2026年高考数学一轮复习专练：导数的概念及其意义、导数的运算（学生版+解析）

专题3.1导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1导数的定义及其应用】.........................................................................2

【题型2（复合）函数的运算】.........................................................................3

【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】................................................................4

【题型4求曲线的切线方程】...........................................................................4

【题型5与切线有关的参数问题】......................................................................5

【题型6切线的条数问题】.............................................................................5

【题型7两条切线平行、垂直、公切线问题】...........................................................6

【题型8与切线有关的最值问题】......................................................................6

1、导数的概念及其意义、导数的运算

考点要求真题统计考情分析

2023年全国甲卷（文数）：第

（1）了解导数的概念、掌握8题，5分导数是高考数学的必考内容，导数

基本初等函数的导数2024年新课标I卷：第13题，的概念及其意义、导数的运算是高考常

（2）通过函数图象，理解导5分考的热点内容，从近几年的高考情况来

数的几何意义2。24年全国甲卷（文数）：第看，主要涉及导数的运算及几何意义，

⑶能够用导数公式和导7题，5分一般以选择题、填空题的形式考察导数

数的运算法则求简单函数2024年全国甲卷（理数）：第的运算、求曲线的切线方程，导数的几

的导数，能求简单的复合6题，5分何意义也可能会作为解答题中的一问进

函数的导数2025年全国一卷：第12题，5行考查，试题难度属中低档.

分

知识梳理

知识点1导数的运算的方法技巧

1.导数的运算的方法技巧

（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

（2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

（3）复合函数求导，应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.

知识点2复合函数的导数

1.复合函数的定义

一般地,对于两个函数产A"）和〃=*）,如果通过变量可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数产/（〃）

和“二£（%）的复合函数,记作广式式幻）.

2.复合函数的求导法则

复合函数产式8。））的导数和函数f/（〃）,“招。）的导数间的关系为丹'二凡'•，即.y对x的导数等于y对u

的导数与〃对x的导数的乘积.

3.求复合函数导数的步骤

第一步：殳层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；

第二步：分别求导:分别求各层函数对相应变量的导数：

第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；

第四步：变量回代:把中间变量代何.

知识点3切线问题及其解题策略

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

⑴求出函数产危）在x=xo处的导数，即曲线卢孔r）在点（切双⑹）史切线的斜率；

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为＞=yoWo）（x-xo）.

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

⑴设出切点坐标7（xo尺o））（不出现光）；

⑵利用切点坐标写出切线方程：月（冲时（期）（上前；

（3）洛已知条件代入②中的切线方程求解.

3.与切线有关的参数问题的解题策略：

（I）处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程（组）并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；

②切点在切线.匕故满足切线方程；

③切点在曲线上，故满足曲线方程.

（2）利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.

4.公切线问题的解题思路

求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把

两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切

可用判别式法.

举一后二

【题型1导数的定义及其应用】

［例1］（24-25高二下.河南.期末）已知函数/'（%）=X2-2X-3,则/'（x）从1到1+Ax的平均变化率为（）

A.Ax+3B.2Ax-1C.AxD.（Ax）2-Ax

【变式1-1］（24-25高二下•海南海口•期中）一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间£（单位：s）

的关系是y（t）=t2+4t,则物体在t=2s时的瞬时速度为（）

A.2m/sB.6m/sC.8m/sD.12m/s

【变式1-2](24-25高二下•湖北十堰・期末)已知函数/(幻在％=々处可导，若京％生叱色#3=12,

则((%)=()

A.4B.6C.-6D.-4

【变式1-3](24-25高二下•北京•期中)物体甲、乙在时间0到上范围内，路程的变化情况如图所示，下列

A.在0到环范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在。到％范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度

C.在£=£。时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度

D.在亡二亡。时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度

【题型2(复合)函数的运算】

【例2】(2025・湖北•模拟预测)已知函数/(%)和它的导函数尸(为的定义域均为R,且/(%+2)+/(-％)=2,

/G+2)为奇函数.若/'(0)=0,则2誉/«)=()

A.1B.2C.2025D.2026

【变式2-1](2025•陕西安康・三模)已知函数f(%)及其导函数尸(%)的定义域均为R,若/•'(%)为奇函数，

/(x+1)+》为偶函数，则/(101)=()

A.-101B.101C.0D.-1

【变式2-2](2025•山东潍坊•模拟预测)已知函数人幻及其导函数广(外的定义域均为(0,+8),f(x2+1)=

/2(x)+/2(l)+x2,且=广(1)=%则((5)=()

A.2B.2C.丑D.竺

4444

【变式2-3](2025•江西•一模)已知可导函数/(%)的定义域为R,广⑺是/(%)的导函数，且/(2.1)为偶函

数广(2%+1)为奇函数，((0)=1,则/(2024)+/(2025)+((2026)=()

A.-2B.-1C.0D.1

【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】

【例3】（2024•福建厦门•一模）已知直线/与曲线y=在原点处相切，则，的倾斜角为（）

A/B.：C.手D•曰

【变式3-1]（2025•福建泉州•模拟预测）如图是函数/（%）的部分图象，记/'（幻的导数为尸（幻，则下列选项中

值最大的是（）

C./（-14）D./'（8）

【变式3-21（24-25高二下・福建福州・期中）设“均为R上的可导函数，且lim/⑴-广2\幻=1，则曲线、=/（x）

△ATA*

在点（1,/（1））处的切线斜率为（）

A.-2B.-1C.1D.--

2

【变式3-3]（24-25高二下•陕西西安•阶段练习）已知函数/（幻的导函数为尸（幻，/（无）的图象如图所示，则

（）

A./'（X1）＞/'（%3）＞/（%2）

B.f\x2）＞r（X1）＞r（x3）

c.r（x）＞r（x）＞ru）

312D.r（x1）＞r（x2）＞r（%3）

【题型4求曲线的切线方程】

【例4】（2025•广东肇庆•一模）曲线y=武/-1）在％=1处的切线方程为（）

A.x=1B.y=1

C.y=2x+1D.y=2x-2

【变式4-1]（2025•黑龙江哈尔滨模拟预测）已知函数f（x）=//'（£）+In%-9,则函数在％=1处的切线

方程是（）

A.y=-9x—9B.y=19x—19C.y=19x--2-9D.y=-9%H—47

Z2JJ2Z22

【变式4-2]（2025•江西景德镇•一模）过点力（0,1）且与曲线+2%-1相切的直线方程是（）

A.y=5x+1B.y=2x+1

C.y=x+1D.y=-2x+1

【变式4-3]（2U25•重庆•模拟预测）已知抛物线C:无2=3y和圆。/+y2=4在.第一象限内的文点为尸，则

以P为切点的。的切线方程为（）

A.2x-V3y-V3=0B.V3x-2y-1=0

C.2x+V3y-3V3=0D.V3x4-2y—4=0

【题型5与切线有关的参数问题】

【例5】（2025・重庆・三模）已知直线尸如一。与曲线y=%+泮切，则实数。=（）

A.0B.\C.：D.1

【变式5-1]（2025•山西•模拟预测）已知函数/。）=。一。）0—2）（%-3）（》一4）,若/（x）的图象在x=2处

的切线方程为y=6x+b,则a+b=（）

A.-11B.-12C.-13D.-14

【变式5-2]（2025•全国一卷•高考真题）若直线y=2X+5是曲线y=e"+x+a的切线，则。=.

【变式5-3]（2025•山东泰安・二模）若函数/（无）=e》-ax与直线y="相切，则实数a的值为.

【题型6切线的条数问题】

【例6】（2025•河南•模拟预测）过原点且与曲线、=4位相切的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【变式6-1]（2025•全国•模拟预测）若曲线y=（l-x）ex有两条过点力（a,0）的切线，则a的取值范闱是（）

A.（—oo,—l）U（3,+co）B.（—3,1）

C.（-8,-3）D.（-co,-3）U（1,4-co）

【变式6-2]（2025•全国•一模）函数/'（%）=4xsinxcosx过原点的切线条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式6-3]（24-25高三上•陕西•阶段练习）函数/（%）=x-alnx在区间（1,6）的图象上存在两条相互垂直的

切线，则Q的取值范围（）

A.(1,6)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,6)

【题型7两条切线平行、垂直、公切线问题】

【例7】（2025•辽宁大连•一模）斜率为1的直线I与曲线y=ln（x+a）和圆/+y2=3都相切，实数a的值

为（）

A.。或2B.-2或0C.-1或0D.0或1

【变式7-1]（2025・福建•模拟预测）已知直线、=履+匕既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=-ln（—x）的

切线，则（）

A.k=-,b=0B.k=1,b=0

e

C.k=b=-1D.k=1,b=-I

e

【变式7-2]（2024.新课标I卷•高考真题）若曲线y=a+%在点（0,1）处的切线也是曲线y=1（工+1）+。的

切线，则。=.

【变式7-3]（2024.四川成都.模拟预测）已知函数、=正的图象与函数、（a>0且QW1）的图象在公

共点处有相同的切线，则公共点坐标为.

【题型8与切线有关的最值问题】

【例8】（24-25高二下•山东枣庄•阶段练习）点P是曲线y=/-lnx上任意一点，则点P到直线y=%-4的

距离的最小值是（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【变式8-1]（2025•广东佛山•一模）若直线y=>+上与曲线y=In与+尖相切,则。2+炉的最小值为（）

1q

A.-B.1C.-D.2

22

【变式8-2]（2025•全国•模拟预测）若函数/（%）=函+3x-41nx,点P是曲线y=/（x）上任意一点,则点P到

直线—y-3=0的距离的最小值为（）

A.4&B,—C.3V2D.—

22

【变式8-3]（2025•陕西汉中•模拟预测）已知4区,力）,83,力）为曲线'=留上两个不同的点，曲线y=眇在

点处的切线相交于点C（x0,yo），且这两条切线的斜率之积为1，则蓼-资的最小值为（）

AE2y[2c、ln2

A.—Bo.—C-eD.一

过关测试

一、单选题

1.(2025・甘肃白银•三模)如果质点按规律s(t)=2d-t(距离单位：m,时间单位：s)运动，则质点在

2s末的瞬时速度为()

A.8m/sB.7m/sC.6m/sD.5m/s

2.(2025・湖北•一模)下列求导运算正确的是()

A.(sina)'=cosa(a为常数)B.(sin2%y=2cos2x

C.(3V=3"log3eD.(VFTT)'=意

3.(2025・湖南郴州・三模)曲线y=lnx在点(e,l)处的切线方程为()

A.x-y=0B.x—ey=0

C.x—y+1—e=0D.ex-y=0

4.(2025•甘肃兰州・一模)若函数y=号二(e为自然对数的底)的一条切线与入轴平行，则切点的坐标为

()

A.(1,0)B.(0,1)C.(1,1)D.(l,e)

5.(2025・山东聊城•三模)已知“乃是定义域为R的可导函数，设其导函数为g(x).若/(x+1)—2x为偶函

数，且gG)=g(4—x),则E得g(i)=()

A.60B.40C.2()D.8

6.(2025.湖南.三模)若直线y=+l(A为常数)是曲线y=Inx+1和曲线y=+1的公切线，则实

数。的值为()

A.-B.4C.1D.e

e

7.(2025•山东泰安・模拟预测)已知函数“幻是定义在R上的可导函数，且/Xx)满足/'(2-%)=/•(%),fa+2)=

-fM，当工€[0,1)时，fM=2石，则((等)=()

A.V2B.V2C.7D.--

22

8.(2025・甘肃•二模)若函数/(公=111(%-1)+/+以的图象上存在两个不同点，使得/(%)在这两点的切

线与直线y=—：x垂直，则a的取值范围是()

A.(―co,-2A/2)B.(—co,—2V2)U(4,4-00)

C.(-00,3)D.R

二、多选题

9.(2025•甘肃庆阳•三模)已知函数/•(%)=£,则卜列结论正确的是()

A.当a=1时，曲线y=/(外在点(0,/(0))处的切线方程为y=x

B.当。=1时，曲线y=/'(%)在点(0,/(0))处的切线方程为y=1

C.当a=0时，曲线y=f(x)上不存在斜率为0的切线

D.当Q=0时，曲线y=/(外在点(1J(1))处的切线斜率为0

1U.(2。25•山东烟台•二:模)已知定义在R上的困数/(切的导函数为/'(%),若对任意居y6R,都有/O+y)-

/(x-y)=2/(l-x)/(y),且/⑴=1.则()

A./(均为偶函数B.r(0)+/z(2)=0

C.尸(%)的周期为4D.f2M+/2(1-%)=1

11.(2025.四川巴中.三模)已知函数f(x)及其导函数/''(%)的定义域均为R,记g(%)=ra)，若f(2x+l)与

g(x+2)均为偶函数，则下列选项正确的是()

A.本025g(i)=oB./(%)和g(x)是周期为4的周期函数

C.g(x+l)为奇函数D./(%)图象关于点(2,0)对称

三、填空题

12.(2025・四川乐山•三模)曲线y=1-e》与在点(0,0)处的切线方程为.

13.(2025•河北秦皇岛•模拟预测)设QH0,若曲线/(无)=aln(x—1)在点(2)(2))处的切线也是曲线g(x)=

eax-2的切线，则。.

14.(2025・四川遂宁•模拟预测)己知函数/(x)及其导函数r(x)的定义域为R,若/"'(2)=8,函数/(2x+l)

和/'(%+2)均为偶函数，则用肾5/⑴的值为.

四、解答题

15.(2025高二.全国・专题练习)己知某物体的运动方程为s=[靠对(位移s的单位：

m,时间£的单位：s).

⑴求该物体在te[3,5]内的平均速度；

(2)求该物体的初速度为:

(3)求该物体在t=1时的瞬时速度.

16.(24-25高二下•上海浦东新•期中)已知函数y=/(%)与y=9(%)满足/⑴=2,尸⑴=3,g⑴=4,

g'(l)=5.对于下列函数y=h(x),求九(1)和“(1).

(1)h(x)=3g(%)+2f(x)+1；

(2)h(x)=2g(2-x)-l

3f(2x-l)'

17.(24-25高二下•青海西宁•期口)已知函数f(%)=/+、-16.

(1)直线，为曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线，求直线，的方程；

⑵求过原点且与曲线y=/(%)相切的切线方程及切点坐标.

18.(24-25高二下•辽宁抚顺•期口)己知尸(幻是函数八")的导函数，且/■3)=2111%+尸⑴炉+2/(1).

⑴求「⑴；

(2)求曲线y=/Q)在点(1J(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

19.(24-25高二下•广东东莞•阶段练习)已知函数/(x)=eX+Qx+l.

(1)若函数/(x)的图象恒过定点P,且在定点P处的切线方程与直线3%+y+l=0平行，求定点P的坐标和实

数a的值；

(2)若函数f(%)的图象存在与直线3%+y+1=0垂直的切线，求实数a的取值范围.

专题31导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1导数的定义及其应用】.........................................................................2

【题型2（复合）函数的运算】.........................................................................3

【题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）】................................................................4

【题型4求曲线的切线方程】...........................................................................4

【题型5与切线有关的参数问题】......................................................................5

【题型6切线的条数问题】.............................................................................5

【题型7两条切线平行、垂直、公切线问题】...........................................................6

【题型8与切线有关的最值问题】......................................................................6

考情分析

1、导数的概念及其意义、导数的运算

考点要求真题统计考情分析

2023年全国甲卷（文数）：第

（1）了解导数的概念、掌握8题，5分导数是高考数学的必考内容，导数

基本初等函数的导数2024年新课标I卷：第13题，的概念及其意义、导数的运算是高考常

（2）通过函数图象，理解导5分考的热点内容，从近几年的高考情况来

数的几何意义2024年全国甲卷（文数）：第看，主要涉及导数的运算及几何意义，

⑶能够用导数公式和导7题，5分一般以选择题、填空题的形式考察导数

数的运算法则求简单函数2024年全国甲卷（理数）：第的运算、求曲线的切线方程，导数的几

的导数，能求简单的复合6题，5分何意义也可能会作为解答题中的一问进

函数的导数2025年全国一卷：第12题，5行考查，试题难度属中低档.

分

r、

知MB识<MM梳理wn

知识点1导数的运算的方法技巧

1.导数的运算的方法技巧

（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

（2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

（3）复合函数求导，应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.

知识点2复合函数的导数

1.复合函数的定义

一般地,对于两个函数产/(〃)和〃:g。)，如果通过变量可以表示成A-的函数，那么称这个函数为函数产火〃)

和的复合函数,记作尸检⑴).

2.复合函数的求导法则

复合函数度施(幻)的导数和函数产的导数间的关系为yj=y,/•",即y对x的导数等于y对u

的导数与〃对x的导数的塞积.

3.求复合函数导数的步骤

第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数：

第二步：分别求导:分别求各层函数对相应变量的导数；

第三步：把上述求导的结果相乘；

第四步：变量回代:把中间变量代回.

知识点3切线回题及其解题策略

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

⑴求出函数产/")在X=Xo处的导数，即曲线产在点(孙凡⑹)史切线的斜率；

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为产=比十八ro)(x-ro).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

⑴设出切点坐标〃项次⑹乂不出现为)；

(2)利用切点坐标写出切线方程：＞=i/(xo)Wo)Cv-A-o);

(3)洛已知条件代入②中的切线方程求解.

3.与切线有关的参数问题的解题策略：

(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率：

②切点在切线上，故满足切线方程；

③切点在曲线上，故满足曲线方程.

(2)利用导数的几何意义求参数问题时•，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.

4.公切线问题的解题思路

求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把

两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切

可用判别式法.

举一反三

【题型1导数的定义及其应用】

[例1](24-25高二下•河南•期末)已知函数/(x)=/—2%-3,则f(%)从1到1+Ax的平均变化率为()

A.Ax+3B.2Ax-1C.AxD.(Ax)2-Ax

【答案】C

【解题思路】根据平均变化率的定义计算可得.

【解答过程】八1+的一"1）=Q+Ax）2-2d）-3-（1-2-3）=口=AX

&xAxAx

故选：c.

【变式1-1]（24-25高二下•海南海口•期中）一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）

的关系是y（£）=t2+4t,则物体在t=2s时的瞬时速度为（）

A.2m/sB.6m/sC.8m/sD.12m/s

【答案】C

【解题思路】根据导数的运算公式，求得y'（t）=2£+4,得到y<2）的值，即可求解.

【解答过程】由题意知，位移y与时间£的关系是、（。二产+牝，可得y，Q）=2t+4,

可得y'（2）=2x2+4=8m/s.

故选:C.

【变式1-2]（24-25高二下•湖北十堰期末）已知函数/•（%）在处可导，若妈"丁。+2墨/*。-3=12,

则尸（%。）=（）

A.4B.6C.-6D.-4

【答案】A

【解题思路】应用导数定义计算求解.

|j/(X0+23/(X0)+f(Xo)/(X02Tx)

【解答过程】因为limrg+2A?-fg-Ax）m

AXTOAXAx-»OAx

=2妈^^+则。^^2=3/口。）=12,所以小。）=4.

故选:A.

【变式1-3]（24-25高二下♦北京•期中）物体甲、乙在时间0到£二范围内，路程的变化情况如图所示，下列

A.在0到玲范围内，甲的平沟速度大于乙的平均速度

B.在。到％范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度

C.在亡=玲时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度

D.在t=t0时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度

【答案】C

【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可.

【解答过程】在。到to范围内，甲、乙的平均速度都为F，故A、B错误；

因为甲对应的曲线在£=匕处的切线的斜率大于乙对应的曲线在i=S处的切线的斜率

故在£=匕处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误.

故选：C.

【题型2(复合)函数的运算】

【例2】(2025・湖北•模拟预测)已知函数/•(%)和它的导函数广⑺的定义域均为R,且/'(%+2)+/(-％)=2,

+2)为奇函数.若/'(0)=0,则2%：f(i)=()

A.1B.2C.2025D.2026

【答案】C

【解题思路】根据虚拟函数的对称性，可知函数人幻关于(1,1)中心对称，((2)=0,得出函数的规律，分别

求出工为整数是函数的值，求出前2025项的和即可.

【解答过程】v/(x+2)4-/(-%)=2,.•./(%+2)=2-/V%),即/(幻关于(1,1)中心对称,

+2)为奇函数，且定义域为R,

.•.((％+2)关于(0,0)所中心对称，根据换元法则有尸⑶关于(2,0)中心对称，

则/(%)关于直线％=2轴对称，则有/'(X)=/(4-X),

/(X+2)+/-(-%)=2

可知，作差得f(%+2)+/(x+4)=2,换元得/(%)+/-(%+2)=2

/(-%)=/(4+%)

再作差[/Q+2)+f(x+4)]-[fM+f(x+2)]=0,化简得+4)-/(x)=0,

即f(x+4)=g函数f(x)周期为4.

当口=一1时,f(l)+/(l)=2,解得"1)=1,

当x=0时,/(2)+/(0)=2,解得f(2)=2,

由/(%+2)+/(-%)=2,可知/'(3)+/(-1)=2,结合/(3)=/1(-1)

可知"3)=1,又/•(4)=/(0)=0,

故管f(i)=(1+24-1+0)x506+f(2025)=2024+1=2025,

故选：c.

【变式2-1](2025•陕西安康・三模)己知函数/(%)及其导函数尸(%)的定义域均为R,若((x)为奇函数，

/6+1)+》为偶函数，贝叶'(101)=()

A.-101B.101C.0D.-1

【答案】A

(解题思路】由已知可得尸(一幻=f(-x+1)-1=+1)+X,求导得尸(一x+1)=-f(x-1),

进而可得尸(x)-f\x-2)=-2,累加可求得。(101).

【解答过程】因为函数/(%)及其导函数/Q)为奇函数，所以/

又函数/(x+1)+x为偶函数，所以7•(-%+l)-x=/(x+l)+x,

对两边求导,得一尸(一％+1)-1=尸(％+1)+1,所以一尸(一X+1)-/(无+1)=2,

又「(f)=-0(%),所以((T+1)=一/(x-1),

所以((4-1)-f\x+1)=2,所以尸(x)-f[x-2)=-2,

所以尸(101)一/(99)=-2,尸(99)一/(97)=-2,…，广(3)-/⑴=-2,

所以尸(101)-1(l)=-2x50=-100,Xr(D-r(-l)=-2,所以广(1)+/(1)=-2,所以广(1)=

一1，所以r(101)=—101.

故选：A.

【变式2-2](2025•山东潍坊•模拟预测)已知函数/(%)及其导函数7''(、)的定义域均为(0,+8),/(/+i)=

尸住)+尸⑴+系且〃1)=1,r(i)=i,则/⑸=()

A.2B.qC.丫D.竺

4444

【答案】C

【解题思路】先应用赋值法计算f(2),再结合复合函数求导得出/■,(2)=最后赋值计算即可.

【解答过程】因为/(/+1)=产(0+尸(1)+/,且/⑴=1,令%=1,得/(2)=尸(1)+尸(1)+1=3.

对/(/+1)=/2(x)+/2(1)+炉两边同时求导，得2%广(/+1)=2/z(x)/(x)+2%,即无尸(一+1)=

r(x)/«+x.

令％=1,得/⑵=/(1)/(1)+1=;+1=看

令x=2,得2/⑸=〃(2)/•⑵+2=；.3+2=指故/⑸=f.

//*r

故选:C.

【变式2-3](2025•江西•一模)已知可导函数/(%)的定义域为R,尸(幻是/(无)的导函数，且/(2x-l)为偶函

数((2x+l)为奇函数，((0)=1,则/(2024)+/(2025)+((2026)=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【解题思路】由题意可得/'(l—£)+/'(l+t)=0,由函数奇偶性的定义得出/求导得

出一尸(一£-1)=f'(t-1),进而可推出函数尸(幻是周期为4的周期函数，以及函数尸(行的对称中心为(1,0),

求出尸(1)、((0)+/(2)的值,结合函数周期性可求得广(2024)4-尸(2025)+尸(2026)的值.

【解答过程】因为函数尸(2%+函为奇函数,WX-2x+l)=-r(2x4-1),

即广(一2%4-1)+ff(2x+1)=0,令£=2x,则/(1-t)+f'(l+0=0,

所以，函数((%)的对称中心为(1,0),且尸(2-£)+/(「)=0,①

在等式①中，令£=1可得2/(1)=0,解得/(1)=0,

在等式①中，令t=0可得((0)十尸(2)=0.

因为函数/\2x-1)为偶函数，则/(一2%-1)=f(2x-1),

令t=2x,可得—=—求导得一广(—£-1)二尸。一1),

Wz(O+/z(-2-t)=0,②

由①②可得尸(2—。二((一2—力，令s=-2-3则广(4+s)=f<s),

所以，函数尸(力是周期为4的周期函数，

所以，尸(2024)+/(2025)+尸(2026)=((0)+/(1)+尸(2)=0.

故选：C.

【题型3求曲线切线的斜率(倾斜角)】

【例3】(2024.福建厦门.一模)已知直线，与曲线y=/一》在原点处相切，则/的倾斜角为()

A.-6B.4-C.-4D.-6

【答案】C

【解题思路】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.

【解答过程】由y'=3/-l,则丁匕=0=-1，即直线I的斜率为-1,

根据倾斜角与斜率关系及其范围知：1的倾斜角为千.

4

故选：C.

【变式3-1】(2025•福建泉州,模拟预测)如图是函数/■(%)的部分图象，记/(%)的导数为/''(%),则下列选项中

A./■⑶B.3/73)C./(-14)D.尸(8)

【答案】A

【解题思路】由函数/(切的图象，结合导数的几何意义，即可判断.

【解答过程】

由图可知,/'(一14),广(8)为负数,/(3),3/(3)为正数，故不选为一14),尸(8),

设/(x)在x=3处的点为4,显然。4的斜率岫从大于尸(3),

则空U>尸(3)，可转化为/'(3)>3/(3),

所以/(3)的值最大.

故选：A.

【变式3-2X24-25高二下•福建福州・期中)设/•(%)为R上的可导函数，且A%&上等^=1,则曲线y=/(x)

在点(14(1))处的切线斜率为()

A.-2B.-1C.1D.—

【答案】D

【解题思路】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可.

【解答过程】易知曲线y=/(外在点处的切线斜率为r(1),

所以/(1)=1而巫华也」

△x-»0-2Ax2Ax2

故选：D.

【变式3-3](24-25高二下•陕西西安•阶段练习)已知函数/•(%)的导函数为/(%),/(%)的图象如图所示，则

lx\O\x2x

A.fg＞r（x3）＞广（小）B.r（X2）＞r（X1）＞广（小）

c.f（x3）＞尸（巧）＞尸（无2）D.尸（％）＞r（小）＞r（x3）

【答案】A

【解题思路】根据导数的几何意义，结合图象即可求解.

【解答过程】根据导数的几何意义，结合图象可得尸（9）＞0,/（%3）=0，尸（%2）＜0,

所以尸（必）＞/。3）＞/'（❷）♦

故选：A.

【题型4求曲线的切线方程】

【例4】（2025.广东肇庆.一模）曲线y=x（/一1）在％=1处的切线方程为（）

A.x=1B.y=1

C.y=2x+1D.y=2x-2

【答案】D

【解题思路】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可

【解答过程】令/'（%）="（7一1）,则/（%）=3/-1,即/（1）=2,/（1）=0,

所以曲线y=x（x2-1）在4=1处的切线方程为y-0=2（x-1）,即y=2x-2,

故选：D.

【变式4-1]（2025.黑龙江哈尔滨.模拟预测）已知函数7•0）=//（3+1•一9,则函数在x=1处的切线

方程是（）

A.y二%9-9B.y=19x-19C.y=19x-2y9D.?=9+y47

【答案】B

【解题思路】对/（x）求导，注意尸◎是常数，令3=3代入导函数中，可求得尸©），进而可求/（1）/（1）,可

得/（%）在％=1处的切线方程.

【解答过程】/■'（%）=2f'（^x+；,令％=可得=9,

•5XO

/（I）=94-0-9=0,r（l）=19,

所以/（%）在％=1处的切线方程为y=19x-19.

故选：B.

【变式4-2]（2025•江西景德镇•一模）过点力（0,1）且与曲线/⑶二/+2%-1相切的宜线方程是（）

A.y=5x+1B.y=2x+1

C.y=x+1D.y=-2x+1

【答案】A

【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.

【解答过程】rw=3x2+2,点A不在曲线上,

2

设切点为（见,福+2x0-1），则/'（而）=3x0+2=止出士1,

X。

解得：*=—1,得切点（一1,-4）,则k=r'（-l）=5

切线方程为：y=5x4-1,

故选：A.

【变式4-3]（2025・重庆•模拟预测）已知抛物线C:/=3y和圆O：/+y2=4在第一象限内的交点为尸，则

以P为切点的。的切线方程为（）

A.2x-V3y-V3=0B.V3x-2y-1=0

C.2x+V3y-3V3=0D.V3x+2y-4=0

【答案】A

【解题思路】先根据联立得出点P,再求导函数得出切线斜率，最后点斜式写出直线方程.

【解答过程】联立抛物线C:/=3y和圆。:工2+y2=%可得y2+3y-4=0,y=一4（舍），则y=1,x=V5,

在第一象限内的交点为P（6,1）,

由抛物线。:/=3y,则y'=N，所以在处切线斜率为k=竽，

所以切线方程为y—l二手。一百），即得2x—gy-百=0.

故选:A.

【题型5与切线有关的参数问题】

【例5】（2025.重庆•三模）已知直线丁=以一〃与曲线y=x+£相切，则实数〃=（）

A.0B.-2C.75D.-2

【答案】C

yo=ax0-a

y°="°+—求解即可.

!一3

【解答过程】由y=%+?且x不为0,得(=1一爰

所以君一急=%+/，可得&=-2,Q=:

故选：C.

【变式5-1](2025•山西•模拟预测)已知函数/(%)=(%-a)(x-2)(%-3)(x-4),若/(X)的图象在％=2处

的切线方程为y-6x+/?,则Q+b-()

A.-11B.-12C.-13D.-14

【答案】C

【解题思路】利用导数的几何意义，列方程组求解即可.

[解答过程】由题意知/'(2)=(2-a)X(2-2)X(2-3)x(2-4)=0,

所以0=6x2+6,解得匕二一12,

又广(%)=(x-a)(x-3)(x-4)+(x—2)[(x-Q)(X-3)(x-4)]\

所以尸(2)=(2-a)x(2-3)x(2-4)=6,解得a=-1,所以a+b=-1+(-12)=-13.

故