第1章 解直角三角形 单元综合达标卷-2025-2026学年浙教版九年级数学下册

第1章解直角三角形单元综合达标卷

（时间：100分钟满分：120分）

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,贝UtanB等于()

B.12C.5D.12

TT5

2.计算2cos30°的值为（)

A.1B.C.D.

2

3.如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15。方向航行15km到

达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东45。的方向，则观测站O距港口A的距离为（）

A.丹'2kmB.15&kmC.竽kmD.15km

4.正六边形的边长为2a,则它的面积为（）

5.如图所示，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点。的俯角为a,大桥主架的顶端。的

仰角为P，已知大桥主架顶端离水面的高CO=a,则此时测量点与大桥主架的水平距离A8为

)

B.atana+otan。

cx

tantr+tan^tana+tai；0

6.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30。、45。，如果此时热气球C处的高

度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）

B.20373米

C.22073米D.100(Q+1)米

7.3tan3O。的值等于()

A.1B.&C.6D.2

8.如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45。降至30。.已知滑梯AB的长为3m,

点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（）

C.3扬!D.3y/3m

9.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长120,测得圆周角

CACB«604,则这个人工湖的直径4。为（）

D

o

\

A.406B.60HC.8075D.100

10.如图，将两张全等的直角三角形纸片二八8〃与△(?£)「和一张矩形纸片£TG〃按照如期所示的

方式拼成一个平行四边形4DCD(其中8、E、”三点共线，。、G、产三点共线)，且

=上”(*=90♦，%=*=V5，连接BF.DH，若知道平行四边形48co的面积，就能求

A.△4。〃B.△8EFC.△</?〃D.矩形EFCH

二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)

H.互余的两个锐角三角函数之间的关系：sin(90。-A)=,cos(90°

-A)=,tan(90°-A)=,cot190。-A)

12.在Rt/kABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,则sinA的值为.

13.已知在Rt△ABC中，z.C==考，则Um8的值为.

14.在RtAABC中，NC=90°,a,b,c分别是NA,ZB,NC对边，如果2b=3a,则tanA=.

15.如图，在UM6C0中，AB=13,AD=20,乙为钝角，且川］乙4/?。二节，点E是边上

的动点，连接8£,作乙BEF二乙48C,EF与0说交于点八则△OEF外接圆半径的最小值

为

AED

16.如图，把正方形A8C£）的边D4绕点破W针旋转30*得到线段。尸，连接B尸并延长交D4

于点£连接CE,若48・2,则《户的值是

三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25

每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在处看见小岛C在船北偏右60的方

向上.40mm后，渔船行驶到8处，此时小岛C在船北偏东30」的方向h.已知以小岛C为中心，10

海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可

18.数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台

阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角乙G.4£=50.2,台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度

（=5:12,然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角4£BF=63.4,则塔顶到地面的高度EF约为

多少米.

（参考数据：131150.20*L20，Um63.4»=2.00,sin50.2,=0.77,sin634*0却））

19.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30。、45°,如果此时热气球C处的

高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离.

20.居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测

角仪测得该大楼顶部的仰角为46,底部的俯角为38：又用绳子测得测角仪距地面的高度48为

31.6m.求该大楼的高度（结果精确到0・1,的（参考数据：sin3830.62,cos38/0.79,

taii38x0.78)

21.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图,无人飞机从A处平行飞行至B处需10秒，在

地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75。，B处的仰角为30。，已知无人飞机的飞

行速度为5米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）.

22.如图，测得两幢楼之间的距离为25.%m从楼顶同观测点。的俯视角为35。，点C的俯视角为

1S.求这两幢楼的高度（精确到0.15）

u

（参考数据：sin353之0.57fcos35k0.82,tan35°«0.70）

23.如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰

角NBCA=3O。，向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角NBDA=60。，求旗杆

AB的高度.（结果保留根号）

24.如图，在菱形4BCD和菱形BEF6中，P是线段OF的中点，连接/GPC,若UBC,MEF,60%

证明：PG上PC且PG=6PC

25.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当

行走到点C处，测得NACF=45。，再向前行走100米到点D处，测得NBDF=60。.若直线AB与

EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离.

答案

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,贝I」tanB等于（）

AT2BTcnD爷

【答案】B

【解析】【解答】解：在RIAABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,

所以lanB=^=¥，

故答案为：B.

【分析】利用锐角三角函数的定义，一个锐角的正切函数值等于其对边比邻边，可得到tanB的

值.

2.计算2cos30°的值为()

A.1B.C.D.2

【答案】B

【解析】【解答】解：2cos300=2x芋=6.

故答案为：B.

【分析】由特殊角的三角函数值可得cos3()o=1S然后代入计算即可.

3.如图，港口A在观测站0的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15。方向航行15km到

达B处,此时从观测站0处测得该船位于北偏东45。的方向，则观测站0距港UA的跑离为()

F-2

【答案】A

【解析】【解答】过点A作AM10B于M,

在RSABD中，ZAMO=90°,ZMOA=45°,AZMAO=45°=ZMOA,.\MA=MA,

VZMAO=45°,••・NMAB=450+15°=60°,

VZMAB=90°,.*.ZB=900-ZMAB=30°,AAM=gAB=竽,

••・A0=，

故答案为：A.

【分析】由题意将0A放在直角三角形中即可求解，所以可作辅助线，过点A作AM_L0B于M,

然后解直角三角形AMO即可求解。

4.正六边形的边长为2a，则它的面积为（）

3

国

岛

岛2bC3262

A.13.2D.

【答案】D

【解析】【解答】解：设O是正六边形的中心,AB是正六边形的一边，OC是边心距

♦•"。5=罟=60。，04=08

/.△OAB是正三角形.

AO=AB=2（i.^.OAR—60°

VOC=OA-sinZOAB=2a.号=6a，

.*.SAOAB=gAB*OC=2x2ax^3a=V

・•・正六边形的面积为6x75/=6V5az.

故答案为：D.

【分析】由题意画出图形，设O是正六边,AB是正六边形的一边，0C是边心距，由

正多边形的性质可得△OAB是正三角形，.角形0AC可求得0C的长，然后根据S正六边

莪=6XSAAOB可求解.

5.如图所示，在桥外一点A测得大桥土架与水面的交汇点。的俯角为a,大桥土架的顶端。的

仰角为B，已知大桥主架顶端离水面的高CO=〃，则此时测量点与大桥主架的水平距离A8为

B.«tana+«tanp

fltanntan/?

C.

taiur+tanptaiicr+taiij

【答案】C

【解析】【解答】解：•・•在RsABC中，lan0=笫，

/.BC=A8・tana,

在RtAABDtanp=%,

An

BD=AB*tanpt,

CD—/AZ^*tanaMZ?*tanp.

•AB=tanaitan^,

故答案为：C.

【分析】根据锐角三角函数即可求解.

6.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30。、45。，如果此时热气球C处的高

度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）

A.200米B,203百米

C.220百米D.100(Q+1)米

【答案】D

【解析】【解答】解：由已知，得NA=30。,ZB=45°,CD=100,

VCD1AB于点D.

，在RtAACD中，ZCDA=90°,tanA=%,

CD100

AAD==7T=100

tan/4T

在RQBCD中，ZCDB=90°,ZB=45°

ADB=CD=100^,

AAB=AD+DB=100v3+100=100（百+1）米.

故选D.

【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和

即可.

7.3tan30。的值等于（）

A.1B.y[2c.73D.2

【答案】C

【解析】【解答】解：3tan300=3x争

故选：C.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

8.如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45。降至30。.已知滑梯AB的长为3m,

点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（）

C.3yf2nD.36m

【答案】C

【解析】【解答】解：假设AC=x,

BC=x,

・・•滑梯AB的长为3m,

・•・2x2=9,

解得：乂二号，

VZD=30°,

A2AC=AD,

；.AD=3伤

故选C.

【分析】根据NABC二NBAL45。，AB=3,求出AC的长，再利用在直角三角形中30。所对的边

是斜边的一半求出即可.

9.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长120,测得圆周角

LACB«,则这个人工湖的直径4。为（）

A.406B.60^3C.80V3D.100^3

【答案】C

【解析】【解答】解：过点0作OE1A口于点E,连接0B,如图

=60c,LAOS.2^ACB=120*,

VOA=OB,，，0AE=；（18（F-£40B）=；（18（r-120°）=30«，

：0E1AB,AB=120,

・・・AE=；4H=；x120=60，

AE60

在RtAAOE中，OA4OV5，

COSLOAECOS30

••AD=20A=2x40V3=80、亨

故答案为：C.

【分析】过点O作OE_LAB于点E,连接OB,由圆周角定理可得/AOB=120。，由等腰三角形

的性质以及三角形内角和定理可得NOAE的度数，根据含30。直角三角形的边之间的关系求出

AE,根据二角函数的概念可得OA,进而求得AD.

10.如图，将两张全等的直角三角形纸片△38〃与和一张矩形纸片“G〃按照如图所示的

方式拼成一个平行四边形48C0（其中B、E、”三点共线，D、G、尸三点共线），且

▲B4H="XT=90•，用=需=75，连接BF.DH，若知道平行四边形Z8CD的面积，就能求

以下（）的面积.

C.△人D.矩形EFGH

【答案】C

【解析】【解答】如图，连接FH、BD交于点O,连接AO,

D

H

1UPP

RAH==百知，ABH=30,EHF=60,故AHF=90,故HF||AB,

ABCD为平行四边形，AB||CDWZABD=ZCDO,而NABH=NCDF,f#ZOBH=ZODF,

又BH=DF./BOH=/FOD.

△BOH^ADOF,得OB=OD,即O为BD的中点；

而AB||HF,

当知道平行四边形40CD的面积，便可求△ABH的面积.

【分析】先根据比例可求NABH、NAHB、/EHF为特殊角，得到HF||AB,由△BOHg/XDOF

可得O为BD的中点，即可通过中点转化^ABH的面积.

二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)

11.互余的两个锐角三角函数之间的关系：sin(90°-A)=,cos(90°

-A)=，tan(90°-A)=,cot(90°-A)

【答案】sin(90°-A)=cosA；cos(90°-A)=sinA：tan(900-A)=cotA；cot(90°-A)=tanA.

【解析】【解答】解：根据互为余角的锐角三角函数关系式，知sin(90。・A)=cosA|

cos(90°-A)=sinA|tan(90°-A)=cotA|cot(90°-A)=tanA.

【分析】根据锐角三角函数的概念，可以证明；一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；一个角

的正切值等于它的余角的余切值.

12.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,则sinA的值为.

【答案】g

【解析】【解答】解：•・・NC=90。，AC=6,BC=8,

••・AB=JAC?+8c2=i。，

故答案为：［.

【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，然后根据止弦的定义即可求解.

13.已知在Rt△48C中，z,C=90\$皿4=的，则Lin8的值为.

【答案】二

*M

【解析】【解答】解：由题意得

“■90、sin^=仃

BC12

'.而=TT

设8c=12*贝以8=13力然=〃*比2=「

AC5x5

界〔ai山="=

故答案为:书

【分析】先根据题意画出直角三角形，进而根据正弦函数得到%=设12],则48=131,

no1J

根据勾股定理即可表示出AC,再相比即可求解。

14.在RtAABC中，ZC=90°,a,b,c分别是NA,ZB,NC对边，如果2b=3a,则tanA二.

【答案】弓

【解析】【解答】解：VZC=90°,a,b,c分别是ZA,ZB,ZC对边，

..(anA=石,

V2b=3a,

.n_2

•.广？‘

tanA=g.

故答案为：I.

【分析】根据锐角三角函数的定义可得tanA二£,然后根据题目所给2b=3a可求解.

15.如图，在UM0C0中，AB=13,AD=20,U0C为锐角，且8加乙=弓，点E是4。边上

的动点，连接8£,作乙BEF二乙4BC,EF与BC边交于点凡则△HEF外接圆半径的最小值

为.

【答案】孕

【解析】【解答】解：如图，作的外接圆。0,连接。%OEOF,作

AED

OGIBC.EHlBCfAMIBC垂足分别为点

:.LBOF=2LBEF，

OB=OF,

：•LFOG=JLBOF=LBEh

:乙BEF=UBC,

.乙FOG・U8C,

^AMB■LFGO・90°,

AAMD2FGO,

OG_OF

•,皿=律

ZBC=1|=笫，AB>13,

AM=12,

:口ABCD,AE1BC,EH1BG

AM=EH=12,

在Rt△中45?=AM7♦BM”，

•.BM=y/AB2-AM2=5，

设O0的半径为r,贝UOF=O£・r,

OGr

F=TT

“5

OG二口

••OG^OE>/〃,

­.Rr+r之12,

・・・r之

.•£O£F外接圆半径的最小值为学.

故答案为：26.

【分析】作△8EF的外接圆。0，连接08QE"，OG1BC.EH1BC.AMLBG垂足分别为点

G.H.M,由圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所近的弧上的圆心角的一半”可得

LBOF■2ZBFF,结合已知，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证△4M8-AFG0,

由相似三角形的对应边的比相等可得比例式能=6,根据锐角三角函数sin/ABC=笳求出AM

的值，在RtAABM中，用勾股定理求得BM的值，设O。的半径为，则OF二0£二,，结合比

例式可将OG用含r的代数式表示出来，再根据垂线段最短即可求解.

16.如图，把正力形ASCO的边0A绕点〃逆时针旋转30，得到线段。尸，连接6尸并延长交办

于点E,连接CE,若48』2,则CE?的值是o

【解析】【解答】解：连接AF,CF,过F作.于H,如图:

•・•边DA绕点D逆时针旋转30•彳导到线段DF,

AAD,DF.£ADF*30°,

•・•四边形ABCD是正方形，.48=2.

AAB*ADsDF■2,

HF=1OF=1x2=1.Dif=V3//F=有

AAH=AD-DM=2一百，

••LFDC=90,-LADF=90*-30*=60*,CD-AD-DF

・•.△C0F是等边三角形，

.%DF«CF.zDCF«60\

LBCF・90•一^DCF■30,■ZJWF.VAD=DF=CF=BC,

.*.△ADF丝ZXBCF(SAS),

AAF=BF,

AZFAB=ZFBA,

.•・90°-ZFAB=90°-ZFBA,即NFAE=ZFEA,

.\AF=EF,

ABF=EF,

VZBAE=90°=ZFHE,

・・・HF〃AB,

••EH=AH=2-C,

DE==V5-(2-V5)=273-2,

.CE2=DE2+CD2«（26-2）2422-20-8存

故答案为：20-8\1

【分析】连接AF,CF,过F作F〃工4。于H,求出"F=；DF=1,="号"尸=Q,可得

AH=4D-D//=2-V5再证△BCF（$X9,知AF,BE从而可证BF■EF,又

HFfAB,故£7/=A//=2-万得0E=0H■£〃=2百・2.最后用勾股定理可得CE谢值.

三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25

每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在/I处看见小因C在船北偏去60的方

向上.40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30的方向上.已知以小岛C为中心，10

海里为半径的范围内是多暗礁的危险IX,如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可

能？

【答案】这艘渔船继续向东航行，没有进入危险区域的可能

18.数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台

阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角4G4£=50.2,台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度

i=5:12,然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角上£BF=63.1,则塔顶到地面的高度EF约为

多少米.

（参考数据：tan5O.2041.20，tan63.43之2.00，sinSO.Z3之0.77,sin63.40之0,加）

F

A

G

【答案】解：如图，延长E卜交AG于点H,则E//J,4G,

过点B作8PlAG于点P,则四边形BFHP为矩形，

­•FB=HP，FH=BP.

由i・5:12，可设8尸,5工，则4P

由8P2MW=A辟可得⑸)'-h(12x)?=2丁，

解得jr=2或JT=-2(舍去)，

：.BP■Fl/-10,AP«24,

设£卜=。米，BF=b米，

在Rt△8EF中场IEEBF=曲，

即LUM＞，.4'=之2,则。-2匕①

在p,Arij/cb♦「*uEHEF+FHEF^BP

在R△£/〃中，=不=AP^PH=

即川BO.2°=工】21②

由①②得。=47,b=23.5.

答：塔顶到地面的高度EF约为47米

【解析】【分析】延长EF交AG于点H,过点B作8PlAG于点P，易证四边形BFHP为矩形,

利用矩形的性质可证得FB=HP,FH=BP,利用坡比的定义，设8P,5心利用勾股定理求出x

的值，可得到BP、AP的长；设EF=a米，BFN/J米，再利用解直角三角形求出a与b的数量关

系，同时可得到关于b的方程，解方程求出a、b的值，可得到a的值.

19.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30。、45。，如果此时热气球C处的

高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离.

【答案】解：•・・从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30。、45°,

・•・ZBCD=90°-45°=45°,ZACD=90°-30°=60°,

VCD1AB,CD=100米，

・•・△BCD是等腰直角三角形，

.*.BD=CD=100^,

在RtAACD中，

VCD=100米,/ACD=60°,

AAD=CD*tan600=100xQ=100v3(米)，

AAB=AD+BD=100v3+100=100(v3+1)米.

答：AB两点的距离是10()(vl+1)米.

【解析】【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30。、45。可求出/BCD

与NACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论.

20.居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测

角仪测得该大楼顶部的仰角为45、底部的俯角为38：又用绳子测得测角仪距地面的高度为

：；1.5.求该大楼的高度(结果精确到0.1m)(参考数据：sin38ro.62,cos3&*0.79,

Lin3&*0.78)

c

【答案】解：作AH_LCD于H,如图:

则四边形ABDH是矩形,

.*.HD=AB=31.6m,

在RIYADH中，ZHAD=38°,lan/HAD=将,

・・・AH=HD31.C40.51(m)

tan£HADU7T

在RtAACH中，ZCAH=45°,

ACH=AH=40.5Im,

ACD-CH+HD-40.51+31.6-72.1(in),

答：该大楼的高度约为72.1m.

【解析】【分析】作AH_LCD于H,易证四边形ABDH是矩形，利用矩形的性质可求出HD的

长，在RtAADH中，利用解直角三角形求出AH的长；在RtAACH中，利用等腰直角三角形的

性质可求出CH的长，然后根据CD=CH+HD,代入计算求出CD的长.

21.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从A处平行飞行至B处需10秒，在

地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75。，H处的仰角为3U”,已知无人飞机的飞

行速度为5米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）.

【答案】解：如图，作AD_LBC,BHJ_水平线,

由题意得：ZACH=75°,ZBCH=30°,AB〃CM,

AZABC=30°,ZACB=45°,

VAB=50m,

AD=CD=d8sin30,=25m,BD=AB*cos30°=25x/lm,

BC=CD+BD=(25/5+25)m,

则BH=BC*sin30°=产5

这架无人机的飞行高度米

【解析】【分析】如图，作AD_LBC,BHJ^K平线，根据题意确定出NABC与NACB的度数,

利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BHH勺长.

22.如图，测得两幢楼之间的距离为25.4m,从楼顶小观测点。的俯视角为35。，点C的俯视角为

45,求这两幢楼的高度（精确到。,1771）

(参考数据：sin350=0.57rcos350宅0.82,tan350*0.70)

在RlAABC中，ZACB=ZCAE=45°,

AB=BCxtanZACB=25.4xtan45°=25.4(m).

在RlAADF中./ADF二/DAF=350.DF=RC=25.4(m)

.*.AF=DFx(anZADF=25.4xtan35°^25.4x0.70=17.78(m).

・•・CD=AB-AF=25.4-17.78=7.62~7.6(m).

【解析】【分析】过点D作DF_LAB于F点，根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三

角形，应利用三角函数进行计算，进而可求出答案.