2026年高考数学抢分专练：直线和圆（7大热点题型）学生版+解析

专题11直线和圆七大热点题型

ONE，

题型考情分析考向预测

1.求圆的方程2025年天津卷：第12题求弦1.题型分值：固定1・2道选填题（5-10

2.点直线圆的距离问题长问题分），不单独出解答题，偶作为圆锥曲线

3.直线和圆的圆与圆的位置关系2025年新高考【卷：第7题直大题工具铺垫

4弦.长问题线和圆：点和圆的位置关系2.难度分布：以基础、中档题为主，压轴

5圆.的切线/切线长的问题2024年全国甲卷：第10题求题集中在综合最值与交汇问题，区分度适

6.直线与圆的综合最值问题最短弦长问题中

7.直线与圆的跨模块综合问题2024年天津卷：第12题圆与3.核心重点：聚焦直线与圆的位置关系、

抛物线的综合距离与最值、弦长与切线，圆的方程为基

2024年新高考I1卷：第10题础

考察圆与抛物线的综合4.命题趋势：强化几何性质与数形结合，

弱化复杂代数运算，含参动态问题、多选

题型占比提升

5.交汇方向：常与向量、不等式、圆锥曲

线（渐近线）轻度交汇，不涉及复杂跨模

块综合

TWOt幽颜@押

A题型1••求圆的方程

01抢分攻略

知识点解析

1掌握圆的标准方程与一般方程熟练运用配方法互化

2明确圆心半径的几何意义掌握直径式方程推导逻辑

3利用中垂线距离相等垂直关系确定圆心位置

4掌握隐圆三类常见模型定点定长直角圆周角定比值轨迹

解题方法

1已知圆心和半径直接写出圆的标准方程

2已知三点条件设圆的一般方程特定系数法求解

3出现直径端点直接套用直径式公式简化运算

4无显性圆条件时根据几何定义设别隐圆转化常规圆问题

婚押题预测

【例1】(2026•浙江嘉兴•二模)已知力(-2,0),8(1,0),若直线[-y+c=0上存在点尸满足|P川=2|P8|,

则实数c的最大值是.

【变式1-1](2026•天津北辰一模)若直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点为A,B,则过A、3及原点

。三点的圆的方程是________.

【变式1・2】(2026•黑龙江哈尔滨•二模)已知圆C经过点4(2,5),且与直线4x-3y+6=0相切于点

8(3,6),则圆C的标准方程为.

A题型2•点直线圆的距离问题

01抢分攻略

知识点解析

1熟记两点距离点到直线距离两平行线距离三大核心公式

2理解圆心到定点圆心到定直线距离的几何含义

3掌握圆上动点距离最值的几何转化原理

解题方法

1宜接套用距离公式规范代入数值规避符号计算错误

2圆上点到定点最值利用圆心与定点距离加减半径求解

3圆上点到定直线最值利用圆心到直线距离加减半径求解

4判定圆上满足距离条件的点个数对比圆心距与半径大小

阳螭预测

【例2】(2026•安徽淮北•二模)已知点4,8分别是直线3%+4、+5=0和圆X2+于=1上的动点，

P(2,2),贝"而+而|的最小值为.

【变式2・1】(2026•河南开封•模拟预测)已知4(4,0),8(0,—6),动点尸满足以♦丽=3,若直线2:3>+

4y-19=0上的两个点M,N满足|MN|=6,则△PMN面积的最大值为（）

A.18B.27C.36D.54

【变式2・2】【多选题】（2026•福建漳州•模拟预测）已知点P在圆。:/+丫2一2%-3=0上，点48分别为

直线，:3%—4y+12=0与％轴，y轴的交点，则下列结论正确的是（）

A.圆C截y轴所得的弦长为2遍

B.|AP|的最大值为7

C.直线力P的斜率最大值为苧

D.A/IBP的面积的最小值为|

A题型3直线和圆，圆与圆的位置关系

01抢分攻略

知识点解析

1核心判定依据为圆心到直线距离”与半径，.的大小关系

2明晰相离相交相切三种位置对应的数量关系

3了解含参直线的动态特征多数动直线存在固定定点

4设两圆圆心距为"两圆半径分别为不弓且4＞与

5包含外离外切相交内切内含五种基础位置关系

6掌握两圆公共弦的定义与直线方程求法理解两圆连心线几何性质

7明确两圆公切线的分类内公切线与外公切线的条数规律

解题方法

1求出圆心坐标与半径计算圆心到直线的距离d

2比较d与r的大小快速判定三种位置关系

3相切临界问题令"=，.建立方程求解参数

4含参直线先找恒过定点由定点与圆的位置辅助分析

5先求出两个圆的圆心坐标与半径准确计算圆心距d

6利用d与4+弓।4一“।的大小关系直接判定位置关系

7求公共弦方程直接将两圆一般方程作差消去二次项即可

8涉及公切线问题结合圆心距半经差或半径和利用直角三角形几何求解

9两圆相交问题连心线垂直平分公共弦可辅助求解弦长与中点

Q2押题预测

【例3】（2026•重庆沙坪坝•模拟预测）过点（0,-2）且与圆x2+y2-2x=0相切的两条直线的夹角

为a,则sina=（）

A.1B.更C.匹D.3

2255

【变式3・1】（2026•浙江温州•二模）已知圆。1：仁+1）2+/=1与圆02：（1—2）2+8—3）2=7*2,则圆

。1，。2的公切线最多有条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在），轴上，则另外三个交点

围成的三角形面积是.

【变式3・2】（2026•广东广州•二模）已知圆C:一+丫？一4y+3=0,若直线I:kx-y+3k=0匕至少存在

一点凡使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2,则实数k的取值范围是.

”题型4弦长问题

01抢分攻略

知识点解析

I垂径定理核心内容圆心与弦中点连线垂直平分弦

2掌握弦长公式二=2，产一/的推导与应用

3明确圆内最长弦为宜径过定点最短弦垂直连心线

4弦中点问题可结合垂直斜率关系H点差法求解

解题方法

1常规弦长计算先求圆心到直线距离代入弦长公式运算

2弦中点问题利用圆心与中点连线和弦垂直的斜率关系列式

3过定点弦长最值直接利用圆内弦长几何规律直接判断

4范围类问题结合图形临界位置限制参数取值

【例4】（2026•广东惠州•二模）直线x-y+4=0与化轴交于点4与丫轴交于点8，与0+I）24-

（y-3）2=/0>0）交于C、。两点，\AB\=2|CD|,则丁=.

【变式4・1】（2026・四川眉山・二模）已知圆C:%2+y2=%过点P（2百,0）的直线，与圆C交于48两点，且

\AB\=2,设直线保勺倾斜角为则cos2J=.

【变式4・2】（2026•四川成都・二模）已知抛物线y2=2px（p>0）的准线与对称轴的交点为C（-2,0）,直线

2x-y-8=0与抛物线交于A,B两点，则△48C的外接圆在x轴上截得的弦长为（）

A.—B.12C.—D.-

333

A题型5圆的切线/切线长的问题

01抢分攻略

知识点解析

1切线核心性质切线垂直于过切点的半径

2区分圆上一点圆外•点作切线的不同解题模型

3熟记切线长公式切点弦直线方程常用二级结论

解题方法

1过圆上一点作切线借助半径垂直切线求斜率快速写方程

2过圆外一点作切线设直线方程利用d求解勿忘斜率不存在

3切线长计算采用几何勾股定理噗型简化代数运算

4切点弦相关题目直接套用结论快速写出对应直线方程

显押题预测

【例5】（2026•广东广州•二模）已知点P在圆（x-2）2+y2=1上，点。（0,0）,力（1,1）,当“打最大时,则

COSZ.POA=（）

I\^2

44

【变式5・1】（2026•广东汕头•模拟预测）M（-3,2）为平面直角坐标系％Oy中一点，直线的方程为上ax+y+

a=0（aER）,过点M作/的垂线，垂足为Q,记Q点的轨迹为曲线&过直线x+y-4=0上任意一点

P作E的两条切线，切点分别为人B,则乙1PB正弦值的最大值为（）

10

【变式5・2】【多选题】（2026・重庆•一模）已知。为坐标原点，点P（a,b）在直线，：kx-y-4=0（kGR）

上，PA,P8是圆/+y2=2的两条切线，A,8为切点，则（）

A.直线/恒过定点（0,4）

B.当△P4B为正三角形时，\0P\=2>/2

C.当R4_LPB时，k的取值范围为（一8,-网u[e+8）

D.当万•同=14时，Q+b的最大值为4企

A题型6直线与圆的综合最值问题

01抢分攻略

知识点解析

1以数形结合为核心思想利用圆的几何性质简化最值运算

2常与平面向量不等式圆锥曲线渐近线进行知识交汇

3圆的参数方程可通过三角换元简化坐标类代数式最值

解题方法

1几何最值类题目优先作图分析•用圆心距半径转化条件

2代数最值问题选用圆参数方程爽元或几何边界法求解

3多模块交汇题型拆分条件单独处理直线与圆基础部分

4动态范围压轴题锁定相切临界交点等特殊位置分析

0物题预测一

【例6】（2026•湖北•二模）已知圆C:0-2）2+（y-2产=8,直线Lx+y=10,过直线I上一动点P作圆C

的两条切线，切点记作4B,则|48|的最小值为（）

A264V3C2、布c4、原

A・丁BD.石C.-D.-

【变式6-1]（25-26高三•全国•二轮复习）已知直线，1：mx+y-m-3=0与x-my+m-3=0相交

于点M,直线4B的方程为％+y+2=0,则点M到直线218距离的最大值为（）

A.\[2B.4&C.2A/2D,3加

【变式6-2]（2026•云南•模拟预测）已知直线，:ax-by+2a+b=。与圆C:%?+y2-2y-7=0相交于

A、B两点,则|4B|的最小值为（）

A.2B.2x/2C.4D.472

A题型7直线与圆的跨模块综合问题

01抢分攻略

知识点解析

1核心是直线与圆作为基础载体与其他模块深度融合

2高频跨模块类型直线圆+平面向量直线圆+圆锥曲线直线圆+三角函数直线圆+不等式

3掌握各模块与直线圆的衔接点向量侧重数量积运算圆锥曲线侧重渐近线与圆位置三角侧重参数换元

4核心思想为转化与化归将跨模块问题拆解为直线圆基础问题一对应模块常规问题

解题方法

1拆分题干条件分离直线圆相关条件与跨模块条件优先解决直线圆基础问题

2直线圆+向量转化向量数量积为坐标运算结合圆的范围求解最值或参数

3直线圆+圆锥曲线聚焦渐近线准线与圆的位置关系利用距离公式位置判定突破

4直线圆+三角/不等式借助圆的参数方程换元转化为三角最值或不等式范围问题

5全程贯穿数形结合避免复杂代数联立优先利用几何性质简化运算

【例7】【多选题】(2026•河北沧州•一模)已知动圆。:(％-&)2+(丫一乂))2=4的圆心在曲线)，=1］邛上运

动，则下列结论正确的是()

A.若圆C经过原点0,则实数而存在两个不同的值符合题意

B.若圆C被直线y=(%平分，则圆心的坐标为(e,l)

C.存在q>1,使得圆C截两坐标轴所得的弦长相等

D.圆C上的点到直线y=x-3的距离的最小值为2遮-2

【变式7・1】【多选题】(2026•黑龙江齐齐哈尔•二模)抛物线E：必=2p%(p>0)的焦点为广，以D(p,O)为

恻心，|0F|为半径得到I员I。，圆。上有一点(p,l).过点尸的直线与E交于P,Q两点,与圆。另交于点

M,则()

A.p=2B.当|PF|二2|FQ|时，P的横坐标为3

C.当|PF|=2尸Q|时，D.\MF\\PQ\<\FP\\FQ\

【变式7・2】.(2026•北京昌平•一模)已知圆/+V=5与抛物线C:y2=2Px(p>0)的准线的一个交点为4

(4在x轴上方)，点力关于y轴的对称点8在抛物线C上，则口=；若直线x-y+m=0上存在点M,

使得1MB,则m的取值范围为.

THREEI幽颜3通关特训

一、单选题

1.(2026•河北邢台•一模)已知集合力={(x,y)|tx-y=1},B={(x,y)|(x-l)2+(y-l)2=1}.若集

合？IClB仅有1个元素，贝此=()

A.1B.±1"D"

2.（2026・河北•模拟预测）已知圆/+⑶+2）2=9上到直线上2x+（m-l）y-2-2m=0的距离为1的

点有且仅有4个，则直线/斜率的取值范围是（）

A.（-8,；）B.（；,+8）

c.swm竽+8）D.（手，手）

、2

3.（2026•辽宁抚顺•一模）已知直线Ly=kx+2与圆C:（%-代）+（y+=12相交于4、8不同两点，

劣弧脑所对的圆心角为4/1C8,若则实数k的取值范围为（）

*5

A.（-VX+8）B.（―V3,V3）U（V3,4-00）

C.（-f,+8）D.（_£与U停,+8）

4.（2026•浙江•二模）如图，已知正三角形48c的功长为2,以B为圆心的圆与育线4?相切，若点夕星圆

8上的动点，则而•标的最大值是（

A.2A/3B.24-V3D.2+2V3

5.（2026•陕西渭南•二模）已知P是圆C:/+y2-6y=。上一动点,若直线，:3x-4y-13=0上存在两点

A,B,使得成立，则|力8|的最小值是（）

Q1O

A.2B.4C.D.

6.（2026•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知圆C：（x-m）2-i-y2=m2（m0）与直线I：y=kx+1

相交于M,N两点，0为坐标原点，若NMON=90。，则（）

A.mk=1B.mk=-1C.m=kD.m=­k

7.（2026•江苏•模拟预测）已知动点P在圆。:/+严=1匕点*一2,0）,8（-1,2）,当△PA8面积最小值

时，点P的坐标为（）

A.（-1,0）B.悟-今C.D.（0,1）

8.（2026•安徽淮南•二模）在平面上有等腰直角三角形MON,。为直角顶点，MN=2a,OA=1,OB=

V2,OB-AB=1,若A,8到直线MN的距离分别为幺和62，则朗+d2的最大值为()

A.2V2+V5B.e+相C.2V2+2D.3V2

二、多选题

9.(2026・河北•一模)已知直线2:THX—y+2m+1=0,圆C:/+y?+2%-3=0,则下列说法正确的是

()

A,直线L与圆。相交

B.直线，被圆C截得弦长的最大值与最小值的和为4+2V2

C.若圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1,则这样的直线!有两条

D.若P(—5,0),Q(—2,0),“是圆C上任意一点,则|MP|=2|MQ|

10.(2026•云南曲靖•一模)已知点4(0,-1),8(2,-1),尸是圆C:一+y2-2ax+2ay+2a2-4=0上一

点，且希•前=0,则实数。的取值可以是()

A.1B.2C.3D.4

11.(2026,河南开封,二模)已知点P是圆O:/+y2=4上一动点，点M(-3,0),点N(0,-4),则()

A.点P到直线MN的距离的最大值为当

B.满足PMJ.PN的点P有2个

C.过点N作圆。的两条切线，切点分别为48,则直线的方程为y=-1

D.21PMi+|PN|的最小值是2国

12.(2026•江西南昌•一模)在平面直角坐标系xOy中，已知力(一2,0),5(2,0),动圆C：(%—1)2+

^一丁尸二产小,。)，过点4B分别作斜率为储，&(4状2H。)的两条直线与动圆C相切，两切线交于第

一象限的点P(与,yo),设点8到直线P4的距离为d,则下列说法中正确的是()

A.\PB\>1B.备<遍C.k2>\[30.d<2V3

三、填空题

13.(2026•湖南常德•二模)已知曲线y=e》在x=0处的切线!与圆C：(X-1)2+丫2=4相交于4B两点，

顺.4B|=.

14.(2026・天津南开•一模)过点力(-2,0)及圆M：(%-2)2+必=16与抛物线必=8%的一个交点的直线被

圆M截得的弦长为.

15.(2026•甘肃张掖•模拟预测)己知A是直线Z:4x-3y+8=0上一点，过点A作圆C:(x++

Q+2)2=1的两条切线，切点分别为p,Q,若PQ/〃，则|PQ|=_________.

16.(2026•四川泸州・模拟预测)已知函数y=e”的图象在点P(a,b)(其中aV2)处的切线与圆心为Q(l,0)

的圆相切，则圆。的最大面积是

17.(2026•河北沧州•一模)已知点力(-2,0),8(2,0),动点P满足耳？•丽=-3,记点P的轨迹为曲线「，

若动直线/与曲线「相切，并与圆B:。-2)2+必=25相交于C。两点，则£川的最小值为.

18.(2026・吉林•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，圆。是以原点为圆心，2为半径的圆，直线/与抛物

线产=2px(p>0)和圆。分别相切于力乃两点，当|力臼最小时，p的值为.

专题11直线和圆七大热点题型

题型考情分析考向预测

1.求圆的方程2025年天津卷：第12题求弦1.题型分值：固定1-2道选填题（5-10

2.点直线圆的距离问题长问题分），不单独出解答题，偶作为圆锥曲线

3.直线和圆的圆与圆的位置关系2025年新高考【卷：第7题直大题工具铺垫

4.弦长问题线和圆；点和圆的位置关系2难.度分布：以基础、中档题为主，压轴

5.圆的切线/切线长的问题2024年全国甲卷：第10题求题集中在综合最值与交汇问题，区分度适

6.直线与圆的综合最值问题最短弦长问题中

7.直线与圆的跨模块综合问题2024年天津卷：第12题圆与3.核心重点：聚焦直线与圆的位置关系、

抛物线的综合距离与最值、弦长与切线，圆的方程为基

2024年新高考H卷：第10题础

考察圆与抛物线的综合4.命题趋势：强化几何性质与数形结合，

弱化复杂代数运算，含参动态问题、多选

题型占比提升

5.交汇方向：常与向量、不等式、圆锥曲

线（渐近线）轻度交汇，不涉及复杂跨模

块综合

TWOt幽颜2押

”题型1•.求圆的方程

01抢分攻略

知识点解析

1掌握圆的标准方程与一般方程熟练运用配方法互化

2明确圆心半径的几何意义掌握直径式方程推导逻辑

3利用中垂线距离相等垂直关系确定圆心位置

4掌握隐圆三类常见模型定点定长直角圆周角定比值轨迹

解题方法

1已知圆心和半径直接写出圆的标准方程

2已知三点条件设圆的一般方程特定系数法求解

3出现直径端点直接套用直径式公式简化运算

4无显性圆条件时根据几何定义4别隐圆转化常规圆问题

【例1】(2026•浙江嘉兴•二模)已知4(一2,0),8(1,0),若直线x-y+c=O上存在点P满足|P/J=2|PB|,

则实数c的最大值是.

【答案】-2+2囱2笈-2

【分析】由|P*二2|PB|求得户的轨迹为圆，结合直线与圆的位置关系即可求得。的最大值.

【详解】设P(x,y),

由题意得2)[2+(y-0)2=2V(x-l)2+(y-0)2,

整理得(％-2)2+严=4,

所以P的轨迹为以C(2,0)为圆心，半径r=2的圆，

因为P在直线3-y+c=。上，

所以(％-2)2+y2=4与x-y4-c=0相切或相交，

则C(2,0)到％-y+c=0的距离d=舄^<2,

解得一2一2或WcW—2+2VL

故c的最大值是一2+2近.

【变式1・1】(2026♦天津北辰•一模)若直线3%-4y+12=0与两坐标轴的交点为A,丛则过A、B及原点

。三点的圆的方程是.

【答案】x2+y2+4x-3y=0

【分析】设圆的方程，代入三点即可求出.

【详解】由题可得力(0,3),8(-4,0),设圆的方程为x2+y2+o%+Ey+F=0,

9+3E+F=0(D=4

则16—4D+尸=0,解得k=-3,

F=0(F=0

则所求圆的方程为/+y2+4x-3y=0.

【变式1・2】(2026•黑龙江哈尔滨•二模)已知圆C经过点4(2,5),月.与直线4%—3y+6=0相切于点

8(3,6),则圆C的标准方程为.

【答案】(％+1)2+。-9)2=25

【详解】设圆。的标准方程为：。一。)2+8-8)2=r2,

22

((2-a)+(5-h=r,=

由题意知：4(3—。)2+(6-8)2=",解得：8=9,

二=一三lr2=25

Ia-34

・•.He的标准方程为：0+1)2+(y-9)2=25.

►题型2•点直线圆的距离问题

01抢分攻略

知识点解析

I熟记两点距离点到直线距离两平行线距离三大核心公式

2理解圆心到定点圆心到定直线距离的几何含义

3掌握圆上动点距离最值的几何转化原理

解题方法

1直接套用距离公式规范代入数值规避符号计算错误

2圆上点到定点最值利用圆心与定点距离加减半径求解

3圆上点到定直线最值利用圆心到直线距离加减半径求解

4判定圆上满足距离条件的点个数对比圆心距与半径大小

空押题预测一

【例2】(2026•安徽淮北•二模)已知点48分别是直线3%+4、+5=0和圆32+)/2=1上的动点，

P(2,2),则|M+而|的最小值为.

【答案】g

【分析】设AB中点为M,根据向量加法的平行四边形法则得到PA+PB与PM的关系，分析|而|

的最小值，根据|而+而|min=2|而Ln即可求解.

【详解】设力B中点为M,贝IJ对+而=2PM,所以\PA+PB\=2\PM\.

得M的轨迹是3%+4y+5=0和3x+4y=0两条平行线所夹的区域，点P(2,2)到该区域的最小距离为点

P(2,2)到直线3%+4y=0的距离，

因为点B在圆x2+y2=l上，圆心。(0,0),半径r=1,

设点P到直线3x+4y+5=0的距离为d，

则：d=|3x2+4x2+5||6+8+5|_IS

V32+42V9+16-S

所以|丽|min=d—r=?—l=£

又因为|瓦？+而|=2|丽|,所乂\PA+PB\min=2x^='^

综上，|万t+而|的最小值为y.

【变式2“】（2026•河南开封•模拟预测）已知人（4,0）,8（0,-6）,动点尸满足百5•而=3,若直线，:3%+

4丫-19=0上的两个点加，N满足|MN|=6,则面积的最大值为（）

A.18B.27C.36D.54

【答案】B

【分析】设。（工,、），根据瓦？丽=3可得（工一2）2+（丫+3）2=16,可知P在以E（2,—3）为圆心，半径为4

的圆上，进而求出点P到I的距离的最大值，再结合三角形的面积公式求解即可.

【详解】设P（x,y）,则可？二（4一%，—y）,而=（一％,—6—y）,

由筋.丽=3,得一%（4-％）+（-y）（-6-y）=3,整理得（％-2产+（y+3产=16,

故P在以以2,-3）为圆心，半径为4的圆上，

点E（2,-3）到E:3x+4y-19=0的距离d=。呼+：?-：）二⑼=55

V34+4/

故点P到Z的距离的最大值为5+4=9,

所以△PMN面积的最大值为gX6X9=27.

【变式2・2】【多选题】（2026•福建漳州•模拟预测）已知点P在圆。:/+丫2一2%-3=0上，点/，8分别为

直线1:3%-4y+12=0与无轴，y轴的交点，则下列结论正确的是（）

A.圆C截y轴所得的弦长为2遍

B.|AP|的最大值为7

C.直线4P的斜率最大值为苧

D.的面积的最小值为:

【答案】ABD

【分析】利用圆的弦长公式可判断A；利用点到圆上的点的距离最大值的求法可判断B；当直线AP与圆C

相切时直线AP的斜率取到最值，可判断C：利用圆上点到直线距离的最值的求法可判断D.

【详解】易得力(一4,0),8(0,3),圆C:(无一1)2+V=%圆心C(l,0),半径r=2.

圆C截y轴所得的弦长为2>/^二斗=2V3,故选项A正确；

因为|力。|=5,所以MP|的最大值为h4C|+r=7,故选项B正确；

因为当直线4P与圆C相切于％轴上方时，设此时切线力P的斜率为k,

切线方程为：y-0=k(x+4)=>kx-y+4k=0,

圆心(1,0)到切线4P的距离等于半径：=2,

即5Ik|=27k2+1,化简得：25/c2=4(/C2+1),即H=(,

解得：k=±穹，所以直线力。的斜率取得最大值察,故选项C错误；

因为圆心C到直线3%-4y+12=0的距离为d=I3X1-r0+12I=£=3,

55

所以点P到直线，的最小距离h=d-r=3-2=l,

所以△4BP的面积的最小值为与力用八=故选项D正确.

故选：ABD.

A题型3直线和圆，圆与圆的位置关系

01抢分攻略

知识点解析

1核心判定依据为圆心到直线距离”与半径，.的大小关系

2明晰相离相交相切三种位置对应的数量关系

3了解含参直线的动态特征多数动直线存在固定定点

4设两圆圆心距为"两圆半径分别为不弓且4＞与

5包含外离外切相交内切内含五种基础位置关系

6掌握两圆公共弦的定义与直线方程求法理解两圆连心线几何性质

7明确两圆公切线的分类内公切线与外公切线的条数规律

解题方法

1求出圆心坐标与半径计算圆心到直线的距离d

2比较d与〃的大小快速判定三种位置关系

3相切临界问题令"=，.建立方程求解参数

4含参直线先找恒过定点由定点与圆的位置辅助分析

5先求出两个圆的圆心坐标与半经准确计算圆心距d

6利用d与4+为।斗一“।的大小关系直接判定位置关系

7求公共弦方程直接将两圆一般方程作差消去二次项即可

8涉及公切线问题结合圆心距半径差或半径和利用直角三角形几何求解

9两圆相交问题连心线垂直平分公共弦可辅助求解弦长与中点

Q2押题预测

【例3】(2026•重庆沙坪坝•模拟预测)过点(0,-2)且与圆x2+y2-2x=0相切的两条直线的夹角

为a,则sina=()

A.1B.更C.匹D.3

2255

【答案】D

【详解】圆的方程化简为(％—1)2+/=1,即圆心坐标(i,o),半径r=l,

点(0,-2)距离圆心距离d="2+22=V5,

因此sin：亲cosf=Jl-sin^=-^,

所以sina=2sinycos|=2x^=x-^=^.

【变式3・1】(2026•浙江温州•二模)已知圆。1：(%+1)2+丫2=1与圆02：(%一2)2+3-3)2=八，则圆

OI，。2的公切线最多有条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在)，轴上，则另外三个交点

围戌的三角形面积是

【答案】42g

【详解】由圆0]：(%+l)2+y2=i,得圆心0](-1,0),半径/]=1,

又由圆。2：(X—2)2+(y—3)2=/，得。2(2,3),半径r2二厂,

圆心距|。1。2|=行3=3或，当两圆外离时公切线最多，共有4条,

所以满足|。1。21>G+丁2=3近>1+rnrV3近一1,

即存在这样的r,故第一空答案为4；

由3个公切线交点在y轴上，注意到x=0到Oi的距离为1,恰好是。1的切线,

若x=0也是。2的公切线，则％=0到。2的距离为2=丁，得r=2,符合外离条件r=2V3鱼-1,

此时x=0是一条公切线，它和另外三条公切线的交点都在y轴上，满足题意,

设斜率存在的公切线为y=+d由公切线条件可得：

离;作商可得：器瑞=/㈤-2刈=母十~3|,

、一

可得2b-2k=2k+b-3或2b-2k=-(2k+b-3),

整理得：b=4k-3或匕=1,

当"1时，代入/=lnl+k2=—2"+*2=k=o,

9±V81-649±/17

当b=4k—3时，代入=1=>1+Y=9(1—2k+炉)=4/-9k+4=0nk=

88

所以当k=时,b=4k-3=4x9+717O3+V17

9+y-3=—

88

当A=21^1时，b=4k-3=4x9-V17_3-717

-------3=------

882

9+g,3+7179-V17,3-717

从而可得三条公切线方程分别为：y=l,y=

---8--%+—：—

y=1%=券，即得4(手,1)，

由9+63+/17，联立解得:

V=-----Xd------

：82

y=1(_1+VI7f—

又由9-V173-V17♦联立解得：I”-2,即得B,1

(y=—x+—(y=lVC2

(21^1^l

y=x+x=-4

又由《。802联立解得:，即得

9-V17,3-V17y=-3C(-4,-3),

▼V=---8---X+---2---

则M8I=•/-=67,点C到直线y=1的距离为1一(-3)=4,

所以另外三个交点48,C围成的三角形面积为：S=jx^l7x4=2V17.

【变式3.2】(2026•广东广州•二模)已知圆C:/+y2-4y+3=0,若直线/:kx-y+3k=0上至少存在

一点尸，使得圆。上恰有两个点与点P的距离都为2,则实数k的取值范围是.

【答案】(一+8)

【分析】求出圆C的圆心和半径，由已知可得以点P为圆心，2为半径的圆与圆C相交，并求出|PC|的范

围，再结合圆的性质建立不等式求解.

【详解】圆C:/+(y-2)2=1的圆心C(0,2),半径r=l,

由圆C上恰有两个点与点P的距离都为2,得以点尸为圆心，2为半径的圆与圆C相交，

则|2—r|<|PC|<|2+r|,即1<|PC|V3,令圆心C到直线I的距离为d,

于是直线1上任意点到圆心距离都不小于d,又直线，上至少存在一点P,

使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2,因此d<3,即盥<3,解得

VK+1

所以实数k的取值范围是(-5+8).

A题型4弦长问题

01抢分攻略

知识点解析

1垂径定理核心内容圆心与弦中点连线垂直平分弦

2掌握弦长公式乙=2折彳的推导与应用

3明确圆内最长弦为直径过定点最短弦垂直连心线

4弦中点问题可结合垂直斜率关系与点差法求解

解题方法

1常规弦长计算先求圆心到直线距离代入弦长公式运算

2弦中点问题利用圆心与中点连线和弦垂直的斜率关系列式

3过定点弦长最值直接利用圆内弦长几何规律直接判断

4范围类问题结合图形临界位置限制参数取值

或押题预测.

【例4】（2026•广东惠州,二模）直线无一y+4=0与％轴交于点4与y轴交于点3,与（％+1）2+

（7一3）2=/0>0）交于。、加两点，|/8|=2£。|,WJr=.

【答案】V2

【详解】令％=0,得y=4,即8（0,4）,

令y=0,得％=-4,即4（一4,0）,

圆心（-1,3）,-1-34-4=0,所以，直线％—y+4=0经过圆心，

22

\CD\=2rt\AB\=4r=7（-4）+4=4或，

所以,r=VZ

【变式4・1】（2026•四川眉山•二模）已知圆C:/+y2=%过点P（2V5,0）的直线1与圆。交于4B两点,且

\AB\=2,设直线伟勺倾斜角为氏则cos28=.

【答案】1/0.5

【分析】先由直线与圆相交的弦长可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可得斜率及倾斜角.

【详解】因为圆C:%2+y2=4,圆心0（0,0）,半径r=2,且|AB|=2.

则圆心0到直线1的距离为d=/-（绡=V4^T=V3,

因为过点P（2百,0）的直线I与圆。交于力，B两点,

所以立线的斜率存在且k=tan。，直线方程为y—0=tan0（x—2A/3）»即xtan。—y—2V3tan0=0.

由点到直线的距离公式d==落骞=V3,

叱vt了an2优0+l刈vtan20+l

化简得2，an0|=Vtan20+1,解得taM。=

J

ssZe-siMel-tan201

又因为cos28=cos20—sin20=---------=-T=

cos20+sin20l+tan20i+i2

所以COS28=g

【变式4・2】（2026・四川成都•二模）已知抛物线y2=2px（p>0）的准线与对称轴的交点为。（一2,0）,直线

2%-y-8=0与抛物线交于A,B两点，则△的外接圆在式轴上截得的弦长为（）

98

B.12D.

3

【答案】C

【分析】联立直线与抛物线方程，得到交点坐标，再求出三角形外接圆方程，得到弦长.

【详解】由题意得一：=一2,解得p=4,

联立直线2x-y-8=0与抛物线y2=8x得/-10%4-16=0,

故x=2或8,当％=2时，y=-4,当％=8时，y=8,

小妨设4(8,8),以2,-4),

设△力8C的外接圆方程为/+丫？++尸=o,

将4(8,8),8(2,—4)和。(一2,0)代入得

26-

(D=-3

64+64+8。+8E+尸=0

14-

4+16+2D-4F+F=0,解得(E=-3

4+0-2D+F=0厂64-

[F=~3

故以ABC的外接圆方程为/十y2―_当=0,

JJD

令7=。得无2--X--=0,解得％=%或一2,

333

所以△ABC的外接I员I在八•轴上截得的弦长为弓一（-2）=竽

A题型5圆的切线/切线长的问题

01抢分攻略

知识点解析

1切线核心性质切线垂直于过切点的半径

2区分圆上一点圆外•点作切线的不同解题模型

3熟记切线长公式切点弦直线方程常用二级结论

解题方法

1过圆上一点作切线借助半径垂直切线求斜率快速写方程

2过圆外一点作切线设直线方程利用d-〃求解勿忘斜率不存在

3切线长计算采用几何勾股定理噗型简化代数运算

4切点弦相关题目直接套用结论快速写出对应直线方程

【例5】(2026•广东广州•二模)已知点P在圆(x-2)2+y2=1上，点。(0,0),力(1,1),当“打最大时,则

cosZ-POA=()

AIy/2入V3Y^2-I\^2-V6V2

A.---2---B.---2---C.---4---D----4---

【答案】D

【分析】数形结合确定当4P。力最大时P点位置，即可利用两角和的余弦公式求值.

【详解】设圆(％—2)2+y2=i的圆心为。则C(2,0),半径丁=1,

过0作圆的切线，设交点为P,如图，

由图可知，当0P与圆相切，且P点在第四象限时，”04最大，

因为OC=2,CP=1,所以Z_COP=30。，

又71(1,1),所以4AOC=45。，

所以cos4"04=cos(30°+45°)=cos30°cos450-sin30°sin45°=­--=虫丝

444

【变式5・1】(2026•广东汕头•模拟预测)M(-3,2)为平面直角坐标系中一点，直线的方程为上ax+y+

a=O(aGR),过点M作/的垂线，垂足为Q,记Q点的轨迹为曲线&过直线x+y-4=0上任意一点

P作E的两条切线，切点分别为人B,则乙APB正弦值的最大值为()

A.5B.浮C.察D.空

551025

【答案】D

【分析】设动点Q的坐标为(%,y),根据题意得曲线E的方程为Q+2/+(y—l)2=2结合图形特征及正

弦函数单调性得出(sin乙力PB)max即可求解.

【详解】设动点Q的坐标为(%,y),MQ11,直线l:a(x+l)+y=O,恒过定点T(-1,O),

所以MQ1QT,所以。点的轨迹为以MT为直径的圆的方程，

圆的圆心为M7的中点E(-2,l),半径为=