三元一次方程组 导学案 北师大版数学八年级上册

8三元一次方程组

典型例题

题型一关于三元一次方程（组）的概念题

例1下列方程中，是三元一次方程的是（）

Ajc+yz=1B.2v_7x=10C.—+y+z=3D3L2厂5z=8

x'

解析：本题直接考查三元一次方程的概念.A选项中，产项的次数是2；B选项中，只有2

个未知数；C选项中，,不是整式.答案：D

X

点拨：判定一个方程是否为三元一次方程应满足以下条件：①方程中共有3个未知数；

②含有未知数的项的次数为I；③含未知数的项为整式.

例2下列方程组中，是三元一次方程组的是（）

x+y=3,

x+y+z=3,x+y+z=0,x+y+z=3,

1

A「y+z+3卬=4,B.<y+2yz+10=0,C.«x->'+z=0,D.《y+-=4,

z

x+z+iv=5x-2z=l1x=z+4

x+z=5

解析：本题主要考查三元一次方程组的概念.A选项中含有四个未知数，B选项中2/项的

次数是2,D选项中,这一项不是整式.答案：C

z

点拨：（1）三元一次方程组中共有三个未知数，且含未知数的所有项均为一次项，且含未

知数的项均为整式.

（2）三元一次方程组中的某个方程可以为二元一次方程，甚至是一元一次方程，只要保证

方程组共有三个未知数即可.

题型二选择恰当的方法解三元一次方程组

例3解下列三元一次方程组：

x+y-z=0,①

（1）«2x+y+z=7,②

4x+3y+5z=25.®

3x-y+2z=3,①

（2）nA+y-3z=ll,@

x+y+z=\2③

分析：（1）可以把①②中的z用另两个未知数表示出来，再分别代入③中得到一个二元一

次方程组.解之即可求出解.（2）中），的系数最简单，因此利用加减消元法消去），比较简单.

解：⑴由①，得z=x+y.④

由②，得Z=7-2.L），.⑤

把④⑤分别代入③，得二25,

3x+j-5.

V—1

解这个方程组，得一;

b=2.

把FT代入④，得z=3.

x=1,

所以原方程组的解为卜=2,

z=3.

（2）©+@,得5x~z=14.④

①+@,得4x+3z=15.⑤

④与⑤组成二元一次方程组打一了?

4x+3z=15.

x=3

解这个方程组，得-'

z=I.

把卜3,代入③，得尸8.

z=I

工二3,

所以原方程组的解是卜=8,

z=1.

点拨：解三元一次方程组的思路是把三个未知数消成两个未知数，再求解.（1）中利用代

入法消去z,转化成关于%和），的二元一次方程组；（2）中利用加减法，消去），，转化成关于x和z

的二元一次方程组.

例4解三元一次方程组：

x+y+z=26,①

,X-）,=I,②

2x-y+z=\8.③

分析：观察方程组中的三个方程，其中方程②不含有未知数z,可通过③-0,消去未知

数z,然后把所得到的方程与方程②组成二元•次方程组，通过解这个二元•次方程组可求

得%,y的值，进而求得原方程组的解.

解：③-①，得尸2y=-8.④

②与④组成方程组卜

x-2y=-8.

r=10

解这个方程组，得:，

尸9.

把:‘代入①，得z=7.

卜=10,

所以原方程组的解为b=9,

[z=7.

点拨：当方程组中有一个方程缺少某未知数的项时，可以从其他的方程中消去这个未知

数，或用含有两个未知数的方程中的一个未知数表示另一个未知数，然后代入到其他两个方

程（即代入法），进而达到消元的目的.

题型三巧解方程组

x:y=3:4,①

例5解方程组,,:z=4:5,②

x+y+z=36.③

分析：解此方程组有两种基本方法，一是将比例式亿为等积式，把①变为x=之》②变

4

为Z=Wy,然后代入③式，可消去两个未知数工和Z,得到关于），的一元一次方程；二是把方程

4

①和②的两个比统一为"y：z=3：4：5,然后设x=3%y=4亿z=52伏W0）,代入方程③

可求出生进而求得x,y,z的值.

解：（方法1）由①，得4x=3y,x=3y④

由②，得4z=5y,z=』y.⑤

4'

把④和⑤代入③，得2），+），+3），=36,解得），=12.

4"4'

把y=12分别代入④和⑤，得

35

X=3X12=9,z=-xl2=15.

44

x=9,

所以原方程组的解为Jy=12,

z=15.

（方法2）由①和②，得丫：y：z=3：4：5.

设x=3&,y=4k,z=5A（&N0）,

并代入③，得弘+4A+5攵=36,解得&=3.

所以x=9,y=l2,z=15.

x=9.

所以原方程组的解为），=12,

[z=15.

点拨：像这种已知未知数之间数量比的问题，通常选择用同一字母表示未知数的方法,

即“同一法”“同一法”通过化“多元”为“一元”，使解题变易,当然也可以化成三元一次方程组

求解.相比之下不如前者简便.

x_2_£①

例6解方程组5=3"不

x-2y+3z=22.②

分析•：因为方程①是一个连等的形式，故可以根据其特点令其等于一个常数女伏工0），直

接将三元转化为一元求解.

解：设土=上=三=匕所以x=2匕y=3匕z=5k.

235

把它们代入②，得2Z-6&+15A=22,解得火=2.

所以X—4,y—6,z—10.

x=4,

所以原方程组的解为y，=6,

[z=10.

点拨：当方程中含有连等或比值时，通常采用设辅助未知数来解决.

题型四三元一次方程组的简单应用

例7在〉，=62+法+C中，当％=-1时，）=2；当x=2E寸，），=8；当x=5时，y=158.

（1）求a,b,。的值：（2）求当工=-2时，y的值.

分析：把小儿。看做三个未知数，分别把三组已知的心），的值代入原等式，就可以得到

一个三元一次方程组，解出小b,c后把小乩c的值和尸-2都代入原等式的右边，就可求出

y的值.

a-b+c=2,

解：⑴根据题意，得4a+2b+c=8,

25a+5/?+c=158,

a=8,

解得，b=-6,

c=-12.

所以y=8『-6x~12.①

（2）欣t=一2代入①，得y=8X（—2）2—6X（—2）—12=32.

点拨：本题实质上仍是一个解三元一次方程组的问题，式子juaf+A+cSWO）,是以后

要学习的二次函数的表达式，解三元一次方程组是后面解决许爹数学问题的有效工具.

例8（2020•辽宁朝阳中考）已知关于x,y的方程产：尸”L的解满足壮产-3,则〃

x+2y=5—5。

的值为.

解析：观察方程组x的系数之和与y的系数之和相等，两式相加可整体求出x+y的值，x+y

=2-〃.又已知x+y=-3,然后列出关于〃的方程2-4=-3,解得。=5.

答案：5

点拨：呈现形式的方程组称为轮换对称方程组.当所给方程组是轮换对称方

bx+ay=c2

程组，在求卢），或厂），的值时，不需要解方程组，直接将两式相加可求x+），的值，两式相减可求

厂），的值.

x+y=3a,

例9已知方程组），+z=5a,的解使代数式尸2），+3z的值等于7（）,求a的值.

z+4=4a

分析：由题意可知，此方程组中的〃是已知数，-户z是未知数，先解方程组，求出X,

y,z（用含有。的代数式表示），然后把求得的x,y,z代入等式犷2）*32=-10,可得关于a的一

元一次方程.解这个方程，即可求得。的值.

y=3a,®

解：方程组、y+z=5",②

z+x=4d,@

（方法1）②-①，得z-尸方.④

③+④，得2z=6〃，即z=3a.

把z=3a分别代入②和③，得y=2«,x=a

x=a,

所以，y=2a,

z=3a

a=a,y=2a,2=为代入尸2），+32=-10,得

a-2x2a+3x3a=-10,解得。=-』.

3

（方法2）①+②+@,得2（x+y+z）=12a,

即x+y+z=6〃.④

®-0,得z=3a.

④-②，得x=a.

x=a,

④-③，得y=2a.所以-y=2a,

z=3a.

把x=〃，y=2a,2=%代入尸2），+32=-10,

得。-2x2〃+3x3a=T0,解得〃=-*.

3

点拨：当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题方法2中的技巧解

这类三元一次方程组.

题型五三元一次方程组与其他知识的综合应用

4x-3y-3z=0,®

例10已知，

x-3y-z=0.②

求：(l)x：z的值；(2)_r：y：z的值；(3)，衣一衣的值.

x+y-z

分析：本题考查方程组与比的综合应用.这是含有三个未知数、两个方程的方程组，不可

能求出每个未知数具体的解，但所求的式子是比值，解题方法是把一个未知数看成是常数.

4x-3z=3y,

解：(1)解关于x，z的二元一次方程组

x-z=3y,

得「二一?'所以工：z=L6y):(-%)=2:3.

z=-9.义

x=-6y.

(2)由(1),得，

z=-9y,

所以x：y:z=(-6y):y:(-9)，)=(-6):1：(-9).

"二—?''代入所求式子中,

⑶把

z=-9y

可得.xy+2yz=-6y・y+2y・(-9y)=-6•-18)，2=-241=6

x2+y2-z2(-6_v)2+.y2-(-9v)236y2+y2-81y2-44/T7,

点拨：对于未知数个数大于方程个数的方程组，不能求出每个未知数的具体值，要根据

具体要求作特殊转化，可以把其中一个未知数看成常数，也可以整体代入，但比较难的是系

数的变化.

例11^\a-b-\\+(b-2a+c)2+\2c-b\=0»求a,b,c的值.

分析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.

解：因为三个非负数的和等于。，

所以每个非负数都为0.

a—h—\=(),a=-3,

可得方程组“-2a+c=0,解得,=-4,

2c-b=0.c=-2.

点拨：非负数之和为0,隐含着每个非负数都为0,从而可列方程组求解.

例12己知单项式-.沙仁1“*与;汐+),%5是同类项，求工，y,z的值.

分析：根据同类项的定义列出三元一次方程组，解这个三元一次方程组即可得解.

x+z-y=\,x=6,

解：因为L4田少+F-喈和-岫%'+7是同类项，所以

x+y-z=]\,解得＜y=8,

2

y+z-x=5,Iz=3.

所以x,y,z的值分别为6,8,3.

题型六三元一次方程组的实际应用

例13如图1(1)所示的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一

袋石头和2个各10克的祛码，将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个徒码

后，天平仍呈平衡状态，如图1(2)所示，则被移动石头的质量为()

li

।।I'6f1一

ZSZX

(1)(2)

图1

A.5克B.10克C.15克D.20克

解析•：设图⑴中左侧秤盘的•袋石头的质量为x克，右侧秤盘的•袋石头的质量为)，克,

被移动的石头的质量为z克.

根据题意‘得仁f］。解得z=5,故选A.

答案：A

例14某足球联赛的前12轮（场）上赛后，前三名比赛成绩如下表：

球队胜（场）平（场）负（场）积分

甲队82226

乙队65123

丙队57022

问：每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？

分析：根据题意，可直接设出3个未知数，列出三个一次方程.这3个相等关系为（1）中队

的积分共26分：（2）乙队的积分共23分；（3）丙队的积分共22分.

解：设每队胜一场、平一场、负一场分别得x分，「分，z分.

8x+2y+2z=26,①

根据题意,得，6x+5y+z=23,②

5x+7y=22.®

由①，得4x+），+z=13.④

②-④，得2x+4.v=10,即x+2y=5.⑤

⑤x5-③，得3y=3,即y=L

把y—1代入⑤，得x—3.

把x=3,y=l代入④，得z=0.

答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.

点拨：本题的相等关系：胜的场数+负的场数+平的场数=总场数；胜的积分+负的积分

+平的积分=总积分.

题型七开放创新题

例15图2是一个算法图，每个口里有一个数，这个数等于它所在边的两个。里的数之

和，请算出三个。里应填入的数.

图2

x+y=83,

分析：根据题意，可列方程组卜+z=21,

z+x=38,

通过解方程组求出x,y,z的值即可.

x+y=83,①

解:根据题意，得），+z=21,②

z+x=38.③

①+②+③，得2(x+y+z)=142,

即x+y+z=71.④

④-①,得z=T2,

④-②，得x=50,

④-③，得y=33.

x=50,

所以三元一次方程组的解为)，=33,

z=-12.

故三个O里应填入的数分别是50,33,-12.

点拨：本题的解法体现了“整体的思想”，即先求出n+），+z”的值，再将其分别与

“），+z”“z+广1+y”作差，可得到x,），，z的值.

拓展资源

我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章

算术》中.《九章算术》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容.这一章的第一个问题译

成现代汉语是这样的：

上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；

上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；

上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束