2026年河北省沧州市高考数学考前预测试卷（附答案解析）

2026年河北省沧州市高考数学考前预测试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知z（2+/）=5/,则2=（）

A.l+2iB.1-2/C.2+/D.2-i

2.（5分）已知全集（7={入WA={y€N*\y=2x,xER,x<2},6={3,4,6},贝U（CuZ）

OB=（）

A.{3,4}B.{4,6}C.{3,5}D.{5,7}

3.（5分）已知平面向量Z=（2,一两，丽=2,且&-2办1一则|之+山=（）

A.2B.3C.4D.5

4.（5分）已知双曲线C：U=l（a>0,b>0）的焦距为4,右焦点乃到渐近线的距离等于1,则其

离心率为（）

2\/3V54V15717

A---R-C----D---

32154

5.（5分）已知角a的顶点为原点。，始边为x轴的非负半轴，其终边绕着坐标原点按逆时针方向旋转g后

6

经过点产（-4,3）,则5出（2。一看）=（）

7799

A.-B.-5FC.-D.--r-f

25251616

6.（5分）已知等差数列{。〃}满足。3+。2024+。2026+。4047=28,则3。2026-。2028=（）

A.-14B.14C.-21D.21

7.（5分）《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”尸

-ABCD如图所示，侧棱刃_1_底面ABCD,且AB=AD,点E在棱PC上运动.则下列说法正确的是（）

A.存在点E,使得/E〃8P

B.不存在点£,使得8£〃平面以。

C.对于任意点E,BE工CD成立

第1页（共20页）

D.对于任意点E,平面以C_L平面8。£成立

AQ[

8.（5分）设Q=4-3/子b=五,c=3cos^,贝I（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知随机变量X〜B（n,D（X）=I，则下列说法正确的是（）

A.P（X=O）=昔16B.E（X）=34

C.P（X=2）=3尸（X=3）D.D（3X-2）=6

（多选）10.（6分）函数/（%）=2cos3x（coso）x+百simdx）-l（3>0）的最小正周期为IT,则下列说法正

确的是（）

A.若/（x）在（0,〃?）上单调，贝I」0On工存

B./（x+^）+/（j-%）=0

C.方程/（x）=1在[0,8TT）内的解有16个

77

D.若g（x）=/（ax）（a>0；在[0,n）上有且仅有两个极值点，则看]

（多选）11.（6分）抛物线具有以下光学性质：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射

后的反射光我都与抛物线的对称轴平行或重合.已知抛物线兀J，2=8X的焦点为尸，直线/过点。（3,

0）且与抛物线r交于力（M，为），B（加，yn）两点，r在力，8处的切线交于点P,则（）

A.AFVPFB.yAyB=-24

C.AAFB=2AAPBD.点尸在直线x+3=0上

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）函数/'（%）=2''*"若/（/（〃））=（）,则ae_____________.

Jnx,x>0,

13.（5分）某沙漏由上、下两个完全对称的圆锥组成，即上圆锥和下圆锥，将体积为上（下）圆锥一半的

沙子从上圆锥落下，刚好形成了与下圆锥同底面的新圆锥，则沙子在上圆锥构成的圆锥的高与在下圆锥

构成的圆锥的高的比值为.

14.（5分）在数列｛。〃｝中,按照下面方式构成“次生数列”｛岳｝：b\=a\,b2=min｛a\te｝，b3=min｛a\,

02103]»…，bn=min｛a\,。2，…，an｝（〃22）,其中加〃｛刈,。2，…，di]（2WiW〃）表示数列ai.

第2页（共20页）

42，…，0中最小的项.已知数列｛"〃｝满足%2二即一1斯+1口+再短y］（〃22）,若41=2,46=-224,

则bz+tn=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Q+Cb

15.（13分）在△XBC中，内角,4,B,C的对边分别为mb,c,且----------+----------=-----

sinB+sinCsin(B+C)sinA

（1）求角8的大小;

（2）若b=历，/1C边上的中线二孚，求N/4。的平分线8N的长.

16.（15分）如图，在四棱锥P-/18C。中，平面％OJ_平面4BC。，BC//AD,PA=PD=V13,AD=4,

AB=BD=2VLBC=CD.

（1）证明：PC上BD；

（2）设三棱锥P-4CO外接球的球心为E,求二面角E-以-。的余弦值.

(2a-1)x+2(西R).

（1）讨论/（x）的单调性;

（2）当。＞0时，证明：/■（%）与/十）2.

18.（17分）2025年11月5口，第八届中国国际进II博览会在国家会展中心（上海）举办，某企业参展

的产品有甲、乙两款机器人，为调查消费者喜爱程度与产品的类型是否有关，在展览期间设置投票箱,

随机抽取了部分观众进行现场投票，得到如下列联表:

类型是否喜爱合计

喜爱不喜爱

甲2m4m6m

乙9m3机\2m

合计11/M7m18m

并根据小概率值a=（）.OO5的独立性检验，得出了“消费者喜爱程度与产品的类型有关”的结论.

n(ad-bc)2

附：X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).

第3页（共20页）

a0.010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

（1）求正整数机的最小值.

（2）为感谢现场参与的观众，主办方设置了一个挑战机器人对抗赛活动.每人挑战〃（〃WN"）局，每

局比赛只有胜和负两种情况，无平局，若每局比赛参与者战拄机器人的概率为3胜者记3分，负者记

1分.每局胜负不受其他因素的影响.

（i）若参与者甲与机器人共对抗4局，求其得分不少于10分的概率.

（ii）记参与者的得分恰好比对抗的局数〃多4分的概率为P⑺,若工=P（l）+1?（2）+1?（3）+…+

乙J

ip（n）,求S〃.

19,（17分）已知椭圆广：各叠=l（Q>b>0）的左、右焦点分别为为，尸2,椭圆的上顶点为力，右顶点

V324-V3

为B,周心率为I，AFiAB的面积为一-一.

（1）求椭圆「的方程.

（2）过点P（2,1）的直线/交椭圆「于C,。两点.

（i）若△力尸。的面积等于△4CO的面积的3求直线/的方程.

（ii）过点。作x轴的垂线，交直线8c于点E,若"为。E的中点，则"，A,3三点是否共线？若

共线，请证明你的结论；若小共线，请说明理由.

第4页（共20页）

2026年河北省沧州市高考数学考前预测试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知z（2+z）=5/,则2=（）

A.1+2/B.1-2/C.2+iD.2-/

【解答】解：z（2+i）=53所以z=言7=情等超1=1+2。

故选：A.

2.（5分）已知全集（/={%€N1y=/={j，WN*[y=2x,xGR,x<2},8={3,4,6},则（Cu4）

08=（）

A.{3,4}B.{4,6}C.{3,5}D.{5,7}

【解答]解：U={xeN*|7-x^O}={xeN*|x<7}={1,2,3.4,5,6,7},J={veN*|0<^<4}={l,

2,3},

所以Cu4={4,5,6,7},又8={3,4,6},

所以（QM）G8={4,6}.

故选：B.

3.（5分）已知平面向量入=（2,-V2）,|a=2,且白一2^）1二则0+&=<）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：由题可得：向=J22+（一/尸=vm=*,

因为（Q—2b）la,则（Q—28）・Q=0,即：|a|2-2a-b=0.

解得：a-h=3.

所以+b\=J|a|2+2a-b+\b\2=V6+2x34-4=-6+6+4=Vl6=4.

故选：C.

4.（5分）已知双曲线C：芸一3二l（a>0,b>0）的焦距为4,右焦点&到渐近线的距离等于1,则其

离心率为（）

2V3V54任V17

C-15D*—

A.亍B・T

第5页（共20页）

【解答】解：由双曲线C：苴一餐=l（a>0,b>0）的焦距为4,得2c=4,・・・c=2,

・•・右焦点后的坐标为&（2,0）,又双曲线的渐近线方程为y=±'x,即云土ay=0.

|bx2±ax0|2b

又右焦点Fi到渐近线的距离等于1,>•f——1,­=1

V62+a2

又・・Z=2,：.—=1,解得b=l,・・・滔=/-必=3,Aa=V3,

・,・双曲线的离心率为e=9=竽

故选：A.

5.（5分）已知角a的顶点为原点O,始边为x轴的非负半轴，其终边绕着坐标原点按逆时针方向旋转g后

6

经过点P（-4,3）,则以71（2。一看）=（）

7799

A.~~B.­5FC.~~~D.—

25251616

【解答】解：设角£=a+9由题意知B终边过点P（-4,3）,

可得r=\0P\=J（一4尸+32=5,

可得.cosp=-.

由0=a+*可得a=夕一看，

所以2a-d=2(/?—一,二20一多

可得s讥(2a一5)=sin(2p—j)=—cos20,

可得cos2£=2cos2s-1=2x(-^)2-1=.，

所以sin(2a—^)=—/.

故选:B,

6.(5分)已知等差数列｛。〃｝满足。3卜。2024+。2026Tq4047=28,则3。2026-。2028=()

A.-14B.14C.-21D.21

【解答】解：等差数列｛。〃｝满足。3+。2024+〃2026+。4047=28,

・•・由等差数列通项公式得：4^025=28,

解得42025=7,

・••由等差数列通项公式得：

3a2026-42028=3(42025十〃)-(42025十3d)=242025=14.

第6页（共20页）

故选：B.

7.（5分）《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”P

-ABCD如图所示，侧棱以_L底面ABCD,且AB=AD,点E在棱PC上运动.则卜.列说法正确的是（）

A.存在点E,使得4E//BP

B.不存在点七，使得8E〃平面以。

C.对于任意点，BELCD成立

D.对于任意点E,平面以UL平面8OE成立

【解答】解：对于选项儿若AE〃BP,又力Eu平面力PC,8PU平面月PC,

・・・6P〃平面月PC,

这与4PA平面力尸。=尸矛盾，，不存在点£,使得/也〃AP,故选项力不正确；

对于选项&当E移动到点C时，可得8E〃力。，力Qu平面以。，BEC平面Pt。,

・•・〃£〃平面玄。，故存在点凡使得8E〃平面用。，故选项4不正确；

对于选项C：若对于任意点£BELCD,又四边形力8c。为长方形，・・・COJ_8C,

又BECBC=B,BE,8Cu平面P8C,，CQ_L平面P8C,

又TPCu平面P8C,/.CD±PC,

又侧棱以J_底面48。。，C£>cjg[i|ABCD,

：.PALCD.

又・・・Hnpc=p,PA,qcu底面aic,

・・・6_1底面PAC,

又..ZCu底面aic,：.CDLAC,又BC工CD,

这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，

・•・对于任意点E，8E_LCQ不成立，故选项C不正确；

对于选项。：由正方形44CD可得4C_L4O,

又•・•侧棱以_L底面力取。，BDu底面4BCD,：.PALBD,

^：PAOAC=A,PA,/4Cu底面以C,

第7页（共20页）

・・・8。_1底面为6;

又<8Ou平面8ZM,，平面以C_L平面故选项。正确.

故选：D.

8.(5分)设a=4-32n*b=c=3cos9,则()

A.a>h>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解答】解：令<p(x)=lnx-(x-I),则0G)=^-1=

当x>l时，<p,(x)<0,即函数(p(x)在(1,+8)上为减函数，

当OVxVI,<p'(x)X),即函数年(x)在(0,1)上为增函数，

所以<p(x)=Inx-(x-1)W(p(1)=0,所以/-I,当且仅当x=l时取到等号，

令％=4，所以仇言三六一1=1,所以Q=4-3,点>4—3x£=3,

因为cos/VI,所以c=3cos1<3,所以a>c,a>b,

令/(%)=cosx-(1一々％2),xe(0»1),求导得/(x)=-siav+x,

令h(x)=-sinx+x,则h'(x)=-cosx+1>0,

所以〃(x)在(0,1)上单调递增,所以〃(x)>h(0)=0,

所以/(x)>0,所以/(x)在(0,1)上单调递增，所以cosx>(l-义42),xe(0,1),

令X=/则可得cos4>1一/x(抒=%

所以3cosm>3x所以c>b,

所以a>c>b.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

(多选)9.(6分)已知随机变量X〜8(九，1),D(X)=则下列说法正确的是()

A.P(X=0)=需16B.E(X)=I4

C.P(X=2)=3P(X=3)D.D(3X-2)=6

【解答】解：D(X)=n•1.(1—=n.gq=9=等

解得〃-4,即X-8(4,

第8页(共20页)

选项A：P(X=0)=或(抄$4=1X1X,=券A选项正确;

选项8：f(X)="=4=北言，8选项错误；

选项C：P(X=2)=或(1弓)2=6xixi=11=^,

P(X=3)=或弓)3(务1=4X^X1=A,

3P(X=3)=||=S=P(X=2),C选项正确:

o

选项Q：D(3X-2)=32D(X)=9X1=8*6,。选项错误.

故选：AC.

(多选)10.(6分)函数/(%)=2C0S3X(C0S6JX+百Simdx)-l(e>0)的最小正周期为TT,则下列说法正

确的是()

A.若/(x)在(()，〃?)上单调，贝I」0On工存

B./(x+^)+/(j-%)=0

C.方程/(x)=1在［0,8TT)内的解有16个

77

D.若g(x)=/(av)(a>0；在［0,n)上有且仅有两个极值点，则看］

【解答】解：由题意得/(%)=2cos2a)x+2y/3cos(joxsincox-1

=cosZcox+\/3sin2a)x=+^sin'Zcox)=2sin{2cox+看)，

27r

根据/(x)的最小正周期为n,可得茅=想解得3=I,所以/'(x)=2sin(2%+看)，

当xG(0,m),所以2<2%+?<2m+巳，

666

根据/(%)在(0,〃?)上单调，可得2m+髀%解得0〈6裟，故4正确；

f(x+看)+/(*-无)=2sin［2(x+卷)+看］+2sin［2(^-x)4-

=2sin(2x+号+看)+2sin(n-2x+^)=2cos2x+2sin(2x一看)H0,故.B错误；

由/(x)=1,可得sin(2%+看)=*,

所以2%+着=2"+5，壮2或2%+1=2也+窗,keZ,

解得AWZ或％=上加+,，keZ,

结合工日0,8TT),所以X=〃71,k=0,1,2,3,4,5,6,7有8个解，

第9页（共20页）

X=k7t+^fk=0,1,2,3,4,5,6,7有8个解，共16个解，故C正确；

g（x）=f（ax）=2sin（2ax+^］（a>Q）,

由xW［O,n）,可得£W2ax+g<2TTQ+£,

666

若g（x）在［0,IT）上有且仅有两个极值点，

3527

则丁<2万。+/工丁，解得彳Uaw二，所以a£4,］故£）正确.

L6236J。

故选：ACD.

（多选）II.（6分）抛物线具有以下光学性质：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射

后的反射光线都与抛物线的对称轴平行或重合.已知抛物线八炉=8》的焦点为R直线/过点0（3,

0）且与抛物线7交于力（XA，.），BGB，泗）两点，了在心〃处的切线交于点P,则（）

A.AFLPFB.y4yB=~24

C.ZlAbH—lZlAPBD.点尸在直线x+3=0上

【解答】解：因为抛物线的方程为炉=8.丫，

所以抛物线的焦点产（2,0）,准线方程为x=-2,

设直线/过点。（3,0）,直线/的方程为工=〃沙+3,

联立『2；彳：+3,消去X并整理得户8叩-24=0,

由韦达定理得"+,方=8〃1,yA）fB=-24,故选项B正确；

对丁=8工两边求导得2y*y'=8,

所以，哼

所以抛物线在力（研用）的切线方程为>一力=白。一芍1），

yA

又孙=智,

所以y—yA=£（丫一咨），

JA

整理得y=^%+孕，

同理得抛物线在8（X8,>出）处的切线方程为y=g-x+孕，

联立两切线方程可得2X+T7=—X+

以2yB2

解得例》华-争

第10页（共20页）

因为48是两个不同的点,

所以为壬式小

4xi

所以

yAyB2

所以x=-3,

则点。在直线x+3=0上，故选项。正确；

所以y=」+孕===~=

力/9/1,Z4'

即2(-3,4w),

所以方=(4一2,%)，FP=(-3-2,4m)=(-5,4m),

此时FA•FP=—2,(—5,4/n)=-5(%^—2)+4771yA=—+10+['■"1,y

o4

=-畜+10+^^=-誓+10-12=-办-2V-2工0,

则力少不垂直于PR故选项4错误：

设直线刈，所在抛物线上的反射线分别为4Vf,BN,

此时43〃BN〃工轴，

设G,，分别为线段处,延长线上的点，

结合光的反射定律可知，NPAF=NGAM=a,NPBF=NHBN=S，

由几何关系可知乙4P8=a+B，设交x轴于。，

则/AFB=ZAFQ+ZBFQ=2a+2^,

所以NAFB=2NAPB,故选项C正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

1_ox丫vn

-'-'若/(/(〃))=0,则—10,1,“

(Inx,%>0,

第11页(共20页)

'[_nx丫V0

【解答】解：因为函数/'(%)='-'，且/(/(〃))=0.

,Inx,x>0

令l=f(a),则有/(/)=0,

易知函数y=/(x)的零点为0,1,

所以/=()或f=l,

即/(a)=0或/(a)=1.

当/(a)=0时:

若aWO,则1-2。=0,解得4=0；

若a>0,则/〃a=0,解得a=l.

当/(a)=1时：

若“W0,则1・2"=1,方程无解：

若a>0,则加a=l,解得a=e.

因此满足条件的。的值为0,1,e.

故答案为：［0，1，e}.

13.(5分)某沙漏由上、下两个完全对称的圆锥组成，即上圆锥和下圆锥，将体积为上(下)圆锥一半的

沙子从上圆锥落下，刚好形成了与下圆锥同底面的新圆锥，则沙子在上圆锥构成的圆锥的高与在下圆锥

构成的圆锥的高的比值为一词_.

【解答】解：设圆锥底面半径为，•.高为人

由题意可得沙子形成的圆锥的体积V=1x最N九,

设沙子在上圆锥构成的圆锥的底面半径为*,高为〃'，

“由八'

则-=—>

rr

所以h'=£xh,

所以一兀丁2八'=-x—nr2h,

323

所以2=0)2.£=(*,

所以九'二刍，

沙子在下圆锥构成的圆锥的而为八〃二

第12页(共20页)

-gh-

所以沙子在上圆锥构成的圆锥的高与在下圆锥构成的圆锥的高的比值为平=V4.

2h

故答案为：源.

14.(5分)在数列｛〃”｝中,按照下面方式构成“次生数列”出〃｝:b\=a\,b2=min｛a\,及｝，by=min｛a\,

。2，。3｝，…，b,l=niin｛a\,。2，…，(〃22),其中加。2，…，而(2WiW〃)表示数列m，

。2.…，m中最小的项.已知数列。”｝满足“2=/上八］(〃22),若m=2,。6=-224.

ftlfVI4)

则b^bi=-230.

【解答】解：因为忌=%-14+1口+品药］，

grpi2_n(zi+2)+l_*+2/1+1_(TI+1)2

a

以%=n-l^n+l,.(n+2)=Qn-lQn+1.n(n+2)=°"7即+1.而为'

所以导=器箸’即(爵)2=宇•魁,所以｛箭｝是等比数列，

又ai=2,。6=-224,所以£=1,崇=一32,

设等比数列｛罂｝的公比为q,则lX/=-32,所以g=-2,

所以弋=1x(-2),,-1=(一2)'1,所以%=(九+1)(-2)-1,

n+1

所以{如}的前7项为2,-6,16,-40,96,-224,512,

按照下面方式构成“次生数列”出〃}：bi=。|,b2=min{a\tai},b3=min{a\f。2,。3卜…,

=

bnmin{a\,az，…，ati}(〃N2),

可得加=ai=2,b2=a2=-6,历=。6=-224,

所以历+历=-6-224=-230.

故答案为：-230.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

a+cb

15.(13分)在△彳8c中，内角,4,B,。的对边分别为mb,c,且---------+---------=-----

sinB+sinCsin(8+C)sinA

(1)求角8的大小;

(2)若b=bi,力C边上的中线二孚，求N/4。的平分线BN的长.

【解答】解：(1)由△48C中，内角4B,。的对边分别为mb,c,

且生+b

,可得sin(B+C)=sin(TI-J)=sinJ,

sin^+C)sinA

a+ccb

可得---------+----=----,

sinB+sinCsinAsinA

第13页(共20页)

a+ccba+cb-c

结合正弦定理可得;一+-=-可得；一=——，所以(〃-C)。=(b+c),

b+caab+ca

所以力2-c2=a2+ac,所以cosB=""二一4，

又因为OVBVm所以8=竽：

(2)若必为边力C上的中点，则晶=*(或+必，

T[TTTT11

222

所以8M2=)但42+2BA-BC+8c2)=%(c?+2cacos£ABC+a)=^(c-ca+a),

1o

所以c?-ca+层=4x彳=13,y.b2-c2=a2+ac,所以37・。2=42+双，

所以耕+次=25,ca=\2,所以(c+a)2=49,所以a+c=7,

又SABNA+S&BNC=S4ACB，且BN是N/4C的平分线，

所以•BNsin乙NBA+-BC-BNsin乙CBN=-BA-BCsinZ.ABC,

222

,1n1n127r

所以一cxBNxsin—+-QxBNxsin-=-cxasin—,

232323

111?

所以]8N(a+c)=]QC,结合ac=l2,a+c=7,可得BN=尸.

16.(15分)如图，在四棱锥。-48CQ中，平面〃4Q_L平面力BCO,BC//AD,PA=PD=V13,AD=4,

AB=BD=2V2,BC=CD.

(1)证明：PC上BD；

(2)设三棱锥尸-48外接球的球心为E,求二面角的余弦值.

【解答】解：（1）证明：取力D的中点O,连接夕。，BO,0C,

因为乃1=〃£>,所以因为/屹=〃£>,所以，O_L4。，

因为平面以£>_!_平面力4CO,平面以。A平面力4cO=/Q,POu平面必D,

所以POJ_平面力8C7X因为8Qu平面力4CQ,所以PO_LB。，

在△4月。中，BD=AB=2a,AD=4,AB2+BD2=S+S=\6=AD2,

所以"_L8O,乂。为力。的中点，所以08=，。=2,

又。。=2,所以OB=OD,所以NOO8=NO8O=45°,

第14页（共20页）

又因为8C〃4),所以N。8c=/8。。=45°,

又/BDC=/DBC=45°,所以NOQC=/O8C=90°,

又08=00=2,所以O8CQ为正方形，

所以8O_LOC,又POCOCK),PO,OCu平面尸0C,

所以8。_1_平面尸0C,又PCu平面尸0C,所以PCL4D；

(2)因为08CQ为正方形，又尸。_L平面43CQ,

所以PC为四棱锥P-O8C。的外接球的直径，

又四棱锥P-OBCD的外接球即为三棱锥P-BCD的外接球，

所以£为PC的中点，

以。为坐标原点，OB,OD,0。为坐标轴建立空间直角坐标系,

贝IJP(0,0,3),A(0,-2,0),C(2,2,0),B(2,0,0),O(0,0,0),

所以而=(0,2,3),AC=(2,4,0),OB=(2,0,0),

设平面四的一个法向量为U=(x,y,z),

{m-AP=2y+3z=0._nil./

T',令z=2,则y=-3,x=6,

(77i-AC=2x+4y=0

平面N的一个法向量为蔡=(6,-3,2),

又询=(2,0,0)为平面为Z)的一个法向量,

设二面角E-PA-D的平面角为8,

|莉威二|12|二6

所以8=cos|cosOn,0B>\=

\m\-\0B\$36+9+4x2

17.(15分)已知/(x)=Inx-ax2-(2a-1)x+2(Q£R).

(1)讨论/(x)的单调性；

第15页(共20页)

1

(2)当。>0时,证明:/(x)<^+Zn2.

【解答】解:(1)己知函数/魂)=lnx-ax2-(2。・1)x+2的定义域为(0,+«>),

、1oc八-(2ax-l)(x+l)

/(x)=--2ax-(2a-1)=----------"

①当时，因为x>0,因此2ax-lV0,因此，(x)>0恒成立，因此/(x)在(0,+8)上单

调递增；

②当。>0时，令/(x)=0,解得汇=/(x=-1舍去)，

当欠€(0,给时，/'(x)>0,/(X)单调递增：当“€(义，+8)时，，(x)VO,/(x)单调递

减；

综上所述，当aWO时，/(x)在(0,+8)上单调递增，

当心0时，/(大)在(0,4)上单调递增，在(去，+8)上单调递减；

(2)证明：由(I)知，当。>0时，/(x)在3=3；处取得最大值，

4a

f(%)2=f%)=呜)-舄)2-(2…法+2

=-伍(2a)一急-1+/+2=一山(2。)+*+1，

要证/'(%)</+ln2,即证一m(2a)+白4-1</+仇2,

整理得：Zn(4a)+^-1>0,

令g(t)="£+*-1(£>0),其中/=4”，

，(、11t-1

9(£)=[*丁

当怅(0,1)时，g'(r)VO,g(t)单调递减，

当正(1,+8)时，g'(Z)>o,g(?)单调递增，

因此g(/)(1)=/nlI11=()>

因此2n(4a)+白—120恒成立，

故/(%)W4+"2得证.

18.(17分)2025年11月5日，第八届中国国际进口博览会在国家会展中心(上海)举办，某企'也参展

的产品有甲、乙两款机器人，为调杳消费者喜爱程度与产品的类型是否有关，在展览期间设置投票箱，

随机抽取了部分观众进行现场投票，得到如下列联表：

第16页(共20页)

类型是否喜爱合计

喜爱不喜爱

甲2m4m6m

乙9M3〃】12m

合计llw7m18w

并根据小概率值a=0.005的独立性检验，得出了“消费者喜爱程度与产品的类型有关”的结论.

n{ad-bc')2

附：2

X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).

a().010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

(1)求正整数机的最小值.

(2)为感谢现场参与的观众，主办方设置了一个挑战机器人对抗赛活动.每人挑战〃局，每

局比赛只有胜和负两种情况，无平局，若每局比赛参与者战胜机器人的概率为J,胜者记3分，负者记

4

I分.每局胜负不受其他因素的影响.

(i)若参与者甲与机器人共对抗4局，求其得分不少于10分的概率.

(ii)记参与者的得分恰好比对抗的局数〃多4分的概率为P(〃)，若=P(1)+1P(2)+1P(3)+-+

【解答】解：(1)由题意可知，/=吗富需需舞叱=智，

根据小概率值a=0.005的独立性检验，得出J'"消费者喜爱程度与产品的类型有关”的结论.而a=0.005

时,XO.OO5=7.879,

所以、2=等1>7.879,

解得7吗襄77*2.698.

因为加为正整数，故〃?〃而=3：

(2)(i)设4局中胜利X局，则失败4・X局，得分为3X+1・(4-X)=2%+4,

得分不少于10分，即2X+4210,解得X23,

由题意可知，X〜8(4,1),

所以尸(X23)=P(X=3)+P(X=4)=珠白4)+4由4=怒，

第17页(共20页)

所以得分不少于10分的概率为工：

(ii)设〃局比赛中获胜k局，则总得分为3a(〃-左)=2叶〃，

得分恰好比局数多4分，即2"〃=〃+4,

解得攵=2,

所以P5)=P(X=2)=鬣(")24尸-2=<nzl)(3r-2(/彦2),

所“以」「「5)=1.•n(笠n-l—)(3£).­72=n弁-1(31)„〃7-2(〃22),

nn3243Z4

所以S”=^[1-(1)°+2.(I)1+…+5-1)•(%A2],

n2

设7n=1+24+3.4)2+-+(n-l).(1)-,

则Z'n=j+2，(])2+…+5T)•(")”]

133331—(3)"-1o

两式相减得:=I+T+(T)2+…+(1)"一2-("-1)•(1)'1=—^3--1)(4)”T=4

q.q.，q.q.1——

4

-(〃+3)(》T,

所以4=1