第二十五章 一元二次方程 单元检测（二） 含答案-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十五章一元二次方程单元检测（二）

体试卷共23小题满分12。分考试时长90分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答选择题时,选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题"一并交回。

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本题共1。小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）

1.一元二次方程以2-广3=0的常数项是（）

A.4B.-lC.-3D.3

2.一元二次方程，=2戈的根是（）

A.Xj=0,X2=2B.x=0

C.x=2D.%1=0/2=-2

3.若x=l是方程ad+6x+c=0&翔/的一个根,则a+8+c的值为（）

A.IB.-lC.OD,2

4.用配方法解一兀二次方程/-4厂4=0的过程中，变形正确的是（）

A.（X-2）2=0B.（X-2）2=4C.（X+2）2=8D.（X-2）2=8

5.一元二次方程2占3/1=（）的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

6若m是方程x2-x-1=0的一个根,则-的值为（）

A.3B.OC.2D.-2

7.下列一元二次方程中，两实数根的积为1的方程是（）

A.x2+x-l=0B.X2-2X+1=0

C.2X2-X-1=0D.«2-x-l=0

8.中华优秀传统文化中蕴含着鼓励劳动、赞美劳动、劳动创造美好生活的内容，比如《大戴礼・武王践祚・履屡

铭》中记载：,慎之劳，则富《国语鲁语》中记载「夫民劳则思，思则善心生”如图是某学校的学生劳动实践基

地，有三条同宽的矩形道路，除道路外，剩下的是种植面积.已知该矩形基地的长为32m,宽为20m,种植面积为

570,设劳动实践基地的道路宽为xm,则可列方程为（）

9.课堂上，同学们围绕一元二次方程23+1-5=0的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同

学的观点中正确的是（）

A.无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根

B.无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根

C.无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根

D.因为“▲,•的值不确定，无法判定该方程有没有实数根

I。我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法.以方程1+5厂14=0,即x（x+5）=14为例说明，《方

图注》中记载的方法是构造如图I中大正方形的面积是（（x+x+5＞同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形

的面积，即4x14+5?.因此x=2.小明用此方法解关于x的方程/+mx-n=0时，构造出如图2的图形，已知大正方形

的面积为14,小正方形的面积为4,则m,n的值分别为（）

A.m=2tn=3B.m=-,n=2

C.m=^-,n=2D.7n=2,n=y

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11方程G-1）2=1的解为—.

12一个直角三角形的两条直角边长分别是方程，_女+12=0的两根，则该直角三角形的斜边长为一.

13.有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的

总数是73.设每个支干长出x个小分支，则x的值为一.

14.对于实数a,b定义一种新运算“☆”如下：0口4加_,位例如4口3=4'32-4x3=24则关于x的方程1☆x=2的

根为一.

15.给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这

个矩形是给定矩形的'•减半矩形"，当已知矩形的长和宽分别为3+6和3-6时，其“减半矩形”的对角线长为一.

三、解答题(本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

16.(每小题5分，共10分)

选择适当的方法解下列方程：

(l)2r2-3.v=l;

(2)3x(x-l)=l-x.

17.(8分)

某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶.市场

调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶.若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y

元.

(1)用含x的代数式表示：每天的哨售量为一瓶，每瓶洗手液的利润是一元；

(2)若这款洗手液的日销售利润达到315元，则销售单价应上涨多少元？

18.(8分)

小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法.如：解方程x(x+4)=6.

解：原方程可变形，得［(>¥+2)-2］［。+2)+2］=6,。+2)2-22=6,("2)2=10.解得修=-2+擀/2=-27讪

我们称小明这种解法为“平均数法”.

⑴下面是小明用''平均数法',解方程(x+5)-(x+9)=5时写的解题过程.

解：原方程可变形，得［("4)-翅(、+。)+〃=5,0+0)2-62=5,口(工+1)2=5+人解得修=空2=".(。60

上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为;

(2清用“平均数法懈方程：(x-5)(x+7)=12.

19.（8分）

“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在

校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地ABCD,基地的一面靠墙（墙的最大可用长度为16m）,另三边用木栏围成,

中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留1m宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的

总长为37m,设苗圃ABCD的一边CD长为xm.

（1）用含x的代数式表示基地靠墙一边AD的长是—m；

⑵若基地ABCD的面积为120nR求x的值：

（3谟地ABCD的面积能否为130宗.若能,请求出x的值；若不能,请说明理由.

AD

B1---------

（第19题）

20.（8分）

观察下列一元二次方程：

第I个方程，+广2=0的根为1和-2；

第2个方程2?+广3=0的根为1和V；

第3个方程3/+尸4=0的根为1和-（；

（1）第2026个方程是—.根为一；

（2）直烤写出第n（n为正整数）个方程与它的根，并验证根的正确性.

21（8分）

项目式学习

某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共

同完成该项目任务.

项目主题：曲品销售策略的制定

驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩

具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略.

任务一：市场调查

调查附近A,B,C,D,E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元）和日销售量y（个）的情况,记录

如下表，y与x满足一次函数关系式.

玩具店ABCDE

销售单价X/元6160595857

日销售量y/个2830323436

任务二：模型建立

（1或y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）。

任务三：问题解决

（2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利

润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？

22.（12分）

△ABCZB=90°,AB=6cm,BC=8cm.

⑴如图I,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动.点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速

度移动.点P，点Q分别从点A,B同时出发，当点Q到达点C时，P,Q两点停止移动，设点P,Q的移动时间为t

（s）.

①当△PBQ的面积等于85及时，求t的值；

②线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?若能，求出t的值；若不能，请说明理由.

（2）如图2,若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/

的速度移动，P,Q两点同时出发，移动时间为小）,当仆PBQ的面积为1c加时，求t的值.

cc

（图2）

(第22题)

23.(13分)

定义：我们把关于x的一元二次方程加+儿什。=0&8,《0)与小+云+。=0称为一对友好方程”如2『-7厂3=()的

“友好方程”是-3『-7x+2=0.

(1用出一元二次方程1+3%-10=0的“友好方程］分别求出一元二次方程/+3x-10=0及其"友好方程"的根；

(2)①证明：关于x的一元二次方程"2+云+彳0〃")1<0)及其''友好方程”都有两个不相等的实数根；

②关于x的一元二次方程加+6+(尸04川《<0)的两根XX1/2,其中5>M，，2,，其''友好方程”的两根x3,X4，其中：

,口>、4,写出XX］与XX3X2与XX4之间的关系，并证明.

(3)已知关于x的方程2026『+/xr+c=0的两根是戈］=-1即=焉,请利用⑵中②的结论，求出关于x的方程c(x-\^

+队-4-2026的两根.

一、选择题：l.C；2.A；3.C；4.D；5.A；6.D；7.B；8.D；9.B；10.D.

二、填空题：11.%产2,%2=0；12.5；13.8；14.盯=2/2=-1；15・后.

三、解答题：

16.解：（1）移项，得2/一3%-1=0,

/.a=2,6=-3,c=-l4=62-4ac=9+8=17>0,

.•.方程有两个不相等的实数根，................................1分

—btJP-4ac3±，17..

・・%=--------=---,..............................3分

2a4

3+/I73-717「八

••勺=-4—，出=-4—；......................................5分

(2)移项，得3%(夕-l)+(%-l)=O,

因式分解，得(4-1)(3”+1)=0,..........................................................6分

1=0或3欠+1=0,.........................................................................8分

解得町=1,町=一最........................................10分

17.解：(1)设这款洗手液的销售单价上涨4元，则每天的销售量为(60-54)

瓶,每瓶洗手液的利润为(4+4)元，

答案为：(60-5第)，(4+欠)；..................................4分

(2)依题意得：(60-54)(4+”)=315,...............................................5分

解得:阳=3/2=5..............................................................................7分

答:销售单价应上涨3元或5元...............................8分

18.解：(1)由题意，得Q=J(5+9)=7,6=7-5=2,

由此原方程可变形，得[(x+7)-2][(x+7)+2]=5,

(%+7)2—22=5,...(4+7)2=5+22,解得町=-4,%2二一10.

c>d,:.c=-4,J=-10.

・•・答案为：7,2,-4,一10；.....................................................................4分

(2)原方程可变形，得[("1)-6][(%+1)+6]=12,.........................5分

(X+1)2-62=12,.\(X+1)2=48.......................................................6分

解得盯=-1+4退/2=-1-4疽................................8分

19.解：(1)设矩形ABCD的一边CO长为欠m,

.•.40长为：37+2-3%=39-3,(m)；..............................................1分

(2)^(39-3%)=120,.........................................................................2分

解得=5,X2=8,.............................................................................3分

•••4=5时，39—3%=24>16/=8时，39—34=15<16,.............................4分

x=5舍去收的值为8；..................................................................5分

(3)不能,

vx(39-3x)=130时,........................................6分

/.3x2-39x+130=0,

・•・A=(-39)2-4x3xl30=-39<0,.•,原方程没有实数根,.........7分

・•.基地48co的面积不能为130m2....................................................8分

9027

20.解：(1)根据题意得:第2026个方程是2026/+%-2027=0,根为1和-kp

2026

2027

・•・答案为：2026—+%-2027=0,1；............................................3分

2U26

(2)第九个方程是也2+%―(九+1)=o,....................................................4分

根为1和-虫，............................................5分

n

nx2+%-(n+1)=0,/.nx1+x-n-1=0,.'.nx2-n+x-1=0,

:.n(%2-l)+(x-l)=0,

/.n(x+l)(x-1)+(x-1)=0,.\(x-1)(nx+n+1)=0,.......................6分

解得%i=l/2=................................................................................8分

n

所以第n个方程它的根为1和-虫.

21.解：(1)设y与欠之间的函数关系式为y="+b(AX0),

61H6=28

由题意得：1分

60k+b=30

k=-2,

解彳导：y=150-2x；....................................................................3分

6=150

(2)由题意得：(1502)(兀-40)-300=200,........................................4分

整理得：42-115%+3250=0,解得:叼=65/2=50,....................................6分

当化=65时，150—24=20；当4=50时,1502=50.

•・・20<50,且为了尽快减少库存,・・・%=50.................................................7分

答:该益智玩具的销售单价应定为50元.........................8分

22.解：(1)由题意得,P3=6T,8Q=2,，△PBQ的面积二；PBxBQ=8cm2,

y(6-z)•22=8,....................................................................................1分

解得上尸2心=4,均符合题意.................................3分

答：当，=2或，=4时，△PBQ的面积等于8cm2；

(2)线段PQ不能将△43C分成面积相等的两部分.

△4BC的面积=<x6x8=24cm),............................................................4分

4

若线段PQ将△4BC分成面积相等的两部分，则△P8Q的面积等于12cm)

y(6-z)-2，=12,整理得/_9+12=0,.........................5分

A=62-4«C=36-4X12=-12<0,/.此方程无实数根，

/.线段PQ不能将△48C分成面积相等的两部分；...............6分

(3)①点P在线段48上，点Q在线段上(0。W4),

y(6-£)(8-2z)=l,?-10i+23=0,

解得=5+>/2,i2=5-V2,

经检验二5+72不符合题意,舍去,f=5-V2；..................8分

②点P在线段43上，点Q在射线CB上(4々这6),

J(6r)(2，-8)=1,『-10什25=0,解得八=G=5,

经检验,，=5符合题意；......................................10分

③点P在射线48上，点。在射线CB上Q>6),

；(L6)(2T)=1,?-10z+23=0,

解得£产5+笈也=5-笈,

经检验出=5-72不符合题意,舍去,.•"=5+71................12分

综上所述，当£=5-丘/=5/=5+&■时，/\PAQ的面积为1cm2.

23.解：(1)一元二次方程一+34-10=0的“友好方程”为一10-+3，+1=。(或

1042-3%-1=0),.........................................1分

-2+3%-10=0的两个根为町=2产2=-5,.......................2分

T0/+3%+I=0的两个根为％3==一!；....................3分

(2)①证明：关于欠的一元二次方程o%2+/+c=o(a>o,c<0)的A=b2-4aj

62^0,a>0,c<0,.\oc<0,.\Z)2-4ac>0,.,.方程有两个不相等的实数根，

.................................................4分

关于x的一■元二次方程ax2+bx+c=0(a>0,c<0)的“友好方程”为ex2+bx-^a

=0,/.A=b2-4ac-62-4ac>0,/.方程有两个不相等的实数根,二.关于％的

一元二次方程0%,+历+c=0(a>0,c<0)及其“友好方程”都有两个不相等的

实数根；..................................................5分

②%]-x3=1,x2•x4=1.6分

-b±^/b2-4ac

由①得A=62-4QC>0,「