应用型本科大学物理　上册 课件 第5章刚体的定轴转动

第5章刚体的定轴转动系时间积累

空间积累运动的描述牛Ⅲ质点牛Ⅱ系质点牛Ⅱ系一对力质点运动的原因→牛Ⅱ力累积作用的结果位置、位移速度、加速度质点有质量，而不考虑大小、形状的物体。——理想模型做平动的物体；物体有转动，但转动可忽略（不考虑转动）时。质点刚体:刚体可看作一个包含大量质点，但各质点间距离保持不变的质点系。质点系的规律都可用于刚体。而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。任何情况下大小形状都不发生变化的物体。§5.1刚体刚体的运动刚体形变可忽略，但产生的弹性力不能忽略。注意

1.平动5.1.1刚体运动及其分类各点的位移、速度和加速度都相同，可视为质点特点2.定轴转动刚体上所有各点绕同一直线（转轴）作圆周运动。定轴转动：转轴固定不动的转动1）有一固定的轴。2）刚体中各质点在自己的转动平面内都作圆周运动3）各质点在相同的时间内转过的角度相同。4）转动平面与轴垂直。刚体作定轴转动的特点▲定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。▲平面运动：刚体上各点的运动都平行于某一固定平面的运动。1.角坐标

单位：弧度，rad单位：弧度，rad角位移较大时是标量；角位移很小时是矢量。明确：时是矢量。2.角位移5.1.2描述刚体定轴转动的物理量角坐标为标量。矢量具有交换性但角位移是否也具有交换性呢？温故而知新初始位置绕x轴旋转90º绕y轴旋转90º绕z轴旋转90º有限角位移不是矢量绕y轴旋转90º绕z轴旋转90º绕x轴旋转90º无限小角位移是矢量。3.角速度

描写刚体转动快慢和方向的物理量。平均角速度刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。角速度角速度为角坐标对时间的一次导数。角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋，大拇指指向。单位：弧度/秒，rad/s,s-1转/分，rev/min飞机作为刚体在空中的运动:飞机的转动质心的运动飞机绕质心的转动物理知识应用

横轴纵轴立轴俯仰滚转偏转注：角速度和力矩均按右手螺旋法则判定正负4、角加速度

描写角速度变化快慢和方向的物理量。平均角加速度角加速度单位：弧度/秒2，rad/s2,[T]-2方向：角速度变化的方向。角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。一、匀变速转动的特点1.角加速度为一常量2.定轴转动。3.初始条件：二、匀变速转动公式应用能力训练与匀变速直线运动计算公式有对应关系：1.位移与角位移之间的关系刚体转过

刚体上的一点位移2.速度与角速度之间的关系5.1.3角量与线量的关系3.加速度与角加速度之间的关系

例题5.1

一飞轮半径r=1m，从静止开始绕垂直于轮面的中心轴转动，在50s内均匀地加速到转速n=1500转

min–1

。（1）求角加速度β

和飞轮转过的转数N；（2）求t=25s时的角速度；（3）求在t=25s时飞轮边缘上一点的速度和加速度。解(1)设初末角速度分别为

0、

1，匀变速转动的角加速度飞轮转过的角度为（2）t=25s时飞轮的角速度大小为转数（3）t=25s时飞轮边缘上一点的速度大小相应的切向加速度和法向加速度分别为的方向与

的方向相同，

的方向指向轮心。飞轮边缘该点的加速度

，

的大小

的方向几乎与

相同5.2刚体定轴转动定律力是使物体运动状态发生变化的原因当改变刚体转动状态时，只考虑力的因素可以吗？当推开一扇门时，除了需要施加一个作用力外，还需要考虑在何处以及沿什么方向加上那个力的作用力的大小、方向以及力的作用线相对于转轴的位置是决定转动效果的几个重要因素力矩O

1.力对点的力矩定义：方向：大小：的方向注意r=0作用点为O力作用线过O

与O点的选取有关2.力对定轴的力矩只有转动平面内的切向分力才对轴有力矩M的符号：与z轴同向为正在定轴转动中，力矩矢量在轴上的投影只有两种可能指向，因此对轴的力矩可用正负号来表示其指向。对O点的力矩在通过O点的Oz轴上的投影称为对Oz轴的力矩。力对轴的矩的实质对Oz轴的力矩大小为与Oz轴垂直，在转动平面内，则所决定的平面，的方向垂直于O力矩Pd物理知识的理解（1）是矢量，它的大小为和显然，F=0或r=0，M=0;其指向由右手螺旋定则确定。

=0,即力的作用线通过O点时，虽然力不为零，但对O点的M=0。此时的方向沿Oz轴，因而有

，这时（2）若力是转轴到力的作用线的垂直距离，称为力臂（4）若作用在P点的力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩之和。（5）由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有相同的力臂，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向相反，其和为零。（6）在国际单位制中，力矩的量纲为单位为。（3）当作用于刚体的力与转轴既不平行也不垂直时，可将力分解为与转轴平行和垂直的两个分力。其中平行分力对轴的力矩为零，因此该力对轴的力矩就等于其垂直分力的力矩。3.定轴转动定律对任一质点

mi：所有质点：zow内力矩之和定义：转动惯量=0刚体定轴转动定律物理知识的理解1)转动惯量是物体转动惯性大小的量度。2)定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律4)具有瞬时性。5)M、J、

是对同一轴而言的。3)是矢量式.在定轴转动中力矩只有两个方向。例5.2已知:定滑轮解:受力图轻绳不伸长无相对滑动求：1）物体加速度a,2）绳子的张力T3)滑轮转动的角加速度>设得解物理知识的应用定轴

O·Rthmv0=0

绳（不可伸长）已知：R=0.2m，m=1kg，v0=0，h=1.5m，求：轮对O轴J=？

解：动力学关系：对轮：′T=–TmgmaαRGTN·对m：运动学关系：(3)(4)(1)(2)绳轮间无相对滑动，下落时间t=3s。(1)~(4)联立解得：分析结果：●量纲对；●h、m一定，J↑→t↑，●若J=0，得代入数据：正确。合理；此为一种用实验测转动惯量的方法。5.2.3刚体转动惯量刚体对转轴的转动惯量等于组成刚体的各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和.单位：(kg·m2)1.定义:对于质量连续分布的刚体:刚体组合：

由离散质点组成：2)刚体的转动惯量与哪些物理量有关:①与刚体质量有关。②与质量分布有关。③与转轴的位置有关。3)质量连续分布刚体转动惯量的计算方法①确定刚体的质量密度。②建立坐标系，坐标原点为轴。③确定质量元dm。④由定义计算。转动惯量物理知识的理解1)单位：千克·米2

，kg·m2

例5.2匀质细杆的质量为m，长为l,求该棒对通过棒上距中心为d的O点并与棒垂直的OZ轴的转动惯量。讨论结果:(1)当d=0时,即转轴通过棒中心轴时:(2)当d=l/2时,即转轴通过棒的一端时:应用能力训练【解】如图取坐标轴，原点在转轴上。在x处取一线元dx，其质量为dm=λdx，竿子长些还是短些较安全？例5.3求质量为m,半径为R的匀质薄圆环对通过圆环中心并与其所在平面垂直轴的转动惯量。【解】圆环上任选一段小圆弧，其质量为dm，各质元到轴的距离都是R，所以不难看出，质量为m、半径为R的薄壁圆筒对中心轴的转动惯量也是mR2。例5.4半径R质量M

的圆盘，绕垂直于圆盘的质心轴转动，求转动惯量JRdrrM解：分割质量元为圆环，圆环的半径为r宽度为dr,

2)平行轴定理JCdmJC平行×3)对薄平板刚体的正交轴定理rimi

ΔxzyiyxiO即如图1)对同一轴J具有可叠加性2.J的性质圆环:转轴通过中心与环面垂直表5.1几种刚体的转动惯量圆环:转轴沿直径2r球体:转轴沿直径2r球壳:转轴沿直径r2r1圆筒:转轴沿几何轴薄圆盘:转轴通过中心与盘面垂直rl细棒:转轴通过中心与棒垂直l细棒:转轴通过端点与棒垂直5.2.4转动定律的应用解题思路：确定研究对象分析运动状态隔离分析受力由牛顿定律列方程求解方程隔离分析力矩由转动定律列方程刚体的平衡条件：1.力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。2.要选定转动的正方向,以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负。3.当系统中既有转动物体又有平动物体时，如果隔离体法解题，那么对转动物体按转动定律建立方程，对平动物体则按牛顿定律建立方程。例5.6

一匀质圆盘质量为m,半径为R,在水平桌面上绕其中心旋转,设圆盘与桌面间的摩擦系数为μ,求圆盘从角速度ω0旋转到静止需要多少时间?解:在圆盘上任取一细圆环,半径为r,宽度为dr,则整个圆环所受阻力矩为【例5.7】一根长为l、质量为m

的均匀细直棒，一端有一固定的光滑水平轴，可以在铅垂面内自由转动，最初棒静止在水平位置。求：(1)它下摆θ角时的角加速度、角速度；(2)此时轴对棒作用力的大小。【解】

当棒下摆θ角时，作用在质元dm

上的重力相对转轴的力矩大小为对所有质元求和，得棒受到的重力矩(1)由定轴转动定理可得(2)为求轴对棒的作用力，考虑棒质心的运动。俯仰力矩主要有:机翼产生的俯仰力矩水平尾翼产生的俯仰力矩物理知识应用作用在飞机上的力矩与飞机的平衡飞行员可利用偏转升降舵产生的俯仰操纵力矩来平衡俯仰力矩以保持俯仰平衡。偏转力矩主要有:两翼阻力对重心产生的偏转力矩垂尾侧力对重心产生的偏转力矩双发或多发飞机拉力产生的偏转力矩飞行员可利用偏转方向舵产生的方向操纵力矩来平衡偏转力矩以保持方向平衡。滚转力矩主要有:两翼升力对重心产生的滚转力矩螺旋桨反作用力矩对重心产生的滚转力矩飞行员可利用偏转副翼产生的横侧操纵力矩来平衡滚转力矩以保持横侧平衡。5.3.1刚体的转动动能5.3定轴转动中的功能关系5.3.2力矩的功和功率在转动平面内刚体角位移为d

质点元位移为元功：讨论

(2)合力矩的功(1)力矩对刚体的功就是力对刚体的功。(3)一对内力矩对刚体作功之和为零（平动中，一对内力作功之和一般不为零。）(4)力矩的瞬时功率力的瞬时功率(5)功的正负M与同向，A>0M与反向，A<05.3.3定轴转动动能定理内力功=0刚体定轴转动的动能定理(1)动能定理在刚体定轴转动问题中的具体形式(2)刚体是一个质点系，遵从质点系动能定理。内力矩对刚体的总功应该为零。应用转动动能定理解题步骤1.确定研究对象。2.受力分析，确定作功的力矩。3.确定始末两态的动能，Ek0、Ek。4.列方程求解。5.3.4刚体的重力势能刚体没有形变，所以没有内部的弹性势能。刚体的重力势能为组成刚体各个质元的重力势能之和。×ChChiEp=0miΔhc

为刚体质心的高度刚体的重力势能，等于把刚体的全部质量集中于质心时质心的势能。定轴转动刚体的机械能：

结论一般体系1.动能定理：体系中包含做定轴转动的刚体和平动的物体Mm2m12.功能原理：3.机械能守恒定律：只有保守内力做功解法1：动能定理例5.8求：杆过铅直位置时的w。q

mgL解法2：以细杆、转轴和地球为系统,机械能守恒,取水平位置为势能零点水平位置：由机械能守恒：竖直位置：例5.9

试用功能原理求例5.2中物体的加速度.例5.2

一根轻绳跨过定滑轮,其两端分别悬挂质量为m1及m2的两个物体,且m2>m1.滑轮半径为R,质量为m3(可视为匀质圆盘),绳不可伸长,绳与滑轮间也无相对滑动.忽略轴处摩擦,试求物体的加速度和各段绳子的张力.应用能力训练【解】根据功能原理，由于可得上式对时间求导物理知识应用舰载机起飞弹射器与飞轮储能电磁弹射器对电力的需求很大,在弹射较重的舰载机时,整个电磁弹射器的峰值功率可达到100兆瓦甚至更高,目前这部分用电无法直接依赖航母电力系统实时供给,必须依靠储能系统将所需的电能事先储存起来,在需要的时候瞬间释放。由于体积和重量等原因,能够满足电磁弹射器储能需要的现成系统无法直接用于航母。目前美国海军的电磁弹射器采用的是飞轮储能(FES)装置。o

5.4.1质点的角动量定义：质点对O点的角动量方向：大小：右手螺旋法则确定的方向圆周运动：相对圆心单位：kg·m2·s-1Lrv

m·O5.4角动量角动量守恒定律

力的时间累积效应：冲量、动量、动量定理力矩的时间累积效应：冲量矩、角动量、角动量定理方向？注意与O点的选取有关质量为m的质点沿一直线运动do方向变化方向竖直向上不变OlO

锥摆m作用于质点的合外力矩的冲量矩等于在同一段时间内质点角动量的增量。1.质点的角动量定理5.4.2质点的角动量定理力矩的冲量矩—微分形式—积分形式（1）仅受有心力作用的物体对力心的角动量守恒；（2）是自然界的普适规律之一；若：则：

若质点所受所有外力矩的矢量和为零，则质点角动量守恒。2.质点的角动量守恒定律说明（3）力矩和角动量是对惯性系中的同一点。5.4.3质点系的角动量定理与角动量守恒定律内力矩之和=0内力矩的冲量矩=0作用于质点系的所有外力矩的矢量和（1）角动量和力矩必须相对同一参考点计算；（2）如果相对某一参考点，合外力矩M外=0，则系统只相对这一参考点角动量守恒；若：则：若质点系所受所有外力矩的矢量和为零，则质点系角动量守恒。说明（3）条件与

，两者彼此独立，不过当合外力为零时合外力矩与参考点无关。（4）质点系的角动量定理和角动量守恒定律都是矢量关系式，它们沿任意方向的分量都成立。zow1.刚体对定轴的角动量L的符号：与z轴同向为正5.4.4刚体的角动量定理与角动量守恒定律2.定轴转动刚体的角动量定理（1）M、L、J是对同一轴而言；说明（2）标量式，注意正负。3.定轴转动刚体的角动量守恒定律若：则：①

J不变：刚体②

J变：非刚体

也不变

也变匀速转动说明例5.11质量m的圆盘半径为R，绕中心旋转，与桌面的摩擦系数为m。试用角动量定理求圆盘从ω到静止所需要的时间t。mRr由角动量定理：解：由前面例题已算出圆盘所受合外力矩为：解:子弹和杆构成系统受力分析碰撞分为两过程:(1)碰撞瞬间角动量守恒alvOmM(2)子弹入杆后向上摆动,系统机械能守恒例5.12一长为l，质量为M的杆可绕支点O自由转动。一质量为m、速率为v的子弹射入距支点a

的棒内,若杆的偏转角为30°，子弹的初速率为多少？选取细杆处在竖直位置时子弹的位置为重力势能零点，系统在始末态机械能:由，解得l质点运动与刚体定轴转动对照质点运动刚体定轴转动速度加速度角速度角加速度质量m转动惯量力力矩运动定律转动定律质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动刚体的定轴转动动量定理角动量定理动量守恒定律角动量守恒定律力的功力矩的功动能转动动能动量角动量质点运动规律与刚体定轴转动规律的对照质点的平动刚体的定轴转动动能定理动能定理重力势能重力势能机械能守恒只有保守力作功时机械能守恒只有保守力作功时直升机：单旋翼“阿帕奇”先进攻击直升机

“铺路洼”特种作战直升机

双旋翼——旋翼＋尾桨装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩物理知识应用

美CH-46E“海骑士”运输直升机俄卡-28双旋翼反潜直升机装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消例5.13

A、B两圆盘绕各自的中心轴转动,角速度分别为ωA=50rad.s-1,ωB=200rad.s-1.已知A圆盘的半径为RA=0.2m,质量MA=2kg,B圆盘的半径RB=0.1m,质量mB=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度ω.wAwBw应用能力训练解:系统所受合外力矩为零,角动量守恒.

例5.14如图所示，一转盘可看作匀质圆盘，能绕过中心O的竖直轴在水平面自由转动，一人站在盘边缘。初时人、盘均静止，然后人在盘上随意走动，于是盘也转起来。请问：在这个过程中人和盘组成的系统的机械能、动量和对轴的角动量是否守恒？若不守恒，原因是什么？第五章习题课1.刚体定轴转动的描述角位移角速度角加速度

一.基本概念角位置2.转动惯量质量连续均匀分布：平行轴定理：质点系：细棒（转轴通过中心与棒垂直）细棒（转轴通过一端与棒垂直）薄圆环（转轴通过中心并与环面垂直）薄圆盘（转轴通过中心并与盘面垂直）力对定轴矩：力对点的矩在上的投影。3.力对定点的矩：4.刚体定轴转动的动能：5.力矩的功（力矩的空间累积作用）：6.角动量：质点对点的角动量：刚体对定轴的角动量：二.基本定理、定律都是对同一轴而言的。2.力矩的空间累积作用规律—刚体定轴转动的动能定理1.力矩的瞬时作用规律—刚体定轴转动定律刚体机械能守恒定律:只有保守内力做功，刚体的机械能守恒。3.力矩的时间累积作用规律——刚体定轴转动的角动量定理刚体角动量守恒定律:刚体对某固定轴的合外力矩为零时，刚体对此轴的角动量守恒。三.定理、定律应用解题步骤：1.选择研究对象2.进行受力分析3.建立坐标系4.列方程。对质点应用牛顿定律，对刚体应用转动定律，以及辅助方程（角线量关系等）

注意事项:1.求解问题时要明确转轴:力矩、转动惯量和角动量都是相对固定转动轴而言的。2.力矩、角动量、角速度、角加速度都是矢量，定轴转动情况只有两种可能的方向，用正负表示出来。3.轴承对刚体的作用力不能忽略，但这个力对轴的力矩为零，所以动量不守恒，但角动量可以守恒。5-1

可绕水平轴转动的飞轮，直径为1.0m，一条绳子绕在飞轮的外周边缘上。如果飞轮从静止开始做匀角加速运动且在4s内绳被展开10m，则飞轮的角加速度为

rad·s-2。

2.5【解】5-6

一做定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J=3.0kg·m2，角速度ω0=6.0rad·s-1。现对物体加一恒定的制动力矩M=-12N·m，当物体的角速度减慢到ω=2.0rad·s-1

时，物体已转过的角度θ=

rad。45-7

转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度为ω0。此后飞轮经历制动过程。阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k为大于0的常量)。当ω=ω0/3时，飞轮的角加速度β'=

。从开始制动到ω=ω0/3所经过的时间t=

。【解】5-8长为l、质量为m'的匀质杆可绕通过杆一端O的水平光滑固定轴转动，转动惯量为m'l2/3，开始时杆竖直下垂，如习题5-8图所示。有一质量为m

的子弹以水平速度v0

射入杆上A点，并嵌在杆中，OA=2l/3，则子弹射入后瞬间杆的角速度ω=

。题5-8图【解】一块方板，可以其一边为轴自由转动.最初板自由下垂.今有一小团粘土,垂直板面撞击方板并粘在板上,对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力,在碰撞中守恒的量是:[B](A)动能.(B)绕木板转轴的角动量.(C)机械能.(D)动量.5-15一轻绳跨过一具有水平光滑轴、转动惯量为J、半径为r的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体