《直角三角形》同步测试题-2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.4直角三角形》

同步自主达标测试题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.下列命题中，其逆命题是假命题的是（）

A.直角三角形的两个锐角互余B.对顶角相等

C,等边三角形的每个内角都是60。D.全等三角形的对应边相等

2.下列条件中，不能判断△A8C为直角三角形的是（）

A.AB=3,BC=4,AC=5B.AB-.BC.AC=2:3:4

C.Z.A-Z.B=Z.CD.Z.A:Z.E:Z.C=1:2:3

3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42。，那么这个等腰三角形底角的度数为（）

A.24°B.66°C.66。或24。D.66°或42。

4.如图，在等边△力8C中，E为AC的中点，过点E作。E1A8于点。，交8c的延长线于点

F.过点"作『GJ.4G交4「的延长线于点G.若47）=2,则人6的长为（）

A.10B.8C.6D.4

5.如图，在四边形力中，乙48c=90°,AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,四边

形48CD的面积为()

A.144B.72C.48D.24

6.如图，小杰想测量旗杆的高度48,他站在点C处，利用无人机在点E处测得ED=EC,当

小杰走到点。位置时，m^EDC=60%若'EC=6米，A0=1米，旗杆45与地面AC垂直,

则旗杆顶端与小杰的初始位置之间的距离BC为（）

A.8米B.9米C.10米D.11米

7.甲、乙两艘客轮同时离开港II,航行速度都是400m/min,甲客轮用30min到达力处，乙

客轮用40min到达8处.若4,B两处的直线距离为20000m,甲客轮沿着北偏东30。的方向航

行，则乙客轮的航行方向可能是（）

A.北偏西30°B.南偏西30°C.南偏东60°D,南偏西60°

8.一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下（0G14。），支

持力N的方向与斜面垂直（ON_L48）,摩擦力/的方向与斜面平行（。。|48）.若摩擦力/与重

力G方向的夹角乙1=120。，则斜面的坡角42的度数是（）

A.30°B.35°C.40°D,45°

二、填空题（满分24分）

9.命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是

10.如图，已知乙1=4。=90。，若以“HL”判定Rt/MBC三RSDCB,需添加的条件是

11.如图，已知力。=8D/48C=/OCB=90。//=65。，MzDFC=

12.如图，在△48C中，已知48=5,AC=13,边8c上的中线力。=6,则△48C的面积

13.如图，在3x3的正方形网格中标出了乙1和42,则/1+42=

14.如图，在aABC中，8C=25,AC=20,AB=15,N48C与44cB的平分线交于点D,

贝Ijzl/IBZ)+44G)的度数为.

15.如图，在△48C中，AC=BC,ZC=90°,乙4BC的平分线80交边4C于E,RAD1BD,

若BE=6,则4。=.

B

16.如图，在四边形ABC。中，AB=AD,4BAD=140°,AB1CB于点B,AD1CD于点D,

E、尸分别是Q?、CD上的点、,且4£4F=70。，则下列结论正确的有.

@DC=BCx②△AOF三aABE；③EF=BE+DF；④AE平分乙FEB.

三、解答题（满分72分）

17.（6分）如图，在AABC中，AB=15,AC=17,Z-ABC>90°,点。在AC边上，将△力BD

沿着BD折叠得AEBD,连接4E,CE.

⑴用尺规作出△七方。（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）若448。=30°,CE=8,连接BE,求上BEC的度数.

18.（6分）如图，△力BC是等腰三角形，力B=4C,点。是上一点，过点。作DE1BC交

BC于点、E,交。4的延长线于点£

⑴求证：△4DF是等腰三角形；

⑵若。为48中点，AC=10,BE=3,求OE的长.

19.（8分）如图，在△4BC"中，Z.BAC=90°,F为边上的点，H.AB=AE,。为线段8E的

中点，过点E作£T_LAE,过点A作AFIIBC,且A八E厂相交于点尸.

（1）求证：ZC=4BAD

（2）求证：AC=EF

20.（8分）将Rt/MBC与RtAlME按如图所示的方式摆放，延长。E交8c于点F,连接,4凡

其中乙4c8=Z.DEA=90°,AD=AB,BC=BF+EF.

（1）证明：AE=AC；

⑵若力£=5,AD=13,求CF长.

21.（8分）如图是某超市购物车的侧面简化示意图.测得支架47=80cm,8c=60cm,

两轮中心的距离48=100cm.

⑴判断支架4C，8C是否垂直；

⑵求点。到48的距离

22.（8分）沿河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地.如

图，渭河一侧有一村庄C,河边原有两个观景台A,B,其中4B=8C,现建设美丽乡村，决

定在渭河边新建一个观景台。（点A，D,8在同一条直线上），并新修一条路CD,测得4C=

3km,CD=2.4km,AD=1.8km.

⑴通过计算说明，。。是从村庄。到渭河边最短的路线；

⑵求原来的路线BC的长.

23.（8分）某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向

小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地弓水灌溉方案的设计.如图=9m,

BC=12m,CD=17m,AD=8m,CD上E,尸两点为浇灌点.

小华设计的铺设管道方案：从水源点G处直接铺设管道引水分别到浇灌点£F.

小明设计的铺设管道方案：过点G作CO的垂线，垂足为H,先从水源点G处铺设管道到点H处，

再从点”处分别向浇灌点E,小铺设管道.

社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量A,C两点之间为距

离，就确定了N4BC=90。.

8街道C

⑴施工人员测量出4,C两点之间的距离为m；

（2）若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用；

⑶若乙EG/=90。，FF=10m,EG=8m,管道铺设费川为50元/米，请比较小华和小明设

计的两种铺设管道方案所需的费用，并求出铺设管道所需的最少费用.

24.（10分）【探究感悟】

D

(1)如图1,AABD,△/!£1(；都是等边三角形，求证：BE=DC.

【迁移应用】

(2)如图2,若AABD是等边三角形,AB=AM,4C平分ND/1M,^.BAM<60°；

①求ZC的度数；

②试判断AN、BC、8M之间的数量关系，并证明.

25.(10分)已知：在Rt△力BC中，乙4c8=90。,8。=4。,点。在直线48上，连接CD,在CD

的右侧作CE1CD.CE=CD,连接

图I图2图3

⑴发现问题：如图1，

①当点。在A8边上时，线段8E和线段4D的数量关系是」位置关系是

②线段AB,BD,8E之间的数量关系是

⑵探究问题：如图2,点。在B右侧.上述①②结论是否仍然成立，并说明理由.

⑶拓展延伸：如图3,乙仇?£=乙。8£=90。,。。=CE=遍,8£=1,求线段BC的长.

参考答案

1.解•：A.原命题的逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，该逆命题是真命题，

故该选项不符合题意，

B.原命题的逆命题为相等的角是对顶角，该逆命题是假命题，故该选项符合题意，

C.原命题的逆命题为每个内角都是60。的三角形是等边三角形，该逆命题是真命题，故该选

项不符合题意，

D.原命题的逆命题为对应边相等的三角形是全等三角形，该逆命题是真命题，故该选项不

符合题意.

2.B

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握：如

果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，以及三角形

的内角和为180。.

用勾股定理的逆定理，即可判断A、B；根据三角形的内角和即可判断C、D.

【详解】解:A、+4?=9+16=25=52,

团△力BC是直角三角形，不符合题意；

B、设AB=2k,BC=3k,AC=4k,

团(2k)2+(3k)2=13k2*(4k)2,

团△48。不是直角三角形，符合题意；

C、0Z71一乙B=4C,z.A^-Z.B+Z.C=180°,

0Zi4+zF+Zy4-z5=18O°,解得：LA=90°,

回△ABC是直角三角形，不符合题意；

D、设ZJ1=%,48=2%,乙。=3%,贝Ij/A+=%+2%+3%=180°,

解得：％=30。，

0ZC=90°,

同△力8。是直角三角形，不符合题意；

故选：B.

3.C

【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角，

直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42。，需分△48。为锐角三角形和。为钝鱼三

角形两种情况讨论，分别计算底角.

【详解】解：设等腰三角形力8c中，力8=AC,作腰力C上的高BD,垂足为Q,

则801AC,Z-ADB=90°.

团BD与48的夹角为42°,即4A8。=42°,

团在Rt△ABD^,乙BAD=90°-Z,ABD=90°-42°=48°.

当△/18C为锐角三角形时，

点。在4c上，/.BAD=Z4=48°,

团底角44BC=Z-C=3180。-48°)=66°.

点。在AC的延长线上，^ABD=42°,

团N/Z4B=90°-Z-ABD=48°,

囹底角4力BC=4C=\LDAB=24°.

综上，底角为66。或24。，

故选：C.

4.A

【分析】本题主耍考直:了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，

直角三角形两锐角互余，先由等边三角形的性质得=^ACB=^A=^B=

60。，结合OE_L/IB以及直角三角形的两个锐角互余得乙1EO=30。，^BFD=30°,故AE=

2AD=4,CE=AE=4,AC=8,证明NCEF=iCFE得到CF=4,证明/G=90°,乙CFG=

30。可得CG=2,据此可得答案.

【详解】解：134/8C是等边三角形，

(3A8=BC=AC/ACB=z.A=Z.B=60",

WE1AB,

0Z/4DF=乙FDB=90°,

^AED=90°-60°=30°,Z.BFD=90°-60°=30°,

040=2,

团4E=2AD=4,

回点E为AC的中点，

团CE=AE=4,AC=+CE=8；

0ZCEF=/-AED=30°=乙CFE,

0CF=CE=4；

MG1AC,

团4G=90°,

0ZFCG=/.ACB=60°,

0ZCFG=90。-60。=30°,

团CG=-CF=2,

2

凡4G=AC+CG=10,

故选：A.

5.D

【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等

于斜边的平方是解题的关谑.

连接力C，根据用勾股定理求出AC的长度，再用勾股定理的逆定理，证△4CD是

宜角三角形，根据四边形.48CD的面积等丁•内△4CD和面积之差，即可求解.

【详解】解：如图，连接4C,

C

AC=TAB2+8c2="32+42=5,

又•••CD=13,AD=12,

CD2=132=52+122=AC24-AD2,

••・△4CD是直角三角形，

.•・四边形ABCD的面积为S=Sue-S^ABC=x5x12-1x3x4=24.

故选：D.

6.C

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，30。直隹三角形的性质，直角三角形的锐角

互余，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用.

先证明△OCE为等边三角形，然后推出乙8=30。，再由30。直角三角形的性质，即可求解.

【详解】解：⑦乙EDC=60°,ED=EC,

0AOCE为等边三角形，

0ZD=ZC=60°,

回EC=6»

配7)=6,

040=1,

团4c=CD-AD=5,

^AB1AC,

团N8=90°-ZC=30°,

^BC=2AC=2x5=10(米)，

故选：C.

7.C

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出乙1。8=90。，注意：

如果一个三角形的两边Q、匕的平方和等于斜边c的平方，那么这个三角形是直角三角形.

根据速度和时间计算甲、乙行驶路程，利用勾股定理逆定理判断两路线垂直，再根据甲的方

向推导乙的可能方向.

【详解】圉甲行驶路程：400x30=12000(m),

乙行驶路程：400x40=16000(m),

又团120002+160002=144000000+256000000=400000000,200002=400000000,

0120002+160002=200002,

^△048为直角三角形，巨/4。8=90。，

团甲航行方向为北偏东30。，

团乙航行方向与甲垂直，可能为北偏西60。或南偏东60。，

选项中南偏东60。对应C,

回乙客轮航行方向可能为南偏东60。.

故答案为：C.

8.A

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，延长NO交力OF点E,构造直角三角形，根据

直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系.

【详解】解：如下图所示，延长N。交4D于点E,

vONLAB,OCWAB,

•••ON1OC,

・••乙COE=90°,

vZ1=120°,

/.EOG=Z1-Z.COE=120°-90°=30°,

vOG1AD,

•••Z-OGE=90°,

."EOG+Z.OEG=90°,

Z.OEG=60°,

又•••ONLAB,

:.Z24-Z-OEG=90°,

z2=30°.

故选:A.

9.如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等

【分析】本题考查命题与定理，关键掌握三角形全等的判定定理及性质.将原命题的条件与

结论互换即可得到其逆命题.

【详解】解：团原命题的条件是：如果两个三角形全等，

结论是：那么这两个二角形的对应边相等，

同其逆命题是：如果两个三角形的对应边相等，那么两个三角形全等.

故答案为：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等.

10.AB=DC^AC=DB

【分析】根据两直角三角形全等的判定定理：即在•对直角三角形中，如果斜边和一条直角

边分别相等，那么这两个三角形全等.题干已经有公共边一斜边，由此即可得出需要添加的

条件是直角边对应相等.

本题考查了根据证明三角形全等，掌握判定三角形全等是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得8C是公共边，且为斜边，根据"HL”判定三角形全等，缺少的是

对应相等的直角边，

由RtzxABC三RtADCB,

故应该添加的条件是AB=DC或AC=DB,

故答案为：AB=DC^LAC=DB.

11.25725®

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质.熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三

角形两锐角互余，是解题的关键.

根据直角三角形两锐角互余求出44cB=25。，根据已知条件证明△ABC三△DC8(HL)，由

三角形全等性质即可得到答案.

【详解】解：国乙49c=90°,Z.A=65°,

^Z.ACB=90°-Z.A=25°.

在RtZk/BC和RtADCB中,

(AC=DB

IBC=CB'

0Rt△ABC=RtADCF(HL).

0ZDFC=/-ACB=25°.

故答案为：25°.

12.30

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理：延长4。到£.使

DE=AD,连接BE,先运用SAS证明△加”1三△E08,得出BE=13.再由勾股定理的逆定

理证明出NB4E=90。，即可求解.

【详解】解：延长4。到以使DE=/W,连接BE.

A

在△4DC与中，

(AD=DE

1/.ADC=乙EDB,

(CD=BD

回△ADC"EDB(SAS).

团AC=BE=13.S^BDE=SAAOC，

团SMBE=S&ABC，

在△ABE中，AB=5,AE=12,BE=13,

^AB2+AE2=BE2,

团4B/1E=90°.

团SAA8c=S^ABE=5x4B'AE=30,

故答案为：30.

13.45°

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质.根据题意，作出合

适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题.

【详解】解:如图所示，作ACIIDE,连接BC,

则21=匕3,

设每个小正方形的边长为Q,

则48=V5Q,BC=V5a,=ga,

vAB2+BC2=10a2=AC2,AB=BC,

：,△力BC是等腰直角三角形，4ABC=90。,

A"AC=45",

，z3+Z2=45°,

Z.14-z2=45°,

故答案为：45°.

14.450/45度

【分析】本题考查勾股定理的逆定理，与角平分线有关的三角形内角和问题，由AC?+力82=

口。2得至|j乙4=90。，再根据角平分线得到+/.ACD=^(AABC+AACB)=4S。即可.

【详解】解：0FC=25,AC=20,AB=15,

22

团4c2+AB2=152+202=625=25=BC,

团448。是直角三角形，NA=90。，

0N4BC+N4cB=90。，

与乙4cB的平分线交于点。，

^Z.ACD=-Z-ACB,/.ABD=-Z-ABC,

22

^LABD+£ACD=^(^ABC+Z-ACB}=45°,

故答案为:45°.

15.3

【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等

知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键.延长4。、9C交于点

F,由BOJ.40且8。平分乙ABC,证得△/1FC三△BEC,可得力0=尸D,再根据乙F4C+

/LAED=90°,乙CBE+乙CEB=90°,乙CEB=/.AED,证得乙尸4。=乙CBE,进一步证明△

AFC三△BEC,则可得4F=BE,从而得到AD==3.

【详解】解：如图，延长,4D、BC交于点F,

•••BD=BD,

.*.△ADB三△”08(ASA),

•••AD=FD,

•：Z.FAC+^AED=90°,乙CBE+乙CEB=90。，Z.CEB=^AED,

■,■Z.FAC=乙CBE,

在△?!?(?和△BEC中

乙FAC=LCBE

AC=BC，

Z.FCA=乙ECB=90°

AFC讣BEC(ASA),

：.AF=BE,

AD=^AF=1BE=3,

22

故答案为：3.

16.①③④

【分析】本题主要考查/垂线的性质，全等三角形的判定与性质，添加适当辅助线构造全等

三角形是解题的关键.

连接力C,由力81CB.AD1C0可得418c=/.ADC=90°,进而可证得△ABCdADC,

于是可得DC=BC,故结沦①正确；根据已知条件不能推出A/1D5三△48E,故结论②错

误；延长EB到G,使8G=DF,连接4G,利用SAS可证得△ADF"ABG,于是可得4尸=AG,

4DFA=4BGA,^-DAF=^BAG,根据角的和差关系可将NE力尸=NEAG=70°,进而可证

得^EAFEAG,于是可得E尸=EG=BE+BG=BE+DF,故结论③正确，可得NAEF=

乙AEG,即AE平分”EB,故结论④正确;综上所述，即可得出答案.

【详解】解：如图,连接AC,

圆乙ABC=Z.ADC=90°,

在RtzxABC和&△AOC中,

(AB=AD

UC=AC'

0Rt△ABC三RtA/lDC(HL),

0DC=BC,故结论①正确；

根据已知条件不能推出gADFABE,故结论②错误:

如图，延长EB到G,使BG=DF,连接力G,

团481CB,AD1CD,

^ADF=Z.ABG=90°,

在△力OF和A/IBG中，

(AD=AB

1/-ADF=乙ABG,

(DF=BG

0AADF三△48G(SAS),

04F=AG»Z.DFA=Z.BGA,LDAF=/.BAG,

0ZF4F=70°,/.BAD=140°,

^Z.DAF+Z.EAB=乙BAD-Z.EAF=140°-70°=70°,

^Z-EAG=/.EAB+4BAG=Z-EAB+LDAF=70°,

mZ.EAF=Z.EAG=70°,

在△瓦4尸和△EAG中，

(AF=AG

l£EAF=LEAG,

(AE=AE

£:45三△E4G(SAS),

EF=EG=BE+BG=BE+OF,故结论③正确；

vAEAF=△EAG,

例4AEF=乙AEG,

(ME平分乙尸EB,故结论④正确；

综上所述，正确的结论有①③④,

故答案为：①③④.

(1)图见解析；

(2)Z.BEC=30°.

【分析】本题考查作图一作三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，龄折变

换，解题的关键是掌握相关知识解决问题.

(1)分别以。，B为圆心：力。，为半径作弧，两弧交于点E,连接DE,BE,AE,CE即

可；

(2)证明△48E是等边三角形，求得44E8=60。，AB=AE,利用勾股定理的逆定理证明

△AEC是直角三角形，得"1EC=9O°,根据48EC=—乙即可求解.

【详解】(1)解：如图，AE8D即为所求，

(2)团△4BO沿着折叠得

0AABD=△EBD,

^Z-ABD=乙EBD,AB=BE,

“BO=30°,

^Z.ABE=4ABD+乙EBD=60°,

是等边三角形，

^Z-AEB=60°,AB=AE=15,

^AE=15,AC=17,CE=8,

AE2=225,AC2=289,CE2=64,

团225+64=289,

0/IF2+CE2=AC2,

(34AEC是直角三角形，Z.4EC=90°,

田乙BEC=Z.AEC-/-AEB=30°.

18.⑴见解析

(2)DE=4

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解

题的关键是熟练运用相关性质与勾股定理.

（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余，证明，尸=乙4。尸；

（2）利用勾股定理在RtABOEH」求解，先求出BD的长度，再计算。E.

【详解】（1）证明：回AB=AC,

0Z.F=Z.C.

0DF1BC,

0乙DEB=/.DEC=90°.

在中，zfi4-Z-BDE=90°；

在Rt△?£1（:中，LC+Z-F=90°.

团Z.B=Z.C,

0乙BDE=ZF.

又同Z.BDE=/.ADF（对顶角相等），

团Z.ADF=乙F,

0AD=AF,

0△//）"是等腰三角形.

（2）解：AB=AC=10,。为AB中点，

□BD=-AB=5

2

在&△BOE中，BD=5,BE=3,

由勾股定理得：DE=VW-BE2

=V52-32=V25—9=V16=4.

答：OE的长为4.

19.⑴见解析

⑵见解析

【分析】本题考查/全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的

判定是本题的关键.

（1）由等腰三角形的性质可得力0_L8C,由余角的性质可得NC=484。；

（2）由“ASA”可证△48。三△区45，可得=

【详解】（1）证明：^AB=AE,

团a/lBE是等腰三角形

又皿)为8E的中点，

04D1BE(等腰三角形三线合一)

在RtzxABC和中，Z.BAC=Z-BDA=90°,

团乙C=/.BAD=90°—48；.

(2)证明：^AF||BC,

^Z.EAF=匕AEB,

囿48=AE,

0Z/4BE=Z.AEB,

^LEAF=乙ABC,

团EF1AE

^BAC=Z.AEF=匕90。，

团48=AE

(?]△BAC三△4EF*(ASA),

胤4c=EF.

20.(1)见解析

噌

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答

的关键.

(1)利用HL证明＞三△W(:「，然后利用全等三角形的对应边相等可证得结论；

(2)先利用勾股定理求得OE=12,证明△/E。三△ACB(HL)得到8C=OE=12

设。尸=刈在口，利用勾股定理列方程求解即可.

【详解】(1)证明：®BC=BF+EF,BC=BF+CF

0FF=CF,又4尸=AF,Z,AEF=Z.AED=Z.ACF=90°,

0AAEF三△8CF(HL),

团4E=AC；

(2)解：在Rt△4DE中力E=5,AD=13

WE=y/AD2-AE2=12

团48=AD=13

团BE=AB-AE=8

团N4ED=zACB=90°,AD=AB,AE=AC

0AAED三4ACBWQ

谢=DE=12

设CF=x,MFF=CF=X,BF=BC-CF=12-x

在RSBEF中，BE2+EF2=BF2

则82+/=(12-。)2

解得％=?

(3C尸的长为弓.

21.(1)ACLBC,理由见解析

(2)48cm

【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键.

(1)利用勾股定理逆定理，进行求解即可；

(2)过。作C0J.A8于Z),利用等面积法进行计算即可.

【详解】(1)解：AC1BC,

理由：0i4C=80cm,CB=60cm,AB=100cm,

^AC2+BC2=802+602=10000,AB2=10000,

MC2+BC2=AB2,

“CB=90°,

回△ABC是直角三角形，

团4C1BC.

回SMBC=：xACxBC=；xABxCD,

22

1380x60=100xCD,解得CD=48cm,

即点C到A8的距离为48cn

22.⑴见解析

⑵原来的路线BC的长为2.5km

【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题

的关键.

(1)由勾股定理逆定理得出△4CD是直角三角形，即CD14B,即可得出结果；

(2)设AB=BC=xkm,则在Rt△BCD中,BC=xkm,BD=(x—1.8)km,CD=2.4km,

最后结合勾股定理计算即可得出结果.

【详解】(1)解：在△ACD中，AC=3km,CD=2.4km,AD=1.8km,

CD2+AD2=2.424-1.82=9,AC2=32=9,

^CD2+AD2=AC2,

•••△4CD是直角三角形,即

・•.CD是从村庄C到渭河边的最短路线；

(2)解：设48=8C=xkm,

在内△BCD中，BC=xkm,BD=(x—1.8)km,CD=2.4km,

由勾股定理，得BC?=BD?+CD?,即/=(%—1.8)2+2.42,

解这个方程，得X=2.5,

回原来的路线的长为2.5km.

23.(1)15

(2)11400元

⑶小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元

【分析】(1)运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答.

(2)运用勾股逆定理进行列式计算，可得乙。AC=9(T,再il算出总面积即可求解；

(3)先计算出FG=6m,则可计算出小华的方法费用为(6+8)x50=700(元)，利用等

面积法计算出G，=gm,则可计算出小明的方法费用为(10+§)x50=740(元)，可得

小华设计的方案所需费用较少为700元.

【详解】(1)解：当测量AC=15m时,4/+BC2=92+122=81+144=225=152=AC2,

团4/BC=90°.

(2)解：如图，连接4C,

2+AC2=82+152=289=172=DC2,

22

•••S^DAC=^AD•AC=3x8x15=60(m),SAACB=^AB-BC=x9x12=54(m),

••・四边形A8CD的面积=60+54=114(m2),

•••建造绿化地的总费用为100x114=11400(元).

(3)解：vLEGF=90°,EF=10m,EG=8m,

FG=y/EF2-EG2=V102-R2=6(m),

•••GH1EF,

•••SAEGF=3EG.FG=TEF.GH，

...G"=也型="=^(m),

EF105',

・••小华设计的铺设管道方案所需的费用为(6+8)x50=700(元)，小明设计的铺设管道方

案所需的费用为(10+^)x50=740(元)，

0700<740.

答：小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元.

24.(1)见解析；(2)①60。；©3BC+BM=2AN,证明见解析

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定

和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

(1)利用边角边易证△力BZT三△/WC；

(2)①设4=则N/MM=600+a,再求出乙=30。一=90。一

利用外角性质即可得解；

②连接DC,过。作OE_LCM,交其延长线于点E,易证4C10M,DN=MN,分别证内△

71ON三口△BOE(HL)、Rt△COE三Rt△CON(HL),可得/IN=BE,CE=CN,再根据30。

直角三角形性质求解即可.

【详解】解：(1)证明：I3A4BD与△力"是等边三角形，

0/1D=AB,AC=AE,Z.DAB=Z.EAC=60°,

^Z.DAB+Z.BAC=乙EAC+Z.BAC,

^^DAC=4BAE,

在△BAE和△£MC中

AB=AD

Z.BAE=Z.DAC>

AE=AC

0ABAEDAC(SAS),

^BE=DC；

(2)①设iBAM=a,

团△47O是等边三角形，

0ZD/1F=60°,则4。4M=60°+a,

团4。平分NZX4M,

^Z-CAM=-Z.DAM==30°+-a,

222

又出IB=AM9

团乙ABM=Z.AMB==90°--a,

22

乂回4C4B=/.CAM-^LBAM=30°+1a-a=30°-|a,

0ZC=NABM-乙CAB=90°—ga—(30°-1a)=60°；

②3BC+BM=2AN；

证明：如图，连接OC,过。作OE_LCM,交其延长线于点E,