2026高考数学二轮复习-空间角与空间距离

第2讲空间角与空间距离

探究真题明确方向,

1.(2025•全国H卷，T17)如图，在四边形力次》中，AB//CD,ND4B=90。,b为CQ的中点，点E在月B上,

EF//AD,AB=3AD,CD=2AD,将四边形跖£%沿反翻折至四边形EEQW,使得面与面由C6所

成的二面角为60。.

(1)证明：48〃平面。户；

(2)求面8CQ与面EFQ卬所成的二面角的正弦值.

2.(2025•北京，T17)四棱锥P-/8C。中，△4CZ)与△RBC为等腰直角三角形，ZJZ)C=90°,ZBAC=90°,E

为8(?的中点.

(1)尸为尸。的中点，G为PE的中点,证明：FG//面P/B；

⑵若以面力8CQ,PA=AC,求.48与面PC。所成角的正弦值.

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题目，主要以解答题的形式进行考查，分值约为1577分.

考查方向：

一是考查利用空间向量求线线角、线面角、二面角；二是考查利用空间向量解决距离问题；三是考查利用

空间向量解决探索性问题，这类问题利用向量法往往容易上手，具有操作方便的优势.

1.(1)证明因为44〃CO,所以4E〃。凡所以力上〃。户，

因为。Au平面CQ户，⑷欣平面C。下，所以4E〃平面CQ下，

因为FC〃EB,尸Cu平面CQ户，EBQ平面C。户，所以£8〃平面CQ下，

又EBO4，E=E,EB,4'Eu平面⑷EB,所以平面4£8〃平面CO产，

又*Bu平面力'EB,所以力'8〃平面CZ)户.

(2)解方法一因为ND48=90。，所以力O_L48,又因为48〃FC,EF//AD,所以

以"为原点，FE,/C以及垂直于平面EFC8的直线分别为x,v,z轴，建立空间直角坐标系.

因为。户_LEECFLEF.面EFDH与面EFCB所成的二面角为60。,所以NOFC=60。.

设40=1,则8(1,2,0),C(0,1,0),。'(0,1,孚)，f(l,0,0),F(0,0,0),

所以就=(-1,-1,0),而？(U,-p亨)，FE=(1,0,0),m=(U,I，亨).

设平面8czy的法向量为〃=(x,y,z),则

-x-y=0,

所以-1+乎z=。，令产百，则z=l,x=-M,则〃=（-百，V3,1）为平面的一个法

向量.

设平面EFQ%'的法向量为〃1=8，为，Z|）,

则傅严U所以牝=4°比-0

（FDm=0,十彳Zi-U,

令力=百，则Z]=-l,修=0,所以/%（0,百，-1）为平面为'的一个法向量.

所以|cos<m,n>H鬻「2：行当

所以面BCD，与面EQ才所成的二面角的正弦值为

方法二由EFLA'E且EFLEB,

可知/4E8即为面EFDW与而“C6所成二面角的平面角，为60°,

不妨设力。=1,在平面4£3内，由点©作EB的垂线，垂足为。，

可知"OJ_平面EO4,08=|,以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则时W，。），仆后，o）^4（°，°，3"（°，2。），c（fP。），。’（一1，。，纵

而=（1,0,0）,而=（0,i,纵

而=（1,1,O）,F5=（i,I，一9，

设平面EFD'/T的法向量为〃1=8，为，Z1）,

则有I窝：二M：'遍-o

（EAni=-yi+—z^=0,

取则〃I=（O,-g,1）；

设平面BCZT的法向量为〃2=(闷，％，Z2),

FlJ丽.电=%2+V2=0，

川有(丽?12=X2+|y2-容2=0,

取经二百，则〃2=(-百，V3,1),

设面BCZ/与面EFQ4所成的二面角为仇则有|cos9|=|cos</iI,n2)1=卢普7»?，故sin0=率.

Millwzl77

方法三由CZ>2/。，尸为CO的中点，得DF=AD=FC.又AB//CD,EF//AD,所以四边形EFD4为平行

四边形，又ND48=90。，DF=4D,所以四边形EFD4为正方形,则£F_LCO,即O'E_LEE,FC工EF,所

以N0尸C是面EFD'A'与面f尸C5所成二面角的平面角，

因为面EFO⑷与面EFC8所成的二面角为60。，所以N。下060。，又D，F=FC,所以△C7)尸为正三角形.

由O'F_L£F,FC工EF,D'FCFC=F,D'F,FCu平面CDF,得EFL平面CDF因为EFu平面EFCB,所

以平面CDFJ_平面EFCB.

取R?的中点0,连接。0,则。，O_LFC,

又平面CO户J•平面MC4,平面CQ下n平面。Ou平面CQ户，所以O,OJ_平面EFC以

过O作。“〃川，交BE于M,则以O为坐标原点，分别以OM,OC,所在直线为x,歹，z轴建立如

图所示的空间直角坐标系.

设H?=2,则厂(0,・1,0),EQ,-1,0),C(0,1,0),8(2,3,0),。'(0,0,6),

则而=(2,2,0),而;色，-1,V3),而=(2,0,0),同=(0,1,V3).

设平面BCD，的法向量为"不，凹，劭则意窈°。'，即除:;混；o,

令Z|=l,得为=-、巧，为=百，则平面6CQ'的一个法向量为小=(々5,V3,1).

设平面口⑷的法向量为〃2=(如及，Z)则心款I',即您港叱。，

令Z2=1,得g=H5,x2=0,则平面以加⑷的一个法向量为〃2=(0,-V5，1).

设面BCZT与面EFDW所成的二面角为仇

贝”cosq=|cos</>!，〃2)卜|皆湍一晟子,

所以sinZ1一cos2g=Jl-停)2等,则面BC。与面EFQ4所成的二面角的正弦值为苧

2.(1)证明取尸/的中点N,P8的中点V,连接FN,MN,GM,

*//XACD与AABC为等腰直角三角形，N4DC=/BAC=90。,

不妨设AD=CD=2,AC=AB=2y[2y

:・BC=4,

•；E,F分别为8C,P。的中点，：.FN=^AD=\,BE=2,

:・GM4BE=1=FN,

VZZ)^C=45°,ZACB=45°,

:,AD〃BC,

:.FN//GM,

・•・四边形FGMN为平行四边形，

:.FG"MN、

丁尸平面产月台，MNJ平面产力4,

・•・八7〃平面P4B.

⑵解•“力1.平面"CD,

・••以,4为坐标原点，AC,AB,力产所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设/Z>CD=2,则4(0,0,0),8(0,2V2,0),0(272,0,0),D(日-V2,0),P(0,0,2V2),

，而=(0,2VL0),DC=(V2,V2,0),CP=(-2V2,0,2VI),

设平面PC。的法向量为〃=(x,y,z),

.(DC-n=0,

,・回71=0,

.(V2x+V2y=0,

•1-2缶+2缶=0,

取x=l,.\y=-1,z=\,/.M=(I,-1,I),

设力5与平面尸CO所成的角为仇

贝Isingcos〈48,n)|一黑丁

|0xl+2«x(-l)+0x“0

~2\/2x712+(-l)2+i2-V，

即力8与平面PCD所成角的正弦值为年.

考点一空间角

例1(2025•嘉兴模拟)如图，在边长为2的正三角形力3c中，E,产分别为力C,8。的中点，将/

沿£尸翻折至凡使得

(l)i正明：平面P8£_L平面力4户E；

(2)求直线PB与平面正中所成角的正弦值.

(1)证明•••△48C为等边三角形，E为4c中点，；.BEL力E,

又•：PE1AE,且PE,BEu平面PBE,PECBE=E,；.4E工平面PBE,

又力Eu平面ABFEf，平面PBEL平面ABFE.

(2)解方法一

(等体积法)

过点、P作PHLBE,垂足为H,

平面PBE上平面ABFE,且平面PBEC平面ABFE=BE,：.PHA.平面ABFE,

又・・•£,歹分别为力C,8C的中点，

・••翻折后，PE=1,PAZ12+12=近,

由对称性可知P8-四，

又：・/EPB=90。,

则p产PB」x五正

入jrnBE代3，

设直线P8和平面PEE所成角为仇点8到平面PE尸的距离为人

由乙枝棺BPEk=J较"P-BEF得§SAPEF，hqSMEF，PH,

又2X2Xsin60。1,

SME广,

•.”=*?，sin心?，

故直线PB与平面PEF所成角的正弦值为年.

方法二(几何法)

P

分别取M,48的中点M,N,连接尸A/,PN,MN,过点N作NG_LPM,

•••△/8C为等边三角形，E,Q分别为力C,4c的中点，

；,PM工EF,MNLEF,且尸PM,MNu平面PMN,则后凡L平面PMV,

EFu平面PEF,・•・平面PMNL平面PEF,

;平面尸£尸0平面PA/N=PW,又NGLPM,NGu平面PMN,：.NGL平面PE尸,

'：AB//EF,4BQ平面PEF,EFu平面PEF,

・・・力8〃平面PEF,

・••点B到平面尸防的距离即为NG的长度,

翻折后，PE=[,/<4=V12+12=伞,

由对称性可知

又力3=2,可知//尸8=90。，,PN=\,

在△PMN中，PM聋,MN聋,

故PN边上的高为J©_©2吟

NG号喙

2

设直线P8和平面PEE所成角为夕

：・sm嗡普,

故直线PB与平面尸仔所成角的正弦值为苧.

方法三（坐标法）

过点P作PH上BE,垂足为〃,

;平面PBEA.平面ABFE,且平面PBEC平面ABFE=BE,PHA.平面ABFE,

又YE,厂分别为力C,8c的中点,

.••翻折后，PE=l,PA=y/12+12=近,

由对称性可知P13=^2,

又4£=遍，:・NEPB=9QQ,

则P吟学骷,

因此以E为坐标原点，EA,EA分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图,

则E(0,0,0),8(0,V3,0),b等。），

2V3佝

P(0,f,f)，丽=('0,3，一"

前二（W，率0）,而«苧,乎）,

设平面尸M的法向量为〃=（x,y,z）,

n-EF=-^x+^y=0,

则

n.丽=当+或z=0,

33

不妨令z=-l,则法向量〃=（乃，V2,-1）,

0I2历t码

设直线P8和平面两所成角为"fflsin^cos〈〃，丽〉尸号鹏

故直线PB与平面PEF所成角的正弦值为4.

［规律方法］(1)用向量法求空间角的一般步骤

①建立空间直角坐标系.

②用坐标表示直线的方向向量和平面的法向量.

③利用向量的夹角公式求出向量夹角或角的三角函数值.

(2)注意两异面直线所成角的范围是(0,4；线面角。与直线的方向向量〃和平面的法向量〃所成的角

〈明〃〉的关系是〈明〃〉+伊今或〈明〃〉-伊今；两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等,

而是相等或互补.

跟踪演练1(2025•浙江Z20名校联盟联考)如图，四棱锥R/8CO中，底面力4。是平行四边形，Z

840=60。，43=4,AD=2,PB=PD=2®且4O_LP8.

(1)证明：4C_L平面尸80；

(2)求二面角C-PA-D的余弦值.

⑴证明•・・/34。=60。，AB=4,4)=2,

:,BD=2®且//。3=90。，

又4DSB,PBCBD=B,PB,BDu平面PBD,

・・・4D上平面PBD,又「四边形48C。是平行四边形，:.BC//AD,・・・8CJ_平面产8D

(2)解设力C与8。的交点为O,则O为8。中点，

，：PB=PD=2W,:,PO工BD,

〈BCL平面PBD,POu平面P8。，:.BC1PO,

又BDCBC=B,BD,8Cu平面8C。，

・・.PO_L平面BCD.

方法一(坐标法)

以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

・・・。(0,0,0),4(2,0,0),C(-2,2技0),P(0,V3,3),

.\AC=(-4t2技0),

西=(2,-百，-3),而=(-2,0,0).

设平面4C的法向量为m=(x,y,z),

嚅陛即(2x—\[3y-3z=0,

则

I—4x+275y=0,

取得〃尸（遮，2,0）,

设平面尸力。的法向量为〃=（〃，b,c）,

n-PA—0,sn[2a—V3b-3c=0,

则n-AD=0,I-2Q=0,

取力=・百，得〃=（0，■百，1）,

设二面角C-P4-。的平面角为仇

Acos^=|cos〈/〃，〃〉|一亨普一？

・•・二面角C-PA-D的余弦值为手.

方法二（几何法）

•・"力"L平面PBD,

・•・平面平面尸8Q,作OH上PD,易知O"J_平面作连接E”（图略）,

AAOEH=6即为所求角，

易知0鸿，OE，

2W4

:・EH邛,

4

.,「EHV2T

,•cosKr^r，

・•・二面角C-P4-O的余弦值为亨.

考点二空间距离

例2（2025・汉中模拟）如图，在四棱锥EdBCZ）中，尸为边力。的中点，AB//CD,平面力OE,

CD=AD=2AB=2DE=4,ZADE=60°.

（1）求证：AE1.CE；

（2）求平面ABE与平面CE"所成角的余弦值；

（3）设G为边力。上的点，满足AG=V5,求点G到平面C"的距离.

（1）证明在中，力。=4,D£=2,N/iDE=60。,

.9.A^Aiy+D^ADDEcosZADE=12,：./iE2+DE2=/lD2,J.AELDE.

平面XDE,AB”3、

，CD_L平面，4。石，又,4Eu平面，4DE,：.CDVAE,又CDCiDE=D,CD,OEu平面CDE,

・・・4E_L平面CDE,又CEu平面CDE,：,AEVCE.

(2)解过E作直线/〃/反

•，力8，平面40七，."JL平面/。七,

又由(1)知AE_L。。以E为坐标原点，直线四，EA,/分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，则石(0,0,0),C(2,0,4),0(2,0,0),4(0,2禽,0),

/.F(l,V3,0),

，前=(2,0,4),FF=(1,V3,0),

设平面C£户的法向量为w=(x,y,z),

则［m.更=0,即白+岛=0,

Ym・EC=0,1l2x+4z=0,

令r=6,则/M=(6,-?V3,-3).

易知平面/8E的一个法向量为〃=(1,0,0),

•/\mn6A/57

=2

・・COS〈〃1,〃〉\m\\n\-4s7X1—^-

・•・平面/BE与平面CM所成角的余弦值为富.

(3)解・."B_L平面力力E,4Gu平面力。E,

：.ABLAG,又3G=石，48=2,：,AG=\,

又易知NE4G=30，

・••点G的坐标为Q,竽，0),

.••科仁苧，0).

・••点G到平面CEF的距离碑空金'6+竽、(-2同3累

1nliV5719

［规律方法］(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积

法.

(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距

离.

跟踪演练2(2025•泰州模拟)如图，在直三棱柱力ACHSG中，AB『BG=CAi，"C」C4.

B

(1)证明：三棱柱48c481G是正三棱柱;

(2)证明:ABtA.CAj；

(3)设力々u平面a,8G〃平面a,若直线8G与平面a的距离为Vj,求三棱杜力9C'-小历G外接球的表

面积.

(1)证明在直三棱柱力8。・48《]中，

BB.CCE4,N4B8|=N8CC]=NC44i=90。，又因为48]=8G=C小，

所以AABBi0△8CG/△。小，

所以,4B=BC=d,

所以三棱柱力BC-481G为正三棱柱.

(2)证明取彳C,小G的中点。，A，连接8。，DD、,则BO_LAC,AA\//DDi，因为44」平面月3。，

所以DQ」平面45C,

以DB,DC,。〃所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所云的空间直角坐标系，不妨设/C=2a,

AAi=bt则

A(Of-at0),B(V3af0,0),C(0,at0),4(0,-a,b),C)(0,a,b),B1博a,0,b),

所以BCi=(-VJa,a,b),C4i=(0,-2a,b),A8i=(V5a,a,/?),

因为BG，C小，所以为_L而*,

所以最Z1=-2a2+62=o,所以g缶，

所以加•两=-2。2+〃=0,

所以丽_1而\即4&_LC4.

(3)解因为/Su平面a,8G〃平面明

又因为BCJC4,4小，

所以不妨取平面«的一个法向量

n=CAi=(0t-2at

因为直线8G与平面a的距离为百，

所以点8到平面a的距离为国，

因为嬴=(0,0,V2a),

所以点8到平面a的距离d半产%碧〒■焉=百，

|n|V4a2+2a2V6

所以口卫袋，b=y/2a=3,

所以正三角形力8c的外接圆半径

13V2f—

Z-=7X-7F=V6,

2~

所以正三棱柱48C-mSG的外接球的半径

R#+（纣夸,

所以三棱柱4AC-小8G外接球的耒面积S=47tR2=33兀.

考点三空间中的探索性问题

例3（2025・南宁模拟）等腰梯形18CQ中，BC//AD,BC=^AD,力=60。，点七为4。中点（如图1）.将4

石沿BE折起到△4"的位置，点O,厂分别为8E,。石的中点（如图2）.

（1）求证：平面8CDZLL平面小OC；

（2）如果8c=2,平面平面8CQE,那么侧棱小。上是否存在点P,使得8P〃平面小O厂？若存

在，求平面P8E与平面力。/夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.

⑴证明连接CE（图略），因为8c〃力。且8c3。，点E为40中点，所以BCJ=4E,BC&DE,故四边

形BCDE,BCE4是平行四边形,则8E=CD,又四边形48co为等腰梯形，所以4?=CO,WAB=BEy又

4=60。，可得是等边三角形，

故四边形8CE1为菱形，ABCE■是等边三角形，

△小BE是等边三角形，因为。为5£的中点，所以小OL6E,COA.BE,

又小。nco=o,且小O,COu平面4OC,所以8E_L平面小0C,又BEU平面BCDE,所以平面8C0E_L

平面小0C

（2）解存在点P,使得4尸〃平面由。凡

因为平面4BEL平面BCDE,平面小8ECI平面BCDE=BE,

4Q1BE,小Ou平面所以小OJ_平面8CQE,

又COLBE,建立以。为原点，OB,OC,O小所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系，如图所示,

则0(0,0,0),8(1,0,0),C(0,V3,0),4(0,0,V3),E(-l,0,0),F(-1,苧,0),

布=(0.V3.-V3).^0=(0,0.-V3),OF=(-1,孚，0)・

设布=工工=(0,V3/,-V3Z),0WW1,

则尸(0,V3/,V3-V3/),而=(-1,圆V3-V3r),

设平面力。尸的法向量〃i=(x,y,z),

则卜.四°，即卜多+%=0,

64。=0,I-V3z=0,

令日，贝2技z=o,

所以度=(1,V3,0),

要使BP〃平面40P，则加7M=0,

即-l+3r=0,解得/=1,

故在侧棱4c上存在点P,使得8。〃平面4OR

此时，P(0,堂,胡)，丽=(-2,0,0),

丽=(-1,争竽)，

设平面q8E的法向量〃=(〃，b,c),

-2a=0

…孰竽c=0,

令c=l,则b=-2,4=0,即〃=(0,-2,1),

设平面PBE与平面小O"的夹角为仇

所以cos故平面尸/还与平面小。"的夹角的余弦值为十•

1nlim-।鬻2V5-955

［规律方法］解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据

或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.

(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的茶件的应用.

跟踪演练3(2025・黄冈模拟)如图，在三棱锥尸-力〃。的平面展开图中，4c=1,AB=AD=®ABA.

AC,ABLAD,ZCAE=30°.

l^C\/

E(P)V

F(P)

(1)求//的余弦值；

(2)在三棱锥，.力8c的棱4产上是否存在点。，使得平面48尸和平面8CQ夹角的余弦值为半？若存

在，求出点。的位置：若不存在，说明理由.

解(1)在△48。中，因为力8_L4Z),AB=AD=®

所以8£>=C,所以FB=BD=&,

在△4CE中，因为力E=4Q=百，AC=\tZCAE=30°,

所以CE=J（V3）2+l2-2xV3xlxcos30°=l,所以Cr=CE=1,

又因为BC=，AC2+AB2=J12+（百）2=2,

在△”方中，由余弦定理得cos/FCB巴篇;BU个雪q

（2）存在点。，使得平面18尸和平面BC。夹角的余弦值为隼.如图，在三棱锥P-4BC中，因为力

epABLAPyAB1AC.ACC\AP=AtAC,力Pu平面4CP,

所以,48_L平面/CP,在平面力CP内作川_1_力尸，以力为原点，A户,而，A启的方向为x,必z轴正方向,

建立空间直角坐标系,

则尸(乃，0,0),3(0,0,V3),C律，1,0),

设0(”，0,0)(0W〃WV5),

故而=(〃，0,-V3),痴=俘,-V3),

设平面BC0的法向量"尸(x,y,z),

(mBQ=ax—V3z=0,

人m.就=苧％+gy-V^z=0,

取z=“，则，〃=(遮，2y/3a-3,a),

易得平面p的一个法向量为〃=(0,1,0),

_126a_3|rre

设平面和平面BCQ的夹角为9,则COSGICOS加，〃〉|=&+(2缶-3)2+a2=q-，

解得片苗或。善，

故当,40=旧或力。=^时，平面力4P和平面8C0夹角的余弦值为平.

专题强化练

［分值：60分］

1.（13分）（2025・宁波模拟）如图，在直三棱柱43cHsc中，/切C=90。，AB=AC=2,44尸2\@汽是BQ的

中点，P是8a与&C的交点.

（1）若。是小N的中点，证明：尸。〃平面小8C；（7分）

（2）求小P与平面小由。所成角的正弦值.（6分）

（1）证明由题意，以力为坐标原点，AC,AB,力小所在直线分别为x,八z轴，建立空间直角坐标系，如

图所示，

所以4(0,0.2V2).8(0.2.0).C(2,0,0),/?,(().2.2女)，C,(2.0,26)，/V(l.1.272),P(l,

I，五)，0Q，I，2V2),

所以<iB=(0,2,-2V2)»BC=Q,-2,0),PQ=(——V2^,

设平面小BC的法向量为〃=(x,y,z),

贝小n-A]B=2y-2y/2z=0,

[n-5C=2x-2y=0,

令z=l,则〃=(&\>/2,1),

故〃•而=0,又平面小8C,则PQ〃平面48c.

⑵解由⑴得布=(1,1,-&),

设直线小P与平面小8c所成角为。,

1|n/liP|_V2^VTo

所以sin族|cos〈〃，AIP)

L|n||布「避X2-10•

2.（15分）（2025•天津）正方体/8CZM1SG。的棱长为4E,2分别为小劣,G4的中点，CG=3GG.

（1）求证：G尸_1_平面尸8E；（4分）

（2）求平面反七与平面E8G夹角的余弦值；（5分）

（3）求三棱锥D-FBE的体积.（6分）

（1）证明方法一连接GF（图略），在正方形3CG坊中,

由条件易知C\FG-

tanNCc]rzDD\

=tanZB}BF,

所以NGFG=NBiBF,

则NBFB+NBiBF号NBIFB+NCFG,

故ZBFG=MNBiFB+NG尸G）《，

即GF工BF,

在正方体中，易知QG，平面8CGS，且EE〃。IG，所以£尸_1_平面8CGS，

又GFu平面BCgBi，所以EFLGF,

因为EFC8F=F,EF,BFu平面FBE,

所以GF上平面FBE.

方法二如图，连接GR以。为坐标原点，DA,DC,。。1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐

标系，

则8(4,4,0),E(2,0,4),F(2,4,4),G(0,4,3),

所以萨(0,4,0),丽=(2,4,-4),FG=(-2,0,-1),

设平面FBE的法向量为m={a,b,c),

则加亘=4b=0,

[m・EB=2a+4b-4c=0,

令。=2,见I/)=0,c=\,所以/w=(2,0,1),

易知所=-〃i,则丽也是平面所E的一个法向量，所以GE_L平面E8E.

(2)解同上方法二建立的空间直角坐标系，

则函=(-2,4,-1),丽=(-4,0,3),

由(1)知所=(-2,0,-1)是平面用七的一个法向量，设平面E6G的法向量为〃=(x,y,z),

行(n-FG=-2x+4y—z=0,

A(nBG=-4x+3z=0,

令x=6,则z=8,尸5,即〃=(6,5,8),

设平面FBE与平面EBG的夹角为a,

则cosa=|cos而,加|熹%西镰至，即平面ME与平面E8G夹角的余弦值为右

11|F(7||n|v5xvl2555

(3)解因为£F_L平面BCG81,五8u平面8CG81,所以E凡LE9,

易知S.FB吾EFFB=X4X"42+22=4而,

又0(0,0,0),则丽=(2,0,4),故点0到平面FBE的距离为胃:匚意

由棱锥的体积公式知

VZttftDFBE^SaBEXdqx4-y5x^==-^-.

3.(15分)(2025•河南豫东名校模拟)如图1,在边长为4的菱形中，ND4B=60。,点M,N分别是边

BC,CO的中点，ACnBD=O]t/CriMV=G.沿"N将△CWV翻折到△尸MN的位置，连接P4PB,PD,

得到如图2所示的五棱锥P-4BMND.

(I)在翻折过程中是否总有平面PA。！•平面"G?证明你的结论；(5分)

(2)若平面PA/N_L平面MNQ以线段以上是否存在一点0(异于点/),使得平面。QN与平面夹角的

余弦值为绵？若存在，试确定点。的位置；若不存在，请说明理由.(10分)

解(1)是.证明如下：

折叠前，因为四边形力8CZ>是菱形，所以力CJ_8O,由于M，N分别是边8C,CZ)的中点，

所以MN〃BD,所以MNL4C,

折叠过程中，"N_LGP,MM1G4GPDGA=G1GP,G4u平面P4G,

所以,WN_L平面P4G,所以8。_1_平面P4G,

由于BQu平面尸8。，所以平面尸月。_1_平面尸4G.

(2)存在，理由如下：

当平面PA/NJ_平面MNDB时，由于平面PMNCI平面MNDB=MN,GPu平面PMN,GP工MN,

所以GPJ_平面MNDB,

以G为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可知G(0,0,0),尸(0,0,V3),。(百，・2,

0),5(73,2,0),N(0,-1,0),/(3VJ,0,0),G?=(0,0,V3),丽=(百,2,-V3),

方=（3百，0,-V3）,

设而与刀（0<2<1）,则衣=加+所=9+2m=（0,0,国）+（3疽，0,-V3A）=（3>/3A,0,V5■、行2）,则。（3

V32,0,V3-V3A）,

易得平面的一个法向量为〃尸（1,0,0）,

丽=（3每-V5,2,V3-V3/.）,丽=（一百，1,0）,

设平面0£W的法向量为〃2=（x,y>Z）,

训［小,典=（3例-V3）x+2y+（逐一V3A）z=0,

'\n2-DN——V3x+y=0,

取〃2=«J，V32-V3,32+1）,

设平面0QN与平面PMN的夹角为仇

由于平面0DV与平面PMN夹角的余弦值为萼，

Ml回|A-1|

所以COSQICOS〈〃1,〃2〉1一|：靠「卜_1）2+（后_/2+（3"1）2喑，

解得息,

所以当。是尸4上靠近点尸的三等分点时，平面QDV与平面RW/V夹角的余弦值为岑.

JLO