2024-2025学年北京市房山区七年级（下）期中数学试卷及答案解析

2024-2025学年北京市房山区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.（2分）计算/・“的结果是（）

A.crB.tPC.t/4D.a5

2.（2分）在数轴上表示不等式H1V0的解集，正确的是（）

D.-3-2-1°1

3.（2分）方程组的解是（）

\LJC十y一/

Afx=2^ofx=3>厂（x=4,x-5>

A.।D.ic.5D.

[y=3ly=2（y=1,y=i

4.（2分）己知。〈江则下列不等式一定成立的是（）

22

A.。十5>5十5B.-2a<-2bC.-a>-bD.7a<7b

33

5.（2分）下列计算正确的是（）

A.ay*a3=abB.a3+ay=ahC.（^•cr,=a）D.Q3+Q3=2Q6

6.（2分）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？

这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9

个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（）

fx=3（y-2）Cx=3（y-2）

八,卜-9=2y（y-9=2x

（x=3y-2（x=3（y+2）

J卜-9=2yJ[x+9=2y

7.（2分）已知〃为有理数，则下列说法中正确的是（）

A.（/〃+〃）2>0B.（w+w）（m-n）>0

C.m2+n2^2nuiD.m2-n2^2mn

8.（2分）如图，由四个相同的长为。，宽为匕的长方形（a>b）拼成如图所示的图形，人正方形的边长

第1页（共17页）

为，小正方形的边长为〃，则①a-b=〃；②『-tr=mn\③ab=一J；@fl2+b2=一中,

正确的是（）

B.②④C.①③D.①②③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）不等式2r・4>0的解集是.

10.（2分）己知2x-y=3,用含x的代数式表示y为.

11.（2分）计算-的结果是.

12.（2分）已知（a+2）州r+y=5是二元一次方程，则。的值为.

13.（2分）已知/"=2,则.#+.产.

14.（2分）学习了二元一次方程组的解法后，小聪同学画出了如图：请问图中①处应

填.

（加减法解二元一次方程组）

第2页（共17页）

15.（2分）若关于x的不等式x-2>0的每一个解都能使x・3+，〃>0成立，则m的取值范围是.

33111111

16.（2分）观察下列各等式：-4-3=-x3,-4-（-1）=-x（-l）,-+（--）="x（--）•••

乙乙乙乙J乙。乙

请你再找出一组满足以上特征的两个不相等的有理数，并写成等式形式：.

三、解答题（本题共68分，第17・22题，第25题，每题5分；第23・24题，第27题，每题6分；第26

题，7分，第28题，8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）解不等式：5A-1<3久十3），并把它的解集在数轴上表示出来.

18.（5分）用代入消元法解方程组：

19.（5分）用加减消元法解方程组：（3^27=I-

20.（5分）解方程组：管:猊）.

21.（5分）计算：（6C-4孙）4-2xy.

22.（5分）计算：（,m-n）（nr+mn+n2）.

23.（6分）先化简，再求值：（2x-y）2-（2x+y）（2x-y）-yCx+y）,其中x=4，y=-1.

（2（x-1）<3x+1

24.（6分）解不等式组^x-1,并写出它的所有非负整数解.

卜-2V.

25.（5分）已知方程组匕二］：；：%的解x,y满足x+y>0,且，〃为非负数，求加的取值范围.

26.。分）2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动，

3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动.为激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极

参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入48两种规格的书架用于布置数学图书角.经市场调查

发现，若购买4种书架2个，8种书架3个，共需资金1500元；若购买力种书架4个，8种书架1个,

共需资金1100元.

（1）4,8两种规格的书架单价分别是多少元？

（2）若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则〃种规格的书架最多

可以购买多少个？

27.（6分）在学习乘法公式时，我们经历了运用几何图形验证公式的过程，如在学习完全平方公式时，我

们通过如下过程验证了和的完全平方公式，请你类比此过程，运用几何图形验证差的完全平方公

第3页（共17页）

和的完全平方公式:

式.S正方形ABCD=(a+b)2(a+b)Z=a2+2ab+b'

28.（8分）定义:如果那么C为a,2的“甜塞指数”,记为a,b.例如3?=9,那么2为3,9的“甜

2

事指数”，记为3,9.根据定义回答以下问题：

m2

（1）若4,16,贝lj〃7=；若几，9,贝I」〃=：

xyz

（2）已知a,16,a,4,Q,m,X,y,z为正整数，且x+y=z,求〃?的值；

mn

111.111*

（3）已知当x,y为正整数，且a>0时，ax•a7=小？成立，且满足（a》）》=（谈）刀=a,若a,ab,b,ab,

〃?，〃为正整数，且a>0,/）>0时，求----的值.

m+n

第4页（共17页）

2024-2025学年北京市房山区七年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案CBADAACD

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.（2分）计算的结果是（）

A.a2B.a，C.a4D.a5

【分析】根据同底数息的乘法法则进行计算即可.

【解答】解：a3-a=a3+l=a4,

故选：C.

【点评】本题考查了同底数基的乘法法则，熟练掌握同底数制的乘法法则是解题的关键.

2.（2分）在数轴上表示不等式HIVO的解集，正确的是（）

A.-3-2-101

B.-3-2-1°1

C.-3-2-101

D.一3-2-1°1

【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答.

【解答】解：x+l<0,

x<-1»

该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

II1IOIIII1

-5-4-3-2-1°12345

第5页（共17页）

故选：B.

【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步

骤是解题的关键.

3.（2分）方程组仁：］："5,的解是（）

\Lx-ry—/

A（x=2,n（X=3,c（x=4,c（x=5,

A•［y=3LS•（y=2xx•（।y=iJLz•।（y=i

【分析】先利用加减消元法解出x,然后利用代入法计算出J，的值，从而得到方程组的解.

【解答】解：［:+”5幺，

［2x+y=7@

②・①得x=2,

把x=2代入①得2+y=5,

解得y=3,

所以方程组的解为号：：.

故选：A.

【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程是关键.

4.（2分）已知。<4则下列不等式一定成立的是（）

22

A.a+5>b+5B.-2a<-2bC.-a>-bD.7a<lb

33

【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：A,f：a<b,

/.。+5Vb+5,

故］不符合题意:

B、、：a<b,

：.-2a>-2b,

故8不符合题意;

C、，：a<b,

22

:•二。〈卓,

33

故C不符合题意;

故选：C.

D、'：a<b,

7a<7b,

第6页（共17页）

故。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

5.(2分)下列计算正确的是()

A.a3*a3=a6B.«3+fl3=t76C.a3*ay=a<)D,a3+a3=2a6

【分析】根据同底数幕的乘法、合并同类项方法进行解题即可.

【解答】解：/、。3・/=小，故该项正确，符合题意；

333

B、a+a=2at故该项不正确，不符合题意；

C、。3・/=小，故该项不正确,不符合题意：

。、a3+a3=2a3^2a\故该项不正确，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查同底数事的乘法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键.

6.(2分)《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？

这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9

个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，J辆车，则可列方程组()

俨=3(y-2)(x=3(y-2)

(x-9=2y(y-9=2x

(x=3y-2pr=3(y+2)

J卜-9=2yU+9=2y

【分析】根据“每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，

即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：•・•每三人共乘一车，最终剩余2辆车，

.*.3(y-2)=x；

•・•若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，

：.x-9=2y.

・•.“J・列方程组用二%1)

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找在等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

7.(2分)已知加，〃为有理数，则下列说法中正确的是()

A.(/〃+〃)2>0B.(m+n)(m-n)>0

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C.m2+n2^2mnD.m2-n2^2mn

【分析】利用完全平方公式及偶次品的非负性进行判断即可.

【解答】解：/、(〃?+〃)220,则力不符合题意，

B、(m+n)(〃?-〃)与。的大小关系无法确定，则8不符合题意，

C因(m-??)220,贝I]〃/・2〃〃?+M20,BPni2+n2^2nui,则C符合题意，

D、当〃?=1,〃=2时，显然不等式"尸-不成立，故。不符合题意;

故选：C.

【点评】本题考查完全平方公式，偶次‘寻的非负性，熟练掌握完全平方公式的表现形式是解题的关键.

8.(2分)如图，由四个相同的长为a,宽为〃的长方形(〃>力)拼成如图所示的图形，大正方形的边长

为〃?，小正方形的边长为〃，则①〃；②a?・3=〃皿；③ab=、】：@a2+b2=m4

4-6=1,4H»

正确的是()

B.②④C.①③D.①②③④

【分析】根据题意易得：a+b=m,a-b=n,从而可得(a+Z>)2=〃落(…)2=n2,然后利用完全平

方公式进行计算，即可解答.

【解答】解：①〃-〃=“，故①正确：

②/-川=(a+b)(a-b)=mn,故②正确:

③由题意得：a+b=m^a-b=n,

:.(.a+b)2=w2,(a-6)2=〃2,

/.4ab=(a+b)2-(a-b)2=m2-n2,

.・.ab=%要，故③正确；

(4)V(a+b)2=m2,(a-b)2=w2,

a2+2ab+b2=m2,a2-2ab+b1=n2,

：.2a2+2b2=m2+n2,

22

22_m+n故④正确:

:.a+b=~2~

所以，上述结论正确的是①②③④,

故选：D.

第8页(共17页)

【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）不等式2r・4>0的解集是x>2.

【分析】两边同时加4,再同时除以2,不等号不变.

【解答】解：・・2-4>（）,

：.2x>4,

・・・x>2.

【点评】不等式两边同时加上一个数或除以一个正数，不等号方向不变.

10.（2分）已知2x・y=3,用含x的代数式表示，为y=2x・3.

【分析】把x看作已知数求出y即可.

【解答】解：方程2x-y=3,解得：y=2x-3.

故答案为：y=2x-3.

【点评】此题考杳了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数.

11.（2分）计算-6/力3。3a2人的结果是:2星.

【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可解答.

【解答】解：-6aV^3a2b=-2b2,

故答案为：-2户.

【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

12.（2分）已知（a+2）x%l+y=5是二元一次方程，则a的值为2.

【分析】根据二元一次方程未知数x的指数为1，系数不为0解答即可.

【解答】解：•・•（。+2）W°+y=5是一个二元一次方程，

.（1«1-1=1

,,（a+2H0,

解得：a=2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知

数，且含有未知数的项的次数是1的整式方程.

13.（2分）已知十°=2,则X&+K4a・2。=12.

【分析】根据塞的乘方与积的乘方.、同底数幕的乘法法则进行解题即可.

【解答】解：・・“3。=2,

第9页（共17页）

：,x6a+xA^x5a=(x3a)2+x9a=22+(x3a)3=4+23=12.

故答案为：12.

【点评】本题考查基的乘方与积的乘方、同底数呆的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关健.

14.(2分)学习了二元一次方程组的解法后，小聪同学画出了如图：请问图中①处应填方程两边分别

【分析】根据加减法解二元一次方程组进行判断即可.

【解答】解：根据题意①方程两边分别相加，

故答案为：方程两边分别相加.

【点评】本题考查了解二元一次方程组，根据未知数系数的特点灵活选用方法是解题的美键.

15.(2分)若关于x的不等式戈-2>0的每一个解都能使x-3+〃?>()成立，则m的取值范围是:21.

【分析】由x-2>0得：x>2,由x-3+〃>0得杈据关于x的不等式x-2>0的每一个解都

能使x-3+">0成立，知223-〃?，解之即可得出答案.

【解答】解：由x-2>0得：。2,

由x・3+〃？>0得x>3-m,

;关于x的不等式x-2>0的每一个解都能使x-3十〃?>0成立，

第10页(共17页)

・・・223

解得1,

故答案为：机云1.

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要

注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

33111111

16.(2分)观察下列各等式：-4-3=-x3,-+(-1)=-x(-1),-+(--)=-x(-5)…

请你再找出一组满足以上特征的两个不相等的有理数，并写成等式形式：5+^=5x\(答案不唯

一).

【分析】观察题目中的算式，按照题目中的格式对比着写出一个算式即可.

【解答】解：5+1=5x1,

故答案为:5+*=5x*(答案不唯一).

【点评】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察算式，对比着写出一个，写完后一定要

验算一遍，难度不大.

三、解答题(本题共68分，第17-22题，第25题，每题5分；第23-24题，第27题，每题6分；第26

题，7分，第28题，8分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.(5分)解不等式：5x-lV3(x+3),并把它的解集在数轴上表示出来.

【分析】先去括号、移项、合并同类项得到2xV10,然后把x的系数化为1即可，最后把解集表示在

数轴上.

【解答】解：5x-1<3(.#3),

去括号，得5x-lV3x+9,

移项，得5x・3xV9+L

合并同类项，得2xV10,

系数化为1，得xV5,

在数轴上表示为：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键.

第11页(共17页)

18.（5分）用代入消元法解方程组：+

【分析】利用代入消元法解方程组即可.

【解答】解:[”+广6幺,

（x-2y=2@

由②，得x=2+2y③，

把③代入①，得2+2尹），=5,

解得：尸1，

把y=l代入③，得x=2+2Xl=2+2=4,

・.・方程组的解为后二：.

【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.

19.（5分）用加减消元法解方程组：｛3^27=1

【分析】利用加减消元法解方程组即可.

3x+2y=5①

【解答】解:

.3%-2y=1②'

①+②，得6x=6,

解得：x=l,

把x=l代入②，得3Xl-2y=l,

解得：y=\,

・.・方程组的解为c二:.

【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解

题的关键.

20.（5分）解方程组：窿：症:

【分析】利用加减消元法解方程组即可.

'2x+3y=1①

【解答】解:

4x+2y=6②'

①X2,得4x+6y=2③,

②■③，得・4y=4,

解得：y=-1，

把y=-1代入①，得2x+3X(-1)=1,

解得：x=2,

第12页（共17页）

・.・方程组的解为11一1.

【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解

题的关键.

21.(5分)计算：(G.v2^-4-2xy.

【分析】根据多项式除以单项式法则进行计算即司二

【解答】解：原式=6/「+2^・4个，：2叼，=3个-2,

故答案为：3xy-2.

【点评】本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则.

22.(5分)计算:(m-n)(m2+mn+n2).

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.

22

【解答】解：原式=〃?3+〃?2〃+〃?〃2-mn-fnn-〃3

=〃/-/

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.

23.(6分)先化简，再求值：(2x-y)2-(2x+y)(2x-y)-y(x+y),其中％=y=-1.

【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x,y的值代入

化简后的式子进行计算，即可解答.

【解答】解：(2x-y)2-(2r+y)(2.x-y)-y(x+y)

=4/-Axy^+y2,-(4X2-f)-xy-y2

=4/-4xy+y^-A^+y2-xy-)2

=-5x)^,

当x='y=-1时，原式=-5xix(-1)+(-1)2=1-1=2.

【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是

解题的关键.

(2(%-1)<3x+1

24.(6分)解不等式组°一〜1,并写出它的所有非负整数解.

卜-2、.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小

找不到确定不等式组的解集.

2(%-1)<3x+l®

【解答】解:

第13页(共17页)

解不等式①得：x2・3；

解不等式②得：x<|；

工原不等式组的解集为：-3&V今

・••非负整数解为：0,1,2.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同

小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

25.（5分）已知方程组:学的解x,y满足x+y>0,且〃?为非负数，求"的取值范围.

（.X十Ly—1"rm

【分析】根据消元法，得出x、y的值，再根据x+），Vl,且•为非负数，可得答案.

【解答】解：户了=1-3%）

[x+2y=14-

①+②,得：3x+3y=2・2〃】，

2-2m

2—2m

*：x+y>0,即二一>(),

J

解得，/〃VI,

又

・・・OW〃/V1.

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出小的取值范围.

26.（7分）2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动,

3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动.为激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极

参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入48两种规格的书架用于布置数学图书角.经市场调查

发现，若购买4种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元：若购买力种书架4个，8种书架1个,

共需资金1100元.

（1）/1，，两种规格的书架单价分别是多少元？

（2）若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元,则5种规格的书架最多

可以购买多少个？

【分析】（1）设4种规格的书架单价是x元，8种规格的书架单价是歹元，根据若购买力种书架2个，

8种书架3个，共需资金1500元；若购买4种书架4个，8种书架1个，共需资金1100元；列出二元

一次方程组，解方程组即可；

（2）设4种规格的书架可以购买〃?个，则4种规格的书架可以购买（30-〃?）个，根据总费用不能超

第14页（共17页）

过10000元，列出一元一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：（1）设1种规格的书架单价是X元，8种规格的书架单价是y元，

由题意得：窿:祟

解得:4瑞,

答：4种规格的书架单价是180元，8种规格的书架单价是380元；

（2）设B种规格的书架可以购买旭个,则一种规格的书架可以购买（30-W）个，

由题意得:380m+180（3（）-加W10000,

解得：〃?W23,

答：〃种规格的书架最多可以购买23个.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；（2