2026年中考数学一轮专项集训-特殊四边形

2026中考数学复习专项特殊四边形(二次函数综合)

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一、解答题

1.如图，抛物线)，=/+历-3与X轴交于4B两点,与y轴交于点C,点。为抛物线顶点,

已知连接8C,抛物线对称轴与8c交于点E.

备用图

(I)求/，的值及顶点。的坐标；

(2)点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以OE为边，且以点

D、E.P、。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说

明理由.

2.已知：平面坐标系内点P(x,y)和点4(04)，点尸到点4的距离始终等于点尸到上轴的距

离.

⑴请你求出点。满足的函数关系式；

(2)如果(1)中求出的函数图象记为L,〃是L沿着水平方向平移得到的，若点用在L上,

点N是L平移后点例的对应点，点。是x轴上的点.是否存在这样的点“，使得以加、N、

。、。为顶点的四边形是有一个内角为60。且的菱形？若存在，请你求出。点坐标；若不存

在，请说明理由.

3.已知抛物线y=-f+尻+。，过点41,0)和点3(-3,0),点尸和点。是抛物线上的两个不

重合的点，。点的横坐标为〃，，点Q的横坐标为记抛物线在点尸和点。之间的部分

图象为W(包含/＞、。两点).

(1)求出抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

⑵当〃?=2时，求图象WI向最高点与最低点的纵坐标的差；

⑶当SNAB=Sw时，求出m的值；

(4)以尸。为对角线构造矩形PMQN,且矩形的边*V〃x轴，当V轴平分矩形QA/QN的面积

时，直接写出加的值.

4.【定义感知】

把函数为=6-c和y,=--x2+-(a>0,<?>0)称为一对“绞合函数”，设抛物线5,|的顶点为

ca

P，抛物线乃的顶点为Q，两抛物线的公共点为A,3(点A在点8的左侧).

⑴写出函数尸2x2-4的“绞合函数”的函数解析式.

【性质探究】

(2)当。=。时、这对“绞合函数''的图象一定会经过同样的两个定点，请通过运算求出这两个

点的坐标.

(3)当。工。时.假设〃=1,c=4.

①写出这对“绞合函数''的解析式，并把它们的图象在坐标系中画出来：

②直接写出直线y与该对“绞合函数''图象有4个交点时m的取值范围.

【拓展应用】

(4)对于任意一对“绞合函数”，若四边形AP8Q是正方形，则mc,满足的关系式为.

5.综合与探究

如图，抛物线)，=a/+24+。与轴相交于点。(0,3),与x轴正半轴相交于点8,负半轴相

交于点4-1,0).

试卷第2页，共6页

p

4

图1图2

⑴求此抛物线的解析式;

(2)如图I,P是第一象限抛物线上的一个动点，过点尸作轴，垂足是点。，PD与BC

的交点为E，设

①用含机的式子表示：PD=_,DE=_；

直接用①的结论求解②③;

②若PE=DE,请直接写出点夕的坐标;

③若PE=2DE,求点P的坐标;

(3)如图2,若点“在抛物线上，点G在x轴上，当以点4,C,F,G为顶点的四边形是平

行四边形时，求点尸的坐标.

6.定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形用的内部，或在图形M上，且点N的

横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点:

图①图②

(1)如图①，矩形A3CO的顶点坐标分别是A(-l,2),C(3,-l),力(3,2),在点

%(2,2),町3,3)中,是矩形43CZT梦之点”的是」

IO

(2)如图②，已知点A,3是抛物线)，=-耳/+'+5上的“梦之点''，点C是抛物线的顶点.连

接AC,AB,BC,求V/WC的面积;

(3)在(2)的条件下，点P为抛物线上一点，点。为平面内一点，是否存在点尸、Q,使得

以AA为对角线，以A、B、P、。为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出尸点坐标；

若不存在，请说明理由.

7.如图，抛物线y=aF+bx+6与x轴交于点A,B,与)'轴交于点C,OB=OC=3OA.

⑴求抛物线的对称轴;

⑵点?(〃?,〃乂〃722)是抛物线上一个动点，连接”，CP,AP交轴交于点。，作夕。_Lx

轴于点0.

①若点。是03的中点，求APAC的面积；

②若以点C,D,P,。为顶点的四边形为平行四边形，求用的值.

8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y灰+c"、c为常数)的顶点坐标为当，

与x轴交于A、8两点(点八在点8左侧)，与)，轴交于点。，点C,点力关于x轴对称，连

结A。，作直线BQ.

(1)求从c的值；

⑵求点A、8的坐标；

(3)求证：ZADO=ZDBO；

(4)点P在抛物线丁=3/+加+。上，点Q在直线班)上，当以点C、。、P、Q为顶点的四边

形为平行四边形时，直接写出点。的坐标.

试卷第4页，共6页

9.如图，抛物线过点C(O、2),与1轴交于点4、B,抛物线顶点坐标为(Y,6),矩形GFE。

的边防在线段A8上(点/在点E的左侧)，点G,。在抛物线上.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求证：直线y=；x+9与该抛物线没有交点；

⑶设石卜人0),矩形。瓦'G的周长为〃?，写出加与。的函数关系式，并求/〃的最大值;

10.如图，抛物线的顶点为40,2),且经过点8(2,0),以坐标原点。为圆心的圆的半径

(1)求抛物线的函数解析式.

⑵求证：直线A8与。0相切.

(3)已知P为抛物线上一动点，线段P。交。。于点M,当以M,O,4,C为顶点的四边形

是平行四边形时，求PM的长.

II.如图,抛物线y=的对称轴/与x轴交于点儿与)，轴交于点R

⑴求点A8的坐标:

（2）。为该抛物线上的一个动点，点。为点C关于直线/的对称点（点。在点C的左侧），点

M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C,使得四边形ACMQ是正方形？若存在，清求

出点C的坐标：若不存在，请说明理由.

12.抛物线y=ad+4ai+c（4N-l,且。工0）与x轴交于4、4两点，与V轴交于点C.已知

点5（-5,0）.

（I）求A的坐标；

（2）若对任意的实数孙且当〃取其范围中的最小值时，代数式小？+4必.+。一9的值都不大于

0.

①求出抛物线的解析式；

②点P（〃?,，?）是抛物线y=ar2+4ai，+c上的任意一点（不与点C重合），过点夕做PQ_Ly轴

于点。，E（0「2〃。在），轴上,以E0,P。为邻i力作矩形夕。£7"当在矩形夕。月厂内的抛物

线所对应的函数值了随x增大而减小时，直接写出〃?的取值范围.

13.如图，已知抛物线y=f+A—C的对称轴为直线/:尸-1,且与），轴的交点坐标为（0,-1）,

直线/与x轴相交于点C

⑴求该抛物线的表达式；

（2）如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点〃作由轴，PBLI,垂足分

别为A,8.设点P的横坐标为机.当四边形AP8C为止方形时，求/〃的值.

试卷第6页，共6页

《2026中考数学复习专项特殊四边形(二次函数综合)》参考答案

1.(l)y=x2-2x-3,0(1)

一人……、…c、-(3+而I+拒-而1-如、

(2)点。的横坐标为(2,-3)或一--,---或一--,---.

/\/

【分析】本题主要考杳二次函数的性质和平行四边形的性质，

(1)利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知。及顶点。的坐标；

(2)结合第一问求得直线解析式，可求得DE的长.根据题意设2a-3)和

。(0〃-3)分类讨论即可求得答案.

【详解】⑴解:将A(—1,0)代入尸犬+员―3得：

0=(-1)2+/>X(-1)-3,

解得：b=-2,

y=x2-2A-3,

/.y=(A-l)2-4,

・•・。(1).

(2)存在.

当丁=。时，x2-2.r-3=0

解得：N=T,X2=3,

・•・B(3,0),

当x=0时，y=-3,

・•・C(O,-3),

设直线BC解析式为(，"0),

将5(3,0)、C(0,-3)代入得:

0=3in+n

：-3=〃’

答案第I页，共23页

・•・直线BC解析式为)，=x-3,

当x=l时，)，=1-3=-2.

・•・E(l,-2),

则。E=2.

设耳小4-24-3)、Q(〃M-3)分类讨论:

①当点P在点。下方时，

(a2-2a-3)-(a-3)=2,

解得：q=三姮，y*

122

②当点P在点。上方时

2

(a-3)-(a-2a-3)=2f

解得：4=1(舍去)，生=2,

g「由决QAI*=-/O3+V171+如)十(3-如1一行1

综上所述，点户D的6坐AA标为(2,-3)或一--,---或一--,---.

X乙乙/X乙乙/

2.(l)y=1x2+1；

(2)存在,Q坐标为(26+2历0)、(273-272,0),(-273-272,0),卜2g+2&,0).

【分析】(1)由题意得以二08,PB±x$|l|,PDly^.利用勾股定理得4户2=H)2+402

再计算即可；

(2)过M作“G_Lx轴,，由菱形性质得@2=OM=%,由直角三角形中30度角所对直角

边是斜边的一半得OG=；OM=3,求出呢心甸，代入函数解析式计算即可.

【详解】(1)如图，PA=PB,轴，PD±y^.

在中,

答案第2页，共23页

AP2=PD2+AD2

y2=x2+(y-l)2,

•••点P满足的函数关系式为y=；；

・•・OG=-OM=-k,

22

，MG=43OG=­k,

2

・•・端6司，

・一限=p.小+L

212)2

:・k=2上±m,

・•・a(2x/3+2x/2.0)或(2瓜2及,0),

根据对称性得Q(-2。-2>/2,0)或(-26+2>/2,0),

综上所述，Q坐标为(26+2加,0),(26-2&,0),(-2>/3-2>/2,0),(-2>/3+2>/2,0).

【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，图象及性质和30度角所对直角边是斜边的一半，

菱形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用，面出函数图象，再分类讨论是解题的

关键.

3.(1)抛物线的解析式为V2.53,顶点坐标为(-1』)

答案第3页，共23页

(2)9

⑶6=3或2普

(4)tn—1

【分析】(1)待定系数法求出抛物线的解析式，将一般式化为顶点式，求出抛物线的顶点坐

标即可；

(2)先求出尸⑵-5),Q(-3,0),再结合图象，得出最大值和最小值，即可得出答案；

(3)根据S“"=SAQA8，得出1)71=1为1,分两种情况：当3产儿时与力=一儿时,分别求

出结果即可：

(4)根据矩形尸MQN以P。为对角线，且川〃x轴，可确定矩形各边平行于坐标轴；再结

合”)，轴平分矩形面积当且仅当它过矩形中心”这一结论得出土/■=(),代入后即可求得，〃

的值.

【详解】(1)已知抛物线)，=-/+公+。过点410)和点町-3,0).

-1+b+c=0f/?=-2

代入点A(l,0)、8(-3,0)得八管八，解得2

-9-3Z?+c=0[c=3

一b-2

，抛物线解析式为)，=一/-2x+3,顶点横坐标X=_丁=_/n=T代入得纵坐标

2a2x(-1)

2

y=-(-l)-2(-l)+3=-l+2+3=45

••・顶点坐标为(-1,4).

(2)解：点。的横坐标为m=2,代入抛物线解析式得到点P的纵坐标为-5,故尸(2,-5)；

点。的横坐标为1-2〃?=1-2><2=-3,代入抛物线解析式得到点。的纵坐标为0,故。(-3,。).

图像W为抛物线上从PQ-5)到。(-3,0)的部分(含端点)，如图.

答案第4页，共23页

抛物线开口向下，顶点(-1,4)在范围-3W.IW2内，故最高点为顶点，纵坐标为4：最低点为

端点P(2,-5),纵坐标为-5.

故图象W的最高点与最低点的纵坐标的差为4-(-5)=9.

(3)解：点AGO)、8(-3.0)在x轴上,线段人A长为II-(-3)|=4.

由三角形的面积公式可得：Sy=gx|A81x|力SRS=gx|A81x|坨|

=—2

当SNAB=S&QAB时，可得I)'尸ll)'QI>其中»=一"『2"?+3,"=—(I—2/77)—2(1—2m)+3

=-4/n~+8〃i.

以下分井=%与)>="Q两种情况讨论：

情况一：力•=)'。时，-m2-2m+3=-4nf+8/n>即3加-H)〃z+3=()

解得：6=3或m=其中加=；时，。与。横坐标相同，点重合，故舍去.

•••〃?=3时，P(3,-12),Q(-5,-12),两点不重合，满足题意.

222

情况二：)'P—~)'Q时,-wi—2m+3=-(—4m+8m),即Sin—6m—3=0»

解得：加=延|四，经检验此时点P与点Q均不重合，满足题意.

22

(4)解：点PgyP),Q(l-2m,yQ),其中yp=-m-2m+3,yQ=-4m+8m,

矩形PMQ*以P。为对角线，且PN〃x轴，故矩形边平行于坐标轴.

设P(a,O),Q(c,d),则矩形顶点为P(a,b)、M(a,d)、Q(c,d)、N(c,b).对角线尸。的中点为

a+ch+d

,

答案第5页，共23页

y轴平分矩形面积当且仅当它过矩形中心（即时角线中点），故土乜•=（）,即再,+%=（）,

代入坐标：〃?+（1-2附=0,解得：6=1.（满足条件的矩形见下图）

【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解、顶点坐标确定、函数图象上点的坐标特征、

三角形面积计算、矩形的性质以及图形与坐标的综合应月.解题的关键是熟练运用待定系数

法求二次函数解析式，深刻理解二次函数图象的性质以分析函数值的变化，结合坐标关系和

几何图形的性质（如三角形面积相等的条件、矩形对角线的性质及面积平分线的特点）建立

方程进行求解，同时需要注意对不同情况的分类讨论以确保答案的完整性.

4.（l）y=-；f+g

⑵（1,（））或（TO）

⑶①y二』一4,旷2=-%2+1,见解析；②〈。或0<〃?<1

（4）ac=1

【分析】（1）直接根据新定义，进行求解即可；

（2）联立两个函数，求出交点坐标即可；

（3）①根据新定义，写出函数解析式，进行画出函数图象即可：②直接利用图象法进行求

解即可；

（4）根据四边形AP8Q为正方形，推出OQ=OQ,即可得出结果.

【详解】（1）解：由题意，函数y=2.，—4的“绞合函数”的函数解析式为），=-；/+（

（2）解：・・・a=c,

■对“绞合函数”的解析式为X=d和

aa

人、1,1

令6-a=——厂+—,

aa

答案第6页，共23页

解得x=±l,

，定点坐标为(1,0)和(TO)；

22

(3)解：当。=1,。=4时，y,=x-4,y2=-^-x+1,

①列表如下：

X-3-2023

Ji50-405

_5_5

心-4010~4

0<〃?<1或-4<mv0；

(4)解：和.％=-』/+!(4>0,00)的顶点坐标分别为尸(0,一，),。0,-1,

ca\a)

・••点只。均在y轴上，且在原点的两侧,

・•・两个函数的交点在x轴上，且在原点的两侧，

・•・当四边形APAQ为正方形时，。为正方形的中心，OP=OQ,

ac=}.

答案第7页，共23页

5.(!)>,=-x2+2.r+3；

(2)①一”/+2〃?+3,—〃?+3；②点P的坐标为(1,4)；③点P的坐标为(2,3)

(3)点F的坐标为：⑵3)或(1+4-3)或(1-血,-3).

【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的图象和性质，

正确确定线段的长度是解题的关键.

(1)由待定系数法即可求解；

(2)①根据点的坐标，即可求解.：

②若PE=DE,则—/〃2+3〃?=一〃?+3，即可求解；

③若PE=2DE,则-加2+3〃?=-2m+6,即可求解；

(3)当3C为对角线时，由中点坐标公式得：3=-〃」+2/??+3,即可求解；当的'或4G为时

角线时，同理可解.

。-2+。=0,\a=-\

【详解】(1)解：由题意得：)，解得：，，

c=3(c=3

则抛物线的表达式为：y=-x、2x+3；

(2)解：设点4-2m+3),

由点8、C的坐标得，直线8C的表达式为：y=-x+3,

则点E(m.-m+3),

则PE=-m~+2tn+3-(-m+3)=-m~+3m；

①则PD=-nr+2”?+3,DE=-m+3；

故答案为：一/〃2+2m+3，-m+3；

②若PE=DE,则T/+3"Z=T〃+3，

解得：m=3(舍去)或〃2=1,

即点P(l,4)；

③若PE=2DE,则一>+3m=-2m+6，

解得：〃?=3(舍去)或相=2,

即点。(2,3)：

(3)解:设点F(m,-m2+2m+3),点G(x,0),

当4c为对角线时，由中点坐标公式得：3=-m2+2m+3,

答案第8页，共23页

解得：w=0（舍去）或〃2=2,

即点尸（2,3）；

当班'或8G为对角线时，同理可得：

3=-〃?2+2机+3或0=-〃?2+2机+3+3>

解得：m=0（舍去）或〃，=2或〃?=1±J7,

故点尸的坐标为：（2,3）或（1+夕,-3）或（1-4,-3）.

综上，点尸的坐标为：（23或（1+血,-3）或

6.M2

⑵12

⑶存在，（2-后,而一2|或（2+如,一日一2）

【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，

理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键.

（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边匕

（2）根据“梦之点”的定义和二次函数的解析式，求得4,3的坐标；根据二次函数的顶点

式，求出抛物线的顶点，点C的坐标，抛物线的对称轴，根据=+，即可求

得答案；

（3）设+由以A4为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形可

得42=8尸，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案.

【详解】（I）•・•矩形4As的顶点坐标分别是A（—l,2）,B（T—1）,C（3-l）,。（3,2）,

••・设矩形人8C。的"梦之点''为（乂），），满足一1KXK3,-\<y<2,

・•・点M（U），M（Z2）,%（3,3）中,是矩形A3CQ“梦之点”为点MO，。，%（22）.

故答案为：M,,M2.

1O

（2）YA,4是抛物线yn—'f+x+i上的，，梦之点，，

，点A,B是直线）,=x上的点，

答案第9页，共23页

y=一x-+x+-

U22

[x.=3[x,=—3

••・A(3,3),8(-3,-3)；

*.*y=--x*+x+-=--(x-l)-+5,

222V7

・••二次函数的顶点C(l,5),二次函数的对■称轴为x=l,

设抛物线的对称轴交AB于仞，

AM(1,1),

/.GW=5-1=4

•q—q+q

=~xCMx(%-%)+gxCMx&-％)

=^xCMx(xA-xfi)

=lx4x[3-(-3)]

=12.

(3)存在，理由如下:

支尸，，一3〃+/+?),

•・•以人B为对角线，以A、B、P、。为顶点的四边形是菱形,

•••AP=BP,

答案第10页，共23页

工（/一3『-+]+2—3）=（/+3）2+-3产+/+g+3）,

解得：t=2±\/13,

当1=2—瓜--x（2-x/13）2+（2-Vi3）+|=Vi3-2,

・••点叩-厄9-2）；

当1=2+屈,-1x（2+Vi3）2+（2+Vi3）+|=->/i3-2,

・••点网2+疝-9-2）：

综上所述，点户的坐标为；（2-旧,旧一2）或者（2+而，一旧一2）.

7.（1）抛物线的对称轴为直线工=2；

⑵①&APC=J;②〃2的值为1十后或3十万.

【分析】（1）根据题意求得4（-2,0）,8（6,0）,再根据抛物线的对称性质求解即可；

（2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点。（3,0）,再求得直线4尸的解析式,

求得。（0,3）,再利用三角形的面积公式求解即可；

②分当点。在原点上方和下方两种情况讨论，根据8=PQ,列式计算即可求解.

【详解】（1）解：令x=0,则y=6,

••・C（0,6）,

OC=6，

•：OB=OC=3OA,

・・・A（-2,0）,8（6,0）,

・••抛物线的对称轴为直线x=等=2；

（2）解：①将4（一2,0）,8（6,0）代入产江+打+6,

4。一2Z?+6=0

得4,

[36«+6Z?+6=0

解得一二一5,

〃=2

答案第II页，共23页

・•・抛物线的解析式为y=-gY+2x+6,

丁点。是04的中点，

，点Q（3,0）,

当x=3时，x32+2x3+6=—,

-22

则点不同，

-2&+4=0

设直线AP的解析式为工"+。，贝山，，15,

3k+b\=—

2

解得2,

4=3

•••直线AP的解析式为y=|1+3,

令x=0,则y=3,

・•・0（0,3）,

・7女=；。。、比一“=»=果

②・・•点尸（孙〃）（加之2）是抛物线上一个动点,

〃?,一：〃/+2m+6）,则Q（/?7,0）,

*：OD//PQ,

：,△AOZ>zVkAQP,

*PQAQ'即一gfn2+2rn+6

答案第12页，共23页

,八八-m2+4/zz+12

••OD=------------------，

m+2

:・CD=6-OD=m,

•••以点C,D,P,。为顶点的四边形为平行四边形,

CD=PQ,即一■-tn2+2m+6=ni,

2

解得m=1±，

/??=1+>/13；

当点。在原点下方时,

*：OD//PQ,

：.Z^AOD^Z^AQP,

OD2

・OPAO

即12i«机+，

'~PQ~~AQ—in-2m-62

2

—12

in+2

CD=6+OD=ni，

•・•以点C,。，P,。为顶点的四边形为平行四边形,

:,CD=PQ,即,〃/一2用一6=〃？，

2

解得〃】=3±\/^1，

••〃?=3+V2T；

综上，机的值为i+Jil或3+向.

【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定

答案第13页，共23页

系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点

之间的距离公式和平行四边形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数

和•次函数解析式以及分情况讨论.

8.=。=-2；

(2)A、B的坐标分别为(-1,0)、(4,0)；

⑶详见解析

(4)点Q的坐标为：(1+阮士平词1-阮三手|或(-2,3)或(2,1)

\Z/

【分析】(1)用待定系数法即可求解：

(2)令)，=；(%-；)2一］=；/一;1一2=0,解得X=4或一1,即可求解；

(3)由tanN4Z)O=^=L,tan^DBO=-=-=-=lanZADO,即可求解；

OD2OB42

(4)当C。为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式列出方程组，进而求解；当C。、。

是平行四边形的对角线时，同理可解.

【详解】(I)解：设抛物线的表达式为：y=a(x-h)I2+k,

milI,3遂251、3r

22822

3

即力=-=,c=-2；

2

I775I4

(2)解：令'=—(x——了---=—x2——x-2=0,

22822

解得：x=4或一1,

故点A、8的坐标分别为(一M))、(4,0)；

(3)证明：由抛物线的表达式知：点。(0,-2),

则点0(0,2),

则0。=2,05=4,04=1,

tan/A。。=,tan/DBO==—=—=tanZADO,

OD2OB42

：&DO=NDBO；

(4)解：设点。(〃?,-；川+2),点夕()几〃)，〃=,2-，-2,

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0+0=z+〃？

当C。为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：cc1、

-2+2=/?——r+2

2

整理得：

2

解得：〃?=0（舍去）或2,

则t=-2,

即点Q(—2,3)；

0+/=0+

当CQ是平行四边形的对角线时，可得:

-2--/+2=〃+2

2

解得：/??=/=2,

即点Q（2,l）；

0+〃7=0+/

当CP是平行四边形的对角线时,可得：

-2+〃=2—1+2'

2

解得：/=〃1=1士VF7,

即点。的坐标为'+历或

；+阮产］或卜―阮呼、

综上，点。的坐标为:或(-2,3)或(2,1).

K2Z\4Z

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解直角

三角形，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中.运用数形结合、分类讨论及方程思想

是解题的关键.

9.（\）y=--x2-2.x+2

4

（2）见解析；

⑶机=-g/+20,〃？的最大值是20

【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，

熟知二次函数的相关知识是解题的关键.

（I）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；

（2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可；

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（3）根据题意可得。+可证明点E和点尸关于抛物线对称轴对称，则可

得至"（-8-。,0）,进而求出。E=—5/—2a+2,4=8+2〃，根据据此周长计算公式可

得小=一;/+20,据此利用二次函数的性质求出最大值即可.

【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为），=〃（X+4）2+6,

将点C（0,2）代入解析式可得2=16。+6,解得〃=

••・抛物线的函数表达式为1y=-1（犬+4『+6=-!/一2.羊+2；

44

（2）证明：将直线y=g%+9与抛物线），=一；/—2x+2联立可得gx+9=—；/-2X+2,

整理得入+力+7=0；

42

.<5?.1_25-3八

•A--4x—x7=---7=——<0,

\2）444

•・•直线），=gx+9与抛物线），=—；/-2犬+2没有交点；

（3）解：由题意得E（«0）,则。（。，一；/一2。+2

•・•四边形EPGD是矩形，

:.GD〃EF,GD=EF,

・••点G和点。关于抛物线对称轴对称，

••・点E和点尸关于抛物线对称轴对称，

__2_

由（1）可得抛物线对称轴为直线”=―一rr=,

---XZ

4

F（-8-a,0）,

/.DE=--a2-2a+2,EF=8+2a.

4

（iAii

fn=2——2a+2+8+2a=—a~+20,即/〃与。的函数关系式是〃?=—，厂+20

14/22

.•・当。=0时，加的值最大，加的最大值是20.

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(2)见解析

(3)x/10sK>/i0-2V2

【分析】(1)根据题意，可设抛物线的解析式为：>'=ar+2,把点8的坐标代入即可求出

。的值，即可得出抛物线解析式；

(2)根据切线的判定，证明OC是。。的半径即可；

(3)由题意知，4c是以M,0,A,C为顶点的平行四边形的边，利用平行四边形对边

平行的性质，可得出直线。例的解析式，直线。河与抛物线的交点为P,即可求出的长.

【详解】⑴解:•抛物线的顶点为40,2),

「•可设抛物线的解析式为：y=av2+2,

•.•抛物线经过点以2,0),

.“Ja+2=0,

解得：〃=-；，

「•抛物线的解析式为：+2；

(2)证明：・・・40,2),3(2,0),

.-.OA=OB=2,

:.AB=2近，

'.'OC1AB,

：.-OAOB=-ABOC,

22

：.-x2x2=-x2x/2-OC,

22

解得：oc=e，

•••0。的半径r=&,

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.•.0C是。。的半径，

・,・直线AB与0。相切；

（3）解：•••点P在抛物线），=彳/+2上，

口J设P（x,—gx?+2）,

以M,。，A,C为顶点的四边形是平行四边形时,

可得：AC=OM=42，CM=OA=2,

•.•点C是AB的中点，

设直线的解析式为y=依，将点例代入，

得：k=—l,

・,・直线QM的解析式为y=-x,

,点P在上，

1，c

...一一x~+2=-x,

2

解得：X=1+石，x?=\-旧,

X=-l-石，,2=7+石，

；.R（l+&-l-y/5）,R（l-石，-1+75）,

如图，

当点夕位于匕位置时,

04=J(l+石)2+(_]_6)2=12(1+逐)2=及(1+6)=五+加,

/.6M=OM=丘大屈五=屈，

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当点尸位于尸2位置时，同理可得：OP[=M-五,

:=OP1-OM=M-近-五=晒-20

综上所述，的长是厢或屈-2&.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质，圆的切线的

判定，二次函数与几何图形的综合运用等知识，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质

等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键.

11.(l)A(LO),8(0,-3)

⑵存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形，点C的坐标为(-1+J万,2-折)或

(3+V17,2+717)

【分析】(1)将二次函数仅为顶点式，然后求出点A的坐标：杷x=0代入撇物线的解析式，

求出)=3,得出点8的坐标即可；

(2)分两种情况进行讨论，当M在x釉下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出

结果即可.

【详解】(1)解：vy=^x2-ix-3=l(x-l)2-^,

4244

当4=0时，＞'=-3,

8(0,-3).

(2)解：存在，理由如下：

由题意四边形ACMD是正方形，则△AC。是以点A为直角顶点的等姨直角三角形.

(11A

设。勺2-3,

①当”在人轴下方时，如图1,过点C作CE_L八轴丁E,此时是等腰直角三角形，

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此时o（一1+如,2-如）.

②当M在x轴上方时，如图2,过点。作《，入轴于立

.•.G=3+J17,r4=3-V17（舍去），

此时C（3+JF