2025-2026人教版八年级数学下期末复习基础训练：二次根式 单元检测卷（含解析）

2025-2026人教版八年级数学下期末复习基础训练篇

第十九章---二次根式单元复习检测卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（每小题3分，共30分）

I.要使式子碧有意义’则，〃的取值范围是（）

A.m>-\B.m>-\C.〃?>一1且加工2D.m>-1m2

2.下列命题中正确的是（）

A.6一定是个二次根式

B.若。（«>0）为有理数，则&是它的算术平方根

C.化简而二彳的结果是乃-4

D.若二次根式与有意义,则X的取值范围为xN-3

3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.瓜B.7()3C.D.>/?()

4.计算：5+6x。的值为（）

A.1B.5C.75D.25

5.下列计算正确的是（）

A.V2+x/5=V7B.2y/3-y/3=y/3

C./x屈=9

D.y/s-r\/2=\/6

6.若x=2+J2O26,则代数式丁-4犬-4的值为（）

A.2030B.2022C.2026D.2018

7.已知：〃?=加+1〃=痴一1,比较小、〃的大小（

2

A.fn>nB.C.〃?=〃D.无法确定

8.数学活动课上，小李要制作一个长为虚，宽为正的长方形木框，若不考虑拼接，则木框的总长

度和围成的面积分别为（）

A.6应，4B.3a，4C.2加，4D,4,3&

9.已知“+》=e-1,4〃=一1,则/+,而+〃2的值是（）

A.2-＞/2B.4-272C.2-2&D.3-应

io.社区为r打造“便民休闲凭”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区

的小型休闲广场.已知阅读区（正方形A8CE）和健身区（正方形C”GZ＞）的面积分别为250m\90m2,

则OE的长为（）

A.^/l()mB.2x/5mC.2710mD.3石m

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.比较大小：——.（填或“=”）

53

12.若。＞0力＞。，把旧化简成最简二次根式为.

13.若0+次=如,则表示实数〃的点会落在如图所示的数轴上的段.

①②③④

♦••«•

♦•d••・•■•・•••••

1•0•»•••0、■I■

"0I234-*

14.若加一2026+12025-讨=m,贝昭-20252=

15.如图，从一个大正方形中截去面积为S和邑的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是

+8和12-J2，则$+邑的值为

三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程）

16.（8分）计算

（l）2-'+>/8-|V2-l|

（2）（V5+3）（x/5-3）+（x/3-l）2

17.（8分）已知a,Z?为实数，且&满足+=£=》+1.

⑴求。的值；

（2）求标-加的平方根

18.（9分）已知工=逐+1,），=6-1,分别求下列代数式的值.

(\)x2+2xy+y2；

⑵V+2y-8；

1I

（3）-+-.

xy

19.（8分）某老师家装修、矩形电视背景增8c的长为旧m,宽AB为瓜m,中间要镶一个长为

20m,宽为0m的矩形大理石图案（图中阴影部分）.

⑴电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

⑵除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元/nf,则电视背景壁纸需要花费多少

元？（结果化为最简二次根式）

20.（8分）观察下列各式，再解答后面的问题.

第।个等式：篇广员2：

第2个等式：6+&=(6+拒)(6-&)=2+-2丘;

2(2-伺

2

第3个等式:=4-26；

2+G(2+G)(2-

（1）第4个等式是

（2）第，7（，，是正整数）个等式是

2222

⑶计算：x/2+l+V3+V2+2+++72026+72025,

21.（9分）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务：

欧几里德数

一般地，给定单位长度1,一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里

德数.例如，如图1所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位1.借助方格图，可

以构造出线段A3,CD,"'分别表示正整数2,3,4；也可以构造出线段MN表示正

分数g.事实上，所有的正有理数都是欧几里德数.

・・・・・・••・・•・••・・一・••・・・・・・・・・••・•••••・•・・•・••・・・•

”…-j-C--"i-…j—-j--j-…

A……i....N一

•/

•心3,一H一Y一

…玄」...U.上…L1.

图।

任务：如图2,图3,图4所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度1.

⑴请在图2中用两种方法构造线段表示正整数5（该线段的端点均为格点）;

⑵小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数血，G也是欧几里德数，可分别用

图3中两个三角形的边XY,PQ表示.

其思考与作图方法如下:

4i=«+广取网格中M¥=Mr=l,且/XMT=90。，连接XV,则xy=J4+[2=&.

氏=收］，取网格中线段。N=2,OQ=1,以点。为圆心，ON氏为半径作弧交网格线于点P,

①在图4中借助网格和尺规，用两种方法构造三角

形，使三角形的一边表示欧几里德数2行（保留作图痕迹，不写作法）.

②在图5中借助网格和尺规，用一种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数26（保留

作图痕迹，不写作法）.

22.（12分）综合与实践

【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含30。角的三角板进行拼图,

并探究它们之间的关系.经测量，三角板斜边的长为12cm.

A（F）.大-------------7|E

p-----------------------7EJx-x/

【操作探究】

⑴如图1,逐梦组将三角板ABC的边AC与三角板力所的选EO重合，得到的四边形ABCE.证明

四边形ABCE是平行四边形.

（2）如图2,追光组将三角板沿三角板A8C的边C4平移一定距离时，得到四边形8FEC是矩形,

且点。在AC上，求三角板OE尸平移的距离4尸.

23.（13分）综合探究

平移、旋转、轴对称是现实世界运动变化的三种常见形式，如图，直角三角形ABC,NC=90。.

A

⑴尺规作图：作出直角三角形ABC关于直线48翻折后的图形，点A、B、C的对应点分别是点。、E、

F,分别延长8、D产文于点M（不写作法，保留作图痕迹）；

⑵在（1）的条件下，若6=CM,试探究线段AC、BC、AM存在什么数量关系？请说明理由；

⑶在（1）的条件下，当/84C=45。，3c=1时，将三角形OE尸沿着直线AB平移，当A、E、F为

顶点的三角形是等腰三角形时，求出跖的长：

⑷将直角三角形A8C绕着点C逆时针旋转90。后点4的对应点为点N,点B的对应点为点玄，若

AC=3,且A&：8'C=1：2,求点£到直线A8的距离.

2025-2026人教版八年级数学下期末复习基础训练篇

第十九章一一二次根式单元复习检测卷（解析版）

学校:姓名：班级：考号:

一、单选题（每小题3分，共30分）

1.要使式子'叵有意义，则〃?的取值范围是（）

m-2

A.m>-\B.m>-\C.〃？>一1且，刀工2D.且加工2

【答案】D

【详解】解：根据题意，得

加一2工0

解得m2-1且加工2,

m的取值范围是洲NT

故选D

2.下列命题中正确的是（）

A.6一定是个二次根式

B.若】（。之（））为有理数，则&是它的算术平方根

C.化简而可的结果是»-4

2

D.若二次根式国言有意义，则％的取值范围为x2-3

【答案】B

【详解】解：A.当。20时，石是二次根式，当。<0时，而没有意义，原说法错误，故本选项不

符合题意；

B.若。（。20）为有理数，则而是它的算术平方根，原说法正确，故本选项符合题意：

C.依_4f=4-兀,原计算错误，故本选项不符合题意；

D.要使《量有意义，则x+3>0,即x>-3,原说法错误，故本选项不符合题意.

故选B

3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.瓜B.703C出D.疝J

【答案】D

【分析】根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因

式，逐一判断即可得到答案.

【详解】解；选项A；曲-回至-2五，被开方数含能开得尽方的因数4,不是最简二次根式，故

A不符合题意;

选项B：《5的被开方数是小数，可化为分数，即含分母，不是最简二次根式，故B不符合题意;

选项C：的被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意;

选项D：痴满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式,

故D符合题意.

4.计算：5+显表的值为()

A.1B.5C.D.25

【答案】A

【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算，

5_5万_5加_仁

•：5+亚=

•0•原式=>/^x"=1.

故选A

5.下列计算正确的是()

A.&+逐=77B.2石-石=石

C.8加=9D.78-72=76

【答案】B

【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项即可判断正误.

【详解】解：选项A：及与君不是同类二次根式，不能直接合并，故A错误;

选项B：26-6=(2-1)75=6,计算正确，故B正确;

卜百=工故C错误;

选项C：18=39,

选项D：提3=於=石=2工娓，故D空昔误.

故选B

6.若x=2+J2026，则代数式F一以-4的值为()

A.2030B.2022C.2026D.2018

【答案】D

【分析】先求出X-2="5而，再把所求式子变形为(x-2)J8,据此代入求值即可.

【详解】解：•.•x=2+j2026,

•*-x-2=V2026,

•,■x2-4x-4

=（X2-4X+4）-8

=（X-2）2-8

=（V2026）2-8

=2026-8

=2018.

故选D

7.已知：机=巫二！,〃=J而一i,比较加、n的大小（）

2

A.fn>nB.”】<〃C.〃?=〃D.无法确定

【答案】B

【分析】利用作差法比较大小即可.

【详解】解：，…二等-（而.］）=加+；2/+2=y,

3-Vion

•••m-n=-----<0，

2

m<n.

故选B

8.数学活动课上，小李要制作一个长为瓜，宽为々的长方形木框，若不考虑拼接，则木框的总长

度和围成的面积分别为（）

A.6夜，4B.3也，4C.2如,4D.4,3&

【答案】A

【分析】先明确木框总长度为长方形周长，再分别代入公式计算化简即可得到结果.

【详解】解：•••后=2&，

.•.C=2（2&+&）=2x3x/J=6&

5=78x72=5/8^2=716=4.

故选A

9.已知"十〃=五一1，ah=—1.贝lja?+a〃+〃2的值是（）

A.2-&B.4-2x/2C.2-2>/2D.3-72

【答案】B

【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识.将二次三项式/+H+Z/变形为

(a+b)2-必的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案.

【详解】解：a+b=>j2-\fab=-i,

a2+ah+h2=(a+b)2-ab

=(V2-l)2-(-l)

=2-2>/2+l+l

=4-20，

故选：B.

10.社区为了打造“便民休闲隹”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区

的小型休闲广场.已知阅读区(正方形MCE)和健身区(正方形C”G。)的面积分别为250m?、90m2,

则OE的长为()

A.VlOmB.2&mC.2而mD.36m

【答案】C

【分析】先利用算术平方根求出正方形A8CE,正方形C/7GD的边长，再利用线段的和差求解即可.

【详解】解：••・正方形ABCE的面积为250m。正方形C，G。的面积为90n?

正方形ABCE,正方形CHGD的边长分别为EC=>/250=5Mm,CD=®=3加，

•••DE=EC-CD=5Mm-3Mh=2Mm.

故选C

二、填空题(每小题3分，共15分)

11.比较大小：—立.（填或“二”）

53

【答案】<

【分析】两个数均为正无理数，可利用平方法比较大小，两个正数中，平方较大的原数更大.

【详解】解一惇。察总《停。噜=滑,

又•]<:，且两个正数比较大小，平方大的数更大，

53

12.若〃>0力>0,把楞化简成最简二次根式为.

【答案】场

b

【详解】解：•••〃>（）力>。，

[3a13ab

<3ab

F

\/3cib

=•

b

13.若a+^=M，则表示实数。的点会落在如图所示的数轴上的段.

①②③④

..・・・•..•一、/•…、/

••■,••■■•・•・、■

I9f・♦■“•”IW

01234

【答案】②

【分析】根据已知等式可得〃=拒，再估算出1<0<2,找到数轴的对应段数即可.

【详解】解：由条件可得〃=如-际=3夜-2五=&,

•••1<&v2，

・•・表示实数。的点会落在如图所示的数轴上的②段.

14.若in—2026+12025-刖二m,贝I」"L20252=.

【答案】2026

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质及二次根式的运算，熟练掌握根据被

开方数非负确定字母取值范围并化简绝对值是解题的关键.

先根据二次根式有意义的条件确定〃?的取值范围，再依据绝对值的性质化简方程，通过移项、两边平

方求出加的表达式，最终计算出目标代数式的值.

【详解】解：由2026有意义,得〃?之2026,

所以|2()25-〃?|=加一2025.

代入方程2026+12025-n\=m得

Vw-2026+m-2025=m,即-2026=2025.

两边平方得〃7-2026=20252,

所以5=2025?+2026.

因止匕〃?一2025?=2026,

故答案为：2026.

15.如图，从一个大正方形中搬去面积为，和邑的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是

46+8指和12&，则5+52的值为.

2

【分析】设5和S?的两个小正方形的边长为〃，b,则S1=/,S2=b,根据题意可知，2ab=12vL

4〃+4b=4百+8后，即a+力=由+2而，由完全平方公式求得/+从即可.

【详解】解：设，和$2的两个小正方形的边长为。，b,则S",S2=h\

根据题意可知，2ab=，4〃+4〃=4力+8指，即。+力=出+2指，

由(a+/?)?=a1+2ab+〃得：

a'+b~=(a+b)~-2ab

=(73+2时-12收

=3+12亚+24-1272

二27,

5,+S2=27.

三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程）

16.（8分）计算

⑴2"+\/8—15/2—1

（2）（V5+3）（X/5-3）+（V3-1）2

【答案】（1）|+及

⑵-26

【分析】（1）先运算负整数指数基，化简绝对值，运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作

答.

（2）根据半方差公式以及完全平方公式进行展开，冉运算加减法，即可作答.

【详解】（1）解：

=-+2x/2-x/2+l

2

，2日

（2）解：（石+3）（6-3）+卜色-11

=（>/5）'-32+（3-25/3+1）

=5-9+（4-2^）

=5-9+4-26

=—25/3.

17.（8分）已知a,b为实数，且偏Z?满足7^7+万工^=>+1.

⑴求。的值；

（2）求）-从的平方根

【答案】（1）。=7；

⑵a2-b2的平方根为±4逐.

【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得。一7N0,7-a>0,即可得”的值：

（2）由（1）得。=7,结合已知可得b=-l,可得/一从，即可得/一从的平方根.

【详解】(I)解；•••〃-7之0,

a>7.

•••a<7,

a=7.

(2)解：•.F=7,

-7=0,7—々=0,

Ja-7+>/7—a=/?+!>

=0,

''b=—\»

.•.«2-/>2=72-(-1)2=49-1=48,

.­.a2-b~的平方根为±A=±4x/3.

18.(9分)已知工=百+1,y=x/5-l,分别求下列代数式的值.

(i)x2+2xy+y2:

⑵y2+2)，-8；

11

(3)-+-.

*y

【答案】⑴20

Q)-4

⑶4

2

【分析】G)根据二次根式的加减运算法则求得x+y=2百，结合完全平方公式求解即可;

(2)由已知得到y+l=石，结合完全平方公式求解即可；

(3)先由已知得至ijx+y=2&,xy=4,结合分式的加减运算法则求解即可.

【详解】(1)解：•.•%=石+1,y=x/5-l,

*'«x+y=\[s+1+Vs-1=2\/5>

•，.x2+2xy+y2=(x+y)~=(26)=20；

(2)解：”=石-1,

7+1=逐，

•••>>2+2y-8=(>,+l)2-9=(V5)2-9=5-9=-4；

(3)解：•.♦x=VJ+l，y=\/5-l,

,x+y=y[5+l+45-]=2y[5,不，=(6-1)(6+1)=(6『-1=5-1=4,

11x+y2>/5x/5

---1=-----0==----,

xy-xy4------2

19.（8分）某老师家装修、矩形电视背景墙BC的长为旧m,宽AB为am,中间要镶一个长为

26m,宽为拒m的矩形大理石图案（图中阴影部分）.

（I）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

⑵除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元/nf,则电视背景壁纸需要花费多少

元？（结果化为最简二次根式）

【答案】⑴（6&+4&）m

(2)80后元

【分析】（I）直接利用二次根式的加减运算法则计算可得：

（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则可得.

【详解】（1）解：匹中后+瓜+瓜

=36+36+20+2&

=(6x/3+4>/2)m,

答：电视背景墙的周长为(6«+4&)m.

(2)解：(727x78-273x72)x20

=(3x/3x2x/2-276)x20

=(6,6-2〃)x20

=4A/6X20

=80x/6（元）,

答：整个电视背景壁纸需要花费80面元.

20.（8分）观察下列各式，再解答后面的问题.

2_2（72-1）_。

第1个等式:及T=（⑸1）（拒旷2,2-2；

第2个等式：品T镇搞产2氏

22（2-6）

第3个等式：春耳二岛&…25

（1）第4个等式是一.

⑵第〃（〃是正整数）个等式是

2222

⑶计算：&7?+而二方+江百+…+痴"砺

【答案】⑴高

=2君-4

（2）I-/==25/〃十1-2\[ri

V«+l+xM

（3）272026-2

【分析】（1）根据题干中3个等式的规律求解即可；

（2）根据题干中3个等式的规律求解即可；

（3）利用（2）中的等式规律求解.

【详解】（1）解：根据题意得，第4个等式是丁二二2君-4；

V5+2

2

（2）解：根据题意得，第〃（〃是正整数）个等式是2>/〃+1-2G；

，〃+1+4

,2222

+

（3）解：百？+百二五+五国+V2026+V2025

=2x/2-2+2^-2>/2+4-2^3+--+2^2026-2V2025

=272026-2.

21.（9分）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务;

欧几里德数

一般地，给定单位长度1,一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里

德数.例如，如图1所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位1.借助方格图，可

以构造出线段AB,CD,"分别表示正整数2,3,4；也可以构造出线段MN表示正

分数g.事实上，所有的正有理数都是欧几里德数.

••…|-4Cr-JH|-4-4一

A-…i.......

•/

uOJZQ…L..L…1..…

图i

任务：如图2,图3,图4所示的方格图中，每个小正方形的边长均为单位长度1.

⑴请在图2中用两种方法构造线段表示正整数5（该线段的端点均为格点）；

•••III•・••・•••・・•••••・・・■・•・・•♦•・••・•・一・•・•・•・•••・•・

N\

iii和里

图2图3

⑵小彬由材料中的结论出发展开联想，经过探究，发现正无理数及，G也是欧几里德数，可分别用

图3中两个三角形的边xy,PQ表示.

其思考与作图方法如下：

&=«+(取网格中MX=MV=I,且/XMT=90。，连接XV,则xy=VPTF=夜.

6丁,取网格中线段。N=2,OQ=1，以点。为圆心，ON长为半径作弧交网格线于点P,

①在图4中借助网格和尺规，用两种方法构造三角

形,使三角形的一边表示欧几里德数2行（保留作图痕迹,不写作法）.

②在图5中借助网格和尺规，用一种方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里德数2#（保留

作图痕迹，不写作法）.

【答案】（1）见解析：

（2）①见解析：②见解析.

【分析】本题考查了作图应用与设计作图，网格与勾股定理，无理数与勾股定理，解题的关键是学会

利用勾股定理以及数形结合的思想解决问题.

（1）利用数形结合的思想解决问题即可；

（2）①利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可；

②利用勾股定理，数形结合的思想解决问题即可.

【详解】（1）解：如图，

由网格可■知：CD=5,旦8=打+42=5,

AB,CO即为所求;

（2）解：①如图，

由I网格川川I：EF=V32-I2=25/2,AB=J2,+2,=2V2»

AB,七产即为所求;

②如图，

•••0(2=>/22+22=272»PQ=Q(2©+2?=2百,MN=2正-1?=26，

：.PQ,MN即为所求.

22.（12分）综合与实践

【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含30。角的三角板进行拼图,

并探究它们之间的关系.经测量，三角板斜边的长为12cm.

【操作探究】

⑴如图I,逐梦组将三角板A8C的边AC与三角板。环的边尸。重合，得到的四边形A8CE.证明

四边形A8CE是平行四边形.

（2）如图2,追光组将三角板力所沿三角板A8C的边C4平移一定距离时，得到四边形8正C是矩形,

且点。在AC上，求三角板。跖平移的距离A尸.

【答案】（1）见解析

(2)2\/3cm

【分析】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定

理.

（1）根据全等三角形的性质可得E尸=8C,AB=OE,由两组对边分别相等的四边形为平行四边形即

可证明；

（2）利用直角三角形的性质求出48=6cm,利用勾股定理求出AC=66cm,由矩形的性质得到

ZFBC=90°,设=则AC+4尸=(6，J+x)cm,利用勾股定理得到

BF2=AB2+AF2,BF2=CF2-BC2,建立方程求解即可.

【详解】(1)证明：根据题意：&ABC%DEF,

:.EF=BC,AB=DE,

•••四边形ABCE是平行四边形；

(2)解.：根据题意：3c=12cm,NR4C=90。,ZAC8=30。，

.•.A8=6cm,ZBAF=90°,

AC=\lBC2—AB2=65/3cm,

•.•四边形8/芯C是矩形，

.•.NA8c=90°,

设Af=.rcm,则CF=AC+AF=（6>/3+x）cm,

在RtAB尸和Rt./BC中,

•••BF2=AB-+AF\BF2=CF2-BC2,

AB2+AF2=CF"-BC2，BP36+X2=（6>^+x）2-144,

解得：x=2x/3»

•••三角板£）£户、F移的距AF=2\/3cm.

23.（13分）综合探究

平移、旋转、轴对称是现实世界运动变化的三种常见形式，如图，直角三角形ABC,ZC=900.

A

CB

⑴尺规作图：作出直角三角形ABC关于直线AK翻折后的图形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、

F,分别延长C8、。尸交于点M（不写作法，保留作图痕迹）：

⑵在（1）的条件下，若C4=CM,试探究线段AC、BC、AM存在什么数量关系？请说明理由；

⑶在（1）的条件下，当/H4C=45。，AC=1时，将三角形。由沿着直线A3平移，当4、E、F为

顶点的「角形是等腰三角形时，求出跖的长；

⑷将直角三角形人绕着点C逆时针旋转90。后点人的对应点为点4