简单的轴对称图形 暑期专项练习-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

5.2简单的轴对称图形暑期专项练习2025-2026学年

北师大版七年级数学下册

一、单选题

I.如图，人，8两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边/上修建一

个自来水厂o,分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求,

从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（）

2.已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线;②作一个角等于已知角；③作一条线段的

D.①②③

3.如图，在△ABC中，4B=8,AC=6,4。平分484C交BC于。，过。作DEIAC于点E,

且。石=3,则△A8C的面积为（）

C.27D.30

4.如图，OP平分44。8,PC_LGM于点。，点。在。8上.若（）D=6,△POD面积为9,

则PC的长为（）

BDO

A.2B.6C.3D.9

5.在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，己知△力BC中，AB<BC,用尺规作图的

方法在8c上取一点P,使得Q4+P8=8C.下面四个同学的做法，其中正确的是（)

6.如图，在AABC中，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（)

A.AD=BDB.ZC4E=ZCC.DM=END.CYADE=BC

7.如图，在44BC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交力C于点D,交于点E.若4=40。,

C.70°D.25°

8.如图所示.在AA8c'中，NH4C'=1U6。，七卜、MN分别是A&AC的中垂线，七、八’在

试卷第2页，共6页

AC上，则NE4N=()

A.58°B.32°C.36°D.34°

9.如图，在等腰△48C中，在44、AC上分别截取AP、4Q,使AP=4Q.再分别以点P,Q

为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在N84C内交于点R,作射线AR,交BC于点D.已

知A8=AC=10,AO=8,BC=\2.若点M、N分别是线段4。和线段上的动点，则

8M+MN的最小值为（）

BZ5---------Xc

A.10B.12.8C.12D.9.6

10.如图，在Rt△力BC中，Z.ACB=90°,AC=6,BC=8,AL7=1（）,如果点。，E分别为

BC,AB上的动点，那么AQ+DE的最小值是（）

B

Ch--------^4

A.8.4B,9.6C.10D.10.8

二、填空题

11.如图，分别以点A,B为圆心，大于!48的长为半径作弧,

两弧相交于C,。两点，

连接CO,AC,BC,则AC=8C,依据是

12.如图，根据尺规作图所留痕迹，己知/6AC=400,可以求出ND4C='

13.如图，在△ABC中，LC=90°,DE是AB的垂直平分线，ZC4£=ZB+300,则NAEB的

度数为__________

14.如图，在△48C中，44=38。，8。平分48C交AC于点。，点。关于BC的对称点E恰

好在力8的延长线上，连接C£,则NE=

15.如图，△ABD和小CQ关于4D所在的直线成轴对称，点E,r是中线4C上的两点，zMBC

的面积是24,则图中阴影部分的面积是.

三、解答题

试卷第4页，共6页

16.如图，在△ABC中，AB=AC=9,点E在边AC上，点。在边BC上，且AO=OE,若

ZADE=NB,CD=3BD,求CE的长.

17.如图，已知点P为四边形/BC。中C。边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直

线：(保留作图痕迹，不写作法)

A.--------------------.D

P

81---------------r

(1)作一条直线4,使得点8关于乙的对称点为P；

(2)作一条过点D的直线4，使得线段OP关于k的对称线段DP落在OA上.

18.如图，在△48C中，请用尺规作图法作AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点F.(保

留作图痕迹，不写作法)

19.校园一角的形状如图(1)所示，其中A8,BC,CD表示围墙.如图(2)所示，小亮

通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等.请解释他

这样做的道理.

(1)(2)

20.墙上钉了一根木条，李叔叔想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平.在这个

测平仪中，AB=AC,8C边的中点。处挂了一个重锤.李叔叔将BC边与木条重合，观察此

时重垂线是否通过点A.如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的.请说明其中的道理.

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参考答案

题号12345678910

答案AAACACBBDB

I.A

【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对

称的性质作图即可求解..

【详解】解：作点A关于直线/的对称点A,连接4氏交直线/于点0,可得O4'=Q4,

则=+由两点之间线段最短，此时Q4+O8的值最小，即所用水管总

长度最短，

故选：A.

2.A

【分析】根据作一个角的角平分线、作一个角等于已知角和线段垂直平分线的尺规作图方法

逐个判断即可；

本题主要考查了尺规作图相关知识，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键.

【详解】解：①作一个角的角平分线：其尺规作图的基本步骤是先以角的顶点为圆心，任意

长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长

度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分

线.

图①的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以①的作法正确；

②作一个角等于己知角：其尺规作图的基本步骤是先作一条射线作为新角的一条边，以原角

的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点，并以射线端点为圆心，该长度为半

径画弧，交射线于一点；再以原角上其中一个交点为圆心，两交点距离的长度为半径画弧,

并以射线上的交点为圆心，该长度为半径画弧，于前弧交于一点，最后过射线端点和这个交

点作射线，两条射线的夹角即为所求角.

图②的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以②H勺作法正确；

③作一条线段的垂直平分线：正确的尺规作图步骤是分别以线段的两个端点为圆心，大于线

段一半长度为半径画弧，两弧分别在线段上卜方各有一人交点，连接这两个交点所得直线才

是线段的垂直平分线.

图③中没有体现完整的尺规作图过程，线段下方没有交点，所以③的作法错误；

故选：A.

答案第1页，共9页

3.A

【分析】本题主要考查了用平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距

离相等是解题的关犍.根据角平分线的性质得到点。到人4和AC的距离都是3,再根据三角

形面积公式求解即可.

【详解】解：由题知，因为AD平分上BAC交BC于D,

所以点。到A8和力。的距离相等.

因为。E_L4C于点凡且0E=3,

所以点。到AB和AC的距翦都是3,

所以Ss3p&3=|M,S“m=；AC3=|AC

因为八3=8,AC=6,

故选：A

4.C

【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式.过点P作依_LO8于a根据三角形

面积公式求出庄的长，再根据角平分线的性质可得AC=PE,从而得出答案.

【详解】解：如图，过点P作庄_LO8于E,

/,-x6xPE=9

2

:.PE=3

•.OF平分ZAO6,PCLOA,PE工OB

:.PC=PE=3.

5.A

【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般

是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题E的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.利用总+PB=AC得到

PA=FC、利用线段垂直平分线定埋的逆定埋，作AC的垂直平分线即可.

答案第2页，共9页

【详解】解：•.•PA+PB=4C,

而PC+PB=BC,

：.PA=PC,

.•.点P为4c的垂直平分线与BC的交点.

故选：A.

6.C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解图示是关键，根据线段垂直平分线的性质，

等边对等角求解即可.

【详解】解：根据题意，OM是线段A/3的垂直平分线，EN是线段力C的垂直平分线，

AD=BD,AE=CE,

/.ZC4E=ZC,故A,B选项正确，不符合题意；

力/与EN不一定相等，故C诜项错误，符合题章：

*.*CJDE=A。+DE+AE=BD+DE+CE=BC,

・・・D选项正确，不符合题意；

故选：C.

7.B

【分析】根据等腰三角形的性质可得43C=NC=70。，然后利用线段垂直平分线的性质可得

DA=DB,从而可得NA=4480=40。，最后利用角的和差关系进行计算即可解答.

【详解】解：•••A8=AC,Z4=40°,

7.ZABC=NC=gx(180。-40。)=70。，

•.•MN是48的垂直平分线，

DA=DB，

/.ZA=ZAB£>=40°,

/.ZDBC=ZABC-ZABD=30°.

8.B

【分析】先由NBAC=1()5。及三角形内角和定理求出NB+NC的度数，再根据线段垂直平

分线的性质求出NB=NBAE,ZC=ZCAN,即NB+/C=NBAE+NCAN,由NEAN

=ZBAC-(ZBAE+NCAN)解答即可.

【详解】•・•△ABC中，NBAC=106°,・•・NB+NC=180°—NBAC=180。-106°=74°,VEF、

答案第3页，共9页

MN分别是AB.AC的中垂线，••・NB=NBAE,NC=NCAN,即NB+NC=NBAE+NCAN

=74o,，NEAN=NBAC—(NBAE+/CAN)=I06°—74o=32。.故选B.

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定

理求出NB+NC=ZBAE+NCAN=74。是解答此题的关键.

9.D

【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知

识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题.

如图，过点B作B/7J.AC于点从证明3M+MN的最小值为6〃的长，再利用面积法求出

BH即可.

【详解】解：如图，过点B作8”_LAC于点儿

•/AB=AC.ADAC,

/.A及AC关于FO对称，

作点N关于4。的对称点N,连接MM,

•：BM+NM=BM+MN'NBH,

8M+MN的最小值为BH的长.

AB=AC=10,AD平分zB/C,

：.ADlCBJiD=CD=6t

•*-AD=y/AB2-BD2=VlO2-62=8,

•:SABC=-BC>AD=-AC-13H,

△八22

【分析】如图所示，作点A关于BC的对称点A,连接CA,OA,用T,则4)=4。，BA=RA\

故AD+DE—A'D+DE,由此推出当A、D、E三点共线时，AD+DE-AE，八。十。2最

答案第4页，共9页

小值即为A'E的长，当A'E最小时，即满足A'£_LA/3,故根据三角形的面积即可求得的

最小值.

【详解】解：作点A关于BC的对称点A，作点A'E_LAB,交BC于点D,连接CA,QA如

图:

则AZ>=A£>,

/.AD+DE=AD+DE>ZE.

即AD+DE的最小值为A:E.

,：Z-ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=1O,

・•・A4'=12,

,,

,:s.,,R=-AABC=-ABAE,

A/vi“22

・•・A八生”二四;9.6,

AB10

即AO+OE的最小值为9.6.

故选：B.

【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练

掌握以上性质是解本题的关键.

11.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等

【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可.

【详解】解：由作图过程可知，直线C。是线段A8的垂直平分线，

，AC=BC.

12.20

【分析】根据作图痕迹得到力。平分NCA8,利用角平分线的定义求得乙ZMC的度数即可.

【详解】解：由作图痕迹可知，40平分NCA8,

VZ^AC=40°,

ZDAC=-ZBAC=20°.

2

答案第5页，共9页

13.140°

【分析】根据垂直平分线的性质得到NB=N£45,根据三角形内角和定理得到

ZC4E+ZE4B+ZB=90°,进而求出N£48=N8=20。，根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】解：是力B的垂直平分线，

•••ZB=NEAB,

■:乙C=90°,

/.ZCAE+ZE4B+ZB=9()°,

*/NC4E=N3+30。，

:.ZB+30°+ZB+ZB=90o,

解得：ZB=20°,

••・ZE4B=ZB=20°,

JZAE8=180°-NE48-/8=140。.

14.98。

【分析】本题主要考查对称性质、角平分线、外角定理的相关知识，首先根据点。关于8c的

对称点是E,得出NE=/B/)C；再结合8。平分ZA6C和平角性质，算出乙4a)=60。；最

后利用三角形外角性质，求得/BDC=38°+60°=98°即NE=98°.

【详解】解：连接。月交BC于点M,

；.BD=BE,NDBC=NEBC,/BDC=/BEC,

•/8D平分乙46C交力C丁点D,

・•・ZABD=NDBC,

JZABD=NDBC=NEBC,

,?ZABD+ZDBC+ZEBC=180°,

，/ABD=Z.DBC=ZEBC=60°,

VZA=38°,

・•・^BDC=ZA+=38u+6UU=98",

答案第6页，共9页

・••NE=98。.

故答案为:98°.

15.

12

【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出《EF和&BEF关于直线

AD对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积是解决本题的关键.

【详解】解：•「△AB。和△AC。关于AD所在的直线成轴对称，

/.AD是△ABC的对称轴，

SJBD=gSM=gX24=12,

•.•点E、F在对称轴AD上，

:.KEF和ABEF关于直线AD对称，

由图可知，阴影部分的面积S阴影=+Sww+Sq^,

•*S阴影=S&ABE+S.BDF+S/EF,

SJBE+SRDF+S^BEF=§JBD»

S《|影=S,ABD=12.

故答案为：12.

16.3

【分析】先通过角度关系推导/BAD=/COE,再结合/B=NC、AD=DE,用AAS证

△ABD^DCE,利用全等性质得CO=AB、BD=CE,最后结合CO=38。及48=9,求

出CE.

【详解】解