《汽车机械基础》-第八章

8.1杆件变形的基本概念

在工程实际中，构件的形状是很多的，如果构件的长度远大于横向尺寸，这样的构件就称为杆件。杆件各截面形心的连线称为轴线。若杆的轴线为直线，且各截面都相等，则称为等截面直杆。除此以外，还有变截面杆、曲杆等。本章中主要涉及的是等截面直杆。

8.1.1变形固体假设对变形固体，材料力学有以下两个假定。各向同性假定:大多数工程材料虽然微观晶粒结构上各向异性，但它们形成材料时，呈随机取向，在宏观上表现为在各个方向上均具有相同的物理和力学性能，因而假定这样的材料各向同性，否则称为各向异性。

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均匀连续性假定:实际材料的微观结构并不是处处均匀连续的，但是，当所考察的物体是宏观尺度的，可以假定所考察的物体内部体积内，材料在各处是均匀、连续分布的。

8.1.2杠杆变形的基本形式在进行静力平衡计算时，将变形物体当成刚体来对待，既方便计算，又不致引起较大误差。而材料力学研究构件的承载能力，因而研究对象不再是刚体，而是变形固体，但工程构件的变形大都十分微小，本章所涉及的构件变形均为小变形。杆件在工作过程中的变形无论有多复杂，都可以看成是由一些基本变形所组成的。下一页返回上一页8.1杆件变形的基本概念

外力的作用方式不同时，杆件变形的形式也就不同，杆件变形的基本形式(表8-1)有如下四种:①拉伸和压缩;②剪切;③扭转;④弯曲。杆件变形的形式，除了上面的基本形式以外，还有复杂的形式，但是总可以把它看作是由以上集中基本变形组合而成的。上一页返回8.2杠杆内力

外力作用在杆件上，引起的构件内部各质点之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，通常称为杆件的内力。引起内力的外因是外力，内因是质点之间的距离有保持不变的趋向。质点之间的作用，属于分布力系，杆件内力指的是其合力。各基本变形所对应的内力见表8-2。内力的大小多随杆件横截面的位置而变化，所以内力的大小与横截面的位置有关，可以用内力函数的形式表示，将内力的变化用图的方式表达出来就是该内力的内力图，如轴力图、剪力图、弯矩图和扭矩图等。求内力的基本方法是截面法，下面介绍截面法求取各种基本变形下的内力。下一页返回8.2杠杆内力8.2.1轴向拉压时的内力—轴力1.截面法如图8-1(a)所示，杆件在外力P作用下处于平衡状态。为了计算内力，用假想的截面将杆件截开，分成左右两段，并以N代表左右两截开面上的内力。由十杆件整体平衡，因而左右两局部也平衡，由此可知轴力N的大小等于外力P，并表现为拉力。此处用轴力N表达了杆件左右两段之间的相互的力的联系。上述求内力的方法称为截面法。它是求内力的普遍方法。截面法求内力的一般步骤如下。

(1)取脱离体。在需求内力的截面处，用一个假想截面将构件切为两部分，任意去掉一部分，留下另一部分，以留下的部分为脱离体。

上一页下一页返回8.2杠杆内力(2)画脱离体受力图。在脱离体上画上相应的外力和内力，其中去掉的部分对留下部分的作用以内力代替。

(3)用平衡方程求解内力。这三个步骤可以简单归纳为“截”“取”“画”“求”四个要点。

2.求多力杆的轴力当由多个轴向外力作用于杆件上时，杆件各截面上的轴力不全相同，可以利用截面法将各杆段的轴力分别求出，轴力图可以清晰地表示出全杆上轴力大小的变化规律及受拉或受压情况。上一页下一页返回8.2杠杆内力8.2.2轴扭转时的内力—扭矩1.外力矩沿杆件长度作用的平衡力偶系(非共面力偶系)，称为外加转矩。这时杆件产生扭转变形，杆横截面的内力称为扭矩。对于旋转构件，工程上称为轴，若轴匀速转动，则力矩满足平衡关系。设传递的功率为P(kw)，车令速为n(r/min)，则由物理知识可知转矩m(N·m)为

m=9549P/n

由上式可以看出，当轴的功率P一定时，转速n越大，则转矩m越小。反之，转速越低，则转矩越大。2.扭矩的求法上一页下一页返回8.2杠杆内力8.2.3梁横截面上的内力—剪力和弯矩1.单跨梁分类工程上按照梁的支座形式不同将其分为三类，如图8-4(a)所示。

(1)简支梁。梁的一端可简化为固定铰支座，另一端可简化为活动铰支座。

(2)外伸梁。梁的支座情况如简支梁，但梁的一端和两端可外伸。

(3)悬臂梁。梁的一端自由，另一端为固定端支座。作用于梁上的荷载可以简化为以下三种形式，如图8-4(b)所示。

(1)集中力。指作用面积不大的横向力F。

上一页下一页返回8.2杠杆内力(2)集中力偶。指作用面积不大的作用于梁轴平面内的外力偶M。

(3)分布荷载。在梁的长度或全长上连续分布的横向力。如均匀分布，则称为线均布荷载。

2.剪力和弯矩梁截面内力有剪力Q和弯矩M，符号规定如下:剪力绕脱离体顺时针转为正;弯矩M使梁的下部纤维受拉为正。图8-5所示的剪力和弯矩都是正的。上一页返回8.3杆件应力8.3.1应力与内力的关系分布内力在一点的集度，称为应力。作用线垂直于截面的应力称为正应力，用希腊字母σ表示;作用线位于截面内的应力称为剪应力或切应力，希腊字母z表示。应力的基本单位为Pa(帕)、常用单位千帕(1kPa=10^3Pa)，兆帕(1MPa=10^6Pa)等。一般情形下的横截面上的内力，总可以分解为两种:作用线垂直于截面和作用线位于截面内的，在微面积ΔA上的内力可以分解为垂直于截面的ΔFN，与截面相切的ΔFQ。上述正应力和剪应力的定义可以表示为下列极限表示式下一页返回8.3杆件应力

横截面上内力分量与应力之间存在相互联系，如轴力等于正应力与其作用的微面积乘积的积分同样，剪力、扭矩和弯矩都可以与应力通过积分建立联系。上一页下一页返回8.3杆件应力8.3.2轴向拉压时横截面上的应力1.轴向拉压时正应力公式轴力N作用下，杆件横截面上仅存在正应力。通过拉伸试验可以观察到，两相邻横截面间发生平行移动，说明横截面上各点伸长相同。据此推断，截面上各点受力相同，即正应力σ均匀分布。上式称为轴向拉压时的正应力公式，它表明在稍远离外力作用点的截面上，正应力均匀分布。

上一页下一页返回8.3杆件应力2.轴向拉压时的强度条件当应力不超过材料的能力时，构件不发生破坏，构件不破坏的条件称为强度条件。对于轴向拉压杆件的强度条件为应用强度条件，可以解决强度校核、设计截面和确定许可荷载等三类问题。

3.应力集中在工程实际的轴向拉压杆中，有时截面大小突变或轴上钻孔等，这时应力不再均匀分布，而会有局部应力突然增大的现象出现，这一现象称为应力集(如图8-10所示)。将应力的最大峰值与平均值之比定义为应力集中系数，用a表示上一页下一页返回8.3杆件应力

弹性力学和断裂力学理论分析可知，在小圆孔附近a=3，在裂纹尖端附近a→∞。工程的构件在截面变化处要用圆角过渡，开孔时尽量开成圆孔，目的在于减小应力集中现象。8.3.3剪切时的应力1.剪应力和挤压应力钢结构中的螺栓、铆钉抗剪连接中承受剪切作用(如图8-11所示)，机械传动中的键也是如此。这些连接件都同时受到剪切与挤压作用，剪切使得构件沿着剪切面有切断的破坏趋势，挤压使得连接件在接触面上有压溃的破坏趋势。这时应力在剪切面和挤压面上都不是均匀分布的，但为了便于计算，名义剪应力和挤压应力计算如下τ=Q/A上一页下一页返回8.3杆件应力式中，Q为横截面上的剪力;A为剪切面积。

式中，F为挤压力;A为挤压面的投影面积。

2.剪切强度计算为了使受剪构件能安全可靠地工作，应将构件中的工作应力限制在材料的许可应力之内，由此得出了剪切和挤压的强度条件上一页下一页返回8.3杆件应力

实验表明，对于一般钢材，材料的许用剪应力[τ]与许用拉应力[σ]有如下关系。塑性材料:8.3.4扭转时横截面上的应力1.剪应力及剪应力的分布非圆截面在扭转过程中，横截面还要发生翘曲变形，比较复杂。这甲只讨论圆截面的扭转。上一页下一页返回8.3杆件应力

圆截面在扭转过程中，任意两个横截面之间发生相对转动，截面间的距离并不发生改变，所以横截面上只有剪应力，而无正应力。剪应力在横截面上的分布规律如图8-13所示，任一点处的剪应力大小与该点到圆心的距离成正比，方向垂直于该点与圆心的连线，指向与扭矩T一致。设某点到圆心的距离为ρ，则该点的剪应力的大小与ρ成正比，最大剪应力发生在圆截面的外边缘上，即上一页下一页返回8.3杆件应力

式中，Iρ为截面的极惯性矩;Wp为抗扭截面系数，它们都是只与横截面的形状有关的几何量。与实心圆轴截面相比较，圆环截面上的剪应力大小分布仍为线性分布，如图8-14(b)所示。最大剪应力发生在横截面的外圆周上，但内圆周上的剪应力不等于零。方向仍垂直于半径，且与横截面相切。

2.扭转时剪切强度条件为了保证轴在扭转时候能安全工作，必须使轴的最大剪应力τmax不超过材料的许用剪应力，即对于许用应力[τ]，可以通过材料试验结果和强度理论来确定。

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应用这个强度条件，同样可以解决强度校核、设计截面和确定许可荷载等三类问题。

8.3.5弯曲正应力1.弯曲正应力的计算所有外力都作用于梁的纵向对称平面上时，梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内，如图8-17所纵向对称平面示的弯曲称作平面弯曲。一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般有剪力和弯矩两种内力。如果横截面上只有弯矩时，这种平面弯曲称为纯弯曲。如图8-18所示的外伸梁的AB段，剪力为零，只有弯矩。上一页下一页返回8.3杆件应力

如果用容易变形的材料，如橡胶、海绵，制成梁的模型，然后让梁产生纯弯曲，如图8-19所示。可以看到梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些则会发生缩短变形，在伸长区与缩短区的交界处那一层，既不伸长，也不缩短，称为梁的中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。正应力沿截面高度呈线性分布。如图8-20所示，在正弯矩作用下，中性轴以下为拉应力，中性轴以上为压应力;在负弯矩作用下，中性轴下部为压应力，中性轴以上为拉应力。正应力计算公式为

σ=M/Iz·y上一页下一页返回8.3杆件应力

式中，M为横截面上的弯矩;Iz为截面对z轴的惯性矩;y为距中性轴的距离。以上有关纯弯曲的正应力公式，对于非纯弯曲，也是近似适用的。还可以证明中性轴是通过截面的形心轴。工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上到中性轴最远处的正应力。若截面上下不对称，如T字形截面、槽形截面等，则最大拉压应力不等值，具体计算时，需要区别对待。若截面上下对称，则最大拉压应力数值相等。几种简单图形对其形心轴的惯性矩和抗弯截面系数计算公式见表8-4，对轧制型钢的惯性矩等几何性质可有设计手册中的型钢表直接查得。上一页下一页返回8.3杆件应力在计算惯性矩的时候，有以下两点需要注意:(1)图形对非形心轴z的惯性矩Iz计算，要用到平行移轴公式。如图8-21所示，已知截面对自身形心轴的惯性矩Izc，则Iz为

(2)组合图形对形心的惯性矩Iz的计算，可以将图形分成若干个简单图形，分别计算第i块面积对z轴的惯性矩，再求和，即

Iz=∑Izi

在计算第i块面积对i轴的惯性矩Izi的过程中，注意所求的轴是否是第i块面积的形心轴，若不是形心轴，则还要用到平行移轴公式。上一页下一页返回8.3杆件应力2.梁弯曲时的强度条件梁截面上的弯矩是随截面位置而变化的。因此，在进行梁的强度计算时，应使危险截面上的最大正应力不超过材料的弯曲许用应力[σ]，即梁的弯曲强度条件为应用强度条件，同样可以解决强度校核、设计截面和确定许可荷载等三类问题。下面用例题说明它在设计截面方面的应用。3.提高梁强度的措施提高梁的强度的措施有多种，工程上主要从以下几个方面提高梁的强度:上一页下一页返回8.3杆件应力1)选择合理的截面形状梁横截面上各点正应力的大小，与该点到中性轴的距离成正比。离中性轴越远，正应力数值越大，上下两边缘处正应力达到最大值。如图8-24所示，这样截面更合理一些，横截面的W/A数值变大了。W/A数值与截面的形状有关。表8-5中列出了常见截面的W/A数值。2)采用变截面梁或等强度梁弯曲强度计算是保证梁的危险截面上的最大正应力必须满足强度条件大多数情况下，梁上只有一个或者少数几个截面上的弯矩达到最大值，也就是说只有少数截面是危险截面。上一页下一页返回8.3杆件应力

当危险截面上的最大正应力达到许用应力值时，其他大多数截面上的最大正应力还没有达到许用应力值，有些点甚至远远没达到许用应力值，这些截面的材料同样没有被充分利用。为了合理地利用材料，减轻结构重量，很多工程构件都设计成变截面的。弯矩大的地方截面大一些，弯矩小的地方截面也小一些，如汽车上的板簧、心轴等(如图8-25所示)。

3)改善受力状况改善梁的受力状况，一是改变加载方式，即将集中力改为均布荷载。二是调整梁的支座距离，这些都以减小梁上的最大弯矩数值为目标的措施。上一页返回8.4杆件变形8.4.1应变与应力的关系受外力作用的构件，应力是应变的因，应变是应力的果。如果将弹性体看作由许多微单元体(微元体)所组成，弹性体的整体变形则是所有微单元体变形累加的结果。对于正应力作用下的微元体，沿着正应力和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短，这种变形称为正应变或线应变，用ε表示。剪应力作用下的微元体将发生剪切变形，剪切变形程度用微元体直角的改变量度量，用γ表示。对大多数工程材料而言，应力的大小在一定范围内，应力与应变成比例关系，即所谓的线性、弹性关系。

下一页返回8.4杆件变形正应力与正应变的线性、弹性定量关系由胡克定律确定

σ=E·ε剪应力与剪应变的关系由剪切胡克定律描述

τ=G·Y

式中，比例常数E称为材料的弹性模量或杨氏模量;比例常数G称为材料的剪切弹性模量，其值通过试验测定。对于低碳钢而言，弹性模量大小为196~216GPa,剪切弹性模量为79.4GPa。可以证明，对于各向同性材料而言，材料常数E,G和μ之间存在如下关系

G=E/[2(1+μ)]

也即各向同性材料，独立的材料常数仅有两个。

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一旦应力超出了线弹性范围应变就不再与应力成比例关系。8.4.2拉伸压缩变形拉伸变形如图8-26所示。轴向变形量为

ΔL=l1-l横向变形为

Δa=a1-a

绝对变形与杆件的尺寸有关，为消除原尺寸的影响，通常用单位长度的变形来表示杆件变形的程度

ε=Δl/lε'=Δa/aμ=|ε'/ε|上一页下一页返回8.4杆件变形

式中，ε、ε’分别称为轴向线应变和横向线应变。显然，二者的符号总是相反的，它们是量纲为一的量。在线性、弹性范围内，杆件的伸长变形可由胡克定律求出

Δl=Nl/EA

8.4.3轴的扭转变形1.扭转角圆轴扭转的变形可以用扭转角φ表示。所谓扭转角，是指变形时圆轴上任意两截面相对转过的角度，如图8-28所示，其单位是rad(弧度)。可以证明，扭转角φ与扭矩Mn‑、长度z、材料的剪切弹性模量G和截面的极惯性矩Iρ，有关，即上一页下一页返回8.4杆件变形

从上式可以看出，扭转角甲的大小与长度Z成正比。为消除Z的影响，工程上常用单位长度扭转角θ来表示其变形程度，即式中，θ的单位为:rad/m。

2.圆轴扭转刚度条件有些机械，因轴的扭转角过大而影响其精度，有时还会引起振动，所以对扭转变形要加以限制。通常是单位长度内的扭转角θ不超过许用单位长度内的扭转角[θ]，即若许用单位长度的扭转角[θ]的单位为(°)/m，则上式转化为上一页下一页返回8.4杆件变形8.4.4梁的弯曲变形1.弯曲变形机械中受横向力作用的轴等，除了要有足够的强度以外，还要有足够的刚度，以保证其工作时弹性变形不致过多，否则在转动过程中会引起振动，影响机械的运转精度，甚至导致失效。另一方面，弯曲变形也有可利用的一面，例如汽车上的钢板弹簧，就是通过其弯曲变形来缓冲车辆的振动。下面简单地介绍梁的弯曲变形基本概念及基本计算。为了简便起见，在研究梁变形时仍用梁的轴线来表示原梁。受弯梁轴线位于中性层，不伸长，也不缩短，平面弯曲时梁轴线在纵向对称平面内