高中数学基础练习题-统计题型及思维方法总结（解析版）

9.8统计题型及思维方法总结

模块一：重点题型......................................................2

题型一：筒单随机抽样的特征及适用条件..............................2

题型二：抽签法与随机数表法........................................5

题型三：简单随机抽样估计总体......................................7

题型四：分层抽样...................................................7

题型五：获取数据的途径.............................................9

题型六：简单随机抽样综合.........................................10

题型匕：频率分布直方图...........................................13

题型八：总体集中趋势的估计.......................................17

题型九：有关百分位数计算.........................................29

题型十：统计图表..................................................30

模块二：思维方法.....................................................34

方法一：函数与方程思想...........................................34

方法二：分类与搐合思想...........................................37

方法三：等价转换思想.............................................42

9.8统计题型及思维方法总结

模块-：重点题型

题型•：简单随机抽样的特征及延用条件

1.某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查,

则（）

A.该市场监管局的调查方法是普查B.样本容鼠是该超市的20种冷冻饮品

C.总体是超市在售的40种冷冻饮品D.样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量

【答案】D

【解析】该市场监管局的调作方法是前机抽样，总体地超市在售的40种冷冻饮用的质;出

样木的个体是20种冷冻饮M中每种冷冻饮M的质质，样木容址是如.

故选：D

2.下列调查方式合适的是（）

A.为了了解一批炮弹的杀伤半在，采用普杳的方式

B.为「了解一批玉米种广的发芽率，采用普查的方式

C.为了了解一条河流的水质，采用抽样调套的方式

D.为了了解一个寝室的学生（共6个人）每周体育锻炼的时间，采用抽样调查的方式

【答案】C

【糊1】个体数少IL易卜完成的可以采用普查的方式；个体数试多，匚作后大，或破坏性大，不易完成的

可以采用抽样调盘的方式故还c.

3,有甲、乙两箱篮球,其中甲箱27个,乙箱9个,现从这两箱篮球中随机抽取4个,甲箱抽3个,乙箱抽

1个.下列说法不正确的是（）

A.总体是36个篮球B.样本是4个篮球

C.样本容量是4D.每个篮球被抽到的可能性不同

【答案】D

【解析】依题意，总体是36个篮球，样本是4个篮球，样木容求足明选项A,B,C都正确；

甲箱抽3个，每个球被抽到的概率为乙箱抽T个，每个原被抽到的概率为］则每个篮球被抽到

2799

的可能性相同，D不正确.

故选:D

4.卜一列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（）

A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本

B.盒子里共有80个零件，从中逐个不放P1地选出5个零件进行质量检验

C.从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验

D.某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛

【答案】B

【分析】根据题意，结合简单的随机抽样的定义，逐项判定，即可求解.

【解析】简单随机抽样的定义：设•个总体中含有N个个体，从中逐个抽取〃(1"WN)个个体作为样本,

每个个体被抽取的概率是均等的.

对fA中，根据简陋的随机抽样的定义，从无限多个个体中抽取100个个体作为样本不满足简单的随机抽

样的定义，所以A不符合题意；

对JB中，根据简单的lOWl样的定义，80个专件，从中逐个不放同地选出5个号件进行质后检验，满

足简小的随机抽样的条件，所以B符合题意；

对fC中，根据简单的随机抽样的定义，从100部F机中一次性抽取5部进行质法检验，不满足简单的随

机抽样的定义，所以C不符合题意；

对『D中，根据简单的航机抽样的定义，从56名同学，指定个「取高的5名同学参加学校组织的篮球赛,

不满足简单的随机抽样的定义，所以D不符合题意.

故选：B.

5.下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是()

①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；

③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗浅救灾工作；

@•彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒广中无放回地抽出6个可签.

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【分析】根据简单随机抽样的特点逐个判断.

【解析】①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.

②不是简单随机抽样.虽然“•次件抽取〃和“逐个抽取〃不影响个体被抽到的可能性，fl!简中M机抽样要求

的是“逐个抽取”.

③不是简电随月切样.因为50名党员官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的N能性不同，

不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.

④是简单随机抽样.因为总体中的个体数是仃限的，井IL是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样.

故选：B

6.用简单随机抽样，从力个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽

到的机会为。，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（）

4

55110

A.-B.—C.-D.—

718437

【答案】D

【确『】由题意可得邑=，故〃=37,所以每个个体被抽到的机会为警，

«-1437

故选：D.

7.对总数为200的一批零件，抽一个容居为〃的样本，若侍个专件被抽到的可能性为0.25,则〃为（）

A.50B.100

C.25D.120

【答案】A

【分析】利用简单随机抽样的性质直接计算呷可.

【解析】因为每个号件被抽到的可能性相等，

所以山与=025解行〃=5°,

200

故选：A

8.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体厂第一次被

抽到叩勺可能性与“第二次被抽到〃的可能性分别是（）

A11C31

io'10lo，5

C.1,1D.A,1

109109

【答案】A

【分析】根据简单随机抽样的等可能性，即可利断和选推

【解析】总体有1。个个体，从中抽取第•个，若为%则其，帷性为宗，并不为明则其可能性%;

抽取笫.个，若其为%则笫•次•定不足。，再从9个个体中抽取1个，IL为〃，则其可能性为非9微1=12.

综上所述，某•个体。“笫•次被抽到”的可能性。"笫二次被抽曾的可能性分别是2A

故选：A.

题型二，抽签法与随机数衣法

L在随机抽样中，某一个个体被独到的可能性（）

A.与第〃次抽样有关，第一次拍到的可能性最大

B.与第〃次抽样有关，第一次抽到的可能性最小

C.与第〃次抽样无关,每次抽到的可能性相等

D.与第〃次抽样无关，与抽到的〃个样本有关

【答案】C

【雄析】因为在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性

都相等，保证了抽样的公平性故选：C.

2.卜冽抽样试验中，适合用抽签法的是（）

A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质法检验

B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的3000件产加中抽取10件进行质量检验

【答案】B

【分析】根据抽签法的适用条件，结合选项依次列断即可.

【解析】选项A,总体中的个体数较大，样本容后也较大，不适合用抽签法，故A不符介题意;

选项B,总体中的个体数较小，样本容最也较小，

此同厂生产的两箱产品可视为摸推均匀，，可用抽签法，故B符合题意；

选项C,甲、乙两厂生产的两箱产用质量可能差别较大，

不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故C不符合题意；

选项D,总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故D不符合题意.

故选：B

3.下列抽样试验中，适合用抽签法的是（）

A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质质检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质信检验

D.从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验

【答案】B

【解析】根据抽签法适用样本容戕少，并且样本需搅拌均匀,进行逐一判断即可.

【解析】因为A,D中总体的个体数较大，不适合川抽签法；

C中甲、乙两厂生产的产品质质可能差别较大，

因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合川抽签法；

B中总体容量和样本容睛都较小，IL同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.

故选：B

4.某而校对中文系新生进行体测，利用随机数表时650名学生进行抽样，先将650名学生进行编弓，001,

002,...»649,650.从中抽取50个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开

始向右读取数据，则得到的笫6个样本编号是（）

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.623B.328C.072D.457

【答案】A

【分析】按照随机数去提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，屯复的只取一次即可

【解析】从笫5行第6列开始向右读取数据，

笫•个数为253,第二个数是313,

笫三个数是457,卜一个数是860,不符合要求，

下一个数是736,不符合要求，下今是253,市复，

第四个是007,第五个是328,第六个数是623,,故A正确.

故选：A.

5.本次月考分答题K的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用卜.血的随机数表抽取10位同学

参加,将这55位学生按01,02,…,55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取

两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学牛.编号为（）

06274313243253270941251263176323261680456011

14109577742467624281145720425332373227073607

51245179301423102118219137263890014005232617

A.51B.25C.32D.12

【答案】A

【分析】根据给定信息，利用随机数米抽样法规则，依次写出旃6个符合要求的编号即可.

【解析】依题意，前6个编号依次为：31,32,43,25,12,51,

所以选出来的笫6个“码所对应的学生编号为51.

故选：A

题型.简单随机抽样估计总体

1.我国占代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹

谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A.133石B.159石C.336石D.168石

【答案】D

【分析】根据254粒内夹谷28粒可得比例，即可解决.

【雄析】由题意得，这批米内夹谷约为1524x言=168勺，

故选：D

2.管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池脚10天后，乂从池塘内随机捞出70条鱼，

其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（）

A.2800B.1800C.1400D.1200

【答案】C

【分析】由从池塘内捞出70条他，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的值的概率，结合池塘

内具有标记的他一40条例，按照比例即得解.

【解析】设估计该池塘内他的总条数为〃，

由题意，得从池塘内捞出70条鱼,其中有标记的有2条,

所有池塘中彳丁标记的他的概率为：4=I

乂因为池塘内具有标记的他一共仃40条例，

所以竺=」，解得〃=35x40=1400,

n35

即估计该池塘内共有1400条他

故选：C.

题型四：分U抽样

1.①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和堂木三大类，某植物园'点要对其国中的不

同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测僦；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质

量检测；上述两项调查应采用的油样方法是（）

A.①用简单随机抽样，②用分层随机抽样B.①用简单随机抽样，②用简单随机抽样

C.①用分层随机抽样,②用简单随机抽样D.①用分层随机抽样,②用分层随机抽样

【答案】C

【分析】根据简单随机抽样和分乂随机抽样的特点进行判断叩吐

【解析】①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分发随机抽样；

②并未有明显分层特点，IL样本容量较小，可以采用简单随机抽样；

故选：c.

2.现有以下两项调住①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测;②在某校800名学生

中，。型、A型、8型和XB型血的学生依次有300,200,180,120人为了研究血型与色弱的关系,需从中抽取

一个容鼠为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（）

A.①②都采用简单随机抽祚

B.①②都采用分层随机抽停

C.①采用简单随机抽样,②采用分层随机抽样

D.①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样

【答案】C

【分析】由简单随机抽样、分层IO削样的概念即可刊断

【解由题意对「①，4。台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样，

对「②，为了研尤血型9色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血里比例分U抽取，

故为分U随机抽样.

故选：C.

3.某工厂生产4B,C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5,用分层抽样的方法抽取一个

容量为w的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量"为（）

A.150B.180C.200D.250

【答案】A

【分析】直接由分所抽样的定义按比例计算即可.

【罐析】由题意样本容依为〃=3。+^~^=150.

2+3+5

故选：A.

4.某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支，

15万支，20万支.为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取

1030支进行检验，则门来水式钢铠应抽取（）

A.375支B.350支C.125支D.500支

【答案】A

【分析】利用分层抽样的抽样比,列£泞算即得.

【解析】依题意，门来水式钢色应抽取的数状为1000=375.

故选：A

5.某田径队有男运动员56人，女运动员42人，若采用比例分配的分层随机抽样方法在这支田径队中抽

取28人进行体质测试，则抽取男运动员的人数为（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

（分析1根据分U抽样的相关知队H按计1

【解析】男运动员56人，女运动员42人，则阴砧总体比例为浮内=（^=。

抽取28人进行体质测试，则抽取男运动员的人数为28x2=16.

故选：A

6.从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽

取样本在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为月，某个体第一次被抽中的概率为2;在分

层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为P3，则（）

A.P2<P1<PzB.P】=P2=P3

C.P2<Pi=P3D.口也通之间没有关系

【答案】B

【分析】根据简单随机抽样、分片抽样的定义即可得到结论.

【雄析】根据抽样调行的原理可得简单随机抽样，分以抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即

n10

^=P2=P3=-=­.

故选：B

【点帖】本题号行简单随机抽样、分U抽样的原理的理解，两种抽样都是等可能抽取，足•道容易题.

题型五：获取数据的途径

1.下列调查必须采用抽样调查的是（）

A.调查某城市今年7月份的温度变化情况

B.调直某一品牌5万瓶化妆品是否符合质量标准

C.调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市

D.了解全班50名学生100米短跑的成绩

【答案】B

【分析】根据普杳和抽样的适应特征叩可结合选项求解.

【解析】B不能JIJ普森，因为质法检验具行破坏性,而IL5万瓶，数法较多，适合用抽样

ACD中数后较少，可以用普杳.

故选：B

2.在以下.调查中，适合用全面调杳的个数是（）

①调查一个班级学生的吃早餐情况

②调置某种饮料质鼠合格情况

③调查某批K行员的身体健康指标

④调杳某个水库中草鱼的所占比例

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】结合全面调存和抽样调代的特点进行判断.

【解析】①因为•个班级学生的人数小太多，吃¥餐情况的全血调育也容易操作，所以适介全曲调代

②某种饮料数;I次多，质量合格情况适合抽样调行；

③匕行员职业特点抉定r身体健康指标必缜全面调套；

④某个水库中他的种类和数状般都较多，不适合全面调行.

故选：B

3.从一批零件中抽取10个零件：测得它们的长度（单位：cm）如下：22.3622.3522.3322.35

22.3722.3422.3822.3622.3222.35

在此统计活动中：

（I）总体为：;

（2）个体为：；

（3）样本为：;

（4）样本量为：.

【答案】这批零件的尺度每个零件的K度抽取的io个本件的长度1。

【分析】略

【解析】略

题型六：简单随机抽样综合

1.下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？为什么？

⑴从无限多个个体中抽取50个个体作为样本;

（2）箱子里共有100个零件,今从中选取10个岑件进行检验，在抽样操作时,从中任意地拿出一个零件进

行质质检验后再把它放问箱子叫

⑶从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本；

⑷一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的箱子中无放回的抽取6个号签.

【答案】⑴不是简单随和削样，理由见解W

⑵不足简单150削样，理由见解析

⑶不是简单随机抽样，理由见解析

（4）是简单随机抽样，理由见解析

【分析】根据简单随机抽样的特征逐项分析判断.

【解析】（1）不是简单前机抽样，因为被抽取的样本的总体的个体是无限的而不是有限的.

（2）不是简单随机抽样，闪为它是有放同地抽样.

（3）不是简单随机抽样，因为它是一次性抽取，而不是“逐个哪I取.

⑷是简聚随白川I样，因为总体中的个体是仃限的，井IL是从总体中逐个抽取、小放网的、等可能的抽

样

2.为「考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行统计分析，

为了全面反映实际情况，采取以卜方式进行抽行（已知该学校高三年级共有20个教学班，井IL待个班内

的学牛.按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）：

①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩；

②把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该

校高三学生中优秀生共150人，曼好生共600人,普通生共250人）.

根据上面的叙述,回答下列问题:

⑴上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每i种抽取方式抽取的样本中，其样本容质分

别是多少？

（2）上面两种抽取方式中各自采用何种抽样方法？

【答案】（1）答案见解析

⑵笫•种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是分U抽样法和简单M机抽样法

【分析】（D山随机抽样的相关概念作答；

（2）由简单随励h样和分心制样法的相关特点作答.

【解析】（D两种抽取方式中，其总体都是而三全体学生本学年的考试成绩，

个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩.

第一种抽取方式中，样本为所抽1R的2。名学生本学年的考试成绩，样本容认为2。；

笫二种抽取方式中，样本为所抽取的1。0名学生本学年的考试成绩，样本容斌为100.

（2）笫一种方式采用的是简单附机抽样法；

第烈方式采用的是分UWI样法和简单随机抽样法

3.某化工厂三个车间男、女工人数如卜.表：

第一车间第二车间第三车间

女工人数150100y

男工人数200X二

若按车间人数用分层抽样的方法出取100名工人,则应在第一车间抽取35名工人，在第二车间抽取25名

工人.

⑴求这三个不问的工人总数及x的值；

⑵若按工人性别用分层抽样的方法在第三车间抽取8名工人，则其中有5名女工.求该化工厂这三个车间女

工与男工的人数比.

【答案】（1）1000,x=150

（2）1:1

【分析】（1）设这三个车间的「人总数为心根据题意列方程可求出〃，再根据分层抽样的定义可求出x的

tfl;

（2）山题意可得广二=5:（8-5）,y+二=400,可求出］,・二，从而可求出该化1J.这三个车间女工与男工

的人数比.

【解析】（D设这三个年间的工人总数为巴

则150+200=芸,解得〃=1000.

n100

山三挈><100=25,得x=150.

1000

<2），・在第三乍何抽取8名工人，则其中方5名女工,

.­..V：-=5:（8-5）,即3y=5z.

Xlll（1）易知y+==400,

7=250二=150.

.­.(150+100+250):(200+150+150)=1:1,

•••该化匚厂这三个住问女匚与男「的人数比为1:1・

题型七：频率分布直方图

1.某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统计如下表.

分组频数频率

[030)30.03

[30,60)30.03

[60,90)370.37

[90,120)tnn

[120J50]150.15

合计MN

）频率/组距

0.015

0.014

0.013

0.012

0.011

().0)0

0.009

0.008

0.007

0.006

0.005

0.004

0.003

0.002

0.00111Ali»

O306090120150分数

⑴求出表中见心MN的值,并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图;

（2）若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数.

3

【解析】（1）由频率分布表得"==100,

0.03

4?

所以m=100-(3+3+37+15)=42,〃=熬=0.42,N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1,

频率直方图如图所示,

Oo5个频率/组距

O•o4

O•o3

O•o2

O•o1

O•Oo

O•

(•M)9

O•8

O(•X7

OO•(

OO•(>56

OO•(伏w

O•3

O(•X2

O(aM1

(X

o\306090120150

（2）山题意，知全校成绩作90分以上的学生的人数约为与£X600=342.

100

2.某校高一年级共有450名男生，为了解他们的身高情况，从中随机抽传了50名学生，测得他们的身高数

据（单位：cm）如下：

151153157159160161162163163164

16116416516516616616716716R168

169169169170170170171171172172

172173173173173173174175175176

176177177178178179180181181183

（1冽」出频率分布表并画出频率分布直方图；

（2»古算该年级身高在［170,175）内的男生人数；

（3»古算该年级身高在170cm以下的男生人数.

【解析】（1）这组数据的最大值为183,最小值为151,极差为32.

为分组的方便，取略大的身高到机150,185）,同时取组距为5,分为7组.

计数相应的分组频率，就得到卜曲的频率分布衣.

身高分段发生次数2须率

[150,155)24%

[155,160)24%

[160,165)816%

[165,170)1122%

”0,175)1428%

[H5.180)918%

[180,185)48%

总计50100%

,总体中约有28%的力生身高在［170,175）内.

由尸阴峻」由450名沙匕所以该年级身高在［170,175）内的男生大约仃450乂28%=126（人）.

（3）样本中身高在170cm以卜的男生所占比例约为4%+4%+16%+22%=46%,

所以该”终身而在170cm以卜的男生大约仃450x46%=207（人）.

3.鱼卷是泉州十大名小吃之•，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏.小张从小鱼卷生产和批发多年,

有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产值卷，客户正月所需要的鱼卷都会在上一

年农历十二月底进行一次性采购，小张把去年年底采购危卷的数展M单位：箱）在［100,200）的客户称为，熟

客”，并把他们去年采购的数量制成下表:

采购数X[100.120)[120.140)[140.160)[160.180)[18(1200)

客户数10105205

（1界据表中的数据作出频率分布直方图,并估计采购数在据8箱以k（含168箱）的“熟客”人数；

（2）若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数用占小张去年年底总的销售标的;，估算小张去年年底总的销售氧同

O

一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;

（3）由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上

出售鱼卷,则按去年的价格出售，每箱利润为20元,预计俏售量与去年持平;若在网上出售鱼卷,则需

把每箱售价下调2至5元，且每下调m元(2。於5)销售量可增加100丽箱,求小张今年年底收入7(单位:

元)的最大值.

【解析】(1)作出频率分布直方图，如图所示

八频率/组距

0.020.....................................

0.010---------------

0.005---------------------------------1

~♦oi，O1；oRoiS()2io:购量(箱)

根据上图，可知估讳采购状在168箱以上.(含168箱)的嘤客”人数为50x20x(0.005+0.020x*券)=17.

(2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为

110x10+130x10+150x5+170x20+190x5=7500(^1)；

小张去年年底总的销售标为7500+1=12000(箱).

(3)若不在网上出售佝卷，则今年年底小张的收入为¥=12000x20=240000(元)；

若在网上出伸打卷，则今年年底的销售法为(12000+1000m)箱，每箱的利涧为(20-巾)，

则今年年底小张的收入为

y=(20-m)-(12000+1000w)=1000(-w2+8m+240)=1000一(川一4/+256，

当冽=4时，Y取得最大值256000,

V256000>240000，二小张今年年底收入，的最大值为256000兀.

4.有一•容量为50的样本，数据的分组以及各组的频数如F：

[12.5.15.5).3;[15.5.18.5).8:[18.5215).9:[21.5.24,5)31:[24.5.27.5).10;[27,5.30.5).5:[30.5.33.5].4.

(1)列出样本的频率分布表.

(2)画出频率分布直方图.

(3湿据频率分布表,估计数据落在[15.5,24.5)内的可能性约是多少?

【解析】⑴山题中的所给数据洌成去格,即可得到频率分布式中的数据；

(2)由频率分布去中的数据,在横轴为数据，纵轴为端，即可得到频率分布直方图;

(3)为，估计数据/F[1VS,24S)的桧条只须求出频率分布直方图中数据在口工5,24£)的频率和U|h爪

试题解析:（1）频率分布去为:

分组频数频率

[12.5,15.5)30.06

[135,18.5)80.16

[1&5,21.5)90.18

[2L5,24.5)110.22

[245,27.5)100.20

[27.5,30.5)50.10

[3a5,33.5]40.08

合计501.00

（2）频率分布直方图如图所示:

（3）数据落何15.5»24.5）内的可能性为一；；”=0.56.

点胜本题考我的是川样本估计总体的分布,解决总体分布估计何题的股程序如卜：（1）先确定分组的组数

（获得最大数据9最小数据，再根据最大数据9最小数据之羌除组距得组数）;（2）分别计灯各组的领数及频

频数

率领率=震）;。）蚓।濒率分布直方凰并作出相应的小计・

题型八：总体集中趋势的估计

1.中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行麟懒，欣欣家国”为主题，创新，思想+艺术+技术”

融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴.2023年12月2日,

中央广播电视总台发布r中辰龙年春晚的主标识~魁.为/解大家对这一标识的看法，某网站进行了一

次网络调研,并将参与调查的网友对这•标识的打分情况（分数在50分到100分之间）绘制成频率分布

宜方图如下:

⑴求网友打分的平•均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)、中位数(保留一位小数)；

(2)设网友打分的平均值为若按打分油否在区间［"-肛"+矶次>。)内进行分层抽样,抽取10人进行

深度调研，打分在区间［〃-叫4+向内的至少抽取8人,试估计加的打小值(保留两位小数).

【雏析】(1)网友打分的年均值为

(55x0.005+65x0.035+75x0.030+85x0.020+95x0.010)x10=74.5,

分数在［50,70)的领率0.05+0.035x10=0.4<0.5,

分数在［50.80)的频率0.4+0.030x10=0.7>0.5,

设中位数为x,则xe［70,80),

0.4+(x-70)x0.030=0.5,得"73.3,

即中位数约为733.

(2)ill(1>可知"=74.5.

要使抽取的10人的打分在［74.5-叫74.5+间内的人数不低「8人，

则打分在区间［745一叫74.5+向内的频率不低J-0.8.

=5.5,则［745-肛74.5+加］=［69,80］,

^0.03x104-2^1^x0.035x10=0335<0.8；

若m=14.5,则［74.5-刑,74.5+司=［60,89］,

QQ—X0

须率0.035xl0+0.03xl0+-^-x0.020xl0=0.83>0.8.

当加最小时，5.5<w<14.5,

70-(74.5-m)74.5+w-80

110.03x10+——-------』x0.035xl0+x0.020xl0=0.8,

1010

解得加X13.95,即加的最小值约为13.95.

2.对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计,随机抽取M名学生,得到这M名学生参加社区服

务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布克方图.

分组频数频率

[10,15)100.20

[15,20)24n

[20,25)mP

[25.30]20.04

合计M1

频率

丽

a

—

—

---1j

01015202530次薮

（1）求出表中M,p及图中a的值;

⑵若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间口5,20）内的人数；

（3）｛占计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平•均数.（保留一位小数）

【解析】（1）山分组对应的族数是10,频率是0・20,^1—-0.20,所以A/=50,

M

1474

所以10+24+6+2=50,解得〃2=14,所以0=—=—=0.28,a=-------=0.096；

M5050x5

（2）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区何口5,20）内的人数为1^300=144；

（3）估计该校而寸生参加社区服务次数的众数是空咨=17.5.

2

因为〃=总=0.48,所以估计该校高二学生参加社区服务次数的中位数x满足：

048

0.2+（x-15）x—^-=0.5,

解得x=18.125,所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1,

11112.5x020+17.5x0.48+22.5x0.28+27.5x0.04=18.3,

所以估计该校而三学生参加社区服务次数的平均数是183.

3.为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的

情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示（最

只知道第二组的频率是第一组的2倍.

⑴求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图;

（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为，良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”

以上等级的成绩范围（保留1位小数）;

⑶现知道直方图中成绩在［130,140）内的平均数为136,在［140.150］内的平均数为144,求成绩在［130.150］

内的平均数.

【解析】（1）设第组的频率为“，则笫二组的频率为2x,依题意x十2x+（0.034十0.03十0.018十0.006）x10—1,

解得工=0.04,所以第一组的频率为0.04,则笫二组的频率为0.08,补全隙率分布在方图如卜:

(2)lh0.04+0.08+0.34+0.3=0.76>0.75,设上四分位数为x,Mxe［120.130),

所以0.04+0.08+0.34+0.03(x-120)=0.75,蟀卜R29.7,

所以全市“良妗以上等级的成绩检间129.7.150］；

G）有图可知,成纱“工”0,140］的频率为0.018x10-0.18；

成绩在［140.150］的频率为0.006x10=0.06,

成绩在［130,150］的频率为0.18+0.06=0.24,

...r0,1830.061

0.2440244

成绩在［130,150］内的平均数为135x：+144x1=138；

44

4.某城市100户居民的月平•均用水量（单位:吨）,以［0,2）［2,4）［4,6）［6,8）［8」0）［10,12）［12,14）分组的频率

分布宜方图如图.

⑴求直方图中X的值；并估计出月平均用水量的众数.

（2）求月平均用水量的中位数及平均数；

（3心月平均用水量为68）,[8」0）,[10J2）,[12J4）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民,

则应在[10,⑵这•组的用户中抽取多少户?

【解析】（1）根据频率和为1,fj2x（0.02+0.095+0.11-H）.125-hr+0.05+0.025）=l,

解得x=0.075；由图可知，最而矩形的数据组为[6,8）,所以众效为16+8）=7；

（2）[2,6）内的频率之和为

（0.02+0.095+0.11）x2=0.45；

设中位数为Q则0.45+（1-6）x0.125=0.5,

解得）=6.4,•,•中位数为6.4；

平均数为2（1x0.02+3x0.095+5x0」1+7x0.125+9x0.075+11x0.025）=5.36

（3）月平均用电认为“0/2）的用户在四仙|]户中所占的比例为

___________0^____________2

0.125+0.075+0.05+0.025-11,

二月平均用电;MEU0,12）的用户中应抽取22x揖=4（户）.

5某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调

整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水僦标准4（吨），一位居民的月用水僦不超过》的部分

按平价收费，超出工的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的

月均用水量（单位：吨），将数据按照[04）口,2）,…[8,9）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其

中04a=6.

⑴求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作

为代表〉；

（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数；

（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水所不超过标准x（吨），估计x的值.

【解析】（1）山频率分布I’［方图可得0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+b+0.04+0.02=l,

乂0.4a=b,则。=0.15,6=0.05,

该市居民用水的干均数估计为:

x=0.5x0.04+1.5x0.08+2.5x0.15+3.5x0.20+4.5x0.26+5.5x0.15+6.5x0.06+7.5x0.04+8.5x0.02=4.07；

（2）由频率分布H力图可得，

月均用水;it不超过2吨的频率为：0.04+0.08=0.12,

则月均用水量不低产2吨的频率为：1-0.12=0.88,

所以全市40万居民中月均用水送不低r2岫的人数为：40x0.88=352（万）；

（3）日濒率分布”方图知月均用水送不超过6吨的频率为：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88,

月均川水;it不超过5吨的频率为：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73,

则85%的总民每月的用水依不超过的标准x（吨），5<x<6,

7.0.73+0.15（x-5）=0.85,解得x=5.8,即标准为5.8吨

6J2023长春马拉松”于2023年5月21日举办，为让更多的人了解马拉松运动项目，某中学举办了马拉松

知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)试根据频率分布直方图求出这100名学生中成绩低于60分的人数；

(2)试估计这100名学生的平均成绩；

(3)若成绩的前15%获得奖励，李华同学成绩为83分，试估计他是否能获得奖励？

【解析】⑴山频率分布直方图中的数据可知,成绩低『60分的人数为：(0.002+0.016)x10x100=18A,

(2)平均成绩

x=0.002x10x45+0.016x10x55+0.022x10x65+0.030x10x75+0.020x10x85+0.010x10x95=73(分)；

(3)成绩小f80的频率为10xO-002+0.016+0.022+0.030)=0.7,共lOOx0.7=70名，

成绩在[80,90)的频率为10x0.020=02，共100x0.2=20名,

因为0.7<0.85<0.9,

所以这100名学生成绩的的15%的最低J竭在[80,90)内，

山广，李华同学成绩为83分，要想获得奖励，则李华的成绩从小到大个出86位，

若成绩隹[80,90)内喳少有15人成绩不超过83分时，则李华能获得奖励，否则李华不能获得奖励.

7.某校100名学生期末考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)/60,70),

[70:80),[80；90),[90,100].

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

x:y1:11:33:45:2

(1)求图中a的值;

(2/据频率分布直方图,估计这100名学生化学成绩的平均分;

(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数(x)5物理成绩相应分数段的人数(用之比如衣所示，求物理

成绩在［50.90)之外的人数.

【解析】(1)山腹率分布H方图可知(2a+0.01+0.03