2025-2026学年高一数学下学期期中考试模拟02【北京专用测试范围：人教B版必修第三册】（全解全析）

高一数学下学期期中考试模拟卷02(北京专用)

全解全析

(考试时间：120分钟，分值：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教B版必修第三册。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

兀

1.下列与9r的终边相同的角的表达式中正确的是()

4

A.2履-45。任wZ)B.h36()。+亍(AwZ)

C.4・360。-3150(kcZ)D.々兀+；(〃£Z)

【答案】C

【分析】根据终边相同角的定义，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】由题意==2兀+==360>+45。，

44

选项A、B中，角度与弧度混用，单位不统一，故A、B错误；

选项C：-360。-315。(左eZ)与-360。+45。(％£2)终边相同，含义相同,故C正确;

选项D：当％=1时，兀+:二”与岁终边不同，故D错误.

444

故选：C

2.已知点。(sina,tana)在第二象限，则角a的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

1/15

【答案】C

【分析】分析得出sin。<0,tana>0,根据角终边的位置与三角函数值符号的关系可得出结仑

【详解】因为点P(sina,tana)在第二象限，则sina<0,tana>0.

若sina<0,则角。的终边在第三象限、V轴负半轴或第四象限,

若tana>0,则角a的终边在第一象限或第三象限,

综上所述，角。的终边在第三象限.

故选：C.

3.已知sin（冗一a）二（,aeg,兀,则cosa=（）

J

B4

A.1-4D.

c?5

【答案】D

【分析】由条件sin(7t-a)=］利用诱导公式可求sina,再由平方关系求结论.

［详解］因为sin（7i：_a）=q,sin（兀-a）=sina,

所以sina=±3,又,贝ijcosa<0,

5k2）

所以cosa=-^/1-sin2a=-^

故选：D.

4.已如扇形的面积是4cm"当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为(单位：rad)()

兀71

A.-B.一C.iD.2

43

【答案】D

【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的美系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出

圆心角的度数.

【详解】设扇形的圆心角为〃，半役为

则由题意可得：”=4,

A2r+l9r=2r+->2^2r--=8,

Q

当且仅当力•二?时，即r=2,6=2时取等号,

r

当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值8.

2/15

故选：D.

5.已知平面内的非零向量则">B=|矶中是“£//尸的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据数量积的定义、向量共线结合充分、必要条件分析判断即可.

【详解】因为7问丽cos«@,且司,

若£不=|矶可，则cos（a®=l,亘"得卜®=0,

所以£//几即充分性成立；

若力区，例如兀，则u时际3%-即，即必要性不成立;

综上所述：“73=1耶卜是“力/V的充分不必要条件.

故选：A.

6.如图，已知点力是单位圆与工轴的交点，角。的终边与单位圆的交点为P,P.Z_Lx轴于时，过点4作

单位圆的切线交角a的终边于7,则角a的正弦线、余弦线、正切线分别是（）

A.丽，AT，MP

B.两，而，AT

C.MP，后，OM

D.折，两，万

【答案】D

【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断角Q的正弦线、余弦线、正切线即可.

【详解】由题图，sina=*^,cosa=S^,tana=—,而。P=04=1,

OPOPOA

所以角a的正弦线、余弦线、正切线分别是而，OM，AT-

故选：D

3/15

7.将函数/(x)=2sin〈冰-二］(。＞0)的图像向右平移£个单位长度后得到奇函数g(x),则◎的最小值是

()

110

A.-B.——C.1D.2

33

【答案】B

【分析】根据图象变换“『得g(x)=2sin3X,结合函数奇偶性可得［0+?=夙/eZ,运算求

146〃46

解即可.

【详解】将函数/(丫)=2疝］(5-曰(0〉0)的图像向右平移；个单位长度，

k6；4

得到g(x)=2sinU31-J

I4JLI4)6

若g(x)为奇函数，则+5解得勿=4左一■|,〃eZ,

463

2I

且0=4左一一＞0,解得k＞=,女EZ,

36

可得k的最小值是1，所以&的最小值是5.

故选：B.

8.若M为ZU4C所在平面内一点，且满足|初月-碇|=|丽+祝-2必则△力4c为()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】根据向量线性运算法则亿简条件等式可得|万-方|=|花+太两边平方化简可得方•就=0，

结合数量积的性质可得N比1C=90。，由此可得结论.

［详解］1tli府分一必4=|，而+沅一2痂［得|而卜|荻一而十沅_砺

所以同二|而+狗，叫荔-园二|万+园，

两边平方并化简得万.正=0，则方1%，即力8JL4C,故N84C=90。，

所以△/8C是直角三角形.

故迄A

9.已知函数/(x)=sin(x+$cosR,则()

4/15

A./(x)=!sin(2x+g)B./(幻的最大值为2

26

c.y=/(x)的图象关于直线对称D./(x)在区间((哈］上单调递增

I-\12/

【答案】D

【分析】利用两角和的正弦公式与二倍角公式将函数化为"x)=gsin(2x+"+#,即可判断选项A,B；

利用对称轴公式即可判断C：利用正弦函数的单调件即可判断选项D：

【洋斛】J(-^)=sin(x+—)cosx=sinxcos—+cosJsin—cosx=—sinx+——cosxcosJ

」sinxcosx+且COS2A1V311.V3,J31.仆兀、/

-sin2x+—(Z1+COS2A)x=T-sin2ox+—COS2X+—=-sm2x+-+—

2244'72122J42V3)4

对于选项A：由上边推导知选项A错误；

对F选项B：由以上推导得到最大值为，+无，故选项B错误；

24

对于选项C令2x+Tq+E"eZ)nx=^+g(丘Z),不存在整数”使得％=-右故选项C错误;

对于选项D:当工《0,总时，2工+“(籍)，正弦函数在区间与上单调递增，故选项D正确；

故选：D

10.已知I，］...."是平面内两两互不相等的非零向量，且满足成w{1,2}(1«区攵)，且对任

意的在〃eN,当巾〃?时，都有金•工=工・乙则正整数攵的最大值为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】由题意得到点与1在"方向上的数量投影相同，再结合图象即可求解.

【详解】因为乙G=所以］与1在"方向.卜•的数量投影相同.

将q,a2t,...»ak,"平移到同一起点，

以"所在直线为x轴，同一起点为坐标原点建系，

因为R|W{1,2},所以)，工，…，7的终点在半径为1或2的圆上,

5/15

如图，作与X轴垂直的直线，并左右平移，与两个圆最多是4个交点,

此时在2上的数量投影为相同值的向量，最多有4个.

故选：B.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数/（X）=Jtanr_1的定义域为.

[答案],x\kit+^<x<kn+—9keZ-

【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式taut-120,利用正切函数的图象和性质即可求出定义

域.

【详解】由函数/(x)=Jtanx-l,得tanx-120,即tanxNl,

由y=[aiM的定义域为x千kn+—,keZ>

2

函数在每个：间（版-],标内单调递增,

y=tanx|x/eZ且当tanx=l时，解得x=A兀wZ.

4

故tanv>1可解彳导：Kx<〃江+5,女eZ.

故答案为：（闻碗+（工工<e+5，〃62

12.已知cosgu-'l，则cos28的直为.

【答案】-W

【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果.

3o7

【详解】由cos。=—,则cos2。=2cos-。-1=2x-----1=------.

52525

7

故答案为：一工,

6/15

13.已知平面向量5的夹角为与，且同=1邛卜2,则"=.

【答案】-1

【详解】因为1引=1,向=2,平面向量入M勺夹角为弓，且cos?*'

-（1A

所以6?-h=lx2x——=-1

<2，

14.已知函数/（x）-sin（QV）（环。为常数，⑦>0）的部分图象如图所示.贝人/\患）=;

若将函数/（X）图象上的点尸（0，。）向右平移位>0）个单位长度得到点。，且点。仍在函数/（X）的图象上，则

，的最小值为

【答案】0

【分析】根据给定条件，求出函数/*）的解析式，并求出。值，再由/"）=。求出f的关系式即可得解.

TT2冗

【详解】观察函数图象，得函数〃口的周期7=2（］-0）=兀，〃=午=2,则〃x）=sin（2x+8）,

由『（一工）=0，且困数/*）的图象在点（一3,0）附近是上升的，得—?+e=2EX£Z，

12126

即9=巴+2〃兀,&eZ,因此/（x）=sin（2x+^+2E）=sin（2x+工），所以/—=sinn=0；

666\12y

。=/（0）=!，而点。亿。）在/（》）的图象上，则/«）=!，即sin⑵+》=:,

2262

又（>0,则2/+工=2+2〃兀或2f+£=U^+2〃兀,〃eN,解得f='+〃兀或，=兀+〃兀,〃eN,

66663

7T

所以，的最小值为

故答案为：0；。

15.对于函数/"）,若存在大于零的常数丁和非零常数S,使得当x取定义域中的每一个值时，都有

/（x+r）=/（x）+s,那么/（"称为“类周期函数”，7叫做，类同期”.下列四个命题正确的有

①.函数/（X）=sin2工+X是以兀为“类周期”的“类周期函数”

7/15

②.函数/(x)=Y是“类周期函数”

③.函数/(X)=X+(-1)"(X€Z)是以2为“类周期”的“类周期函数”

④.设函数y=g(x)是周期为7=2的周期函数，当函数/卜)=-2X+8")在[1,3]上的值域为卜3,3]时,

/(x)在19,9]上的值域为[-15,23]

【答案】①③④

【分析】根据题干中的“类周期函数”定义，逐项判断.

【详解】对于①，由丁=$皿2》是以兀为周期的周期函数，

而f(x+7t)=sin2(x+兀)+(x+兀)=sin2x+x+兀=f(x)+n,

由题意可知函数/(x)=sin2x+x是以兀为“类周期”的“类周期函数”，①正确；

对于②，函数/(*)=，定义域为R,若函数/(x)=r是“类周期函数”，

因为/(x+r)=(x+r『，而/(x)+S=/+s,

要使/(x+r)=/(x)+S对xcR恒成立，就要(x+7f=/+s对xeR恒成立，

即x2+27k+产=，+S对xwR恒成M,

所以当且仅当r=s=o时，上式成立，

则不存在常数rcR使得对r取R内每一个值时，

都有等式〃x+r)=/(x)+s恒成立，

所以函数/(x)=Y不是“类周期函数”，②错误；

对于③，/(x)=x+(-l)r(xeZ),

所以/a+2)_/(x)=[a+2)+(_]y+2]_[x+(_])[=2(非零常数)

所以函数/(x)=x+(-l)'(xeZ)是以2为“类周期”的“类周期函数”，③正确；

对于④，:/(x+2)-/(x)=-2(x+2)+g(x+2)+2x-g(x)=-4,

所以/(x)是类周期函数，且7=23=-4,

设石,々€[1,3]满足/(芭)=-3,/(%)=3,由〃x+2)=/(x)=-4得,

/(^+6)=/(^+4)-4=/(^+2)-4-4=/(^)-4-4-4=-3-12=-15,

8/15

又f(x+2)=/(x)-4</(x),知道/(力在/9,9］上的最小值是［7,9］上获得的,

而石+6«7,9］,所以/")在卜9,9］上的最小值为75,

由f(x+2)=/(x)-4,得/(X-2)=/(幻+4,

由此可知,/(X2-10)=/(X2-8)+4=/(X2-6)+4+4=...=/(^2)+20=23,

又—3+4>/(幻.

知道/(力在［T9］上的最大值是工在卜9,-7］上获得的,而“10/9「刀,

所以/(')在［-9,9］上的最大值为23,故值域为卜15,23］,④正确.

故选：①③④

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(13分)已知同=周=3,(“孙3=8.

(1)求心十年

(2)当女为何值时,垢-5与2+2B垂直？

【答案】(1)2夜

(2)-17

【分析】⑴根据数量积的运算律求出第6,再由归+『技工『及数量积的运算律计算可得;

(2)依题意可得(质-4伍+2可=0,根据数量积的运算律计算可得.

【详解】⑴因为同=咽=3,伍+9石=8,

所以(不+6)石=。5+后=13+3?=8,则3万=一1,

所以忸+可=加+,=>la2+2ah+h2=Vl-2xI+9=272:

(2)当%-B与♦+与垂直时,

则有(初-Q),他+24=%2+(24-］”./；-21=jtxl2+(2Zr-l)x(-l)-2x32=0,

解得&=77.

17.(14分)已知函数/(x)=2N5sinxcosx-cos2x.

⑴求函数y=/(x)的最小正周期;

9/15

（2）珞函数/（》）图象上所有的点向左平移?个单位后，得到函数g（x）的图象，当xw。，弓时，求函数g（x）

6L2.

的值域.

【答案】（1）九

⑵[T2]

【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简/（x）,再用周期公式即可求最小正周期;

（2）通过图像平移求得g"）解析式，在用整体代换法求得g（x）在xe0.1时的值域.

【详解】（1）/（x）=2>/3siavcosx-cos2x=VJsin2x-cos2x=2sin2x-j,

所以fW最小正周期为：7'=y=7C;

（2）由（1）知，/（x）=2sin（2K-[）

所以函数/W图象上所有的点向左平移£个单位，得到函数g（x）的解析式为

6

g(x)=/x+£j=2sindKA7r~|c•1兀、

I6）6」I6）

因为xw0,弓，所以Zt+gw'7,~7'，

2J66_

所以当2qJ时，g（%「2；当2》+台段时，g（x*「l，

所以g（x）的值域为：[7,2].

18.（13分）已知。是第三象限角，且cosa=-得.

⑴求tana的值；

sin（a+兀）+2cos（a-兀）

⑵求.（n]3小的值.

sina+—+cosa+——

I2）I2J

【答案】（1）]12

22

⑵-万

【分析】（1）由已知直接利用同角三角函数基本关系式化简求值:

（2）利用诱导公式求解.

【详解】⑴一是第三象限角，且cow-卷，

10/15

sina=-yl-cos2a=-----,

13

sina12

tana=-------=——；

cosa5

12

sin(a+兀)+2cos(a-兀)一sina—2cosatana+2~T+22

(2)—7------(--------r_--------------：--------=—;------------=-^-pr=-—

.n।3n।cosa+sina1+tanai,"17

sina+—+cosa+——1+—

I2j(2J5

19.(15分)已知平面向量入Z满足：a+6=(4,l),a-26=|-5,4).

⑴求(2々+小；

(2)求3a+2b；

⑶若向量。+(〃?-2/与〃勿+35的方向相反，求m的值.

【答案】(1)11

⑵历

(3).7：=-1.

【分析】(1)根据平面向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算即可求解.

(2)根据平面向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算即可求解.

(3)先根据平面向量线性运算的坐标表示得出向量£+(〃?-2/与茄+35的坐标；再根据向量共线的坐标

表示列出方程求出m的值；最后验证m的值是否满足题意即可.

【详解】(1)•二+B=(4,1),2、(—5,4),

.•.3a=(3,6),

则人(1,2),

所以各=(3,—1).

则工+5=(5,3),

.•.(2Q+4Q=5x1+3x2=5+6=11.

(2)vt/=(1,2),6=(3,-I)

.•.3〉+2刃=3(1,2)+2(3,-1)=(9,4),

11/15

.】3。+2+正+42=质.

(3)vt?=(1,2),6=(3,-I),

.,.6f+(/M-2)b=(l,2)+(m-2)(3,-1)=(3/M-5,4-AW),

ma+3b=m(l,2)+3(3,-l)=(m+9,2m-3).

又•.向量£+(〃L2/与痴+35的方向相反，

・响量Z+(/w-2»与向量茄+35共线,

则(3加一5)(2〃?-3)-(4一〃?)(〃?+9)=0,

解得：〃？=3或/〃=一1.

当阳=3时，向吊。+(〃?-2)石=(4,1)与向吊机。+=(12,3)的方句相同，不满足题意；

当阳=-1时，I句届工+(〃L2乃=(-8,5)9向后〃5+35=(8,—5)的方向相反，满足题意.

综上可得：m=-\.

20.(15分)已知函数/(x)=4sin(0x+0)(4>O,0>O,|0|<1),且/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离

是:，再从如下的条件I、条件II、条件川中选择两个作为一组已知条件.

(1)确定/(x)的解析式；

⑵求/")单调增区间；

(3)若/(')图象的对称轴只有•个落在区间[0，编上，求。的取值范围.

条件I：/(%)的最小值为-2：

条件II：/*)图象的一个对称中心为(1,0)：

条件III：/(幻的图象经过点(学,-1).

【答案】(l)/(x)=2sin(2x+[)

O

7t7C

(2)[--+〃冗,7十〃兀](〃eZ)；

36

⑶号片).

o3

【分析】(1)求出函数/(X)的最小正周期，求得s的值，选择I、IL求出力值，由条件n得关于。的等式

结合。的取值范围，求得。的值，即可得函数/(公的解析式；选择I、HI,求出力值，由已知条件得

12/15

si得+0)=-由¥+9的范围，得。的值，即可得函数/(X)的解析式；选择1【、in,由条件n得出关于。

的等式结合8的取值范围，求得8的值，将点(苧,7)的坐标代入函数“X)的解析式，求出力值，即可得函

0

数/(X)的解析式.

(2)利用正弦函数单调性列出不等式，求解得单调增区间.

7T

(3)由x£[0,。]可求得24+7的取值范围，结合题意可得出关于实数。的不等式，由此可■解得实数。的取值

6

范围.

【详解】(1)由函数/(X)图象上相邻两条对称轴间的距岗为得其最小正周期丁=女=24，

2co2

解得@=2,此时/(x)=/sin(2x+w),

选条件I、II；由/(X)*=-4=-2,得力=2,

由f(x)图象的一个对称中心为点,0),得2x号+*=kn,kGZ,

1X1Z

而同<1，贝=(p=~,所以/(x)=2sin(2x+1).

266

选条件I、HI：由条X)min=T=-2,得4=2,

由函数/(X)的图象过点停，-1)，得/(当=-1,即Si吟+0)=4，

6632

(II71.7TC57c137c5兀11/t/“f/u7C

由问<彳，<—<—+^<—*则。+工-=-，解得。二三，

2636366

所以，(x)=2sin(2x+?).

O

选条件n、in：由条件图象的一个对称中心为(称,0),得2喑+>=®%z,

而Ml<g，则4=1,O=f,因此/(x)=4sin(2x+F),

266

由函数/(X)的图象过点停,一1),得/(当=一1,即彳sin(¥+J)=-l,解得力=2,

6636

所以/(x)=2sin(2x+..

(2)由(1)知，/(x)=2sin(2j+y),

0

由一2+2〃兀<2x+—<—+2，m,〃eZ,解得一巳十〃冗K戈K'+rm,neZ,

26236

所以/(x)单调增区间是[-f+〃江,7+〃兀](〃€Z).

30

(3)由(1)知，/(x)=2sin(2x+，),当xw[0,a]时，2x4—G[—,2a4—],

。666

13/15

由f(x)图象的对称轴只有一条落在区间［0,同上，得三久力?〈言，解得

26263

所以。的取值范围为

63

21.(15分)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高

处俯瞰四周景色.位于滨