角三角形解

（2）底部不可达（仰角在不同位置测两次）：设两次测量点与塔底共线，测得仰a、。及两次距离差（或直

接距离）,建立方程求高。

4/40

测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程。

3、测量角度问题

（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角

（2）方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.例：北偏东*即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向.

（4）坡角与坡度：坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比.坡

度又称为坡比

（5）测量角度的核心思想是：

将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定

理、余弦定理反推出目标角。

.破•重难题型.

②题型一余弦定理解三角形

俑「题「£「后

［利用余弦定理来解三角形的情况：

i1、已知三边，求任意角。

5/40

「3、…巨如两远而其申二初而牙声，…时甬不破是近:…

：3、三角形中有分线的情况，可以考虑用两次余弦定理来处理。:

:4、余弦定理跟面积公式结合去解三角形的三边。：

L...................______............._________-_________..........._________-_______......--........-------...............-------......_________......................--------------........t

【典例1]（25-26高一下•全国•课后作业）已知钝角三角形月8c的三边。=&，h=k+2,c=k+4,则%

的取值范围为.

【答案】（2,6）

【分析】由题意结合大边对大角，可得角C为钝角，即8sC<0,由余弦定理结合两边之和大于第三边，即

可求解.

【详解】因为c>b>a>0,且△48C为钝角三角形，所以角C为钝角.

由余弦定理的推论，得ssC/1yI：<（）

2ab2K（K+2）

因为《>0,k+2>0,所以〃？一4上一12vO,

即（"6）（"2）<0,解得一2<k<6,

由三角形的任意两边之和大于第三边，得〃+（〃+2）>"4,所以Af2.

>>0

所以〃满足卜>2,解得2<上<6,

-2<k<6

综上所述，上的取值范围为（2,6）.

故答案为:（2,6）.

【典例2】（多选）（25-26高一下•全国•单元测试）在△力8c中，已知/+/+/=2,2（42+/）,则角。

的可能值为（）

A.45°B.60°C.135°D.120°

【答案】AC

【分析】由条件通过配方得到（。2+〃-/）2=2。2〃，再结合余弦定理即可求解.

【详解】由/+3+d=2c2（/+b2）n（42+62—c2y=24"2,

1串a'+b'-c'=±\[iab»

所以cosC=Zz£i=土卫，

2ab2

.•.C=45°或135°.

6/40

故选:AC

【变式1］（2026高一•全国•专题练习）ZUAC中，AB=2g，BC=M，4=45°,N8为A/iBC中最大

角，。为力C上一点，AD=^DCt则（）

A.273B.3拉

C.旧D.2旧

【答案】C

【分析】先根据题意和余弦定理，在△/14C中求出4C的长，再求出力。的长，再由余弦定理在△/出。中求

HlBD的长.

【详解】设4。=工，由余弦定理得，BC1=AB2+AC2-2AB-ACCOSA,

KP5=8+X2-2X2V2XX—,整理得-4^+3=o,解得工=1或x=3,

2

•••N8为△48C中最大角，二工二？.Xv^D=-DC,.-.JD=1,

2

在△48。中，由余弦定理得，BD1=AB2+AD2-2AB-ADcosA,

即=8+l—2x2&xlx也=5,:.BD=M.

2

【变式2】（25・26高一下•全国•误后作业）在锐角三角形48。中，〃、b、c分别为内角4、9、C所对的

边，若a+c=5,4=g,且a>c,b=布,求在X的值.

【答案】1

【分析】利用余弦定理可得出"=6,结合己知条件可得出。、。的值，再利用余弦定理可得出C0S4的值,

再利用平面向量数量积的定义可求得方.X的值.

【详解】根据余弦定理得7=/=/+c?-2accos^=a2+c2-ac,

整理得（〃+4-3改=7,

又a+c=5,所以〃c=6,又〃>C,可得4=3,c=2,

h2+C2—a27+4-9_6

于是8s

4g~14

所以而.]?=p5H配卜os/i=2xJ?x今=1.

当题型二正弦定理解三角形

7/40

答I题I模I板

正弦定理解三角形的情况：

1、已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理

2、已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理

3、在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者s出的齐次式，可以考虑用正

弦定理。

35

【典例1］（25-26高一下•全国•单元测试）在△力8C中，已知cos/l=—,cosB=—,b=3,则。=

513

14

【答案】y

【分析】应用同角三角函数关系求出sin4=f4Si向二I卷?，再应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解.

【详解】在A45C中,48«0,TI）,

/.sinC=sin]兀一(4+4)]=sin(4+3)si^cosB+cos^=lxA+2x^=56

51351365

bc

由正弦定理知

sinBsinC'

256

bZ>ssiinnCC_X^_14

sinB125

T5

14

故答案为：y

J

【典例2】⑵.26高一下・全国•课堂例题）在△枇中‘若”6。"则sHmC

)

A考B.窣286

rD.2石

3

【答案】D

【分析】利用正弦定理即可求解.

ab

【详解】由=2R,所以。=27?sinA,b=27?sinB,c=27?sinC,

sinJsin8sinC

8/40

a+b+c2Rs\nA+2Rs\nB+2Rs\nC__a33_/r

------------==2R=-----=------=—j=-=2y3

所以sin力+sin8+sinCsin4+sin8+sinC-----------sinJsin60°J3.

T

故选：D.

【变式1】(多选)(25-26高一下•全国•单元测试)在中，sinC+sin(J-^)=3sin25.若。=5，

则，等于()

0

A.yB.1C.2D.3

【答案】AD

【分析】根据三角形的内角和定理和三角恒等变换的公式，化简得到siM8sB=3sinBcos8,求得cos3=0

或sinN=3sin5,结合正弦定理,即可求解.

【详解】由4+8+。=〃，可得$亩。=$亩[花一(/1+8)]=$亩(4+8),

因为sin。Isin(/8)=3sin28,可得sin(4I8)Isin(/8)=6sin8cos8,

整理得sin4cos8=3sin8cos8，所以cosB=0或sin4=3sin8,

当cos8=0时，因为8«0㈤，所以4=友，

又因为C=T，所以力=g,可得?=驾=；；

36bsin2

当sinA=3sinB时，/=3.

bsinB

故选：AD.

【变式2】(2026高一下•全国•专题练习)在△月8c中，已知8=60。，最大边与最小边的比为3上1,则三

2

角形的最大角为()

A.60°B.75°C.90°D.115°

【答案】B

【分析】不妨设〃为最大边，c为最小边.根据正弦定理可得q=包上1=乂1土！,化简即可求解

csinC2

【详解】不妨设。为最大边，c为最小边，由题意且=包叫=也±1,即..「与土

csinC2sin(120°-/l)2

整理，得(3-=(3+J5)cos1.所以tan4=2+J5,所以4=75°.

故选：B

国题型三面积公式的应用

9/40

答I题I模I板

三角形面积公式的应用情况：

1、已知两边及夹角，直接用Sa4BC=gabsEC=；bcsin/l=gacsEB

2、已知三边，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积

3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。

【典例1】(25-26高一上•浙江湖州•期末)在△NBC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若A=2B,

c=2b=2,则△48C的面积为()

A.石B.1C•日D.j

【答案】C

【分析】根据条件，结合二倍角公式和正弦定理，可得8s8=：,根据余弦定理，可得a值，根据勾股定

理，可得角C=令，代入面积公式，即可得答案.

【详解】因为/=28,所以sin/=sin2B=2sin8cos8,

由正弦定理得a=2〃cos8,

又c=2b=2,则6=1,所以cosB=J=:，

2b2

由余弦定理得cos8='+1'+4T=@,

2ac4a2

整理得/=3,解得〃=石或〃=-百(舍)，

所以/+〃=/,即角C=],

所以△力8c的面积S=—xax/?=—xx1=.

222

故选：C

【央例2](2026高一下•全国•专题练习)己知△力的内角为力，B,C满足

sin(5+C-J)+sin(J+C-5)+sin(J5-C)=-,MLABC的面积为2,则△44C外接圆面积等于

【答案】8兀

【分析】根据题意，利用恒等变形得sin(8+C-4)+sin(/+C-8)+sin(4+8-C)=4sin力sin8sinC=；,

再结合S△的=g(2R)2sinJsin8sinC即可求解.

[详解]sin(8+C-/)+sin(/+C-8)+sin(4+8-C)=sin2J+sin28+sin2C

10/40

=2sinJcosJ+2sin(5+C)cos(i5-C)=2sin/[一cos(8+C)+cos(8—C)]

=2sinJ(-cos5cosC+sin8sinC+cosBcosC+sin5sinC)

=4sin/sinBsinC=-,

2

二.siiv)sin^sinC=—,

8

...S&BC=g48SinC=i(2/e)2sin4sinj?sinC*=2,解得R2=3,

从而有^ABC外接圆面积等于87t.

故答案为：8兀.

【变式1】(2026高一•全国・专题练习)设△NBC的内角4,B,。所对的边分别为。，b,c,记其面积

49q

为S、周长为Z.,------=a2cosBhabeasA,b=3,则：的最大值为.

tanBL---------

【答案】巫

4

【分析】先由面积公式及正弦定理推出cos8=g,再结合余弦定理和基本不等式得到。+c46,最后将面积

比1转化为关于a+c的函数，通过放缩求出最大值.

4s,4x；"sin8

［洋解］由----=a'cosB+abccs/i,可得---=r-----=a'cosB+abcosA,

tan8sin8

cos8

整理得?accosB=a~cosB+abcosA,即2ccosB=acosB+bcosA,

由正弦定理可得2sinCeos8=sin,4cos8+sin8cos4,即2sinCcosB=sin(^+B),

又sin(4+8)=sinC,所以2cos6=1,解得cos8=；,又8«0,兀)所以8=g,sinB=^,

所以/J?=a2+c2-2«ccosB=a~+c2-ac,即a2+c2=b2+ac»

所以(a+c)'=a2+c2+lac=b2+ac+2ac=9+3ac,

因为ac4；(a+c)-,所以(4+c『《9+((a+c『，所以a+c«6,

因为S=—acsin5=-ac=—x-|"(a+cX-9"|,

2443Lv7J

于是有鼠*=在^立叵

La+c+312Q+C+312v712v74

当且仅当。=〃=c=3时上式取等.

11/40

即金的最大值为

L4

故答案为：走.

4

【变式2】（2026高一•全国•专题练习）已知△ABC的外接圆半径为/?,角力，B,。所对的边分别为

32

b,c,若osin8cosc+-csinC=—,则△/8c面积的最大值是.

2R------------

【答案】巫

5

2

【分析】根据题意利用正弦定理可得2"COSC+3/=8,结合余弦定理可得/+/=8-2-0<c<4,再

根据面积公式可得又.=；/。&-（8-3。2『,结合基本不等式运算求解即可.

32

【详解】因为“sin8cosc+］CsinC=—,UP2a（2Rsin8）cosC+3c（2RsinC）=8,

通过正弦定理化角为边可得2"cosC+3c2=8,又/=Q2+〃-2"COSC,

所以〃2+〃2一/+.,2=x,即〃2+力2=*_2炉>0,可得Ovd2V4,

8-3c2

由labcosC+3c2=8m得cosC=-----,

lab

且Cw（O㈤，则sinC=Vi^¥J—［廿］：丘/一（8-3。2）,

丫I,lab）lab

可得△48C面枳$二—：―先）=：/4//_（8-3。2）2

•I.,2\2•,-------------------------

川4^^-0速—2cANF

=V(16")=；出5c2(16一5c2)

一4丫545

f2.22上

当且仅当u<2,即｛o5时

,等号成立,

[5c-=16-5c~12=8

1=5

所以△48C面积的最大值是区5.

5

故答案为：巫

5

3题型四正余弦定理解三角形综合

12/40

答I题I模I板

1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式。余弦定理将边

与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角。

2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组。

3、多解判断：已知两边及对角时\用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解。

【典例1】（2026高一•全国专题练习）在中，为AC上的中线，AB=\,AD=5,4BC=45。,

MsinZ/1Z）C=,AC=.

【答案】也VlB

10

【分析】由已知在△月4。中，利用正弦定理可得sin/月。4,进而可求sinN/OC的值，在△48。中，由余

弦定理解得80,可求BC,由余弦定理可得力。的值.

【详解】因为43=1,力。=5,AABC=45°,所以在△45。中，

由正弦定理可得：sin/ADB二力§.si1145c二旦,

AD10

所以sinZ.ADC=sinZADB=—.

10

因为在△月8。中，由余弦定理，AD2=AB2+BD1-2ABBD-cosZABC,

/V

可得：25=l+5D2-2xlx5Dx^y,即：8。？一&8。一24二0，

所以解得：BD=46或-36（舍去），

所以4C=2BD=8直，由余弦定理可得：AC=VAB2+BC2-2ABBC-cosZABC，

=A1+128-2x1x872X—=VH3.

V2

故答案为：①普;②Jill.

【典例2】（25-26高一上•黑龙江哈尔滨・期末）ZU8C所对的三边为〃力,°4+°2=4/,则驾鸟的最

sin8sme

小值.

【答案】空/Wb

77

【分析】利用三角形的内角关系，结合正弦定理、余弦定理及已知条件对等式进行化简变形，再均值不等

式得出cos/值域，构造函数利用函数单调性求最小值.

【详解】•/5+C=n-J,

./n.，乜sin（8+C）sinA

...sin（8+C=sm4,故：,J=.八.二,

sinZ?sinCsin〃sinC

13/40

由正弦定理得一j二—二二一£；；=2/?,

sinAsinBsinC

.,a.门b.「csinA2/?2aR

.*.sinA=——,sinB=——,smC=——,：-7------------------—--------

2R2R2Rsin5sinCbebe

~1R"2R

由余弦定理得cosA=b+c——,乂•••b2+c2=4a2,

2bc

3a23/

/.cosAA=------故be=-----------,

2bc2cos4

sinA2aR2aR4^cosA2cos/2

sin8sinCbe36r3(2/?sinJ)3sinA3tanA，

2cos/

bc=A—

•・•b2+c2>2bc，b2+c2=4a2

2cos/I

3

cosJ>-(/4e(O,7i),cosJ<1),

1t在fcjl)上单调递增,

令/=COS4,tG-JL则

tanA71-/2，

3

3i1377

.1.'It=：时，取得最小值，最小值为

tanA

4tanJmin

sinA212377277

=■1

<sin5sinC,min3^tanAmin377

故答案为：血.

7

【变式1】(25・26高一下•全国•课堂例题)在锐角△AB。中，b2-a2=ac,则」------二的取值范围是

tanAtanB

()

A.。,+8)B.C.")

【答案】B

【分析】利用正弦定理将边化为角，结合和差化积及锐角三角形的条件得到6=24,进而求出力的范围,

再通过三角函数的恒等变换化简及函数的单调性求值即可.

【详解】由正弦定理可知,sin2B-sin2A=sinJsinC,

又sin，5-sin2/I=sin25-sin25sin2/I+sin2Bsin2J-sin2A

=sin?^(1-sin?J)-sin?-sin2=sin?Acos,/4-sin2Jcos2B

14/40

=(sinZJcosJ+sinJcos^)(sin4cos/一sin/IcosZ?)=sin(5+J)sin(Z?-J),

所以sin(5+J)sin(5-J)=sinAsinC.

y,A+n+C=it,所以sin(B+4)=sin(7i—C)=sinC,

又0<C<],所以sinCwO,所以.sin(8-4)=sin4.

因为△48C是锐角三角形，所以-

所以8-4=4，即3=2月.

0<A<-

2

乂△48。是锐角三角形，所以0<B=2A<-

2

0<C=n-3A<-

2

nit

所以4e,贝I]tanAG

11-tan2A\+tan2AtanA+―!—

所以

tanJtanBtanAtan2JtanA2tanA2tanA2tanA

又丫=乂+：在（0/）上.单调递减，所以tan/+1

tanA

11人11J261

所以-----------=-tanJ+--------G1,------.

tanAtan52(tanA)3,

故选：B.

【变式2】(2026•河南南阳•模拟预测)已知的内角河南神的对边分别为。，Ac,若

———F---=VJ,sinJ+sinC=，则"二()

sinBtanS2ac

A.6B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先对工+」=百进行化简，求出角,再利用正弦定理将

8sinJ+sinC=转化为边的

sinBtanB

关系，最后结合余弦定理求出—的值.

ac

•11/T/口1cos8FTan1+cosBfr

【佯解】由-T—T+------=v3,得T—^+―T=V3,即———-=v3,

sinBtanBsinBsinBsinB

BBB

因为l+cos8=2COS2—,sin5=2sin—cos—,

222

15/40

2BB

02cos—cos—

所以-,即一去=J5化简得tan0=3,

2sin—cos—sin—23

222

0<一

因为0＜6＜兀，所以

22

B=-

J263

由正弦定理可得sin/=9，sinC=W(R为ZUAC外接圆半径)，

2A2A

所以sinJ+sinC=-^―+»即a+c.=2^,所以a-¥c=>/6R;

2R2R22R2

因为8=g,cosg=J,根据余弦定理得h2=a-+c2-ac=(a+c)2-3ac,

a+c=娓R，可得(a+c)2=6Rl,

又因为一-—=27?,sinB=sin—=—，所以h=43R，则b~=3/?2,

sin832

将b2=3R2和(q+c>=6*代入b2=(a+c)2-3ac中，可得3R?=6代-3〃c,

移项可得3ac=32,即ac=R\所以—=^=3.

acR2

故选：C.

秀题型五正余弦定理判定三角形形状

看「靠「痂席

将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。

1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式，尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数，

尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。

2、根据化简结果判断：

（1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。

（2）若。2+块=。2,则乙。=90°（勾股定理逆定理）。

（3）若02+82〉。2,则NC＜90°（锐角）。

（4）若。2+炉＜。2,则z）＞90。（钝角）。

[典例1]（25-26高一上•全国•课后作业）若LABC的三个内角。满足cos24-cos28=2sin2C,则A45C

是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.锐角三角形

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【答案】A

【分析】利用二倍角公式将已知等式化为sirs-sii?/=sin2C,然后利用正弦定理边角互化得知-〃2=。2,

进而求得6=|,即可判断.

【详解】利用二倍角公式将已知等式化为l-2sin24-0-2sin23）=2sin3-2sin2/=2sin2c,

即$而8—sin2[=sin2C，由正弦定理得/—/=/,即/+/=〃，所以8=T，

所以△48C是直角三角形.

故选:A.

【典例2】（多选）（25-26高一下•陕西西安•月考）已知△力8c的内角4民。的对边分别为。也c,则能判

定△力8c一定是等腰三角形的为（）

,A

A.acosB=bcosAB.cos^cosC=sin2—

2

C.a-b=c（cosH-cosA）D.sin~^+siirB=2sinJsin5sinC

【答案】ABD

【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可.

【详解】对A,由正弦定理将acos8=bcos/边化角得sin/JcosB=sin8cos力，

即sin（彳-8）=0=4=8,所以△力8c为等腰三角形；

对B,因为cos/=cos^Jt-(5+C)J=-cos(B+C),

所以2sin2g=1-cosJ=1+cos(8+C)=1+cosBcosC-sin5sinC,

所以2cos8cosc=1+cos5cosC-sin5sinC,整理得cos(8-C)=1,

又瓦Cc(O,7r),所以4-。=0,即B=C,所以△/!&?为等腰三角形；

对C»a-b=c(cosB-cosA)=>sinJ-sini?=sinCcos3-sinCcosA,

所以sin(8+C)-sin(/+C)=sinCcos5-sinCcos4,整理得cosC(sin5-sin4)=0,

所以C=5或sin8=sinAnZ)=〃，即△48c是直角三角形或等按三角形；

22

对D,sinJ+sinB=2sin>1sin8sinC=>2sinC=+>2,

sinBsinA

当且仅当鼻=当，即/=3=£时等号成立，又sinCWl,所以只能sinC=l成立，

sinBsinA4

此时△力8C为等腰三角形.

【变式1](多选)(25・26高一下•全国•月考)在△/8C中,若(a-eos8)siiB=(6-cco,4)sin4,则△/CC

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的形状为()(多选题)

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

【答案】AC

【分析】利用正弦定理及余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状.

【详解】法一：由正弦定理及余弦定理知，

原等式可化为。一。---T----------b=b-c---------a,

IlacJ2bcJ

整理得：(/+〃-c2H=(a2+b2-c2^a2,

a'+b2-c2=0或/=b2,

故三角形为等腰三角形或直角三角形.

法二：由正弦定理，原等式可化为(sinJ-sinCcos8)sin2?=(sin5-sinCcosN)sinJ(sinC>0),

/.sin5cos3=sinJcosJ，sin28=sin2J,

乂A,8w(0,兀)，

...24=2/1或24+24=兀，

二/=8或/+8=£,

2

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

故选:AC.

【变式2】(25-26高一下•全国•课堂例题)在。中，已知

(sin2J+sin25)(«cos5-Z>cos/l)=(sin2/1-sin28)(〃cos8+6cos4),则>ABC的形状为

【答案】等腰或直角三角形

【分析】借助正弦定理与余弦定理可将原等式化简，即可得解.

【详解】由正弦定理及余弦定理可得：

/22・2«22222,，.222

/,\a-+c~-h-,b~+c--a~、(/a~+c~-b-,b-+c--a~、

[a2~+b-2a------------h----------=(--2b-]a-----------+b-----------,

v\lac2bc)aI\lac2bc)

即有(下+⑹.且卢=(/-〃)/化简得⑷切⑷+从«2)=0,

故ai或/+〃=c?,则ZU8C为等腰或直角三角形.