计数原理【12大重点题型60题】（期中专项训练）试题版-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版选择性必修第三册）

计数原理【12大重点题型60题】

1.（24-25高二下•黑龙江齐齐哈尔•期中）某同学从4个球类项目和2个田径类项目中选1个项目参加，则不

同的选择方案共有（）

A.6种B.8种C.12种D.16种

2.（24-25高二下•黑龙江鸡西•期中）从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路，那么从甲地经乙地

到丙地共有（）种不同的走法.

A.3B.5C.6D.8

3.（24-25高二下•河北承德•期中）2025有（）个不同的正因数

A.10B.12C.15D.25

4.（24-25高二下•新疆吐鲁番・期中）用0,1,…，5六个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为

5.（24-2S高二下•黑龙泞鸡西•期中）从0、I、2、2、4这五个数字中任取二个不同的数字组成二位数.求:

（1）组成的三位数偶数的个数；

（2）组成的三位数中大于200的个数.

题型2涂色问题

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6.（24-25高二下•湖北省直辖县汲单位•期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部

则不同的染色方法有()

168种C.108种D.192种

7.（24-25高二下•黑龙江大庆•期中）春节期间,某地政府在该池的一个广场布置了一个如图所示的圆形花

坛，花坛分为5个区域.中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有4种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能

布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（）

72种C.64种D.56种

8.（24-25高二下•河北保定•期中）如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个

大正方形.现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相

邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（）

C.144D.72

9.（24-25高二下•云南・期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不

同的颜色，则不同的染色方法有种.

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10.（24-25高二下•湖南衡阳•期中）如图，已知四棱锥S-A4co.

（1）从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥S—4凤刀的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱

上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数:

（2）从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥S—48C。的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱

上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数.

排列数、组合数的计算a

11.（24-25高二下•河北承德•期中）A号一Cg=（）

A.92B.102C.120D.148

12.（24-25高二下,重庆南岸•期中）计算A/一髭的值为（）

A.2B.-2C.-4D.4

13.（24-25高二下•山东临沂•期中）若篇o=C符•i（x£N*）,则A4=（）

A.5B.12C.24D.36

14.（24-25高二下•广西南宁・期中）计算梏退=.（用数字作答）

1

15.（24-25高二下•宁夏银川期中）（1）计算；已知0t=CM则求c『2+c$T+C5的值.

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熊

⑵计算：诉AW+;

(3)解方程:3A,i=8鬣;

题型4元素（位置）有限制的排列问题

16.（24-25高二下•江苏南京•期中）甲乙丙等5人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好芍两人，则不

同排法共有（）

A.24种B.16种C.12种D.8种

17.（24-25高二下•黑龙江鸡西•期中）用0、1、2、3、4、5这六个数组成无重复数字的四位数，其中偶数

有（）个.

A.156B.300C.180D.120

18.（24-25高二下•北京•期中）甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学演讲比赛，若安排上场顺序时甲、

乙均不能第•个上场，且乙不能最后一个上场，则这5人上场顺序的不同排法种数为（）

A.27B.48C.54D.72

19,（24-25高二下♦浙江绍兴•期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设

“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“礼”不排在第一周,

课程“数”不排在最后一周，共有种排法.

20.（24.25高二下,安徽芜湖•期中）从A、B、。等8人中选出5人排成一排.

（1）/1必须在内，有多少种排法？

（2）4、B、C都在内，且4在8前，。在8后，有多少种排法？

（3川不允许站排头和排尾，8不允许站在中间（第三位），有多少种排法？

题型5相邻、不相邻排列问题

21.（24-25高二下•重庆•期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某

班甲、乙、丙、丁'、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、

丙这三人相邻，旦丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（）种.

A.32B.28C.24D.20

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22.（24-25高二下•四川绵阳•期中）甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、

丁不相邻，则不同的安排方法有（）

A.72种B.120#C.180种D.144种

23.（24-25高二下•福建福州•期中）在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申

公豹、鹿童五个主人公站成一排，其中哪吒和敖丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多

少种不同的站法（）

A.18B.12C.28D.24

24.（24-25高二下•云南曲靖•期末）某次志愿者活动需分配4名大学生（小B、。、D）和2名老师（甲、乙）

排成一列合影.要求大学生A与B必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有种.

25.（24-25高二下•重庆•期中）有4名男生和2名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？

（1）男生甲不站排头和排尾.

⑵两名女生必须相邻.

（3）甲、乙、丙三名同学两两不相邻.

（4）甲不站排头，乙不站排尾.

26.（24・25高二下•广东阳江•期中）从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体

育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（）种

A.120B.60C.30D.20

27.（24-25高二下•江苏南京•期中）从1,2,3,…，10这10个数中任取5个不同的数即，a2,a3fa4,

的，贝I」存在1Wi</W5,i,jWN”,使得@一%|=1的取法种数为（）

A.176B.225C.246D.252

28.（24-25高二下•云南昭通・期中）甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课

外读物中恰有1种相同的选法共有（）

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A.30种B.60种C.CO种D.15种

29.（24-25高二下•黑龙江鸡西•期中）从4名男生和3名女生口任选3人参加某项活动，其中至少有1名

女生的选法共有种.

30.（24-25高二下•安徽•期中）某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参

加一项创新大赛.（列式表明计算过程，结果用数字表示）

（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？

（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？

（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？

（4）如果4人中必须既有男生乂有女生，那么有多少种选法？

题型7分组分配问题

31.（24-25高二下•吉林•期中）学校运动会，高二年级某班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、

100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，则不同参赛方案总数是

（）

A.20B.24C.30D.36

32.（24-25高二下•福建福州•期中）将6本不同的书全部分给4个学生.，每个学生至少一本，则不同的分

法种数为（）

A.1440种B.1560种C.3960种D.7200种

33.（24-25高二下•福建福州•期中）某大学开设了《古今数学思想》《世界数学通史》《几何原本》《什

么是数学》四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将四门选修

课程修完，则每位同学的不同选修方式有（）

A.60种B.78种C.96种D.144种

34.（24・25高二下•河北秦皇岛•期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育

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基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名

成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有种.

35.（24-25高二下•山东临沂・期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学

生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到力、8两个社区作宣传活动.求：

（1）若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？

（2）若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？

（3）若选调的志愿者中高一与高二学牛.选调人数相等，则有多少种分配方法？

排列与组合的综合应用C

36.（24-25高二下•陕西榆林•期中）2024年汤姆斯杯暨尤伯杯羽毛球团体锦标赛于4月27日在四川成都

开赛.为保证锦标赛顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好.现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安

排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天，丙和丁各去一天，则不同的安排方法有（）

A.14（）种B.210种C.42（）种D.84（）种

37.（24-25高二下•河北•期中）街水湖国际马拉松赛是经国家体育总局批准的国际性马拉松赛事，自2012

年起每年9月份举行一届.竞赛项目分为全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松.甲、乙、丙等5名马拉

松爱好者均计划参加衡水湖国际马拉松赛，若甲和乙均参加迷你马拉松，且每人只参加一个竞赛项目，这5

名马拉松爱好者的竞赛项目涵盖了三个竞赛项目，则不同的参赛方案有（）

A.6种B.12种C.24种D.18种

38.（24-25高二下•广东•期中）小明计划从A地到8地，途经4个旅游景点，其按照力一1一2—3—4一8

的顺序方式出行，其中从4地到第1个景点以及第1个景点到第2个景点，他可以选择地铁或者滴滴打车这

两种出行方式，从第2个景点到第3个景点以及第3个景点到第4个景点，他可以选择滴滴打车或者共享

单车这两种出行方式，从第4个景点到B地可以选择巴士或者动车这两种出行方式，则小明从4地到B地用

到了四种不同的出行方式的方案有（）

A.12种B.14种C.16种D.18种

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39.（24-25高二下•北京•期中）现有5名教师带领3个兴趣小组.（生物、人文、经济）外出学习考察，要

求每个兴趣小组的带队教师至少一人至多两人，张老师是年轻教师，学校要求他不能单独带队，不同的教

师带队方案有种.（用数字作答）

40.（24-25高二下•海南•期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：

（1）5位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？

（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？

（3）瘠5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？

题型9求二项展开式的特定项（系数）

41.（24-25高二下•湖北•期中）在（炉一爰）6的展开式中，常数项为（）

A.160B.-160C.-80D.-120

42.（24-25高二下♦河南周口•期中）@一％3）6的展开式的第4项为（）

A.2Ox3B.-2Ox3C.15x8D.-15x8

43.（24-25高二下•新疆喀什•期中）若（X2—5）”的展开式的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为

（）

A.1B.15C.-15D.-1

44.（24-25高二下•天津河东•期中）在（当+—6的展开式的中间一项是.

45.（24-25高二下•天津西青•期中）已知+D”的展开式中的所有二项式系数之和为64.

（1）求九；

（2）求常数项；

（3）求展开式的中间项.

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题型10求展开式中系数最大（小）项

46.（24-25高二下•河南洛阳・期中）（3+%）12的展开式中系数最大的是（）

A.无2的系数B.好的系数C./的系数D.好的系数

47.（24-25高二下•天津河东•期中）（1+乃2〃的展开式中系数最大的项是（）

A.第九一1项B.第〃项

C.第九+1项D.第2几+1项

48.（24-25高二下•广东深圳•月考）在。+支）”的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式

中系数最大的项是第（）项.

A.3B.4C.2或3D.3或4

49.（24-25高二下•上海闵行:,期中）已知（l+x）6的二项展开式中系数最大的项为.

50.（24-25高二下・江苏苏州•期中）已知（％+*）”,（〃24刀£犷）的展开式中，第5项与第3项的二项式

系数之比为15:2.

（1）求〃的值；

（2）求展开式中系数最大项.

题型11多项式积、三项展开式问题

51.（24-25高二下•福建莆田•期中）在（l+x）4（l+y）6的展开式中“2y项的系数为（）

A.36B.45C.60D.72

52.（24・25高二下•江苏南京•期中）在（2x+y+3z）6的展开式中移3z2项的系数为（）

A.360B.540C.720D.1080

53.（24-25高二下•江苏南京•期中）（1+%）（1—％）6展开式中，的系数为（）

A.21B.9C.-21D.-9

54.（24-25高二下•广东深圳•期中）（必+：+I7的展开式中工3的系数为.（用数字作答）

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55.(24-25高二下