第十一章 第9节 离散型随机变量的均值与方差

第9节离散型随机变量的均值与方差

最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算

简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.

I基础修断回归教材，夯实基础

知识梳理

1.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

••••••

XX\X2XiXn

••••••

PPiPlPiPn

⑴均值

称E(X)=m四+心〃2H-----HXM-1-------小为随机变量X的均值或数学期望,它反

映了离散型随机变量取值的壬均2迂.

(2)方差

称D(X)i(R—E(X))2优为随机变量x的方差，它刻画了随机变量X与其均值

/=1

E(X)的平均偏离程度,其算术平方根技65"为随机变量x的标准差.

2.均值与方差的性质

(\)E(aX-\-b)=aE(X)-\-b.

(2)。(〃乂+〃)=迤因3，b为常数).

3.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)=°D(X)=p(\-p).

(2)若X〜B(〃，〃)，则E(X)=型，D(X)=np(]~p).

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()

⑵随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差

或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()

(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回

事.()

解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散

型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不

正确.

答案(1)X(2)V(3)V(4)X

2.已知离散型随机变量X的分布列为

X123

331

P510Io

则X的数学期望E(X)=()

35

A.zB.2C.yD.3

3313

解析由数学期望公式可得E(X)=1X々+2X示+3乂木=方

J1XJ1\/L

答案A

3.(选修2—3P68Al改编)己知X的分布列为

X-101

111

P236

设Y=2X+3,则£(K)的值为()

A.1B.4C.-lD.1

解析£(X)=—

27

E(r)=E(2X+3)=2E(X)+3=—‘+3=w.

答案A

4.设随机变量X的分布列为P(X=Z)=](Z=2,4,6,8,10),则。(X)等于()

A.5B.8C.10D.16

解析因为E(X)=g(2+4+6+8+10)=6,

所以。(X)=/(—4/+(—2)2+。2+22+42]=8.

答案B

5.(2018•北京海淀区月考汝I果随机变量X〜8(〃，p),且E(X)=7,Q(X)=6,则〃

解析因为随机变量X〜3(〃，〃)，且七(X)=7,D(X)=6,

np=7,i

所以n、—解得

[np(1-p)—6,•

答案|

I考点突破呼林彩PPT名师讲解分类讲练，以例求法

考点一离散型随机变量的均值与方差

【例1】(2018•青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场

开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1

小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙

两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为;,幺

4o

I2

1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为京f；两人滑雪时间都不会超过3

小时.

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量式单位：元)，求^的分布列与

数学期望E(J,方差0(外

解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为()，40,80元，

两人都付0元的概率为

191

两人都付40元的概率为尸2="铝右

JJJ

两人都付80元的概率为

尸3=(1-9次(1—尹||=卜春=%

则两人所付费用相同的概率为0=4+22+23==+弃==・

(2)由题设甲、乙所付费用之和为却f可能取值为0,40,80,120,160,则：

P(^=0)=4X6=i;

P(f=40)=|x|+1x|=|：

%=80尸卜如宗弃卜尹福

P(f=120)=1x|+1x|=|；

强=160)=*=*

f的分布列为

0408（）12（）160

1511

P

24412424

£(G=0X=+40X；+80xV+120Xj+160X57=80.

II1LI4ta»1"

D©=(0~80)2X击+(40—80)2x1+(80-80)2X+(120—80)2x1+(160-80)2

J__4000

XV24~3,

规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能

值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.

(2)注意E(aX+b)=aE(X)+b,0mX+b)=crD(X)的应用.

【训练1】(2018•蚌埠二模)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从

标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小

球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将

两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元).若随机变量X和y

分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则E(X)-E(Y)=

元.

解析根据题意可得P(X=Q=《(攵=5,6,7,8,9),

可得E(X)=]x(5+6+7+8+9)=7(元).

丫的取值可能为2,4,6,8,其中

p(y=2)=表=|,

p（y=4）=*=3

10'

p（r=6）=^=|,

p（y=8）=*==,

2311

所以E(r)=2X§+4Xm+6X5+8X正=4(元).

故E(X)—E(K)=7—4=3(元).

答案3

考点二与二项分布有关的均值与方差

【例2】一家面包房艰据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分

布直方图，如图所示.

处

旃

0.006..............-I-------

().005------------

0.004....................................

0.003------

0.002................................

O50l(M)1502(M)250日俏仰堂/个

将R销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日

销售量低于50个的概率；

⑵用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布

列、数学期望E(X)及方差0(%).

解(1)设4表示事件“日销售量不低于KX)个"，①表示事件“H销售量低于

5()个"，〃表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100

个且另1天的日销售量低于50个”，因此

P(A।)=(0.006+0.004+0.002)义50=0.6,

P(A2)=0.003X50=0.15,

P(B)=0.6X0.6X0.15X2=0.108.

(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为

P(X=0)=C?•(1-O.6)3=0.064,

P(X=1)=C3•0.6(1—0.6y=0.288,

P(X=2)=C：-0.62(1-0.6)=0.432,

P(X=3)=C>0.63=0.216.

分布列为

X0123

P0.0640.2880.4320.216

因为X〜3(3,0.6),所以数学期望E(X)=3X0.6=1.8,

方差。(X)=3X0.6X(l—0.6)=0.72.

规律方法二项分布的期望与方差.

(1)如果〜3(凡〃)，则用公式£>(0=〃〃(1—p)求解，可大大减少计算

量.

(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从

二项分布，这时，可以综合应用E(a^b)=aE(^b以及E©=〃p求出E(球+

b),同样还可求出。(前+份.

【训练2】(2018•长沙调研)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物

果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5,32.5),[32.5,37.5),[37.5,42.5),[42.5,

47.5),[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示.

⑴求图中Q的值；

(2)估计这种植物果实重量的平均数x和方差/(同一组中的数据用该组区间的中

点值作代表)；

(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，用样本估计总体.若从

这种植物果实中随机抽取3个，其中优质果实的个数为X,求X的分布列和数学

期望E(X).

解(1)组距d=5,由5X(0.02+0.04+0.075+4—0.015)=1得4=0.05.

(2)各组中点值和相应的频率依次为

中点值3035404550

频率0.10.20.3750.250.075

1=30X0.1+35X0.2+40X0.375+45X0.25+50X0.075=40,

§2=(-10)2X0.1+(-5/X0.2+。2X0.375+5?X0.25+102X0.075=28.75.

(3)由已知，这种植物果实的优质率〃=0.9,且X〜8(3,0.9),

故其分布列为P(X=k)=C”0.9%・(1-0.9)3T(Z=0,1,2,3),

X的分布列为

X0123

p0.0010.0270.2430.729

E(X)—np—2.7.

考点三离散型随机变量的均值、方差

(多维探究)

命题角度1求实际问题的分布列与期望

【例3一1](2017•天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯

工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为今

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数

学期望；

⑵若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到I个红灯的概率.

解(。随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=O)=(I-

P(X=1)=2X(1-3)Xl1-4)+(1-SX3X(1-5+C1-2)X(1-3)X4=24-

P(x=2)=(i

P(X=3)=1x|x|=^.

所以，随机变量X的分布列为

X0123

11111

P

424424

随机变量X的数学期望E(x)=ox1+1X*+2x1+3X==!|

(2)设丫表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求

事件的概率为

p(y+z=i)=尸(y=o,z=i)+p(y=i,z=o)

=p(Y=o)p(z=i)+尸(y=i)p(z=o)

一=L4、X1241+.12L4X4L-=4181.

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为

命题角度2均值与方差的应用问题

【例3一2】某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,

现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也

可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为肝脸

项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%,可能

损失3()%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为|,上咕.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

解若按“项目一”投资，设获利为乂万元厕乂的分布列为

X300-150

P

79

二E(X|)=300X§+(—150)义$=200(万元).

若按“项目二”投资，设获利X2万元，

则X2的分布列为：

x2500-3000

3\1

P

5315

311

/.E(X2)=500X-+(-300)Xy+0X—=200(万元).

72

O(X])=(30()—200)2Xg+(—150—200)2X§=35()0(),

311

0(X2)=(500-200)2X-+(-300—200)2X彳+(0—2OO)2Xm=14()()0().

JJ1J

所以E(X)=E(X2),D(XI)<D(X2)，

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.

综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.

规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变

量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于

方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

【训练3](2018•河南百校联盟调研)PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，

为了了解某市空气质量情况，从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的

数据，其频率分布直方图如图所示.

现将PM2.5的值划分为如下等级

PM2.5值[0,100)[100,150)[150,200)[200,250]

等级一级二级三级四级

用频率估计概率.

(1)估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；

(2)在样本中，按照分层抽样的方法抽取8天的PM2.5值的数据，再从这8个数

据中随机抽取5个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率；

⑶如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天PM2.5值X近似满足X〜

Ml15,752),则治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降了多少？

解(1)由样本空气质量PM2.5的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下

表：

PM

[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250]

2.5值

频率().1250.1250.375().25().125

由上表可知，如果该市维持现状不变，则该市下一年的某一天空气质量为一级天

气的概率为0.25,

因此在360天中约有360X0.25=90天.

(2)在样本中，按照分层抽样的方法抽取8天的PM2.5值数据，则这8个数据中

一级、二级、三级、四级天气的数据分别有2个、3个、2个、1个.

从这8个数据中随机抽取5个，则这四种天气都有三种情况：一级天气的数据有

2个，其余的均为1个；二级天气的数据有2个，其余的均为1个；三级天气的

数据有2个，其余的均为1个.

共有的情况有：dclcic!+cldc!c!+c!cic?cl=24种.

而从8个数据中随机抽取5个，有Ci=56种情况.

故所求概率为2今4斗3.

DO/

(3)如果该市维持现状不变，则该市的PM2.5值的均值约为

E(y,)-25X().125+75X0.125+125X0.375+175X0.25+225X().125-131.25.

如果该市对环境进行治理，则该市的PM2.5值X的均值为E(X)=115,

因此该市治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降了16.25.

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.已知离散型随机变量X的概率分布列为

X135

P0.5m0.2

则其方差。(X)=()

A.lB.0.6C.2.44D.2.4

解析由().5+m+0.2=1得加=().3,Z.E(X)=1X().5+3X().3+5X0.2=2.4,

22

，D(X)=(1-2.4)X().5+(3-2.4)2x()3+(5-2.4)X0.2=2.44.

答案C

2.(2018・西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没

有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为()

A.100B.200C.300D.400

解析设没有发芽的种子有^粒，则j〜8(1000,0.1),且X=23・・・E(X)=£(2J

=2E©=2X1000X().1=200.

答案B

3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数

〃，p的值为()

A.〃=4,〃=0.6B.”=6,〃=0.4

C.〃=8,〃=0.3D.〃=24,〃=0.1

解析由二项分布X〜8(〃，p)及E(X)=np,D(X)=〃p・(l—p)得2.4=叩,且1.44

=np(l—p)f解得〃=6,〃=().4.故选B.

答案B

4.签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3

支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为[)

A.5B.5.25C.5.8D.4.6

ci

解析由题意可知，X可以取3,4,5,--

20

C23

P（X=5）=+而P（X=6）=*由数学期望的定义可求得E(X)=3x[+

331

4X—+5X—+6X-=5.25.

4U1\J4

答案R

5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到

有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为等乙在每局

中获胜的概率为最且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)

为()

241266274670

A--8FB--8FD*243

解析依题意，知X的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮，则该轮结

束时比赛停止的概率为住y+(#=|.

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛

结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X=2)=|,

452O

-X⑶216

99-81P（X=6）=©=布

故E(X)=2Xg+4X^H~6xU=淄.

答案B

二、填空题

6.已知随机变量c的分布列为

c123

p0.5X)'

若君(。=葭，则Q(J=

解析由分布列性质，得＜r+y=0.5.

又得2A-I

222

z\1fz1\355

(1185J-+_21-5-+3185J

1-J・--I-

\/2\887864

答案64

7.(2017.全国II卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，

有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则。(3=.

解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中〃=0.02,〃=100,则。(¥)=

如(1—p)=100X0.02X0.98=1.96.

答案1.96

8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字()、两个面上标有数字1、

一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望

是.

3

-

解析随机变量X的取值为0,1,4

114

=g,P(X=4)=x，因此E(X)=§.

4

答案-

9

三、解答题

9.(2018.惠州模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的

首要任务是控制PM2.5,要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、藤防

联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核.某省环保

部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组时A,B,C三个城市进行治

霾落实情况抽查.

⑴若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以

不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；

⑵每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市

进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为上若四个专家组均评

价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检.设需进行复检的城市的个数为X,

求X的分布列和期望.

解(1)随机选取，共有34—81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有

C；(C：A升C；)=42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为普=热

o1Z/

4

⑵设事件A：“城市需复检”，则P(Q=1—X的所有可能取值为()，

1,2,3,

3

P(x=o)=cb£)=^

2

P(x=i)=c；•田・得=赢，

2

P(X=2)=导表・闱=繇，

P(X=3)=C?,(H)=4096-

所以X的分布列为

X0123

]456753375

P

4096409640964096

因为X〜8(3,最,所以E(X)=3x1|噎

10.(2018.宁德一模)某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的

成绩作成统计表和频率分布直方图如下:

分组频数频率

[50,60)30.06

[60,70)m().1()

[70,80)13n

[80,90)q

(1)求表中3q及图中〃的值；

(2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行谈话，设X表示

所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

解(1)由题中表格可知，全班总人数，=品=5(),

VZ•\J\J

则"2=50X0.10=5,〃=而=0.26,所以。=希=0.026,3+5+13+9+〃=50,

20

即〃=20,所以9=而=0.4.

(2)成绩在［50,60)内的有3人，［60,70)内的有5人.

由题意得X可能的取值为0,1,2,3,

则X服从超几何分布，其分布列为

ckC3-

35O23

P(X=k)=

所以P(X=0)=后，尸(X=l)=*,

P(X=2)4,P(X=3)=*.

(建议用时：20分钟)

11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有

放回地摸取5次，设摸得白球数为X,已知£(%)=3,则D(X)=()

A.J7B.7JC.7JD.7J

解析由题意，X〜