勾股定理（暑假预习）-八年级数学（北师大版）学生版

第七讲勾股定理

【学习目标】

1.掌握勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另外两边的关系。

2.根据情境或条件构造出直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题，充分体现数学学以

至用的特点。

【基础知识】

I.如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么

a2+b2=C2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理是数形结合的典范，当三角形有一个直角这一“形”的特征时，就可以得到三边

的数量关系.

3.运用勾股定理进行计算时，除了掌握公式c2=a2+b2^,还应掌握它的几种变式，即a2=c2

一b2;b2=c2—a2-^、N，已知直角二角形的两条边的长，就可以第二边的长.

【考点剖析】

考点一：勾股定理的简单应用

例1.（1）在中，ZC=90°,BC=2,AC=2框,则A8=.

（2）已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和3,则斜边长为.

（3）直角坐标系中有一点P（-2,3）,。为坐标原点，则OP=.

（4）如图，AABC中，ZACB=90,分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为Si,

S2,若Si=2,Sz=5,则BC?=.

考点二：勾股定理的证明

例2.三国时代东吴数学家赵爽（字君卿.约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割

补的方法构造了“弦图”（如图1,并给出了勾股定理的证明.已知，图2中涂色部分是直角

边长为。功，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理.

b

（图1）（图2）

【答案】见解析

【分析】

根据总面积=以C为边的正方形的面积+2个直角边长为〃力的三角形的面积=以b为上底、

（a+b）为下底、高为b的梯形的面积+以a为上底、（a+b）为下底、高为a的梯形的面积，据此

列式求解.

【详解】

证明：总面积S=C2+々+〃).〃

222

c2=a2+b2

考点三：勾股定理与折叠问题

例3.如图，将等腰直角三角形ABC（NA5C=90。）沿E尸折叠，使点A落在8。边的

中点A处，BC=6,那么线段AE的长度为

B.4

15

C.4.25D.

T

例4.已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边4。使点。落在3C

边的点尸处，己知=BC=10cm,求EC的长.

【真题演练】

1.在AA6c中，NA、DB、NC的对应边分别是服b、c,若Z4+NC=90。，则下列

等式中成立的是（）

A.a2+b2=c2B.b2+c2=a2C.a2+c2=b2D.c2-a2=b2

2.在平面直角坐标系中，点P（3,4）到原点的距离是（）

A.3B.4C.5D.7

3.如图所示，在等腰RtMBC中，N48C=90。，BA=BC=IO,直线/过点B,分别过点4、

C作直线/的垂线，垂足分别为E、F,若AE=8,则CF的长为（）

A.5B.6C.7D.8

4.如图，在4x4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B,C都在格点上，AD1BC

于点。，则A。的长为（）

37

A.1B.2C.-D.-

23

5.有一根长33厘米的木棒（粗细忽略），木箱的长、宽、高分别为24厘米、18厘米、16

厘米，这根木棒理论上（填“能”或“不能”）放进木箱.

9.中，NC=90°,AC=5,8C=12,。为BC边上的一点，将3c沿AD折

叠，使点C落在A8边的点E处，则AOEB的面积为.

10.如图，以直角三角形的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为S,52.S3,

若51=9,52=16,则53=.

11.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则下列关于面积的等

式：①5八=§8+Sc：②5八二Sr+S。+；③4+Sc=+S尸+SG,其中成立

的有(写出序号即可)

12.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将5c如图折叠，使点A与点8重合,

则。石的长是,

BDA

13.如图，在4x5的网格中，最小正方形的边长为1,A,8,C,。均为格点(最小正方形的

顶点).

方

I

图1图2

(1)如图1,在网格中画出一个以48为一边且与△A8C全等的格点三角形，6c的

面积为

(2)如图2,在线段A3上画出一点P，使CP+。。最小，其最小值为.

14.加图，某斜拉桥的主梁八。垂直于桥面MN与点。.主梁上有两根拉索分别为AB、AC.

（1）若拉索A8_LAC,AB.8C的长度分别为10米、26米，则拉索AC=米；

（2）若AB、4c的长分别为13米，20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD

的高度.

【过关检测】

1.两个直角三角形拼成如图所示的图形，则V的值为（）

A.GB.3C.>/5D.5

2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形

若正方形A、B、C、D的面积分别为3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（）

3.一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3,另一直角边长为9,则斜边长为（）

A.15B.12C.10D.9

4.直角三角形的两条直角边的长分别为6和8,斜边上的高是（）

A.10B.2.4C.4.8D.1.2

5.如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与

中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm,每个直角三角形较短

的一条直角边的长是5cm,则小正方形的边长为（）

B.5cmC.6cmD.7cm

6.如图，长方形纸片ABC。中，AB=6cm»BC=&、m,现将其沿反对折，使得点C

与点4重合，则Ab的长为（）

23

D.

T

7.如图，在三角形纸片ABC中,ZC=90°,AC=18,将NA沿DE折叠，使点A与点B

重合，折痕和AC交于点E,BC=12,则EC的长为

9.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289,中间所夹三角形为直角三角形，则字母

A所代表的正方形的面积为.

10.如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要

沿着长方体的表面从点A爬到点3,需要爬行的最短距离是.

II.如图，已知在RSABC中，NACB