2026高考数学二轮复习专练：计数原理、概率

专题突破练13计数原理、概率

必备知识夯实练

1.（2025福建泉州二模）若（⑪+土）〃的展开式中二项式系数之和为32,各项系数之和为243,

则展开式中%勺系数是（）

A.32B.64

C.80D.16

2.（2024广东深圳一模）骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1,2,345,6.现在掷

一枚骰子两次，记事件4="两次点数的最小值为3”,事件3="两次点数的最大值为6”,则

P（B\A）=（）

3.（2025陕西咸阳二模）2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立

春节气的现象这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，

农历中会设置闰月,2025年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中，双春

年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双,在这一年做任何事都会有好兆头.

那么，用2025,66,2,0,2,5组成不同的10位数的个数为（）

A.294B.297

C.298D.300

4.（多选题）（2025福建厦门二模）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位

男生,4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”,

事件B表示“第二位出场的是女生”，则（）

3

B.P⑶4）三

C.P（4）=P（B）

D.P（,4U3）=j2

1

5.（多选题）（2025浙江宁波模拟）在（2+誉）〃的展开式口，前3项的系数成等差数列，则下

yjXL

列结论中正确的是（）

A.〃=8

B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128

C.展开式中的常数项为白

D.展开式中系数最大项为第3项和第4项

6.（2025湖北武汉一模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十

进一就是十进制,满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相

互转换，如十进制下,159=2x82+3x8+7,用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表

示十进制的7叱则这个八进制数的最后一位为（）

A.3B.4

C.5D.7

7.（2025上海崇明二模）抛掷一枚质地均匀的硬币〃次（其中〃为大于等于2的整数），设事

件4表示“〃次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件8表示“次中至多有一次正面朝上工

若事件A与事件B是独立的，则〃的值为（）

A.5B.4

C.3D.2

8.（2025福建漳州一模）（炉$3）$的展开式乜常数项为.

9.（2025八省联考』3）有8张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,678,现从这8张卡片中随机抽

出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率

为.

关键能力提升练

10.（2025福建漳州一模）设力,8是两个随机事件，且0VP（力）则下列说法正确的

是（）

\.P（AB）＞P（B\A）

B.1-/（43）=（1・P（Z））P（5|Z）

C.若4与B互斥，则P（ZUB）=1

D.若P（力3）#）,则4与B相互独立

1L（多选题）（2025广东茂名模拟）某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报

告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级:合格,不合格.评定为合格可以获得

2

0.2学分,评定为不合格不能获得学分.若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为

若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为已知小李参加了3次课外实践活动，则

（）

A.“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件

B若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为争

C.若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为黑

D.“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立

12.（2025浙江杭州二模）甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以

不选），分别构成集合48c记力ABAC中元素的个数为见则m21的概率为.

13.（2025安徽合肥二模）如图，在4x4的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若

每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概忘为.

核心素养创新练

14.（2025山东名校联考）若41M2,。3,。4,。5M6为1,2,3,4,5,6的任意排列.设

X=min{max{0,42M3},max{a4,a5M6}},y=max{min{mM2,a3},min{〃4,45,a6}}4iJ（）

（已知…/”}表示。|血…,。〃中最小的数,0^{々102「,。〃}表示。142,…,4中最

大的数）

A.排列总数为700

B.满足ax<a2<a3的排列有80个

C.X>4的概率小于；

D.x>y的概率为2

3

答案：

1.C解析因为(〃尤+/)〃的二项式系数之和为32,则2"=32,解得〃=5,因为5展开式

各项系数和为243,令尸1,代入可得他+1户243=35,解得q=2,(2x+f5的展开式的通项公

式为〃+1=慧(2工产•佳)〃=2",C炉叫左右{0』,2,3,4,5},令5-3%=-1,解得％=2,则展开式中:的

系数为23a=8x10=80.故选C.

2.C解析事件A包含(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(5,3),(6,3),共7种情况，其中只有(3,6)和

(6,3)满足“两次点数的最大值为6”,故.故选C.

3.B解析2025,66,2,0,2,5这6个数的全排列为A?,又0排在首位有A?种排法，又有2个2,

它们之间的排序有Ag种，当2,0,2,5这4个以2025这种顺序与66和2025排序有A1=3

种,所以用2025,66,2,0,2,5组成不同的10位数的个数为嬖一A?=297.

A2

4.BCD解析由题意得『(砌/*=击舞=看故A错误；

由题意得『⑷雷=趣=缸.•尸(5⑷喏=*故B正确；

对于事件8可分为两种情况，即第一位出场的是男生,第二位出场的是女生，或第一位出

场的是女生，第二位出场的是女生，

*以/+以.0屣_6K4KA肛4K3KA,2

:・P(B)=

A[g-10x9xA|

・••尸(4)=P(3),故C正确;

222?

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)={+(一2=♦，故D正确.改选BCD.

O。JIoo

5.ABD解析(；+¥)〃展开式的通项公式为5+1=喘(；尸(当人=左函妗,则前3项的

yjXLy]XLL

系数分别为C对%：鬣,对于A,由题意可得2x:禺—Cg+：髭，即解得〃=8

或〃=1(舍去)，所以〃=8,故A正确;对于B,(：+孚)8展开式中所有奇数项的二项式系数

\]XL

和为学128,故B正确;对于C居+挣展开式的通项公式为Ax/*-。令/4=0,则

〃=4,所以匚+乎户展开式中常数项为3•禺=系故©错误;对于D,设展开式中第什1项

yjXLZo

4

>__.Cri

；：一2；:二解得尸2或尸=3,所以展开式中系数最大项为第3项

彳a之旅■，+】，

和第4项，故D正确.故选ABD.

,9,9,9,8,7,6,5

6.D解析7=（8-l）=8-C19X8+Cf9X8-C19x8+C}9x8+-+C!|x8-l,ffiC1|x8-

1=151=2x82+2x8+7,故最后一位数为7,故选D.

7.C解析抛掷一枚质地均匀的硬币〃次，所有可能的结果有2〃种.

事件力表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件了为“〃次都是正面朝上或〃

次都是反面朝上包含的情况有2种，所以〃（加=47.根据对立事件概率之和为1,

可得尸a）=i・p（i）=i备

事件8表示“〃次中至多有一次正面朝上”，即“〃次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“〃

次中有一次正面朝上”“〃次中没有正面朝上”的情况有1种;“〃次中有一次正面朝上”，从

〃次中选1次为正面朝上，有C卜〃种情况.所以事件B包含的情况共有〃+1种，则

P⑻号.

事件408表示"次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上“，即“次中有

一次正面朝上”，有C卜〃种情况，所以P（AQB）=^.

因为事件Z与事件6是独立的，所以尸（zn〃）=尸（Z）p（g）,即苴=（1J）X孽

可得〃=（1-击）（〃+1）,展开得片〃+1赛，即n+\=2n-1.

当n=2时,2+1=3,22“=2,等式不成立;当〃=3时,3+1=4,28=4,等式成立;当n=4

时,4+1=5,24/=8,等式不成立.综上,〃=3.故选C

8.-873解析。2+53）5的展开式的常数项为玛£卜（-3户+哈。・（-3）+（-3产20X（-3）3+30X（_

3)+(・3)5=・873.故答案为・873.

9.^解析从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中样本点的个数为阴=56.

□O

因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片

上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和应为18,则抽出的3张卡片上的数

字的组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5,共3种，所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18

5

的样本点的个数为3,所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和

相等的概率为卷.

10.C解析对于A选项,RB|4)=鬻，若P(48)>P(3|/t),则尸(力)>1,不符合题意，故A选项

不正确；

对于B选项,。(切了)」^=然，若10(/8)=(10⑷)/(0小，则1。(/14)=尸(血),所以

尸(48)+尸(了8)=1,即P(B)=1,不符合题意，故B选项不正确；

对于C选项，因为4与8互斥，所以4门8=。,又彳U4=07U8=0,所以4G方力1工所以

AUB=故P(AU与)=1,故C选项正确；

对于D选项『(45)和,不能说明尸(44)=P(4)P(4)成立，故D选项不正确.故选C.

11.AB解析事件”小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，

所以互斥，故A正确；

若第一次评定为不合格,设事件4=”第i次评定为合格'',片2,3.

则事件“小李获得0.4学分"即事件4M3,由概率乘法公式得，

产(力乂3)=尸(4)尸(小|4)=：x：=及,故B正确；

若第一次评定为合格，则由全概率公式得，

----A44217

P(A3)-P(A3\A2)P(A2)+P(A3\A2)P(A2)^x2X(1令噢故C错误；

尸(小|小)=9若第一次评定为不合格，由全概率公式可得

----434416

P(A^P(A,\A2)P(A^P(Ay\A2)P(A2)=\x(+-x(l飞)噗，

即尸(却否)=?所以尸(小|/»尸(43|西),即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率

有影响，故“小李第一次评定合格''与"小李第三次评定合格''不相互独立，故D错误.故选

AB.

12.i1解析设两个不同数为1,2,一个元素被某人选中的概率为:且各元素被选中与否相

642

互独立，所以一个元素被甲、乙、丙三人都选中的概宓为&)3=1，由中元素的个

L8

6

数〃721,表示至少一个元素被三人选中，而两个元素均未被三人选中的概率为(1-犷=号

o64

所以〃■的概率为吟若

13.会解析设“每行都放置两枚棋子”为事件4”每列都有两枚棋子”为事件凡见所求概

率为P(5⑷喏=嗯・

根据题意,每行都放置两枚棋子，即每行都在4个方格中选2个放置棋子，有鬣种方法，所

以〃(4)=C：QQC=1296.

对于“每行每列都放置两枚棋子”，不妨令第一行的两枚棋子放置在左边第一、二个方格,

此时第二行有髭=6种放置方法，则第三、四行的放置方法如图所示，

图1

442

小

图2

图5

7

图6

图1有1种方法，图2,3,4,5各有2种方法，图6中，第三行有第=6种放置方法，其选定方格

后,第四行只有唯一的放置方法，所以总共有1+2x4+6=15种方法.

因为第一行棋子有C24=6种放置方法，其他5种情况同理，故/^5)=6xl5=90.

所以若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率P(BM)=鬻=嘤=

-22-=-1故答案为三

129672•叭口乐力72，

14.