高考数学考点预测-等差数列与等比数列的综合（解析版）

第4讲等差数列与等比数列的综合

高考预测一：等差等比的证明

1.已知数列｛q｝和｛4｝满足％=1,4=0,对M/wN♦都有4。川=34一4+4,4〃用=3"——4成立.

([)证明：｛%+/｝是等比数列，应-4｝是等差数列；

(H)求｛综｝和收｝的通项公式;

(3)s『/3”为3求证：S.Y<6.

/=1/=1

【解析】(/)证明:对都有4〃用=3%-，+4,4:+I=3"_4_4成立.

•••。用+4+1=；("+%)，

(%“-%)-(％-♦)=2.%-4=1.

二数列｛q+〃“｝是等比数列.公比为g：｛〃.-4｝是等差数列,公差为2.

(〃)解：由(/)可得：%+。=(；尸.

an-bn=\+2(n-1)=2w-1.

・•・a，W(2〃-l).

"=(夕一3(2〃-1).

(/〃)解：a；—#=(2j_])g)iT.

「.〃“=S”一刀,=1+3x；+5x(I)2+……+(2〃-1),)”，

+3x(I)2+……+(2/7-3)A尸+(2〃-1)x(5,

22222

11111;[1-(：尸]1

=1+2[-+(-)2+……+(-r']-(2/7-l)x(-r=l+2x--——]-(2«-l)x(-)fl

j乙乙乙ZI*乙

l-2

=6--^^-<6.

勿2”

2.已知数列｛0｝是首项为1的等差数列，数列｛〃"｝满足a“+i-3%-1=0,4+1=生，4=1.

(1)证明数列｛%+；｝为等比数列，并求出数列｛〃”｝的通项公式；

⑵令C"=(%+；)的：»求数列｛c“｝的前〃项和1.

【解析】(1)证明：,.•q+1-34一1=°，.•.图+]=3/+1,即％+]+g=3(q,+g),

数列应+；｝是首项为T，公比为3的等比数列，

113”-1

a+—=—x3"T,即a=----,

〃22n2

32-1

(2)由(1)知，bi=a2-\=-----1=3,

又数列的J是首项为1的等差数列，二.｛d｝的公差为1,

b*=n,cn=(a”+；)的,=警，

...7；=i(lx3+2x32+...4-77x3"),

/.37；,=^(lx32+2x33+...+//x3nH),

—27；=y(3+32+33+...+3n

-2T=lx3x(r-1)--g3ff+l=l(3«+,-3)--^+,=lz^g3«+>_2

w23-124244

.下(2〃-1)目向+3

""-8'

3.已知数列｛〃“｝的前〃项和S.=l+/”,其中；1=0.

(1)证明｛4｝是等比数列，并求其通项公式；

(2)若条=—,求力.

32

【解析】解：(I)根据题意，若5”=1+而“，％工0,巴/0.

当儿.2时，5,1=1+4。小，

两式相减,得a”=1+枇-I-1％=血-皿7,即(彳一1)%=上/_1，

•.•7工0,%w0..-.2-1^0.即义¥1,即&=^-,(〃...2),

*"1

.•.｛%｝是等比数列，公比g=/_,

A1

当〃=I时，5]=1+几卬=q，即％=----»

1—4

••.4=』方，

1—/14-1

(2)若Ss=史，则Ss=l+4-^4—)4]=卫，即(±)5=至—1=-L

5325Ll-2Z-1321-23232

则—=!，得/=!.

1-/123

4.已知等比数列｛4｝的公比[=-].

(1)若％=',求数列｛。力的前〃项和；

4

(2)证明，对任意《£乂，%,a-，成等差数列.

【解析】(I)解：由。3=,=。|/，以及9=一1可得q=l.

42

lx[l-(-^f]2-24-，

数列｛%｝的前〃项和S'=------廿一=——各一.

1+-3

2

t+klk-12

(2)证明:对任意EwN+，2ak+2-(ak+ak+l)=2a]q'-axq~-atq=a)^*(2^-^-1).

把q=—；代入可得2d-g-l=0,

故24+2-Q+-)=0，

故4，4+2，”*+i成等差数列•

高考预测二：等差等比的交汇问题

5.在等差数歹U｛%｝中%+4+/=84,%=73.

(1)求数列｛对｝的通项公式；

(2)对任意〃?wN*,将数列｛4｝中落入区间(9卅,9?)内的项的个数记为？,求数列也,｝的前〃?项和

【解析】解：(1)设等差数列｛q｝的公差为d,

•/q+a4+a、=S4.%=73.

...*+9d=84,解得『二1

]q+8d=73]d=9

a”=1+(〃-1)x9=9〃-8.

QQ

(2)由9Ev9-8v9^^9m-1+-<n<92m-'+-,

99

数列｛%｝中落入区间(9树,9?m)内的项的个数,=9*1—，

S

-m=A+b2

—(g2m-l+glm-i+…+叶)—(9"1+旷2+…+9+1)

9(9.一1)9W-1

92-19-1

/tt

92M+,-99-1

808

6.已知(凡｝是公差为d的等差数列，也J是公比为q的等比数列.

(1)若a0=3〃+l,是否存在加、kwN",有4,+%+［=4?说明理由;

(2)找出所有数列｛/｝和也｝,使对一切〃eV,5=b”,并说明理由；

(3)若％=5,d=4,b、=q=3,试确定所有的〃，使数列｛/｝中存在某个连续〃项的和是数列｛4｝中的

一项，请证明.

［解析］解：(1)由品+ax=ak>得6”?+5=3k+1,

4

整理后，可得％-2mm、kwN*,一2〃?为整数,

.♦.不存在〃?、kw”,使等式成立.

(2)设勺=〃d+c,若5=b”,对〃eN*都成立，

且也J为等比数列，则％g/%±=q,对〃wH都成立,

白用册

即%a“+2=qa：八,(dn+c)(dn+2c/+c)=q(dn+d+c)2,

对〃©^^都成立，?.(I1=qd2

⑴若d=0,则凡=。工0,a=1,neN*.

(”)若1工0,则(7=1,二”=机(常数)，即""+"+’=/〃,则"=0,矛盾.

dn+c

综上所述，有q=cwO,4=1,使对一切“eN、，皿=".

(3)%=4〃+1,bn=3",〃eN，,

设%+|+%+2++/”=4=3"，p、keN*,rneN.

4(M+1)+1+4(〃?+p)+1_3*

Fp~，

3K

/.+2/7+3=—,

P

*.•p、keN*,：.p=y,seN

取上=3s+2,4/n=32V+2-2x3'-3=(4-l)2j+2-2x(4-1)'-3...0,由

二项展开式可得整数M2,

vS

使得(4—1产+2=4,%+],2x(4-l)=8M2+(-1)2

r.4m-4(Af(-2M2)-((-1/+1)2,

二.存在整数M满足要求.

故当且仅当p=3',seN,命题成立.

7.已知数列｛q｝中，且也《―，尸(〃>1且"eN)

2n-122

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝的前八项和为S“，求满足2s“-3〃,+5〃>0的所有正整数〃的值.

【解析】解：(I)因为%=/一%-史・(二尸(〃>1且〃eM),

n-\22

所以冬=巴、-"(一;产，

nn-122

j[玲*+(｝；)+停()+...+(,#

」3rJ.3一如(一犷】

z222222

一一5

=i+(T，

上式对〃=i也成立，

故an=n+〃(_；)"(〃eN*)；

(2)2s।-3〃2+5〃>0等价为S„-"JT">o、

n"2

数列｛3〃-4｝的前〃项和为若包，

n

令=an-3n+4=n-(~~)-2〃+4,

其前〃项和为C“=S“

则有G=-V,

ZZo

故G>o,c2>o,c3<o,

n,,

当"...4时，=w.(--)-2H+4=/r[(-^)-l]-/7+4<0,

则有C,t<0,

综上可得,不等式成立的〃=1或2.

8.设数列｛为｝的前〃项和为S"，q=l,«„=—+2(«-1)(//€).

n

(1)求证：数列｛/｝为等差数列，并分别写出〃“和，关于〃的表达式；

(2)是否存在自然数〃，使得S+型+臾+...+2-(〃-1)=2013?若存在，求出〃的值；若不存

23n

在，请说明理由.

(3)设C,=一一(〃e｛N")，4=G+c,+C3+...+q,(〃eN>是否存在最大的整数机，使得对任

+7)

意〃e/V•均有7；>称成立？若存在.求出〃,的值：若不存在.说明理由.

【解析】(1)证明：由%=、+2