2026年六年级下册奥数培优讲义：分解质因数（知识梳理+例题讲解+提升练习）原卷版+解析

专题20分解质因数

I知识点梳理I

一、基本概念

分解质因数是小升初奥数的基础工具，是解决最大公因数（GCD）、最小公倍数（LCM）及数

论问题的关键。

关键要素：

1.质数：只有1和它本身两个因数的自然数（如2、3、5、7等），1不是质数，最小的质数是

2o

2.合数：除了1和它本身外还有其他因数的自然数（如4、6、8、9等）。

3.质因数：一个合数的因数中，是质数的因数称为质因数（如12的因数有1、2、3、4、6、12,

其中质因数是2和3）。

4.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来（如12=2x2x3,可写作12=22x3）。

示例：

18的质因数分解：18=2x3x3=2x32（2和3是质数，且18能被2和3整除）。

注意：分解质因数时，需将合数分解到所有因数都是质数为止，且质因数按从小到大顺序排列。

二、核心方法（必学）

1.短除法（最常用）

步骤：

①用最小的质数（从2开始）去除这个合数，若能整除，商写在下面；若不能，换更大的质

数继续除。

②重复步骤①，直到商是质数为止。

③将所有除数和最后的商写成连乘形式，即为分解结果。

示例：分解48的质因数

2|48（用最小质数2去除48,商24）

2|24（继续用2除24,商12）

2|12（用2除12,商6）

2|6（用2除6,商3）

3（商3是质数，停止）

故48=2x2x2x2x3=24x30

2.树枝分解法（直观易懂）

步骤：

①将合数分解成两个因数的乘积（可先从较小因数开始）。

②若分解出的因数是合数，继续分解，直到所有因数都是质数。

③将所有质数因数连乘。

示例：分解30的质因数

30

/\

56（5是质数，6是合数，继续分解6）

/\

23（2和3都是质数）

故30=5x2x3=2x3x5（按从小到大排序）。

三、核心应用（与专题19衔接）

分解质因数是求最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）的基础，具体应用如不：

1.求最大公因数（GCD）：取各数质因数中公共质因数的最低次哥相乘（如专题19所述）。

例:求（12,18）,12=22x3,18=2x32,公共质因数为21、例故GCD=2x3=6。

2.求最小公倍数（LCM）：取各数质因数中所有质因数的最高次基相乘（如专题19所述）。

例：求[12,18],12=22x3,18=2x32,所有质因数最高次赛为22、32,故LCM=22x32=36°

3.判断整除性：若一个数的质因数包含另一个数的所有质因数，则前者能被后者整除（如

12二22x3,6=2x3,12包含6的所有质因数，故12能被6整除）。

4.求因数个数：若一个数分解质因数为（N=aAmxbAnxip）（a、b、c为质数，m、n>p为正整数）,

则因数个数为（（m+l）（n+l）（p+l））（每个质因数的指数加1后相乘）。

四、常见题型

1.直接分解型：直接将一个合数分解质因数。

2.反推原数型：已知质因数分解式，求原数或相关量（如因数个数）。

3.综合应用型：结合实际场景（如分组、乘积问题、整除判断），通过分解质因数解决问题。

例题讲解

一、基础题（直接分解法）

例1：用短除法分解72的质因数。

解题步骤：

①用2除72,商36；再用2除36,商18；继续用2除18,商9；9不能被2整除，换质数3,

3除9商3（质数）。

②除数和商：2、2、2、3、3。

③结果：72=2x2x2x3x3=23x32。

跟踪练习1：用树枝分解法分解56的质因数。

答案：56=2x2x2x7=23x7o

解析：56=7x8,8=2x4,4=2x2,故56=7x2x2x2=23x7。

二、进阶题（反推与因数个数）

例2：一个数分解质因数是（2，'3x3人2x5）,求这个数及它的因数个数。

解题步骤：

A

①求原数：（23X3A2X5=8X9X5=360）O

②求因数个数:指数加1相乘，（（3+1）（2+1）（1+1）=4x3x2=24）（个）°

答案：这个数是360,有24人因数。

跟踪练习2：已知一个数的质因数分解式为（3x5八2x7）,求该数及它的最小因数（除1外）。

答案：数为3x25x7=525,最小因数（除1外）是3。

解析：最小质因数是3,故最小因数为3。

三、挑战题（综合应用）

例3：三个连续自然数的乘积是21（）,求这三个数。

解题步骤：

①分解210的质因数：210=2x3x5x7。

②组合质因数为连续自然数：5、6（2x3）、7,5x6x7=210。

答案：这三个数是5、6、7o

例4：用分解质因数法判断135能否被15整除。

解题步骤：

①分解135和15：135=33x5,15=3x5。

②135的质因数包含15的所有质因数（3和5）,故135能被15整除。

答案：能整除，135X5=9。

跟踪练习3：有一批苹果，数量在50〜100个之间，若每3个装一袋或每5个装一袋都正好装

完，这批苹果可能有多少个？（用分解质因数法分析）**答案**:75个。**解析**：苹果

数是3和5的公倍数，3=3,5=5,LCM=3x5=15,50~100间15的倍数有60、75、90,分解质

因数：60=22x3x5,75=3x52,90=2x32x5,均符合，其中最可能的是75（题目未限制唯一解,

答75、60、90均可，示例取75）。

「提升练习】

1.下列选项中，20和6的最小公倍数是（）0

A.20B.30C.120D.60

2.A,B,C,D四个小朋友的年龄都小于15岁，并且他们的年龄都是不一样的数，己知他们

的年龄之积为21（）,则他们的年龄之和可能为（

①25②23③21④19

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

3.两数之和为667,它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120,则这两个数为（）。

A.123,544或552,115

B.232,435或552,115

C.322,345或610,57

D.552,115或610,57

E.610,57或232,435

4.数学家华罗庚小时候学因数与倍数时，曾经遇到过这样的问题：己知有两个数，它们的乘

积是2800,其中•个数的因数个数比另•个数的因数个数多1,那么这两个数的和是（）o

A.190B.185C.191D.192

5.某次小学生数学竞赛的满分为100分，小明和小光在竞赛中取得了优异成绩，成绩都不低

于95分。当小记者采访他们时，小明说：我的名次、年龄和分数的乘积等于1261”，小光说：

“我的名次、年龄和分数的乘积等于3135“。那么小明和小光两人的平均分是（）分。

A.94B.98C.96D.97E.99

6.在1至1（）（）这10（）个自然数中共有个数能表示成mn+m+n（m,n是正整数）形式的

数。

7.甲、乙、丙三个人参加了运动会的每一个项目，而且取得了每个项目的前三名（没有并列）。

前二名的得分是依次减少的二个非零自然数。最后甲得了22分，乙、丙都得了9分。若丙得

过一些项目的第一名，甲得过____个项目的第一名。

8.两个数的最大公约数和最小公倍数分别是3和135,求这两个数的差最小是_____o

9.从1到2024的所有自然数中，乘27后是完全平方数的数共有（）个。

10.a,b是1〜27这27个自然数中的数，如果a与b的乘积是1（）0的倍数，那么我们称（a,

b）为“希望数对"。只有在a=b时，（a,b）与（b,a）才是同一个数对，那么1〜27中一共

有个"希望数对

11.12和18的最小公倍数与最大公因数的差是_______o

12.如果a、b、c都是质数，而且a+Z?+c=86,ab+bc+ca=1811,a-h-c

等于o

13.贝贝是名中学生，他参加了全市的数学联赛（满分100分）。若贝贝的名次、分数和年龄

的乘积是6786,那么贝贝获得了第名。

14.2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完。若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增

加10个，则每人可以多分8个。问原来有多少人？

15.幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样

每位小朋友就要少分2个苹果。原来有多少位小朋友？

16.学校购买一批毛笔正好用去216元，如果每支毛笔便宜1元，则可以多买3支，钱也正好

用得完。请问实际购买了多少支毛笔？

17.小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位

数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？

18.同学们进行爱心捐款。第一小组的组员总共交费12.1元，每位组员捐的钱数相同，每人

都强了三枚硬币。问：共捐了多少枚五角硬币？

19.将8个数6,24,45,65,77,78,105,110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的

乘积相等，请写出一种分组.

20.小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打

算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，

问红笔、蓝笔每支各多少元？

专题20分解质因数

I知识点梳理I

一、基本概念

分解质因数是小升初奥数的基础工具，是解决最大公因数（GCD）、最小公倍数（LCM）及数

论问题的关键。

关键要素：

1.质数：只有1和它本身两个因数的自然数（如2、3、5、7等），1不是质数，最小的质数是

2o

2.合数：除了1和它本身外还有其他因数的自然数（如4、6、8、9等）。

3.质因数：一个合数的因数中，是质数的因数称为质因数（如12的因数有1、2、3、4、6、12,

其中质因数是2和3）。

4.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来（如12=2x2x3,可写作12=22x3）。

示例：

18的质因数分解：18=2x3x3=2x32（2和3是质数，且18能被2和3整除）。

注意：分解质因数时，需将合数分解到所有因数都是质数为止，目质因数按从小到大顺序排列c

二、核心方法（必学）

1.短除法（最常用）

步骤：

①用最小的质数（从2开始）去除这个合数，若能整除，商写在下面；若不能，换更大的质

数继续除。

②重复步骤①，直到商是质数为止。

③将所有除数和最后的商写成连乘形式，即为分解结果。

示例：分解48的质因数

2|48（用最小质数2去除48,商24）

2|24（继续用2除24,商12）

2|12（用2除12,商6）

2|6（用2除6,商3）

3（商3是质数，停止）

故48=2x2x2x2x3=24x30

2.树枝分解法（直观易懂）

步骤：

①将合数分解成两个因数的乘积（可先从较小因数开始）。

②若分解出的因数是合数，继续分解，直到所有因数都是质数。

③将所有质数因数连乘。

示例：分解30的质因数

30

/\

56（5是质数，6是合数，继续分解6）

/\

23（2和3都是质数）

故30=5x2x3=2x3x5（按从小到大排序）。

三、核心应用（与专题19衔接）

分解质因数是求最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）的基础，具体应用如工：

1.求最大公因数（GCD）：取各数质因数中公共质因数的最低次事相乘（如专题19所述）。

例:求（12,18）,12=22x3,18=2x32,公共质因数为21、例故GCD=2x3=6。

2.求最小公倍数（LCM）：取各数质因数中所有质因数的最高次幕相乘（如专题19所述）。

例:求[1218],12=22x3,18=2x32,所有质因数最高次嘉为2?、32,故LCM=22x32=360

3.判断整除性：若一个数的质因数包含另一个数的所有质因数，则前者能被后者整除（如

12=22x3,6=2x3,12包含6的所有质因数，故12能被6整除）。

4.求因数个数：若一个数分解质因数为（N二aAmxbAr）xcAp）（a、b、c为质数，m、n、p为正整数）,

则因数个数为（（m+l）（n+l）（p+l））（每个质因数的指数加1后相乘）。

四、常见题型

1.直接分解型：直接将一个合数分解质因数。

2.反推原数型：已知质因数分解式，求原数或相关量（如因数个数）。

3.综合应用型：结合实际场景（如分组、乘积间题、整除判断），通过分解质因数解决问题。

例题讲解

一、基础题（直接分解法）

例1：用短除法分解72的质因数。

解题步骤：

①用2除72,商36；再用2除36,商18；继续用2除18,商9；9不能被2整除，换质数3,

3除9商3（质数）。

②除数和商：2、2、2、3、3。

③结果：72=2x2x2x3x3=23x32。

跟踪练习1：用树枝分解法分解56的质因数。

答案：56=2x2x2x7=23x7o

解析：56=7x8,8=2x4,4=2x2,故56=7x2x2x2=23x7。

二、进阶题（反推与因数个数）

例2：一个数分解质因数是（2，'3x3人2x5）,求这个数及它的因数个数。

解题步骤：

A

①求原数：（23X3A2X5=8X9X5=360）O

②求因数个数:指数加1相乘，（（3+1）（2+1）（1+1）=4x3x2=24）（个）°

答案：这个数是360,有24人因数。

跟踪练习2：已知一个数的质因数分解式为（3x5八2x7）,求该数及它的最小因数（除1外）。

答案：数为3x25x7=525,最小因数（除1外）是3。

解析：最小质因数是3,故最小因数为3。

三、挑战题（综合应用）

例3：三个连续自然数的乘积是21（）,求这三个数。

解题步骤：

①分解210的质因数：210=2x3x5x7。

②组合质因数为连续自然数：5、6（2x3）、7,5x6x7=210。

答案：这三个数是5、6、7o

例4：用分解质因数法判断135能否被15整除。

解题步骤：

①分解135和15：135=33x5,15=3x5。

②135的质因数包含15的所有质因数（3和5）,故135能被15整除。

答案：能整除，135X5=9。

跟踪练习3：有一批苹果，数量在50〜100个之间，若每3个装一袋或每5个装一袋都正好装

完，这批苹果可能有多少个？（用分解质因数法分析）**答案**:75个。**解析**：苹果

数是3和5的公倍数，3=3,5=5,LCM=3x5=15,50~100间15的倍数有60、75、90,分解质

因数：60=22x3x5,75=3x52,902x32x5,均符合，其中最可能的是75（题目未限制唯一解，

答75、60、90均可，示例取75）。

「提升练习〕

1.下列选项中，20和6的最小公倍数是（）0

A.20B.30C.120D.60

【答案】D

【分析】几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍

数。求解方法是分解质因数法，即把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数和

各自独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

【详解】对20和6分解质因数:20=2x2x5；6=2x3

根据最小公倍数的求法，公有质因数是2,20独有的质因数是2和5,6独有的质因数是3,

所以20和6的最小公倍数为2x2x3x5=60

故答案为：D

2.A,B,C,D四个小朋友的年龄都小于15岁，并且他们的年龄都是不一样的数，己知他们

的年龄之积为210,则他们的年龄之和可能为（）0

①25②23③2@19

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

【答案】D

【分析】先把210分解质因数，根据4,B,C,。四个小朋友的年龄都小于15岁，确定A,B,

C,。四个小朋友各自的年龄都，然后求和即可。

【详解】210=2x3x5x7

A,B,C,。四个小朋友的年龄可能是是2、3、7、5,和是：2+3+5+7=17（岁）

A,B,C,。四个小朋友的年龄可能是是1、6、5、7,和是：1+6+5+7=19（岁）

A,B,C,。四个小朋友的年龄可能是是1、3、10、7,和是：1+3+10+7=211岁）

A,B,C,。四个小朋友的年龄可能是是1、3、5、14,和是：1+3+5+14=231岁）

所以他们的年龄之和可能为17、19、21、23

故答案为：D

3.两数之和为667,它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120,则这两个数为（）0

A.123,544或552,115

R.232,435或552,115

C.322,345或610,57

D.552,115或61（）,57

E.610,57或232,435

【答案】B

【分析】假设这两个数分别为A,B,最大公因数为c,则设A是c的a倍，B是c的b倍，

其中a与b互质，所以A+B=a・c+b・c=（a+b）・c=667,根据“两数的最小公倍数除以最大

公约数所得的商等于120”可得：axbxc-rc=axb=120,所以将667分解质因数得23x29,所以

c=23或29,分情况讨论：

当c=23时，a+b=29,因为axb=120,即将29拆成两个数的和,且这两个数的乘积为120；

当c=29时,a+b=23,因为axb=120,即将23拆成两个数的和，且这两个数的乘积为120；

找出符•合题意的数即可。

【详解】解：设这两个数分别为A,B,最大公因数为c,则设A是c的a倍，B是c的b倍。

则人=@孰B=bc

A+B=ac+bc=（a+b）c=667

ac-?bc=axbxc-5-c=axb=120

667=23x29

当最大公约数为23时，因为29=24+5,120=24x5,所以这两个数分别为：23x24=552,23x5

=115；

当最大公约数为29时,因为23=8+15,120=8x15,所以这两个数分别为：29x8=232,29x15

=435。

23=8+15,120=8x15,所以这两个数分别为:29x8=232,29x15=435。

故答案为：B

4.数学家华罗庚小时候学因数与倍数时，曾经遇到过这样的问题：已知有两个数，它们的乘

积是28()0,其中一个数的因数个数比另一个数的因数个数多1,那么这两个数的和是()。

A.190B.185C.191D.192

【答案】X

【分析】先把2X00分解质因数，考虑到除了完全平方数，其他数字因数的个数都是成对出现

的，不会出现多1个的情况，因此找出属于完全平方数的因数的个数，再进一步分析，找出符

合题意的答案。

【详解】任何一个正整数，其因数应该是成对出现的，这意味着，一般情况下，一个正整数应

该有偶数个因数；完全平方数的因数个数是奇数个；

根据题意:“两个数的乘积等于2800,其中一个数的因数个数比另一个数的因数多r\这表明：

这两个数中有一个是完仝平方数；

由于：2800=2x2x2x2x5x5x7,其属于完全平方数的因数有五个：22=4、42=16、52=25>1()2

=100、202=400,

分别进行分析：2800=4x700,各有3个和16个因数，不符合题意；

2800=7x400,各有2个和15个因数，不符合题意；

2800=16x175,各有5个和6个因数，符合题意；

2800=25x112,各有3个和10个因数，不符合题意；

2800=28x100,各有6个和9个因数，不符合题意；

综上所述，这两个数是16和175,这两个数的和是：16+175=191。

故答案选：C

5.某次小学生数学竞赛的满分为100分，小明和小光在竞赛中取得了优异成绩，成绩都不低

于95分。当小记者采访他们时，小明说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于12611小光说：

“我的名次、年龄和分数的乘积等于3135%那么小明和小光两人的平均分是()分。

A.94B.98C.96D.97E.99

【答案】C

【分析】将1261和3135分解后，根据得分、名次及年龄的特点进行确定；据此解答即可。

【详解】1261=13x97=1x13x97

所以小明的名次、年龄和分数为1、13、97；

3135=3x5x11x19=3x11x95

所以小光的名次、年龄和分数为3、11、95；

(97+95)+2

=192:2

=96(分)

所以小明和小光两人的平均分是96分。

故答案选：C

6.在1至1()()这1()0个自然数中共有个数能表示成mn+m+n(m,n是正整数)形式的

数。

【答案】

74

【分析】因为mn+m+n=(m+1)(n+1)—1,令mn+m+n=k,贝ijk+l=(m+1)(n

+1),即k+1一定是合数,所以在1至100这100个自然数中合数共有：100—25—1=74(个)，

则对应的k也有74个。

【详解】设mn+m+n=k,则k+l=(m+1)(n+1),

因此k+1一定是合数。

在1至100这100个自然数中去掉25个质数和既不是质数也不是合数的1,

剩余的合数共有：100—25—1=74(个)，则对应的k也有74个。

在1至100个自然数中共有74个数能表示成mn+m+n(m,n是正整数)形式的数。

【点睛】本题重点考查质数合数判断方法及分解因数，质数的因数只有两个：1和它本身；合

数的因数除了1和它本身之外还有别的因数；在用分解因式的方法时要根据题中给出的式子进

行改写。

7.甲、乙、丙三个人参加了运动会的每一个项目，而且取得了每个项目的前三名（没有并列）。

前三名的得分是依次减少的三个非零自然数。最后甲得了22分，乙、丙都得了9分。若丙得

过一些项目的第一名，甲得过个项目的第一名。

【答案】4

【分析】假设每个项目第一名得分为a,第二名得分为b,第三名得分为c,己知前三名得分

是依次减少的三个非零自然数，则a+b+*3+2+l=6；甲，乙,丙三人参加了每一个项目

且取得了每个项目的前三名，三人总得分=参加的项目数x（第一名得分+第二名得分+第三

名得分），三人总得分为：22+9+9=40（分），40=5x8=5x（5+2+1）=5x（4+3+1）,

由此可得三人参加五个项目，每个项目的第一名为5分，第二名为2分，第三名为1分或者第

一名为4分，第二名为3分，第三名为1分；结合每个人的分数进行排除：如果第一名4分,

参加五项最高分为4x5=20（分）20V22.不符合条件，所以得分只能为第一种情况.甲参加

五项总得分为22分,22=5+5+5+5+2可得甲得了四个项目的第一名和一个项目的第二名；

乙参加五项总得分为9分，9=2+2+2+2+1可得乙得了四个项目的第二名和一人项目的第

三名；丙参加五项总得分为9分且得过一些项目的第一名，9=5+1+1+1+1可得丙得了一

个顼目的第一名和四个项目的第三名，符合条件。

【详解】假设每个项目第一名得分为a,第二名得分为b,第三名得分为c,由题意可得a+b

+c>3+2+l=6,甲乙丙三人的总成绩=参加的项目数x（a+b+c）=22+9+9=40；

40=5x8=5x（5+2+1）可得a=5,b=2,c=1

甲参加五个项目总分22分：22=5+5+5+5+2,则甲取得四个项目的第一名和一个项目的第

二名；

乙参加五个项目总分9分：9=2+2+2+2+1,则乙取得四个项目的第二名和一个项目的第三

名；

丙参加五个项目总分9分且丙得过些项目的笫一名：9=5+1+1+14-1,则丙取得一个项目

的第一名和四个项目的第三名；

综上可得符合甲乙丙取得每个项目的前三名（没有并列），甲得过4个项目的第一名。

【点睛】本题重点考查分类讨论问题，从分解出来的几种情况中结合题中条件找到正确的那一

种。

8.两个数的最大公约数和最小公倍数分别是3和135,求这两个数的差最小是

【答案】12

【分析】先把135分解质因数，135=3x3x3x5,因为这两个数的最大公约数是3,最小公倍数

是135,因此这两个数分别是：3、3x3x3x5或者3x5、3x3x3,计算后即可知道这两个数分别

是：3、135或者15、27o然后再相减求出这两个数的差为：135—3=132,或者27—15=12。

比较大小后据此即可知道这两个数的差最小是12o

【详解】135=3x3x3x5

这两个数分别是：

①一个是3,

另一个是：3X3X3X5

=9x3x5

=27x5

=135

差为：135-3=132

②一个是：3x5=15,

另一个是：3x3x3

=9x3

=27

差为：27-15=12

12<132

因此这两个数的差最小是12。

9.从1到2024的所有自然数中，乘27后是完全平方数的数共有（）个。

【答案】25

【分析】首先，对27进行分解质因数，27=3x3x3=33；设这个数为〃，nx27=Hx33>

完全平方数，设〃=3x22（左为正整数），那么

〃x27=（3x/）x27=3x必X33=34X%2=（32Q2是完全平方数；然后，确定A的取值范

围，W3公S2024,女最小取1,女最大取25,据此判断即可。

【详解】解：首先，对27进行分解质因数：

因为27=3x3x3=33；设这个数为〃，〃x27="xB?是完全平方数；完全平方数分解质因

数后，各个质因数的指数都应该是偶数；对于及X33,要使其为完全平方数，〃至少应该包含

一个因数3,设〃=3x/（k为正整数），那么

〃x27=（3x%2）x27=3x%2x33=34x攵2=（32攵）2是完全平方数；然后，确定左的取值范

围：因为〃的范围是I0〃W2O24,〃=322,所以3k2q024；先解不等式3公多，因为女是

正整数，此不等式恒成立；再解不等式3/W2024,两边同时除以3得女”2024+3=674.67；对公

3674.67求解3因为k>0,所以k3^而；又因为k是正整数，252=625,262=676，

所以k最大取25；当k=l时，〃=3XF=3;当k=2时，"=3x22=12;当A=3时，

22

n=3x3=27;……;当左=25时,n=3x25=1875;所以女可以取1，2,……,25,共

25个正整数；所以从1到2024的所有自然数中，乘27后是完全平方数的数共有25个。

10.a,b是1〜27这27个自然数中的数，如果a与b的乘积是1（）0的倍数，那么我们称（a,

b）为“希望数对二只有在a=b时，（a,b）与（b,a）才是同一个数对，那么1〜27中一共

有个“希望数对，

【答案】

2（）

【分析】如果a与b的乘积是100的倍数，那么我们称（a,b）为“希望数对"。由于100=22x52,

a和b的乘积必须至少包含两个2和两个5的因子。通过分类讨论a的质因数分解，计算对应

的b的可能数量，最终统计所有符合条件的数对。

【详解】100=22x52,

①若a仅含有1个质因数2,则b至少是：2x5x5=50。不符合题意；

②若a含有2个质因数2,则b至少是：5x5=25。

此时a可能是：4、8、12、16、20、24,b是25。

共有6种情况。

③若a仅含有1个质因数5,则b至少是：2x2x5=20。

此时a可能是：5、10、15、20、25,b是20。

共有5种情况。

④若a含有1个质因数2和1个质因数5,则b至少是：2x5=10。

此时a可能是：10、20,b是10、20o

共有4种情况。

⑤若a含有2个质因数2和1个质因数5,则b至少是：50

此时a可能是：20,b是5、10、15、20>25。

共有5种情况。

共计：6+5+4+5=20（种）

因此1〜27中一共有20个“希望数对工

11.12和18的最小公倍数与最大公因数的差是________o

【答案】30

【分析】用质因数分解法求最大公因数：全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公

因数。

用质因数分解法求最小公倍数的方法：全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的

积就是这几个数的最小公倍数C

先分别求出12和18的最小公倍数与最大公因数，用最小公倍数减最大公因数即不解答。

【详解】12=2x2x3

18=2x3x3

2x3=6

2x3x2x3=6x6=36

36-6=30

12和18的最小公倍数与最大公因数的差是30。

12.如果a、b、c都是质数，而且a+〃+c=86,+历+=1811,a-b-c

等于O

【答案】20

【分析】a、b、c都是质数，G+Z?+C=86,根据2是唯一的偶质数，可以推出a、b、c中必

然有一个是2。因为。>b>c,所以c=2。然后可以将。=2代入。+〃+c=86中，可以得

至ij〃+匕=84。再将c=2,。+匕=84代入"+庆+。。=1811中，化简即可得：必=1643。

最后将1643进行分解质因数，就可以确定a、b各是多少，由此即可求出CL3-C的值。

【详解】a、b、c都是质数，a+〃+c=86,a>b>c,所以c=2

将c=2代入。+/?+。=86中，得：Q+〃=84

将c=2,a+Z?=84代入+〃c+c”=1811中，得：而+2Z?+2Q=1811

2x84+4=1811

afe=1811-168

ah=\M3

1643=31x53,ci>b

所以a=53,Z?=31o

所以。一Z?-c

=53-31-2

=20

因此4一〃一C等于2o

13.贝贝是名中学生，他参加了全市的数学联赛（满分100分）。若贝贝的名次、分数和年龄

的乘积是6786,那么贝贝获得了第名。

【答案】6

【分析】贝贝是名中学生，则贝贝的年龄在12岁到15岁之间。

将6786分解质因数，6786=2x3x3x13x29,则贝贝肯定是13岁，因为满分是100分，则贝贝

的分数是87分，名次就是第6名。

【详解】6786=6x13x87

则贝贝获得了第6名。

14.2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完。若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增

加10个，则每人可以多分8个。问原来有多少人？

【答案】17人

【分析】题中的数量关系是弹珠总数=人数x人均弹珠数，人数及弹珠总数的变化导致人均弹

珠数的变化。先将两次弹珠总数分别进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相

乘的形式，其中一个乘数为人数，另一个乘数则为人均弹珠数；同理再变形多次，类比两种变

形的结果，能满足人数减少1,人均弹珠数则增加8的情况即可。

【详解】2()06+10=2016(个)

2006=2x17x59,2016=2x2x2x2x2x7x9

经过组合可得:2006=17x118,2016=16x126,

17—1=16,118+8=126符合人数减少1,人均弹珠数则增加8的情况，因此原来有17人。

答：原来有17人。

15.幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样

每位小朋友就要少分2个苹果。原来有多少位小朋友？

【答案】14位

【分析】题中的数量关系是革果总数=人数x人均苹果数，人数变化则导致人均苹果数变化，

但是总的苹果数量不会发生变化。因此可以先将苹果总数进行分解质因数，再将质因数通过乘

法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为人数，另一个乘数则为人均苹果数；同理再变

形多次，类比两次变形的结果，能满足人数增加1,人均苹果数则减2的情况即可。

【详解】420=2x2x3x5x7

420=14x30,420=15x28

15-14=1,30-28=2,符合人数增加1,人均苹果数减少2的情况。

故原来有14位小朋友，每位小朋友分30个苹果。

答：原来有14位小朋友。

16.学校购买一批毛笔正好用去216元，如果每支毛笔便宜1元，则可以多买3支，钱也正好

用得完。请问实际购买了多少支毛笔？

【答案】24支

【分析】题中的数量关系是总价=单价x数量，单价变化则导致数量变化，但是总价不变。先

将总价进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为单

价，另一个乘数则为数量；同理再变形多次，类比两次变形的结果，能满足单价少1,数量增

加3的情况即可。

【详解】216=2x2x2x3x3x3

重新组合可得：216=9x24,216=8x27,

9-8=1,27-24=3,符合单价少1,数量增加3的情况.

因此实际每支毛笔9元，一共可以买24支。

答：实际购买了24支毛笔。

17.小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位

数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？

【答案】9699690

【分析】由题意可知这个积的末四位数是前三位数的10倍，因此可以设这个数的前三位为

而乙则末四位为10XCBC，整个号码可表示为：48cxi0000+10xABC=l（）（）l（）xABC，

其中痂为三位数（100W就999）；乂因为整个号码是几个连续质数的乘积，而