椭圆及其标准方程【八大题型】-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版）

专题3.1椭圆及其标准方程【八大题型】

【人教A版（2019）]

>题型梳理

【题型1椭圆的定义及辨析】....................................................................1

【题型2曲线方程与椭圆】......................................................................2

【题型3椭圆方程的求解】......................................................................3

【题型4根据椭圆方程求〃、氏c】...........................................................3

【题型5轨迹问题一一椭圆】...................................................................4

【题型6椭圆中焦点三角形的底长、面枳问题】...................................................5

【题型7椭圆中焦点三角形的其他问题】.........................................................5

【题型8椭圆中的最值问题】....................................................................6

A举一反三

【知识点1椭圆的定义】

i.椭圆的定义

⑴定义：平面内与两个定点凡,F2的距离的和等于常数（大于IEAI）的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫

作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

（2）椭圆定义的集合表示P={M\\fFx+MF?=2a,2a>\F}F2\].

【题型1椭圆的定义及辨析】

【例1】（23-24高一下•浙江宁波・期末）点夕是椭圆?+y2=1上一动点，则点。到两焦点的距离之和为（）

A.2B.V2C.2V2D.4

【变式1-1]（2024♦广西南宁•二模汜知F],分别是椭圆1的左、右焦点，P为M上一点，若|PFi|=

165

3,则|PFz|=（）

A.2B.3C.5D.6

【变式1-2]（23-24高三下.四川绵阳•阶段练习）已知点P在椭圆C盘+l=1上，C的左焦点为F,若

线段P尸的中点在以原点。为圆心，|0川为半径的圆上，则IP川的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【变式1-3]（23-24高三下•江西抚州•阶段练习）若P为椭圆C：工+[=1上一点，&为C的两个焦点,

1216

且IPFJ2一|PF2/=16,则IPFJ=()

A.V21B.3V2c-D.5

【知识点2椭圆的标准方程】

1.椭圆的标准方程

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系:

2.椭圆方程的求解

（1）用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定。的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

（2）用待定系数法求椭圆的标湮方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待

定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的小〃的值，从而确定方程（注意焦点的

位置）.

②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：--是分类讨论，分别就焦点

在工轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方

程为4/+8俨=I（A>O,8>O4，B）,再解答.

【题型2曲线方程与椭圆】

【例2】（23-24高二下•河南•阶段练习）若曲线C:（k-4）x2+斐=1表示椭圆，则实数k的取值范围是（）

A.(4,6)B.(4,5)C.(5,6)D.(4,5)U(5,6)

【变式2-1]（2024・河南•模拟预测）若方程（m+l）x2+（1-m）y2=1-表示焦点在“轴上的椭圆，则

A.-1<m<1B.0<m<1

C.—1<?n<0D.—1<m<0或0<m<1

【变式2-2]（23-24高二下•重庆•阶段练习）已知a£{3,6,7}/£{2,4,5},则方程捺+3=1可表示焦点在％轴

上的不同椭圆的个数为（）

A.9B.8C.7D.6

【变式2-3】（23-24高二上・江西宜春・期末）“2<阳<府是“方程以+$=1表示的曲线为椭圆”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【题型3椭圆方程的求解】

【例3】（23-24高二上・吉林•期木）若椭圆焦点在x轴上且经过点（-4,。），焦距为6,则该椭圆的标准方程

为（）

【变式3-1］（2024•陕西安康・模拟预测）已知椭鹭!+《=l（Q>b>0）的左、右焦点分别为FL，点M在

椭圆上，且满足乙&MF2=90°,MF2延长线交椭圆「另一点C，|MF2|=2\F2C\=2,则椭圆的方程为（）

A.^+y2=lB.^+y2=lC.立+二=1D.^+^=1

9J5z94182

【变式3-2］（23-24高二上•河北承德・期末）已知椭圆。:2+、=19>8>0）的左、右焦点分别为居，F2,

P为椭圆。上一点，|PF1|的最小值为1,且APFiF2的周长为34,则椭圆。的标准方程为（）

A.日+日=1B.互+艺=1c.次+”=1D.正+日=1

8164641781178136

【变式3-3］（2023•全国•模拟预测）已知&,6分别是椭圆邑2+卷=l（Q>b>0）的左、右焦点，M在E上,

N在y轴上，29=3丽，以MN为直径的圆过Fi，且△MRF2的面积为个，则椭圆E的标准方程为（）

«5

【题型4根据椭圆方程求。、。、c】

【例4】（2024•湖北荆州•三模）已知椭圆C：［+4=1的一个焦点为（0,2）,则攵的值为（）

8K

A.4B.8C.10D.12

【变式4-1］（23-24高二上・宁夏银川・期中）椭圆9+\=1的焦点坐标为（）

A.（±V5,0）B.（0,±V3）C.（±VH,0）D.（0,±V21）

【变式4-2](23-24高三上•河北邢台・期末)已知椭圆条+^=l(m>0)的上焦点为(0,3),则m=()

A.V5B.5C.V7D.7

【变式4-3](23-24高二上•江苏徐州•期中)椭圆品+2=1(巾>0)的焦点为尸1、F2,上顶点为4若

4吊力尸2=会则实数m的值为()

A.2B.2V2C.2V3D.4

【题型5轨迹问题一椭圆】

[ft5](23-24高三下.重庆.期中)长为2的线段48的两个端点力和8分别在无轴和州|上滑动，则点4关于

点8的对称点M的轨迹方程为()

A•★上】B.09=lD・W=】

【变式5-1](2024•全国•高考真题)已知曲线C：x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂

线段PP',P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为()

A.^+^=1(y>0)B.日+二=1(y>0)

164z168J

C.^+-=1(y>0)D.^+-=1(y>0)

164z168/

【变式5-2](23-24高二下.上海静安.阶段练习)已知动圆M和圆q：(%+1产+/=36内切，并和圆C?：

(x-l)2+y2=4外切，则动圆圆心M的轨迹是()

A.直线B.圆

C.焦点在X轴.匕的椭圆D.焦点在y轴上的椭圆

【变式5-3](23-24高二下•湖北黄冈.阶段练习)已知三角形ABC的周长为12,且A(-2,0),5(2,0),则顶

点C的轨迹方程为()

22

A.7+T=1(y*0)B.丁Y_卜Vl(y±0)

D-会2=1”)

【知识点3椭圆的焦点三角形】

1.椭圆的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，E,此为椭圆的焦点，当点机人,&不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦

点三角形，如图所示.

（2）焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

222

②在△A/QF2中，由氽弦定理可得|*&|=\MFy\+|A/r2|-2|M*||M&l•cos/*MF,.

③设"（xo,'。），乙F\MFz=a,则小“尸筋=。T）'ol=〃.tan?.

乙

【题型6椭圆中焦点三角形的周长、面积问题】

【例6】（23-24高二上•浙江杭州•期中）过椭圆捻+1=1的右焦点尸2作直线!交椭圆于乂、8两点，a为左

2516

焦点，则的周长为（）

A.20B.2亘C.10D.出生

2929

【变式6-1］（23・24高二下・安徽芜湖・期末）已知田,尸2是椭1财:三+《=1的两个焦点，点「在。上，且叱2|=

1612

3,则的面积为（）

A.3B.4C.6D.10

【变式6-2］（23-24高二上•福建漳州•期末）已知椭圆。:?+?=1的上顶点为4两个焦点为用，F2,过后且

垂直于人口2的直线与。交于。，E两点，则△/DE的周长是（）

A.6B.4V3C.4V5D.8

【变式6-3］（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）已知点。为坐标原点，椭圆卷+9=1的左、右焦点分别

为F［,&，点;尸在椭圆上，设线段P&的中点为M,且|。尸21=1。，必1，则△P&F?的面积为（）

A.V15B.苧C.3V7D.4^15

【题型7椭圆中焦点三角形的其他问题】

【例7】（23-24高二上•上海青浦期末）设椭圆9+y2=1的左右焦点为Fi，F2,点P在该椭圆上，则使得

△P&F2为等腰三角形的点尸的个数为（）

A.2B.4C.6D.8

【变式7-1］（23-24高三上.重庆南岸.阶段练习）椭圆C:喘+3=1的焦点为&、F2,若点P在C上且满足

伊印一|PFzl=8，则中最大角为（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

【变式7-2］（2024.北京.模拟预测）己知一个离心率为点长轴长为4的椭圆，其两个焦点为居，F2,在椭

圆上存在一个点P,使得NF$F2=60。，设的内切圆半径为广，则，•的值为（）

A.立B.立C.立D.立

6323

【变式7-3］（23-24高二上•新疆喀什•期末）在椭圆5+学=1上有一点P,&