四川省自贡市2026年中考数学试题（含答案）

四川省自贡市2026年中考数学真题

一、单选题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

L如具无人机上升60m记作+60m,那么下降80m记作（）

A.+80mB.-60mC.+20mD.-80m

2.2026年春节期间,自贡市江姐故里、玉章故里等红色旅游景区接待游客约95700人次.将95700用科学

记数法表示为（）

A.0.957x104B.9.57x104C.9.57X105D.95.7x103

3.下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（）

4.自贡灯会素有“天下第一灯”的美誉.下面四幅灯组图案中，属于轴对称图形的是（）

C.

5.下列说法正确的是（）

A.了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查

B.“经过两点有且只有一条直线”是必然事件

C.任意一组数据的众数都只有一个

D.甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S*=4,S；=3,说明甲的跳高成绩比乙的跳高成绩更稳定

6.科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：而）存在函数关系.下表是

他们实验的几组数据：

S（单位:m2）1248

p（单位:Pa）8（）402010

则压强p（Pa）与受力而积S（m，）之间的函数关系式是（）

A.p.B.p=80SC.p=D.p=1

7.如图，RsOAB中，ZB=30°,OA=2,AB平行于x轴，将RMOAB绕原点O顺时针旋转180。到

△OCD位置，CD交y轴于点P,则点B的坐标为（）

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8.我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理.如

图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作Si,正方形ABCD的面积记作S?,则Si,S2与S3的关系是（）

DC

A.S]+S?VS3B.S।+512=S3C.S।+S?>S3D.2sl+S?=S3

9.如图，在。ABCD中，AB=8,AD=6,ZD=60°,/DAB与NABC的角平分线分别交CD于点E,

F,AE与BF相交于点P,连接CP,贝UsinNPCF的值为（）

A.2-A/3B.李C.空D-I

10.如图1,在四边形ABCD中，AB〃CD,NABC=90。，点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿

DTATB—C匀速运动，到达点C后停止运动；同时点Q从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿DTC

匀速运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动，过点P作PF同CD于点F.设运动时间为秒，PF+DQ=y,

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

11.分解因式：九2_9=.

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12.正五边形ABCDE与等腰RSCDF按如图摆放，则NBCF='

13.每天适量饮水有利于身体健康.生活老师想了解全班学生饮水情况，随机抽取该班5名学生进行调查，他

们每天的饮水量分别为：1,1.5,1.2,2.2,2（单位：L）.这纽数据的中位数为.

14.“剪纸”是自贡“小三绝”之一.学校劳动实践课上，要求用半径为2dm的圆形纸片剪出如图所示的图案,

其内部4个小圆的半径都为1dm,剪去空白部分，则剩下部分面积为dm?

15.如图，正方形ABCD中，点E为CD的中点，作乙阳r=45°,交AD于点F.点G,H分别在等腰

RSDFQ的直角边DQ和斜边FQ上，且GQ=与DH交于点P.连接BP,若AF=2,则BP的最小

值为1

三、解答题（共9题，共90分）

16.计算：|一1|+6访60°-九）°一海.

解不等式组：｛篇:）:隈

18.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别为边AD,BC上的点，且DE=BF,连接AF,CE.求证:

AF=CE.

19.为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛.从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类

中，通过投票选出最受欢迎的项目.投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：

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请根据以上信息，完成下列问题:

(1)本次投票共人参与，其中“乒乓球”所占百分比为,并补全条形统计图;

(2)某班最喜欢兵乓球且又具实力的有4名同学(两男两女)，从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用

列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率.

20.在七年级校园足球赛中，每班球队要进行15场比赛.每场比赛结果分为胜、平、负，胜1场积3分，平

1场积1分，负1场积0分.

(1)1班负了3场，总积分为20分，求1班胜了多少场?

(2)2班总积分为15分，请直接写出2班比赛胜、平、负场数可能的结果(写出两种情况即可).

21.如图，反比例函数为二f与一次函数丫2=%+"的图象相交于A，B两点，点A的坐标为(-6,-3).

(1)求反比例函数的解析式及n的值;

(2)请直接写出当力＞为时》的取值范围；

(3)点P是直线=%+几上的一个动点，当OP~LAB时，求点P的坐标.

22.如图1,等边△ABC内接于。O,D为BC中点，连接OD并延长交。0于点E,作EM||8C.

图1图2

(1)求证：EM是。0的切线.

(2)如图2,点F为射线EM上的动点，连接FB并延长与。0的优弧BAC交于点P(与点B,C不重

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合），连接PA,PC.

①在点P运动过程中，请探究线段PA,PD,PC的数量关系并说明理由；

②连接CE,若48=28，当点P到CE的距离最大时，请直接写出维学的值.

CD

23.在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度.要求在操场里利用现有工具皮

尺、测角仪（高度1.5m）和笔直的竹竿（长度2m）进行测量.

（1）小刚建议这样测量：如图1,线段AC表示所要测量的大树，在操场上F点处蹲下，眼睛视线沿着

竹竿DE（长度2m）顶部E恰好看到树顶端A,此时竖直竹竿DE与小刚FG的水平距离DF=2m.小刚将观测

点F后移13m到F处，采用同样方法，测得DF=3m.小刚眼晴电离地面的高度FG=FG，=0.8m,点F,D；

F,D与树的底部C在同一水平线上.据此可知点E到BG的距离EH为m,图中两组相似三角形

是,请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到

（2）小明提出可以这样改进：如图2,在点F处安置测角仪（高度1.5m）测得树顶端A的仰角NAGB

=26.7,前行到点E处测得树顶端A的仰角乙408=45。,点E,F与树的底部C在同一水平线上，量得

EF=16m.请按此方案求树的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据sin26.7°«0.45,cos26.7°«0.89,tan26.7°«

0.50）

（3）两种方法算出树的高度一致吗?如果不一致，请分析原因（写出一条即可）.

24.平面直角坐标系中，抛物线y=—//+小工+/经过（0,6）和（2,4）两点.

(1)求m,n的值.

（2）如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A,B,C,D（点A在第三象限，点C在第二象限）.

①求线段OC长度的最小值；

②连接AC,BD分别交x轴于E,F两点，设的面积分别为S2,是否存在直线AB使Sx=

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2s2?若存在，求出直线AB的解析式；若不存在，请说明理由.

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答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：无人机上升60?n记作+60m,那么下降807n记作一80m.

故答案为：D.

【分析】上升为正数，则下降为负数，据此解答即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解:95700用科学记数法表示为9.57x10匕

故答案为：B.

【分析】科学记数法的表现形式为ax10八的形式，其中1工同＜10,〃为整数，确定〃的值时，要看把原

数变成。时.，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，〃

是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：对于选项A（正方体）：从正面、左面、上面看都是正方形，图形都相同，符合题意；

对于选项B（三棱柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是三角形，图形不同，不符合题意；

对于选项C（圆锥）：从正面和左面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），图形不同，不符合题意；

对于选项D（圆柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，图形不同，不符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据主视图，左视图，俯视图是从正面，左面，上面看到的几何体的平面图形解答即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：A.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C.该图形能找到一条竖直的对称轴，沿对称轴折叠后左右两部分能完全重合，是轴对称图形，故本选项符合

题意；

D.该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫

做轴对称图形”逐项判断即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：A、全国中学生数量庞大，全面调查难度大，应采用抽样调查，故A错误；

B、“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，该事件一定发生，属于必然事件，故B正确；

C、一组数据的众数可以有多个.例如数据11,2,2,3的众数为1和2.故C错误：

D、方差越小，成绩越稳定，针甲〉片乙,故乙的跳高成绩比甲更稳定，D错误.

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故答案为：B.

【分析】根据调查的分类、事件的分类、众数的定义以及方差的意义逐项判断解答即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：•••根据表格数据计算得：1x80=80,2x40=80,4x20=80,8x10=80,

・•・压力一定时.，压强p与受力面积S成反比例关系，可设p=《(kH0)，

pS=k=80,

・80

・・p=y

故答案为：C.

【分析】根据表格中数据得到〃与S为反比例函数关系，求出函数解析式即可.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：在RHA08中，=30°,LAOB=90°,

:.乙4=60°,

由旋转的性质得，/-COD=90°,ZD=30°,zC=60°,OC=2.CD||工轴，

•••CD1OP,

zC0P=90o-60°=30°,

Rt△OCP中，OP=05sin60°=VL

••・P在y轴的负半轴，

P的坐标为(0,-百).

故答案为：A.

【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到NA=60。，根据旋转的性质可得NCOP=30。然后根据正弦的定义

求出OP长，即可得到点P的坐标解答即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，

根据题意可知，^-AED=Z.DFC=90°,

•・•四边形A8CD是正方形，

：,AD=CD,/ADC=90°.

'：Z-ADE+乙CDF=乙CDF+乙DCF=90°,

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：./-ADE=乙DCF,

在△ADE和△OCF中，

LADE=乙DCF

^AED=乙DFC,

AD=CD

：.^ADE=△DCF(AAS),

:・DE=CF,

在R£MOE中，AE2+DE2=AD2,

2222

,:S*=AE^S2=CF=DE,S3=AD,

••S\+S2=S3.

故答案为：B.

【分析】根据正方形的定义，利用AAS得到△/1/)£1三ADCF,根据对应边相等得到DE=C凡然后根据勾股

定理得到结论即可.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：在瓦48CD中，ZD=60°,ABIICD,则/8A0=120。，Z.ABC=60°,

•••4E平分4840,

•••/-DAE=LBAE=^Z-BAD=60%

在团48CD中，AB||CD,Wi^DEA=Z.BAE=60°,DC=AB=8,

在△ADE中，ZD=Z.DAE=AAED=60°,则△/1/)£1是等边三角形，

AE=DE=AD=6,贝ijEC=DC-DE=8—6=2,

•••B9平分

AZ-ABV=乙CBF=^ABC=30%

在44BP中，^PAB=60°,4PBA=30°,则4APB=90°,

.•.在/?£△”*,AABP=30°,AB=8,则P4=]AB=鼻8=4,

.-.PE=AE-AP=6-4=2,

•••PE=CE=2,则4PCE=乙CPE,

•••4PEF是的一个外角，且4PEF=60°,

•••乙PCF=^^PEF=30%

•••sin乙PCF=sin300=天

故答案为：D.

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到NDEA=NBAE=60。，即可得到△AOE是等边三角

形，进而可得AE=OE=4O=6,然后根据30。的直角三角形性质求出PE=CE=2,再根据等腰三角形的

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性质和外角性质得到乙PCF=30。，然后根据正弦的定义解答即可.

10.t答案】C

【解析】【解答】解：过4作｛于H,如图所示，

'/AB||CD,

工乙B4乙C=180°,

•・"B=90°,

・"C=90°

*：AHLDC

：.Z.AHC=90°

・••四边形AHC8为矩形,

：.AH=BC,AB=HC,

当P在D4上运动时，

":PF1CD,

：.PF\\AH,

：.ADPFADAH,

.PF_DP_DF

••而一而一而‘

由题设DP=2x,则OQ=x,

AH

-2x»

AD

・・・y=PF+OQ=(^+l)X,

由函数图象可知，当

x=1时，y=亏，

・2/lH,113»nAH4

,•而+1=3■'即而=『

当P到达4点后，P在48上运动时，PF恒等于高4H,此时y=4H+x,

由函数图象可知，当无=4时y=8,

・"H+4=8,即4〃=4,

：.AH=BC=4,

把力”一代入碧"中得焉内,

解得4D=5；

・••在R1ZL4DH中，DH=y/AD2-AH2=V52-42=3»

当点P开始沿3c运动，此时PF=4-（2x-AD-AB）=4-2x-5-AB=9-2xAB,

,•y=PF+DQ=9-2x+AB+x=9-x-^-AB,

代入％=7时y=9,得9-7+=9,

：.AB=7,

:・CD=48+3=7+3=10.

故答案为：C.

【分析】过A作力〃_LOC于"，即可得到四边形AUC8为矩形，然后根据平行线得到4DPF•〜4DAH,根据对

应边成比例求出PF,OQ的长，根据PF+DQ=y得到关系式，然后根据函数图象得到4D,AH,DH长,再根

据沿BC运动时的函数图象得到4B长，利用线段的和差解答即可.

11.【答案】（n-3）（n+3）

【解析】【解答】解:M-9=（九+3）（九一3）,

故答案为：（九一3）（九+3）.

【分析】利用平方差公式计算求解即可。

12.【答案】63

【解析】【解答】解：•・•五边形ABCDE为正五边形，

工乙BCD=（5-2）x180°+5=108°,

•・•△CDF是等腰宜角三角形且々CFO=90°,

：・CF=DF,Z.CFD=90°,

:.乙FCD=乙FDC=1（180°-乙CFD）=45°,

:•乙BCF=乙BCD-乙FCD=63°.

故答案为：63.

【分析】根据正多边形的性质求出28co=108。，然后利用等边对等角和三角形内角和求出ZFCO=45。，然

后根据角的和差解答即可.

13.【答案】1.5

【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序为：1,1.2,1.5,2,2.2,

本组数据共有5个，个数为奇数，中位数为排序后第3个数，即1.5.

故答案为：15

【分析】将数据从小到大排列，居于中间的一个数是中位数，据此解答即可.

14.【答案】（4〃-8）

【解析】【解答】解：根据题意，半径为R=2dm的圆形纸片的面积为47rmm2）.内部4个小圆的半径都为

r=1dm,则内部4个小圆的面积为4兀（4血2）,

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如图所示,

根据剪纸中折叠的性质得到，ACLBD,垂足为点0,四边形ABC0是正方形，过点。作OEJL48于点E,圆

心为点E,

*.AB=2r=2dm,则AE=OE=1dm,

22S2

:、S扇形AOB=*V=\ndrn-,StA0B=-OF=1x2x1=1dm,JE^ABCD=2=4个空白半

圆的面积为4xi/rxl2=2zr(dm2)>

・••大圆内不规则的阴影部分的面积为：4n-4-2n=2n-4(dm2),

.♦.在0E中，弓形。4。8的面积为S应心os-SAAOB=/兀一I®%?),

同理，大圆内4个花瓣的面积和为4x-1)=271—4(dm2),

・•・阴影部分的面积为2兀一4+(2兀-4)=4九一8(山浓)，即剪去空白部分，则剩下部分面积为4兀一

8(dm2).

故答案为：(4〃-8).

2

【分析】分别求出S励图08=*兀dm"ShA0B=ldm,S正方形ABCD=4,4个空白半圆的面积为2〃(由n?),然

后求出阴影部分面积即可.

15.【答案】4炳-2五

【解析】【解答】解：•・•四边形力BCD是正方形，设边长为a,

：.AB=BC=CD=AD=a/ABC=乙BCD=Z.CDA=乙DAB=90°,

,・•点E为CD的中点,

•'-DE=CE=Q,

VAF=2,AD=a,且△DFQ是等腰直角三角形，

：.DF=DQ=AD-AF=a-2,Z-DFQ=乙DQF=45°

.:乙EBF=45°,

"CBE+乙ABF=乙ABC-乙EBF=90°-45°=45°,

如图所示，将AARF绕点R顺时针旋转90°得到八CRK.点、K在DC的延长线上，

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:,AABF»CBK,

：.BF=BK,AF=CK/ABF=(CBK,则zTBK+Z.CBE=乙ABF+乙CBE=45。=乙EBF,且BE=BE,

：.△EBF三△EBK(SAS),

:.EF=EK=EC+CK=EC+AF=^a+2,

在RtADEF中,EF2=DF2+DE2,

,1212

••,(2。+2)=(/)+(Q-2)2，

整理得，Q2-6Q=0,

解得,fli=6,a2=0(舍去)，

：.AB=BC=CD=AD=6,

:.DF=DQ=6-2=4,DE=3,

:.FQ=yflDF=4®

:,器3'

•；GQ=&FH,

.GQ_立

•,西-V/'

.••然=且乙。/“=乙FQG=45°,

Urrn

：*DFH〜△/QG,

：.Z-FDH=^QFG,

PDF］】，Z,DPF=180°-QPDF+乙PFD),

*：^PFD=Z-QFD-Z-QFG=45°-乙QFG=45°-乙FDH,

:,乙PDF4-乙PFD=乙FDH+45°-4FDH=45°,

:•乙DPF=180°-45°=135°,

・••点P在以DF为弦，含135°圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为6，半径为R，

:圆周角/Q。'"=2x(1R0°-nS°)=90°,DF=4,

小DO'F是等腰直角三角形，

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DF

:.R=O'D=2x/2,

如图，建立平面直角坐标系，以8为原点，8c所在直线为x轴，8A所在直线为y轴,

・•・B(0,0),4(0,6),D(6,6),“2,6),

•IOF在直线y=6上，且尸在正方形内部(y<6),

...圆心。'在。尸的上方，且0,到DF的距离为2,

・・・O尸的中点坐标为/(4,6),

・•・圆心。’的坐标为(4,8),连接B。'，交圆弧于点P,此时BP取得最小值8。=J(4—0)2+(8—0尸二

V164-64=A/80=4\/5»

,BPmin=B0,一R=4而一26.

故答案为：4\/5-2y/2.

【分析】设边长为Q,将△力8尸绕点B顺时针旋转90°得到ACBK,点、K在DC的延长线上，根据正

方形的性质可得Er=EK=；a+2.根据勾股定理求出a的值，然后根据两边成比例且夹角相等得到^

DFH八FQG,即可得到"DH="FG,进而得到点P在以DF为弦，含135°圆周角的圆弧上运动，

设该圆圆心为0'，半径为R，求出「的值，以B为原点，BC所在直线为第轴，84所在直线为y轴建立平面直角

坐标系，再根据两点间距离公式计算即可.

16.【答案】解：原式二|一1|+(sin60°—兀)°一〃

=1+1-2

=0.

【解析】【分析】先运算绝对值、零次索和算术平方根，然后加减解答即可.

17.【答案】解：“<：+2%，，

13(%+1)>6②,

解不等式①得xv2.

解不等式②，3(x+l)>6,

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3x+3>6,

3x>3,

解得疮1,

・•・不等式组的解集为l<x<2.

【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不

到（无解）“求出不等式组的解集即可.

18.【答案】证明：♦・•四边形ABCD是矩形，

/.AD=BC,AD//BC,

VDE=BF,

.\AD-DE=BC-BF

AAE=CF

点E,F分别为边AD,BC上的点，

，AE〃CF

，四边形AFCE是平行四边形，

AAF=CE.

【解析】【分析】根据矩形的性质可得4。=8C,AD||BC,然后根据线段的和差得到AE=CA即可得到四

边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等证明即可.

（2）解：用列表法或画树状图法表示所有等可能结果如下，分别用男1,男2,女1,女2表示,

开始

男I男2女1女2

男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1

・•・共有12种等可能结果,其中“一男一女”的结果有8种,

・••所抽取的两人为“一男一女”的概率=1

【解析】【解答】解：（1）羽毛球有150人，占比为30%,

•••150+30%=500,

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・•・本次投票共有500人，

・•・“乒乓球”有500-150-60-90=200(人)，

・♦,“乒乓球”所占百分比为黑X100%=40%,

JUU

故答案为:500；40%；

【分析】(1)根据羽毛球的人数除以占比求出考查人数，根据考查人数减去其他球类比赛人数得到“乒乓球”

的人数，求出占比并补全条形统计图；

(2)运用树状图法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.

20.【答案】(1)解：设1班胜了x场，

二•一共15场比赛，负了3场，

・・・平的场数为15-3-x=(12-x)场，

根据总积分为20分列方程：3x+lx(12-x)=20,

化简得2x=8,

解得x=4,

答：1班胜了4场；

(2)解：设2班胜x场，平y场(x,y为非负整数，且x+y<15),

•・•总积分为15分，

3x+y=15,即y=I5-3x

取非负整数解即可:

①X=0,y=15,则15-0-15=0；即负()场，即胜0平15负0；

X即胜平负；

@=lfy=12,则负场15-1-12=2,1122

③x=2,y=9,则负场15-2-9=4,即胜2平9负4；

@X=3,y=6,则负场15-3-0=6,即胜3平0负0：

⑤x=4,y=3,则负场15-4-3=8,即胜4平3负8：

⑥x=5,y=0,则负场15-5-0=10,即胜5平。负10(任选两种写出即可).

【解析】【分析】(1)设1班胜了工场，则平(12-x)场，再根据“总积分为2()分，”列一元一次方程，求解得到

胜场数即可;

(2)设2班胜x场，平y场，根据“总积分为15分”列二元一次方程，列举出所有符合条件的非负整数解解答

即可.

21.【答案】⑴解：•・•反比例函数y1=与经过点A(-6,-3),

•••m=-6x(-3)=18,

・••反比例函数的解析式为％=与

4人

第16页

:一次函数.为=工+九的图象经过点A(-6,-3),

-3=-6+n>角翠得n=3

(2)xv-0或Ovxv3

(3)解：设直线丫2=%+3与坐标轴的交点分别为C和D,

•••。(-3,0),C(0,3),

0C=0D=3

.•.△OCD是等腰直角三角形，

VOP1AB,

，点P是CD的中点，

/33

(-

・••点P的坐标为\-2-2

【解析】【解答】(2)由(1)知一次函数的解析式为y2=x+3,

联立得翠二丫+3,

解得x=-0或x=3,

・••点B的坐标为(3,6),

・•・当>4>为时x的取值范围为x<-0或0<x<3；

故答案为：x<-0或0<x<3；

【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式；

(2)联立一次函数和反比例函数的解析式求得交点B的坐标，借助函数图象得到反比例函数图象在一函数

图象上方时自变量x的取值范围即可；

(3)设直线、2=%+3与坐标轴的交点分别为C和D,求出点C和D的坐标，得到△OCD是等腰直角三角

形，根据中点坐标公式求出点P的坐标即可.

22.【答案】(1)证明：・・・D为BC中点，E在0D的延长线上，

A0E1BC,

/.EM//BC,

：OE1EM,

第17页

TOE是。0的切线

(2)解：①PC=PA+PB或PC=PB-PA,理由如下：

当点P在AB上时，如图，在PC上取点T使得，PT=PA,

VAABC是等边三角形，

・•・ZABC=ZACB=60°,AB二AC,

•••AC=AC,

AZAPC=ZABC=60°,

・•・△APT是等边三角形，

AAT=AP,ZPTA=60°,

.\ZATC=120°,

•・•四边形APBC是。O的内接四边形，

.,.ZAPB+ZACB=180°,

.\ZAPB=120°,

AZAPB=ZATC,

XVAP=AP,

.\ZABP=ZACT,

・•・△ABP^AACT(AAS),

APB=TC,

.*.PC=PT+TC=PA+PB；即POPA+PB,

当点P在AC上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=PA,

同理可得/APR=ZACR=60。，

•・•四边形APBC是。O的内接四边形,

第18页

••・NAPB+NACB=]80°,

ZAPD=120°,

・•・ZAPS=60°,

/.△APS是等边三角形,

.\ZS=ZAPB,

XVAB=AC,ZABP=ZACP,

・•・△SAC注△PAB(AAS),

/.PB=SC=PC+PS=PC+PA，即PC二PB-P

②6-1.

【解析】【解答】解:（2）②•・•点P在优弧BAC上,

・•・当点P到CE的距离最大时，PO_LCE,如图所示，设PO,CE的交点为M,连接OC,OB,

AB=2v5,

BC=AB=2>/3,/-BAC=60°,

.\ZBOC=2ZBAC=120°,

VOE1BC,

DC=/8C=V5/EOC=JLBOC=60。,

XVOE=OC,

・••△OCE是等边三角形,

1

•••Z.OCD=5乙OCE=30°,

1._______

•••OD=^OC,DC=y/OC2-OD2=百00,

.\OD=1,则OC=2,EC=OC=2,

VOMIEC,CD1OE,

OM=CD=sin60°x2二百,

1

•••CM=5EC=1,

PM=OP+0M=2+风,

第19页

在RtAPCM中，PC=y/PM2+CM2=J（2+V3）2

+l2=V24-V6,

VZBOC=120°,OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB=30°,

r.ZOBC=ZBCE=30°,

AOB//EC,

VPO1EC,

/.PO1OB,

XVOB=OP,

...LPBO=乙BPO=45°,PB=y/2PO=2V2,

由(1)可得P在AB上，POPA+PB,

P/l=PC-PF=V2+V6-2V2=V6-V2,

如图，过点P,B分别作BC,EF的垂线，垂足分别为G,H,则四边形BHED是矩形，BH=DE=OE-OD

=2-1=1,

OP=OC,

WPC=乙BPC-乙BPO=60°-45°=15°,

•••乙PCE=90°-WPC=75°,

•••乙PCB=乙PCE-乙BCE=75°-30°=45°,

<2

PG=PCsin乙PCB=?xPC=1+百，二sin乙PBGPG1+/3x/2+x/6

乙PB~2/24

VBCZZME,

AZBFH=ZPBG,

BH1

•Qf7______________—____________=V6—V2,

.〃「sin/PBG一丘+通

4

PA+BFA/6-A/2+A/6->/2

PB2/2

故答案为：V3—1.

【分析】(1)根据垂径定理的推论可得。再利用EM||8c即可得到OEJ.EM,证明结论即可;

第20页

（2）分情况讨论，当点P在演上时，在PC上取点T使得，PT=PA,根据等边三角形的性质，即可得到

△APT足等边二角形，利用AAS得到△43P三△ACT,得出P〃=TC,进而根据线段的和差得出结论；当点

P在4C上时，在CP的延长线上取PS=P4,先根据等边三角形的性质得到△APS是等边三角形，进而根据

AAS得到△SAC=△PAB,进而根据线段的和差得到结论；

②得出当点尸到CE的距离最大时，POLCE,设PO,CE的交点为M,连接OC,0B,解直角三角形求出P4

长，过点P,B分别作BC,EF的垂线，垂足分别为G,H,则四边形BHED是矩形，再解直角三角形求出

BF,P8的长，然后代入求出比值解答即可.

23.【答案】（1）解：1.2m：△GHE^AGBA和△GHES/\GBA

由题意可得，EH=E'H'=1.2m,GH=FD=2m,GH=FD=3m，GG=FF=13m，则G'8=G8+

13.

第一次测量：&GHEfGBA,

EHGH1.22

AAB=GHf即Rn而=循

第二次测量:AG'H'E'-AG'BA,

EH_GHBII1.2_3

A~AB=1AB=GB+13f

uu

•.•磊=温记解得G8=26,

•,贵=余解得48=156

・,•此树的高度为AB+BC=AB+FG=15.6+0.8=16.4m.

（2）解：由题意可得，FG=1.5m,ZAGB=20.7,ZADB=45°,GD=EF=10m,

在RtAABD中,ZADB=45°,

・••△ABD为等腰直角三角形，ZABD=90",

AAB=BD

在RtAABG中，tan乙4GB=第，即tan26.7°=

buUD-TDD

tan26.7°«0.50,

Ax0.50,解得ABR6,

lO-r/lD

・•・此树的高度为AB+BC=AB+FG=16+1.5=17.5m.

（3）不一致.

原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉

偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致

【解析】【解答］（1）解：由题意可得，EH=ED-HD=ED-FG=2-0.8=1.2m,

•••EH||AB,

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.•.图中两组相似三角形是△G”E〜AGBA和SG'H'E'S^G'BA,

心改答案为：1.2m；△GIIEGBA和△G'H'E'G'BA；

【分析】

(1)根据线段的和差得到EH长，然后根据平行线得到△GHE~AGB4和VH'EjG'BA,根据对应边

成比例得到焉=品可求出GB长解答即可.

UDUD-TLD

(2)根据AABD是等腰直角三角形得到48=8。，在AABG中，利用正切的定义求出AB长解答即可.

(3)比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可.

24•【答案】(1)解：•・•抛物线〉=一4%2+7几%+”经过(0,6)和(2,4)两点,

n=6

{1?

2x22+2m4-n=4,

解得?=?；

5=6

⑵①由⑴得{片》

・•・抛物线的解析式为y=-1%2+6,

设C(p,一52_|_6),

令p2=£,0V£<12,

J|t2-5t+36=

A0C=品-10)2+11,

・••当t=io时，线段oc长度的最小值为VT1；

②设4(a,-ia2+6),C(c,-ic2+6),