解题技巧01 巧用二级结论秒解集合问题（解析版）2027年高考数学一轮复习

解题大招01巧用二级结论秒解集合问题

,题型01集合相等拓展性质的应用

题型02利用德摩根定律简化集合运算

-------------------------------/题型03例集相关结论的妙用

巧用二级结论秒解集合问题

-------------------------------.题型04判断集合的子集个数

'(题型05求集合运算中的参数取值范围

题型06利用容斥定理秒解元素个数问题

知识梳理

二级结论01集合相等的拓展性质

若有限数集A=B,则有：

(1)两个集合的所有元素之和相等；

(2)两个集合的所有元素之积相等.

二级结论02一个与补集有关的定律一德摩根定律

德摩根定律：设U为全集，集合A、B是它的两个子集则有：

⑴CU(ACB)=(CUA)D(C〃)(交集的补集等于补集的并集);

⑵(并集的补集等于补集的交集).

二级结论03整数集的相关结论

整数集Z的元素可用〃5EZ)表示;若分成两类，则可用2〃,2〃+1(或2〃,2"-1)5EZ)表示，其中

2〃+1和2〃-1都表示奇数;若分成三类则可用3〃,3〃+1,3〃+2(或3〃,3〃—1,3〃—2)(〃£2)表示，其中

3〃+1和3〃-2表示一类数，3〃+2和3〃-1表示一类数；若分成四类则可用4〃,4〃+1,4〃+2,4〃+3或

4,7,4/2-1,4A?-2,4n-3)(〃£Z)表示……，以此类推.

二级结论04集合的子集个数

1.若集合A中含有，个元素，则有21个子集，有2"-1个非空子集，有2"-1个真子集，有2"-2个

非空真子集.

2.设集合A有〃个元素，集合5有〃，个元素，

(1)若则M的个数是2〃F；

(2)若3qMOA,则M的个数是—

(3)若则”的个数是2f-1；

(4)若8种MA,则M的个数是2"-m一2。

二级结论05集合运算的相互转化

两集合之间的关系与运算可以相互转化:

(\)Ar\B=A<=>A^B；

(2)AUB=4O4=4；

(3)dRA\JB=R<^>B.

(4)瘠A2《「BoAc(78)=0=AqB.

二皴结论06容摩定理——求集合中元素个数的利器

L容斥定理

在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、井、补,

如果用card表示有限集合中元素的个数，即card(A)表示有限集A的元素个数，则有如下结论：

(1)card(AuB)=card(A)+card(B)-card(AAB);

(2)card(AUBuC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AnB)-card(AnC)-card(BnC)+card(AnBnCi.

这一结论被称为容斥定理.

2.容斥定理的两种重要变形

card(A)+card(B)=card(AuB)+card(AAB)

card(AAB)=card(A)+card(B)-card(AUB).

典型解析

A题型01集合相等的拓展性质的应用

若已知有限数集A=B，求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的

对应元素完全相同”这一结论进行分类讨论，求解过程比较冗长繁杂.而巧用集合相等的拓展性质,

则可迅速得到关厂参数的方程(组)，解方程(组)即得参数的值.

【典例已知集合人={%—1,1+1小},8=，+1,%2-1,0}且4=5,则实数4的值为一.

【答案】0

【分析】利用本文所述的两个性质，可以列出关于X的两个方程组，解方程组即可.

(x-1)+(X+1)+X=(x~+1)+。2-]),

【详解】=

(x-l)-(x+l)x=(x2+l)-(x2-1).

;二:">…解得x=»

3

【点评】本题如果仅运用性质(1)也可求解、不过将产生增根/(代入A8中4工区),必须舍去.

【典例1・2】含有3个实数的集合可表示为{4,2/},也可表示为{/,〃+4()},则42026+〃2027;

a

【答案】1

b、

【分析】根据题意可得={/,〃+"()},故此题也可用本性质求解..

a

b

【详解】•••此集合可表示为{。二/},也可表示为{/,9〃+"()},

a

・•・{a,2,]}={/,a+b,0}.

a

ciH—+1=a~+(6/+b)+0,

aa=-V

t，解得，

bb=0.

a—1=a7•(o+Z7)0.

a

2026+62027=(—1)2026+()2027=]

【点评】发现题中给出的两个集合相等是解决本题的关键.在解题时，要注意认真审题，学会将已知条件进

行合理转化，化未知为已知，化复杂为简单.

【跟踪训练】

1.已知：A={1,2,3,4,5,6},5={l,2x,2y,2z},C={l,pyz,zr},且5=X,J,ZGA,则集合8

【答案】”,2,4,8}

［详解】•・•B=C,：.Sxyz=x2y2z2yx.y.zeA、:.xyz+0.

・•.xyz=8,乂•••x,y,zeA,

••・X，y，z分别为1,2,4或222.

而当x=y=z=2时，集合B中的三个元素均为4,与元素的互异性矛盾，舍去..

故8={124,8}

2.已知集合/1={々,々+仇。+2/?},8={4,。(?,。(?2},若4=3,则。=.

【答案】」

2

【解析1根据题意，分两种情况进行讨论：

(1)若《，，消去〃，得。+。。2―2a=0

aJf2b=ac\

当〃=0时，集合5中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故。工0

AC2-2C+1=0,即C、=1,此时8中的三个元素又相同，Jcw1

・•・此时无解.

a+h~

(2)若《一'消去/?,^2ac2-ac-a=0

a+2b=acy

/0,「.2c2-c_1=0,即(c—l)(2c+1)=0

A题型02利用德摩根定律简化集合运算

利用德摩根定律，我们可以把求两个集合补集的交集或并集问题转化成求它们并集或交集的补

集问题，从而减少了一步集合运算，简化解题过程.

【典例2】设集合u={123,4.5},A={1,3},{2,3,4},则（«A。（得8）等于（

A.{1}B.{5}C.{2,4}D.{1,2,4,5}

【答案】B

【分析】本题可按先后顺序直接计算，也可利用德・摩根定律求解•.

【详解】解法1：4乂={2,4,5}和Q,B={l,5},故（4，A）n（Q*）={5}.

解法2：AU8={123,4},由惠摩根定律得

（^A）n（^B）=^（AUB）={5}.

【跟踪训练】

1.已知全集。=Au3中有〃2个元素，（。〃/，。（「石）中有〃个元素.若AcB非空，则Ac3的元素个

数为（）

A.innB.6+〃C.n-inD.m-n

【答案】D

【详解】注意到（G4）u（G8）=G，（Ac8）.则AcB中元素的个数为机一〃个

2.设集合U=R,A={x|x>l）.^={x|x<2},则（Q,A）UQ，8）=.

【答案】{x|x«l,或r>2}

【详解】因为4r8={x|lvxW2},所以由德・摩根定律得

3乂）0@8）=。"00={幻工《1,或1>2}.

A题型03整数集相关结论的妙用

oaod

利用整数集的相关结论可以迅速判断两集合间的关系.

【典例3】已知集合4=«x\x=a+—,aGZ==——-,Z?GZ>,C=]x|x=—+—,CGZ»,则

6J[23J[26J

A,B,C之间的关系（）

A.A=BC）C>3.AOB=CCD.BOC=A

【答案】B

【解析】解法一：简单列举集合中的元素;

.171319D1127_12710'

‘6'6'6'6'P'3'6'3'6'}X'3'6‘6，

:.人bB,B=C,即AD8=C,故选B.

解法二：判断集合中元素的共性和差异.

A="x|x=।,a£Z>,B=<x\x=——-,/?ez1,C="x\x=>ceZ>

6J[6J6

V3/?-2=3（Z?-l）+l,Z?eZ,.\/APB=C,故选B.

【点评】辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，可将元素列举出来直观分析，也可从描述法中

认识集合中元素具备的特性，定性分析、以上两种思想是解决此类问题的通法，应根据问题的具体情况合理

选择.

【跟踪训练】

1.已知集合A=«=,B=<

A.A^BB.B=AC.A=BD.A与B的关系不确定

【答案】A

k2k

【解析】对于集合4：X=5=7，ZWZ,当分母为4时，分子为2攵，能取遍全体偶数，而对于集合

B:x=上,ksZ,当分母为4时，分子为k,能取遍全体整数，显然，“全体偶数”是“全体整数”的子集，即

4

A是3的子集（也是真子集），改选A.

2.已知集合时={、"=与也，XEZ）,/V={y|y=|x-nxEZ],则集合M,N的关系是（）

A.M=NB.MuNC.Mz>ND.MAN=（|）

【答案】A

【分析】通过分析两个集合中元素的关系，结合集合子集的定义分析求解即可.

【解析】因为集合M=01尸件L%WZ},

2

.।2x—32(%—2)+1

集合3一(

N={y|y=1,xez}—{>iy==3—，A-GZ},

即例=N.故选：A.

A题型04判断集合的子集个数

oeoa

1.在写集合的子集或其子集时，一般是按照集合中的元素的个数的多少，遵循由少到多的原

则，做到不重不漏.需要特别注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,因此，

在写集合的子集或真子集的时候，不要遗漏空集.

2.确定集合的子集、真子集的个数时，可以利用“若集合A中元素的个数为n,则集合A中有

2,个子集，2〃-1个真子集，2”-2个非空真子集”直接求解.

【典例4・1】集合4={刈1-2归1/wZ},则A的子集有（〉个

A.8B.7C,6D.3

【答案】A

【分析】由题可解集合A,再利用子集个数求解公式2"可求.

【解析】因为A={xl|x-2Bl,xeZ}={M14x43,x€Z}={l,2,3},

所以则A的子集有2、=8个，

故选：A.

【典例4・2】满足{1,3}=13{1,2,3,4,5}集合尸的个数为____.

【答案】7

【分析】依题意，集合。中一定含有元素1,3,另外还可含有2,4,5中的。个、1个、2个元素，所以本题

可转化为求集合{2,4,5}的子集个数问题.

【详解】依题意，集合户的个数.即为集合{2,4,5}的真子集个数，共有23—1=7个.

【跟踪训练】

1.已知集合4={。，2},^={-1,1.2},C={ab\aeA,beB}f则集合C的子集有（）

A.64个B.63个C.16个D.15个

【答案】C

【解析】由集合A={0,2},B=且C=

因为awA,beB,可得集合。={0,-2,2,4},所以集合。的子集有2，=16个.

故选:C.

A题型05求集合运算中的参数取值范围

利用集合运算与集合间关系的二级结论能迅速将集合的运算转化为两集合间是否包含的关

系，再进一步转化为元素与集合的关系速解.

【典例5-1】已知集合4={工|/+4%=0},8={幻％2+2(々+1»+々2-1=0}.

(1)若A3=仅求实数。的取值范闱；

(2)若A8=8,求实数。的取值范围.

【分析】因为8=8的含义是Bq4;AU8=B的含义是4仁8且4="|/+以=0}={0,-4].另外在讨论

的过程中，还需注意3=0是BqA的•种情况，不要漏掉.

【详解】⑴因为4nB=&所以K=A

小当B=0时,△=4(。+1尸一4("-1)<0,解得6/<-1；

2当8={0}或8={-4}吐△=(),解得。=-1,此时8={0}：

3当3={0,-4}时.0,-4是方程x2+2(。+l)x+/_]=0的两个根，

A=4(^+l)2-4(6r2-l)>0

则有，-2(^+1)=-4，解得4=1.

a2-\=0

综上所述,实数a的取值范围是〃=1或aK—1.

(2)因为A(JB=5,所以A=8.因为A={0,-4},且集合8中至多有两个元素，所以A=8.

由(1)知。=1.

【典例5・2】在①⑶QA=0；②QHJA=R；③疹*这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，

并解答.

已知集合人={N工<一2或工>1},B=|X€Ry=Jx+a,)，eR}.

(1)若6I\A=0,求实数。的取值范围；

(2)若Q8JA=R,求实数。的取值范围；

(3)若案AqRB,求实数a的取值范围.

【分析】根据题意，求得8=何了N-1},结合集合的运算，即可求解；

【详解】(1)由不等式(工一1)(X+2)>(),解得xv—2或x>l,可得A={x|x<-2或x>l},

当4=1时，可得3=卜£叫丁=>/771,)，£1^}={1卜之一1},则々占={目工<_1},

所以AcQ5=k|xv—2}.

(2)由集合4={x[x<-2或x>l}和8={x|xN-a},

(1)由A={.r|x<-2n^x>1},可得\4={,一2《X41},

要使得BI«A=0,则一〃>1,解得。<一1,所以实数〃的取值范围为(一8,-1)；

(2)由QBJA=R,即AqA,可得—解得a<—1,所以实数。的取值范围为(一。,一1)；

(3)由瘠泮,可得8qA,可得—a>l,解得。<一1,

所以实数〃的取值范闱为(-8,-1).

【跟踪训练】

1,若集合A={x|f+3x+2=o|,SIX2+(/?2+I)x+7/2=0J

⑴用列举法表示集合A.

(2)若A=8=8,求实数〃，的值.

【答案】⑴{T-2}；

(2)rn=1或zn=2

【分析】(I)解一元二次方程即可；(2)根据并集的结果得到集合的包含关系即可求解.

【详解】(1)由W+3工+2=0解得大=一1或工=一2,所以4二{一1,一2}.

(2)因为AC|B=8,所以8=A,

由/+(〃?+1)%+〃？=0解得X=T〃或工=一1,

若加=1,则8={-1},满足BqA；

若mHl,则3=因为3工A,所以〃7=2,

综上=I或/〃=2.

2.(25-26高一下•四川内江•期中)设全集为〃=酊集合A=N(x+3)(6—x)K0},«={x|-2<x<14).

（1）求如图阴影部分表示的集合；

⑵已知C={x|x>为且x<a+l},若CJB=B,求实数。的取值范围.

【答案】⑴从小安布二国“4―3或xN14}

【分析】（1）解不等式求出A,再计算即可求出答案：

（2）由CB=C得CG,分为2〃之。+1和2ava+l两种情况分别求解，即可求出答案.

【详解】（1）解不等式（工+3）（6-力三0得工4一3或八96,

所以A={x|xW-3或xN6},

0,5={依-2或94},

所以Ac68={4rW-3或X214}.

（2）由CUB=B得C土B,

当2〃2。+1,即时，C=0,符合题意：

当2av•+1,即av1时，

a<1

则<2a>-2,解得—1Mav1,

«+1<14

综上所述，a>-\,

所以实数〃的取值范围为{，|，之一【}.

A题型06利用容斥定理秒解元素个数问题

对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图，设出未知数，借助Venn图列出方程

（组）求解；二是利用容斥定理速解.

【典例6.1】共有50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了二项，参加甲项的学生有30名，参

加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为

A.50B.45C.40D.35

【答案】B

【分析】思路1：先转化为集合语言，再用Venn图来分析解决问题；思路2：先转化为集合语言，再利用上述结

论：Card(AB)=Card(A)+Card(B)-Card(A\B)求解.

【详解】解法1：

设集合A,8分别表示参加甲项、乙项活动的学生的集合，则A有3()个元素，8有25个元索，AU/3有

50个元素，设ADB中元素的个数为x个.由Venn图可知，AUB的元素有三部分：(1)属于A但不属于B

的元素，有(30-x)个；(2)属于8但不属于A的元素，有(25-x)个；(3)A、8的公共元素，有x个.所以

(30-x)+(25-x)+x=50,解得x=5,所以仅参加一项活动的学生人数为50・x=45.

解法2:设集合A,B分别表示参加甲项、乙项活动的学生的集合，则

。34(人)=3(),(；。〃力(〃)=25,6〃出(人14)=5(),所以1加如4H)=Card(A)iCar(l(B)-Card(A8)=5,即两项活

动都参加的学生人数为5,所以仅参加了一项活动的学生人数为45.

【典例6・2】在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14

人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项

比赛的同学，问：同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？

【分析】本题考查集合命题中的实际应用问题，涉及元素个数问题时，可用公式card(AUB)=card(A)+

card(B)—card(AAB)的推广形式card(AUBuC)=card(A)+card(B)+card(C)—card(APlB)—card(BAC)一

card(AnC)+card(AnBnC),或利用Venn图解决.

【详解】解法一：设同时参加田赛和球类比赛的共有x人，参加径赛的为集合A,参加田赛的为集合B,

参加球类比赛的为集合C,

则有card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,

由条件知card(APB)=3,card(AAC)=3,AABnC=,即card(ADBnC)=0.

故有15+8+14—3—3—x+0=28,解得x=3.

即同时参加田赛和球类比赛的共有3人.

只参加径赛的有15—3—3=9(人).

解法二：设参加径赛的为集合A,参加田赛的为集合B,参加球类比赛的为集合C,根据题意画出Venn

图，如图所示.

在图中相应的位置填上数字，设同时参加田赛和球类比赛的人数为X.由题意得

9+3+3+(8-3—x)+x+(14—3—x)=28,

解得x=3.

即同时参加田赛和球类比赛的人数为3人，只参加径赛的人数为9人.

【跟踪训练】

1.为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了

学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团

和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社

团的人数为().

A.10B.9C.7D.4

【答案】A

【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.

【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋

社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；

设同时参加AI社团和围棋社团有x人，因为有8人参加AI社团，

同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有8-3-x=5-A■人；

又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，

所以只参加围棋社团的有14-3-x人.综上所述，共有30人参加了学校社团，

所以9+3+3+(5-x)+x+(ll-力=30,解得x=l,

故只参加围桃社团的人数为10人.

2.某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有70人听了数学讲座，62人听了历史讲座，58人听

了化学讲座，记4=｛、|、是听了数学讲座的学生｝,8=｛x|x是听了历史讲座的学生｝,C=｛Mx是听了化

学讲座的学生｝.用card（M）来表示有限集合M中元素的个数，若card（A「3）=17,card（AC）=13,

card（BrC）=5,=则（）

A.card(4fW】C)=35B.card(48)=115

C.card(4C)=120D.card(ABC)=190

【答案】B

【分析】根据card(M)的定义，结合集合A,B,C的元素个数可得解.

【详解】A选项：由已知ABiC=0,则card(ABC)=0,A选项错误；

B选项：card(八I")=card(八)Icard(Z?)card(ACZ?)=7OI6217=115,B选项正确；

C选项：card(^UC)=cai-d(B)+card(C)-card(^nC)=62+58-5=115,C选项错误；

D选项：ccird(ABC)=card(A)+card(8)+card(C)-card(A8)-card(AC)-card(8C]

=70+62+58-17-13-5=155,D选项错误；

故选：B.

巩固提升

1.(2026•重庆沙坪坝•模拟预测)已知集合A={0,1,4},4={1«,从+3},若A=B,则夕=()

A.及B.2C.-1D.1

【答案】D

1+4=1+。+〃+3,

【详解】因为A=3,所以〈,,即，=0活=±1,

/Z02+3)=(),

所以Z/'=(±1)°=L

2.（2026•广东•模拟预测）已知直线4：x-y=o,4：%+y—2=o,4：5%一人-15=0能构成三角形,设满

足条件的攵值构成集合A,则的子集个数为（）

A.8B.16C.2D.1

【答案】A

【详解】因为直线4：x一k0,4：x+y-2=O,4:5x—h，-15=0能构成三角形，

所以4不平行于4且4不平行于4且4，4，4不共点，

当4不平行于4时,可得上工5,

当4不平行于4时，可得心-5,

'•

x+v—2""0x1

当4，4，，2不共点时，由八一，解得《\，

x->'=0[y=1

所以5x1—4x1—15/0,解得kw—10,

所以A={Z|〃工5且攵工—5且女工-10},所以QA={5,-5,-10},

所以今4的子集个数为23=8.

3.（2026•江西•二模）已知集合八二却<寸<9},集合8=3€4-27<丁427},则集合Ac4的真子集

个数为（）

A.3B.4C.15D.16

【答案】C

x2>1

【详解】求解集合A,由14/〈9得2-znpxe（-3,-l]u[I.3）.

x2<9

故A=（-3，T31，3）.

求解集合3,由—27V/W27且xeZ,W-3<x<3,整数解为、=—2,—1,0,1,2,3,故8={—2,—1,01,2,3}.

所以AcB={-2-1J2},该集合元素个数为4.

因为〃个元素的集合真子集个数2”-1，代入得真子集个数为24-1=15.

4.（25-26高三下•湖南邵阳•月考）若{-l,Ql}qAq{0I1},则A的真子集个数为（）

A.3B.8C.7D.6

【答案】C

【详解】因为{T,0,l}aA[{0,—l,l},所以A={T0,l},所以4的真子集个数为2,7=7.

5.(2026•安徽马鞍山•二模)已知集合4={刈工=2%=。附,6={x|x=2攵一l«eN},则()

A.A"=NB.AB=ZC.Ac8={。}D.AQB=0

【答案】D

【详解】因为A=3x=2Z#wN}={024,6,8,},

Z?={x|x=2^-lJeN)={-l,l,3,5}

对于A,因为AD6={T,0J2,3,}#N,A错误：

对于B,ADA={-1,0,1,2,3,…}±Z,B错误；

对于C,4fl5=0,C错误，D正确

6.(2026•湖南长沙,二模)已知集合M=[(X)，)卜2+()，-1『=0卜N={0,l},则M与N的关系是()

A.M=NB.M口NC.MNND.McN=0

【答案】D

【详解】已知集合"=[",)，)卜2+(尸1)2=0卜

因为任何数的平方都大于等于0,要使『+()，-1)2=0成立，则必须满足"°2,

()，-1)=0

即工=0,y=l,所以集合知={(0,1)},集合M中的元素是一个点(0,1).

集合N={01},集合N中的元素是两个数。和1.

所以集合M与集合N没有公共元素，即McN=0.

7.（2026•四川遂宁•二模）设/3={4工=4左—1,ZWZ},N={X|X=2Z+1/WZ},则（）

A.MjNB.NjM

C.M=ND.MCN=0

【答案】A

【详解】集合N={jdx=2Z+HeZ},代表所有奇数构成的集合，所有奇数都可以写成2k+l(ZeZ)的形

式.

对集合例中任意元素x=4k—l(k£Z),变形得工=4々-1=2(2&-1)+1,因为keZ,所以20leZ,

因此x符合N中元素的形式，即任意xt"都有xeN,可得MqN,A正确:

取奇数1,\GN(A=O时X=1),但若1=4,?1,得,?=0.5史Z,因此1旺M,说明N。历，

MwN,

取奇数3,3sN（%=1时K=3）且（A=l时，x=3）,即例和N有公共元素，交集不为空，

因此B、C、D错误.

8.（2026•湖南怀化•二模）已知集合A={Mx>〃},B=|X|X2-4X+3<0}.若A=8=A,贝I」。的取值范围

是（）

A.（F,l]B.（F,3]C.（ro,l）D.（7,3）

【答案】A

【详解】由Y-4X+3V0.解得1<X<3,所以8={印<XV3}.

因为AI3=A,所以BqA,如图：

a13X

所以。Wl.

9.（25-26高三下•湖南长沙•阶段检测）已知集合4={l,4,a+2},8={1,/},且则。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【详解】由AD8=8,得8=

丹i•以々2=]或々2-4或々212,解得4=1或4=2或々=一2或4=一1.

当〃=1时，A={1,4,3},5={1,1},不符合集合元素的互异性,故舍去.

当〃=2时・，A={1,4,4）,8={1,4},不符合集合元素的互异性，故舍去.

当”二—2时，A={1,4,0},8={1,4},符合题意.

当a=-1时，A={1,4,1},8={1,1},不符合集合元素的互异性，故舍去.

故a=-2.

10.（25-26高一上・甘肃白银•期内）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其

中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有

10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参

加的学生人数为（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】A

【详解】设参加机器人社、编程社、航模社的学生集合分别为4&C,三个社团都参加的人数为x,

则根据容斥原理可得

card（A=8DC）=card（A）+card（B）+card（C）-card（Ac3）-card（AcC）—card（3cC）+card（Ac8cC）,

所以50=30+20+30-10-15-13-x,解得x=8.

故选:A.

11.（25-26高一上•四川巴中力考）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年

我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了

《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖

怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安

的荔枝》的人数为（）

A.7人B.8人C.9人D.10人

【答案】D

【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合A,记观看《浪浪山小妖怪》的同学为

集合8.记观看《长安的荔枝》的同学为集合C,

则根据题意:有15人观看了《南京照相馆》,记|A|=15,

有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记I例=8,

有14人观看了《长安的荔枝》，记|C|=14,

仃3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记|人。8|=3,

有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记|AC|=3,

没有人同时观看三部电影.记IABC|=0,

设同时观看A和。的人数为K（因无人看三部，x就是只同时看8、C的人数），

只看A的人数：141—1AA8]—|4DC|=15—3—3=9,

只看3的人数：|8|一|AnB|-x=8-3—x=5-x

要求的只看C的人数：|C|-