2026年高考数学一轮复习专练高频考点09 函数模型及其应用（原卷版+解析）

第09讲函数模型及其应用

A夯实基础B素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.（2025•河南南阳•模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=点（D

为常数），其中£表示每一轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，

”表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型中G,）=20,当

〃=10时,学习率为0.25；当〃=30时，学习率为0.0625,则学习率衰减到0.05以下所需的

训练迭代轮数至少为（）（己知怆2。0.3）

A.31B.32C.33D.34

2.（2025•江西•二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑

对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自

己的遗忘曲线，得到其记忆率V（记住的单词个数占总苴词数的百分比）与初次记忆经过的

时间x（单位：小时）的函数关系式为y=1-0.5/"，当记住的单词仅剩25个时，则离初

次记忆经过了（）（参考数据：lg2«0.30,lg3«0.48）

A.100小时B.300小时C.1000小时D.3000小时

3.（2025•浙江•二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地

震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级”之间的关系

为：怆石=4.8+15”.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能最

为耳，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震解放出来的能量为区，则今=（）

A.100B.200C.1000D.2000

4.（2025•广西北海•模拟预测）DeepSeek是一款人工智能助手，其用户满意度评分S（f）随

时间，（单位：月）的变亿满足对数型函数模型：5（/）=dn（/+l）+50,其中。是常数.若

DeepSeek在经过3个月后评分增长到70,则满意度评分§（1）为（）

A.60B.61C.62D.63

5.（2025•新疆乌鲁木齐•三模）溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H],

其中[H]表示溶液中氢离子的浓度（单位：mol/L）.某强酸溶液加水稀释后pH值漕加

2,则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（）

11

A.2B.-C.100D.——

2100

6.（2025•广东广州•二模）声强级。（单位：dB）由公式与=101g（V值）给出，其中/为

声强（单位：W/mD.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级

范围是（）

A.0~20dBB.20~4QdB

C.40~60dBD.60~80dB

7.（2025•北京房山•一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会

持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育

不受密度制约时，其增长符合模型：NC,其中乂为种群起始个体数量，〃为增长

系数，N（f）为/时刻的种群个体数量.当，=3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍,若

N（4）=150,则N（10）=（）

A.300B.450C.600D.750

8.（2025高三•全国•专题练习）已知一种治疗某种疾病的针剂注射到人体后，其主要成分

在血液中的含量户（单位：亳克）与注射时间，（单位：时）的关系为Pe"-12e'+9P=0,

那么这种主要成分在血液中含量的最大值为（）

A.2亳克B.3亳克C.4亳克D.6亳克

二、多选题

9.（2025•辽宁•模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的,

我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量石（单位：

焦耳）与里氏震级M的对应关系为他七二4.8+1.5历，则（）

A.若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于10，焦耳

B.若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于1（严焦耳

C.5级地震的能量是4级地震的能量的100倍

D.3级地震的能量是7级地震的能量的一

10.（24-25高三上•河南♦阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商

场采用购买所有商品一律"打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的

促销策略.某顾客计划消费x（x>。）元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则

（）

A.当0<x<200时，应进甲商场购物B.当200《x<300时，应进乙商场购物

C.当400«xv500时，应进乙商场购物D.当x>500时，应进甲商场购物

三、填空题

11.（2026高三•全国•专题练习）运货卡车以xkm/h的速度匀速行驶300km,按交通法规

限制504x4100（单位：km/h）,假设汽油价格是每升6元，汽年每小时耗油

4+念L,司机的工资是每小时46元.则这次行车的总费用的最低值是元.

12.（2025高三•全国・专题练习）从金山区走出去的陈弛博士在《自然-可持续性》杂志上

发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导

作用.已知某种树木的高度/（，）（单位：m）与生长年限，（单位：年，reN）满足如下的

逻辑斯蒂函数：/"）=J，其中。为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.则需

要经过_________年，该树的高度才能超过5m.（精确到个位.）

四、解答题

13.（24-25高三上•安徽安庆•阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健

康观念转变以及人I」老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋

势.某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的

年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G（x）万元，且

2x7十80x,0<x<40

201vI3600210040<¥<100,由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，

且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

⑴写出年利润匹卜）万元关于年产量X台的函数解析式（利润=销售收入一成本）；

⑵当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

14.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）某同学有玉岁钱10000元，计划存入银行,

银行最新推出两种存款理财方案.

方案一：年利率为单利(单利指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利

息在下一个利息周期内不计算利息的计息方式)，每年的存款利率为1.6%；

方案二：年利率为复利(复利指在计息利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期

所积累利息总额来计息的计息方式)，每年的存款利率为1.5%；

⑴若该同学存款X年，其所获得的利息为V元，分别写出两种方案中，V关于X的函数关系

式；

(2)若该同学存款5年，应选择哪种方案？若存款10年，应选择哪种方案?请分别说明理由.

参考数据：(1+1.5%尸H1.1605,(1+1.5%)5«1.0773.

B素养提升

19.(23-24高一上•费州遵义•期末)金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥

郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100C

的水泡制，待茶水温度降至60c时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水

达到最佳饮用口感的放置时间，每隔Imin测最一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数

据如下表：

时间/min0i2345

水温rc1009182.978.3772.536727

设茶水温度从100C经过皿后温度变为J/C,现给出以下三种函数模型：①

y=cx+/)(c<0,x>0)；@y=cax+b(c>0,0<a<\,x>0)；③

y-log”(x+c)(a>1,C>0,A>0).

⑴从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析

式；

⑵根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间；

⑶考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.(参考数据:

Ig3=0.48,lg5=0.70)

⑴

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