2026年高考数学一轮培优练习（新高考）随机事件与概率（学生版+解析）

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

§103随机事件与概率

【考情分析•探规律】

考点考情分析(2021-2024)命题趋势

了解随机事件发生的不确定性和频率

2024•北京、2024•全国甲卷

的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率

2024・新课标H卷、2023•新课标II卷

随机事件与概率的区别：理解事件间的关系与运算：掌握古

2022•新高考全国H卷、2022•全国乙卷

典概型及其计算公式，能计算古典概型中简

2022•北京

单随机事件的概率。

【知识梳理】

1.样本空间和随机事件

⑴样木点和有限样木空间

①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用”表示.

全体样本点的集合称为试验E的,常用0表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有〃个可能结果3，G2,…，①〃，则称样本空间0={3,①2,…,

助J为有限样本空间.

（2）随机事件

①定义：将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件.

②表示：一般用大写字母A,B,C,…表示.

③随机事件的极端情形：、.

2.两个事件的关系和运算

含义符号表示

包含关系若事件A发生，则事件5一定发生—

相等关系B3A且A38—

并事件（和事件）事件A与事件B至少有一个发生AU8或A+8

交事件（积事件）事件A与事件5同时发生—

互斥（互不相容）事件4与事件8不能同时发生4nB=0

互为对立事件A与事件B有且仅有一个发生—

3.古典概型的特征

(1)有限性：样本空间的样本点只有.

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性—.

4.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的&个样本点，则定义

事件A的概率P(A)="=嘿.

nn(12)

其中，〃(A)和〃(。)分别表示事件A和样本空间。包含的样本点个数.

5.概率的性质

性质1；对任意的事件A,都有尸(A)>0；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即尸(Q)=l,尸(0)=0；

性质3：如果事件A与事件8互斥，那么P(AU8)=;

性质4：如果事件A与事件8互为对立事件，那么尸(8)=1-P(A),P(A)=；

性质5：如果A6,那么P(4)WP⑻，由该性质可得，对于任意事件4,因为0GAG。，所以OWP(A)W1；

性质6：设A,8是一个随机试验中的两个事件，我们有？(AU8)=.

6.频率与概率

(1)频率的稳定性

・般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率加A)会逐渐稳定

于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用

可以用频率4A)估计概率P(A).

点拨】

1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

⑴几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

2.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A,UX2U-UA„)=

P(4)+P(4)+…+P(4”).

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

⑵在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.()

⑶若随机事件A发生的概率为夕5)，则OWP(A)W1.()

(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()

2.甲、乙等五人站成一排，其中为互斥事件的是()

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“日站排头”与“乙站排尾”

C.“日站排头”与“乙不站排头”

D.“甲不站排头”与“乙不站排头”

3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为02该同学的身高在[160,175](单

位：cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为()

A.0.2B.0.3

C.0.7D.0.8

4.抛掷一枚骰子，记事件A为“出现点数是奇数”，事件8为“出现点数是3的倍数”，贝IP(AUB)

=,P(AClB)=.

【必练核心题型】

题型一随机事件的关系

命题点1随机事件关系的判断

【典例】1.(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E="点数为奇数”，F="点数为偶数”，

G="点数大于2"，H="点数小于2”,R="点数为3”,则下列结论正确的是()

A.E,尸为对立事件

B.G,”为互斥不对立事件

C.E,G不是互斥事件

D.G,R是互斥事件

命题点2利用互斥、对立事件求概率

【典例】1.(多选)下列说法正确的有()

A.若事件则P(H)WP(4)

B.若A,8为对立事件,则P(A)+P(B)=1

C若A,8为互斥事件,则尸(AU8)=P(A)+P(B)

D.P(AU8)vP(A)+P(8)

【典例】2.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.2,则

这个射手在一次射击中射中环数不够7环的概率为.

命题点3利用频率估计概率

【典例】1.（多选）下列命题正确的是（）

A.随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

B.抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是高

C.有一-批产品，其次品率为0.05,若从中任取200件产品，则i定有190件正品，10件次品

D.抛掷•枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷•次该硬币出现正面的概率是0.51

【变式训练】

变式1.从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则下列选项中事件A与事件B互斥却不互为

对立的是（）

A.事件A：3个球中至少有1个红球；事件8：3个球中至少有1个白球

B.事件4：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球

C.事件A：3个球中至多有2个红球；事件8：3个球中至少有2个白球

D.事件43个球中至多有1个红球；事件氏3个球中至多有1个白球

变式2.若事件A和8互斥，且「（AU8）=0.5,P（4）=0.3,贝.

题型二古典概型

【典例】1.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

A3

C-Di

【典例】2.安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生,

则大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为（）

A.-B.-

510

D

。255

【变式训练】

变式1.将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1

个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）

A.-B.-

32

C.-D.-

变式2.将1,2,3,4,5,6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，则表格内每一行数字之和均相

等的概率为()

B七

A，-6

C—呜

题型三概率与统计的综合问题

【典例】1.某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从

中随机选出100名学生的成绩(满分为100分)，按分数分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100],共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

[频率

组距

().03()--------------------

......................

0.0201.............l

0.015k——厂

。•脸r!44—.

3)506070«090成绩/分

(1)求，”的值，并求这100名学生成绩的中位数(保留一位小数)；

(2)若认定评分在[80,90)内的学生为“运动爱好者”，评分在[90,100]内的学生为“运动达人”，现采

用按比【典例】分配的分层随机抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，

大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱

好者”和“运动达人”各1人的概率.

【变式训练】为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构联合医院，进行了小规模的调

查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起

疲乏症状的副作用，该机构随机邦取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统十数据如表：

无疲乏症状有疲乏症状合计

未使用新药15025t

使用新药Xy100

合计225m275

（1）求2X2列联表中的数据x,），，小，/的值，依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否以此推断有疲

乏症状与使用该新药有关？

⑵从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用按比【典例】分配的分层随机抽样的方法抽取4

人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率.

n(ad.-bc)2

附：r=〃=a+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(d+d)

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（）

A.3个都是男生

B.至少有1个男生

C.3个都是女生

D.至少有1个女生

2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2025次，那么第2024次出现正面朝上的概率是（）

20242025

C.—D.i

20252

3.从2,3,5,7,11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（）

A•之B.g

4.某校希望统计学生是否曾在考试中作弊，考虑到直接统计可能难以得到真实的回答，故设计了如下方案:

在一个袋子里放入只有颜色和序号不同的红球和绿球各50个，分别编号为1〜50,被调查的学生从中随机摸

出一个，确认颜色和序号后放回（调查者不知道），摸到红球的学生回答“你摸到的球的序号是否为奇数？”，

摸到绿球学生的回答“你是否曾在考试中作弊？”.共调查了1200名学生，得到了39（）个“是”的回答，

据此估计该校学生的作弊率为（）

A.15%B.20%

C.5%D.10%

5.甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站方

向的3路公交车（线路图如下）.甲将在“供水公司”站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前

的任意一站下车.假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为

（）

12345678910111213II15161718192021222324

轮

妈富

莲

金莲

北

供白

下

港

妈东

海福

下宝

后黄

地

兴

闽

的

IW范

至

山

楼

卷

祖

池

水

祖

佑

澜

金

石

景

渡

池

海

尾

税

海

台

白

肆

会

水

祖

沙

公

沙

路

庙

街

街

玉

大

码

小

分

神

风

岸

(石

库

庙

滩

司

滩

平

化

头

学

女

酒

局

东

情(

东

安

石

闻

店

街

环

里

)环

)

11

-B-

54

A.C

73

D

--

10

6.15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是（）

A.卫B.—

9191

C.-D.-

9191

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2025•哈尔滨模拟）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球.事件A=

“两次取到的球颜色相同"，事件B="第二次取到红球"，事件C="第一次取到红球”.下列说法正确

的是（）

A.Aq8

B.事件B与事件C是互斥事件

2

C.P（48）=S

7

D.P（B+C）=-

8.某冷饮店为「保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如

下数据：

日销售量价[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

天数46956

以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是（）

A.估计平均每天销售5（）杯双皮奶（司一组区间以中点值为代表）

B.若当天准备55杯双皮奶，则售罄的概率为总

C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为:

D.这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯

三、埴空题（每小题5分，共10分）

9.（2025・八省联考）有8张相同的卡片，分别标有数字1,2,345,6,7,8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出

的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.

10.通过手机验证码注册某APP时,收到的验证码由四个数字04243a式其中“£[0，1»2,…，9},，=1,2,

3,4）随机组成，如果验证码。用2aM满足川ye则称该验证码为递增型验证码.某人收到一个验证码，

则它是首位为2的递增型验证码的概率为.

四、解答题（共28分）

11.（13分）某市4,A两所中学的学生组队参加辩论赛，4中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3

名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机

抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（6分）

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率.（7分）

12.（15分）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在珠海国际航展中心开幕，我国空军汇聚

多方智慧，研讨无人智能、通航建设，带来了歼-35A、红一19等新型装备.某市为了了解居民对航空航天

知识的认知程度，举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知

程度高的有〃，人，按年聆分成5组，其中第一组：［20,25）,第二组：［25,30）,第三组：［30,35）,第四

组：［35,40）,第五组：［40,45］,得到如图所示的频率分布直方图.

2）253（）354（）45年龄/岁

（I）根据频率分布直方图，估计这根人年龄的第85百分位数；（6分）

（2）现从以上各组中采用按比【典例】分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.

若有甲（年龄31）、乙（年龄34）、丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使

者中，再随机抽取2人作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选中的概率.（9分）

【尖子拔高训练】每小题5分，共10分

13.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下

性质：22（）的所有真因数（不包括本身的因数）之和恰好等于284,同时284的所有真因数之和也等于220,

他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.

已知220和284,I184和1210,2924和2620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个

数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为（）

14.（2025・泉州模拟）如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三

次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为.

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.3随机事件与概率

【考情分析•探规律】

考点考情分析(2021-2024)命题趋势

了解随机事件发生的不确定性和频率

2024•北京、2024•全国甲卷

的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率

2024-新课标H卷、2023•新课标II卷

随机事件与概率的区别；理解事件间的关系与运算；掌握古

2022•新高考全国H卷、2022•全国乙卷

典概型及其计算公式，能计算古典概型中简

2022•北京

单随机事件的概率。

【知识梳理】

1.样本空间和随机事件

⑴样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用口表示.

全体样本点的集合称为试验£的样本空间,常用。表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有〃个可能结果①”/2，…，口”则称样本空间。=｛臼，/2，…,

为有限样本空间.

（2）随机事件

①定义：将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件.

②表示：一般用大写字母A,B,。，…表示.

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.

2.两个事件的关系和运算

含义符号表示

包含关系若事件A发生，则事件5一定发生AQB

相等关系B3A且A3B4=8

并事件（和事件）事件4与事件B至少有一个发生AU8或A+8

交事件（积事件）事件A与事件8同时发生AD8或A8

互斥（互不相容）事件A与事件B不能同时发生AC\B=0

互为对立事件A与事件B有且仅有一个发生4n3=0,且AU8=0

3.古典概型的特征

⑴有限性：样本空间的样本点只有有限个.

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性祖笠.

4.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的4个样本点，则定义

事件A的概率P(4)='=嗡.

nn(12)

其中，〃(八)和〃(。)分别表示事件A和样本空间。包含的样本点个数.

5.概率的性质

性质1：对任意的事件A,都有P(A)》O；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1,P(0)=O：

性质3：如果事件A与事件8互斥，那么3(AU8)=PG4)+P(B)；

性质4：如果事件4与事件B互为对立事件，那么P(B)=\-P(A),P(A)=1-P(B)；

性质5：如果A6,那么P(A)〈P⑻，由该性质可得，对于任意事件A,因为0GAGQ,所以0WP(A)〈l；

性质6：设A,B是—个随机试验中的两个事件，我们有2AU4)=户(A)个产(4)—P(ArW).

6.频率与概率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率加A)会逐渐稳定

于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用

可以用频率以A)估计概率？(A).

点拨】

1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

⑴几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

2.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A,UA2U-UA„)=

P(4)+P(A2)+…+P(4).

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

⑵在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.()

⑶若随机事件A发生的概率为尸(4)，则OWP(A)W1.()

(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()

【答案】(1)X(2)V(3)V(4)X

【解析】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错误.(4)中，甲中奖的概率与乙中奖

的概率相同.

2.甲、乙等五人站成一排，其中为互斥事件的是()

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“口站排头”与“乙站排尾”

C.“日站排头”与“乙不站排头”

D.“甲不站排头”与“乙不站排头”

【答案】A

【解析】因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确；

因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确；

因为“甲站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项C不正确；

因为“甲不站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项D不正确.

3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175J(单

位：cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为()

A.0.2B.0.3

C.0.7D.0.8

【答案】B

【解析】由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该

同学的身高超过175cm的概率和为1,故所求概率为1—0.2—0.5=03.

4.抛掷一枚骰子，记事件4为“出现点数是奇数”，事件B为“出现点数是3的倍数”，则P(AU13)

=,p(An8)=.

【答案】”

【解析】抛掷一枚骰子，所有可能出现的点数是1,2,3,4,5,6,共6个样本点，

事件AU8包括出现的点数是1,3,5,6,共4个样本点，故P(AUB)W；

事件AC1B包括出现的点数是3,共1个样本点，故P(An8)=；.

6

点拨】

1.当随机事件A,B互斥时，不一定对立；当随机事件4,8对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必

要不充分条件.

2.若事件A,Az，…，4两两互斥，则P(4]U4U…LM〃)=P(4D+P(A2)+3+P(4).

【必练核心题型】

题型一随机事件的关系

命题点1随机事件关系的判断

【典例】1.(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=”点数为奇数”，F="点数为偶数”，

G="点数大于2"，H=”点数小于2"，R="点数为3”,则下列结论正确的是()

A.E,尸为对立事件

B.G,”为互斥不对立事件

C.E,G不是互斥事件

D.G,R是互斥事件

【答案】ABC

【解析】“点数为奇数”与“点数为偶数”不可能同时发生，且必有一个发生，所以E,尸是对立事件，

选项A正确；

”点数大于2”与“点数小于2”不可能同时发生，且不是必有一个发生，G,”为互斥不对立事件，选项

B正确:

”点数为奇数”与“点数大于2”可能同时发生，E,G不是互斥事件，选项C正确；

”点数大于2”与“点数为3”可能同时发生，G,及不是互斥事件，选项D不正确.

命题点2利用互斥、对立事件求概率

【典例】1.(多选)下列说法正确的有()

A.若事件AG8,则尸(A)WP(5)

B.若AB为对立事件,则P(A)+P(B)=1

C.若A,C为互斥事件,则尸(AU3)=尸(A)+P(B)

D.P(AU8)vP(A)+P(4)

【答案】ABC

【解析】若事件B包含事件A,则P(A)WP(8),故A正确；

若A,"为对立事件，则P(A)+P(B)=1,故B正确；

若A,8为互斥事件，则P(AU8)=P(A)+P(8),故C正确；

因为P(4U8)=P(A)+P(8)一尸(A8),所以当4,8互斥时,P(AUB)=P(A)+P(B),故D错误.

【典例】2.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.2,则

这个射手在一次射击中射中环数不够7环的概率为.

【答案】().11

【解析】记“射中环数不够7环”为事件£>,则事件方为“射中1()环或9环或8环或7环”，

所以P(5)=0.21+0.23+0.25+0.2=0.89,

所以P(D)=1~P(D)=1-0.89=0.11.

命题点3利用频率估计概率

【典例】1.(多选)下列命题正确的是()

A.随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

B.抛掷骰子100次,得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是菖

C.有一批产品，其次品率为0.05,若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品

D.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51

【答案】AB

【解析】随机事件4的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确；

抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是芸=3，故B正确；

有一批产品，其次品率为0.05,若从中任取200件产品，则不一定抽取到190件正品和10件次品，故C错

误；

100次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有*次出现了正面，则不能得出抛掷一次该硬

币出现正面的概率是0.51,故D错误.

点拨】事件关系的运算策略

进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必

要时可列出全部的试验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式.

【变式训练】

变式1.从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则下列选项中事件A与事件B互斥却不互为

对立的是()

A.事件A：3个球中至少有1个红球；事件8：3个球中至少有1个白球

B.事件43个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球

C.事件A：3个球中至多有2个红球；事件8：3个球中至少有2个白球

D.事件A：3个球中至多有1个红球；事件少3个球中至多有1个白球

【答案】B

【解析】事件4与事件8可能同时发生，【典例】如摸出2个白球和1个红球，所以事件A与事件8不是

互斥事件，故A错误；

事件A与事件△不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件A

与事件8互斥却不互为对立，故B正确；

事件A与事件8可能同时发生，【典例】如摸出2个白球和I个红球，所以事件4与事件8不是互斥事件，

故C错误;

事件A与事件。不可能同时发生，且必有一个发生，所以事件A与事件B是互斥事件也是对立事件，故D

错误.

变式2.若事件4和B互斥，且尸(AU8)=0.5,P(8)=0.3,则P(1)=.

【答案】0.8

【解析】因为事件A和8互斥，则P(AU8)=P(A)+P(8)=P(A)+0.3=0.5,

解得P（A）=0.2,故P（A）=1一尸（4）=08

题型二古典概型

【典例】1.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

【答案】B

【解析】当甲在排尾，乙在排头时，丙有2种排法，丁有1种，共2种；当甲在排尾，乙排第二位或第三

位时，丙有1种排法，丁有1种，共2种；于是甲在排尾共4种排法，|可理乙在排尾共4种排法，于是共8

种排法符合题意，样本点总数显然是A；=24,根据古典概型的计算公式，丙不在排头，且甲或乙在排尾的

概率为A=

243

【典例】2.安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，

则大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为（）

【答案】D

【解析】4名大学生分两组，每组至少一人，有两种情形，分别为3人、1人或2人、2人，即共有由A；+

鬃=8+6=14（种）实习方案，其中甲、乙到同一家公司实习的情况有GA,+A刍=4+2=6（种），故大学生甲、

乙到同一家公司实习的概率为卷=*

点拨】利用公式法求解古典概型问题的步骤

--------定型，根据事件的性质:确五事件类一

、第一步尸［型为古典概型

-------」定量，确定试验包含的样本点总数及

老三芝所求事件包含的样本点个数

求值，代入古典概型的概率计算公式

-第-三--步-卜1［求解

【变式训练】

变式1.将除颜色外完仝相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1

个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）

A.-B.-

32

C.-D.-

34

【答案】A

【解析】将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入I

个球，则样本点有（红1,白红2）,（红2,白红1）.（白红1,红2）,（白红2,红1）,（红1红2,白），（白，

红1红2),共6个，而2个红球分别放入不同盒子中包含(红1,白红2),(红2,白红1),(白红1,红2),

(白红2,红1)4个样本点，故由古典概型的计算公式得概率为*

变式2.将1,2,3,4,5,6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，则表格内每一行数字之和均相

等的概率为()

【答案】C

【解析】要使表格内每一行数字之和均相等，根据1+6=2+5=3+4,

先将6个数字分为3组，分别为(1,6),(2,5),(3,4),

将三组全排列，安排在表格的三行中，每一行有A；种顺序，

则可组成不同表格的个数为A讣弘/』=48；

将1,2,3,4,5,6这6个数填入表格中的所有情况的个数为A&=720,

故所求概率为粤=

题型三概率与统计的综合问题

【典例】1.某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从

中随机选出100名学生的成绩(满分为100分),按分数分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100],共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

频率

组距

0.02()

(1.015

().(X)5

01

405060708090100翻(/分

(1)求相的值，并求这100名学生成绩的中位数(保留一位小数)；

(2)若认定评分在[80,90)内的学生为“运动爱好者”，评分在[90,100]内的学生为“运动达人”，现采

用按比【典例】分配的分层随机抽样的方式从不低于80分