第三章 第2节 第1课时 导数在研究函数中的应用

第2节导数在研究函数中的应用

最新考纲1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，

会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）；2.了解函数在某点取得极值

的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不

超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）；

3.利用导数研究函数的单调性、极（最）值，并会解决与之有关的方程（不等式）问题;

4.会利用导数解决某些简单的实际问题.

I基础殄断回归教材，夯实基础

知识梳理

1.函数的单调性与导数

（1）在区间Q上，若且/（x）=0不连续成立=函数#x）在区间。上递增;

（2）在区间。上，若/（x）WO,且了（幻=0不连续成立Q函数应0在区间。上递减;

⑶在区间。上，若r3=0恒成立Q函数ZU）在区间D上是常函数.

2.函数的极值与导数

/(沏)=0

条件即附近的左侧了⑴加，右侧

X0附近的左侧/（幻幺），右侧力R*

/«<0

)y

加())

\3/一

O

图象0/X„\X

加。)Ai/，

形如山峰形如山谷

极值人沏）为极大值./Uo）为极小值

极值点工0为极大值点Xo为极小值点

3.函数的最值与导数

（1）在闭区间m，切上连续的函数凡r）在［小切上必有最大值与最小值.

（2）若函数久。在口，以上单调递增，则侬为函数的最

小值，也为函数的最大值；若函数外）在m，加上单调递减，则侬为函数的最

大值，破为函数的最小值.

［常用结论与微点提醒］

i.函数/U）在区间3,。）上递增，则了㈤川，a）＞o在①，与上成立”是“段）

在m，与上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数7U）,5））=0”是“函数«r）在x=xo处有极值”的必要不充

分条件.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

⑴若函数於）在（小㈤内单调递增，那么一定有/（x）＞0.（）

⑵如果函数yu）在某个区间内恒有了（x）=o,则4V）在此区间内没有单调性.（）

⑶函数的极大值一定大于其极小值.（）

⑷对可导函数ZU）,f（即）=0是与为极值点的充要条件.（）

（5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.（）

解析（1加丫）在（〃，■内单调递增,则有/（r）~o.

（3）函数的极大值也可能小于极小值.

（4）即为yw的极值点的充要条件是/（劭）=0,且用）两侧导函数异号.

答案（l）x（2）V（3）x（4）X（5）J

2.（选修2-2P32A4改编）如图是於）的导函数/（»的图象，则段）的极小值点的个

数为（）

解析由题意知在工=一1处/（-1）=（）,且其左右两侧导数符号为左负右正.

答案A

3.函数«Y）=聋7m＞0）的单调递增区间是（）

A.（—8,-1）B.（-l,1）

C.（l,+8）D.（-8,-1）u（l,H-OO）

✓7（1—/%

解析/a）=（/+1）'2,令/a）＞o,解得一1令＜1，故./U）的单调递增区间是（一

1,1).

答案B

4.(2017•全国II卷)若x=-2是函数段)=”+依一的极值点,则於)的极

小值为()

A.-lB.-2e-3C.5e-3D.l

解析/W=[?+(67+2)x+67-1]-ev-1,

则/(-2)=[4—2(。+2)+。一1卜屋3=0=«=—1,

则4])=(%2—工一1).已“,,f(x)=(x2+x—2)-e'

令/。)=。，得x=—2或x=l,

当x<-2或x>l时，ff(x)>0,

当一2a<1时，f«<0,则於)极小值为<1)=-1.

答案A

5.(2018・郑州质检)若函数.心)=¥-%2+以+4恰在L1，4]上单调递减，则实

数。的值为.

解析/(九)=f—3工+〃，且/(犬)恰在[-1,4]上单调递减，.7/'(x)=f—3x+〃W0

的解集为[-1,4],

因此一1,4是方程/。)=0的两根，

则«=(—1)X4=—4.

答案一4

第1课时利用导数研究函数的单调性

I考点突破呼精彩PPT名师讲解分类讲练，以例求法

考点一讨论函数的单调性

【例1】(2017•山东卷改编)已知函数ga)=；f—%/2+(x—〃)cosx—sinx,讨论

g(x)的单调性.

解g'(x)=x2—or+cos%—(%—«)sinx—cosx=

x(x—〃)一(x—〃)sinx=(x-a)(x-sinx).

令〃(x)=x—sinx,贝ijh\x)=1—cosx2(),

所以/z。)在R上单调递增，

因为人(0)=0,

所以当第>0时，A(x)>0,当x<0时，/?(x)<0.

(1)当。<0时，g'(x)=(x—〃)(x—sinx),

当x£(—8,〃)时，x—〃<(),g'(x)>0,g(x)单调递增；

当戈e(m())时，x—a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;

当文£(0,+8)时，工―4〉o,屋(])〉0,g(x)单调递增.

(2)当。=0时，gf(x)=x(x—sinx),

当X£(-8,+8)时，g'0)20,g(x)单调递增；

(3)当。>0时，g'(x)=(x—«)(%—sinx),

1

当xW(—8,0)时,x-a<0,g(x)>0,g(x)单调递增;

当2W(0,a)时,x-a<0,gf(x)<(),g(x)单调递减;

当/&(〃，+8)时，X—G>0,g'(x)>0,g(©单调递增.

综上所述：

当。<0时，函数g(x)在(一8,a)和(0,+8)上单调递增,在3，0)上单调递减;

当。=0时，函数g(x)在(一8,十8)上单调递增：

当a>0R寸，函数g(x)在(一8,0)和(〃，+8)上单调递增，在(0,〃)上单调递减.

规律方法利用导数斫究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当7U)

含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.讨论的标准有以

下几种可能：(l»(x)=0是否有根；(2)若/(“)有根，求出的根是否在定义域内；

⑶若在定义域内有两个根，比较两个根的大小.

【训练1]已知函数小)=/+者〃£口)在工=一,处取得极值.

⑴确定。的值；

(2)若g(x)=/")e",求函数g(x)的单调减区间.

解(1)对7U)求导得力幻=3a/+2x,

因为於)在尸号处取得极值，所以/(一力=0,

=($3+|x2++1)(x+4)ev.

令g‘a)vo,得X(x+l)(x+4)<0,

解之得一1<A<O或A<—4,

所以g(x)的单调减区间为(一1,0),(-OO,-4).

考点二利用函数的单调性求参数(易错警示)

【例2】(2018•成都诊断)己知函数人r)=lnx,g(x)=^ax2-\~2x.

⑴若函数/?a)=/a)一以的存在单调递减区间，求实数。的取值范围；

(2)若函数/?(x)=/U)—g(x)在［1,4］上单调递减，求实数。的取值范围.

解(1)/z(x)=InX—^CDT—2x,.r>0.

h'(x)=~—ax—2.

JC

若函数〃(x)在(0,十8)上存在单调减区间，

112

则当犬>0时，--cix—2<0有解，即公？一不有解.

人人人

12

设G(x)=-y--f所以只要a>G(x)min.(*)

又G(X)=(：-1)—1,所以G(X)min=­L

所以0一1.即实数々的取值范围是(-1,+-).

⑵由/G)在［1,4］上单调递减，

・••当x£［l,4］时，力'(x)=J一以一2W0恒成立，(**)

1212

则a2?一；恒成立，设G(x)

人人人人

所以〃2G(X)max.

又6(1)=(>『一］,xGU,4］,

因为x£［l,4］,所以*1,

7.7

所以G(X)max=一记(此时工=4),所以一记.

当〃=一得时,

,1,7I6+7X2-32X(7X-4)(X-4)

h'U)=-4-T7x—2=----r7------=-------方---------

''x1616x16x

Vxe[l,41，

(7x~4)(x—4)

：.h'W(),

16A-

当且仅当x=4时等号成立.（***）

・・・加0在［1,4］上为减函数.

故实数。的取值范围是［一看+8）

规律方法1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件ra）eo（或

/a）〈o）,与恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论

求解），应注意参数的取值是八用不恒等于0的参数的范围.

2.若函数》=/“）在区间（〃，份上不单调，则转化为/（幻=（）在（〃，份上有解.

易错警示（1）本例中，对特称命题理解不清，不能把笫（1）问转化为:一以一2Vo

--V

有解，难以得到不等式（*）.错求a的取值范围.（2）错误理解“凡。为减函数的充要

条件是对任意的工6（〃，与都有/（©WO,且在（〃，与内的任一非空子区间上/（x）

不恒为0”.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.导致在第（2）问中（**）

7

处易错求1a）＜o恒成立，另外在（***）处容易忽视。=一於进行检验.

【训练2】（1）（2018•安徽江南十校联考）设函数一91nx在区间a

+1］上单调递减，则实数〃的取值范围是（）

A.(l,2]B.[4,4-oo)

C.(-8,2]D.(0,3]

9

解析・・・兀丫)的定义域是(0,+8),f(x)=x--,

a~1>0,

...由/(x)40解得0v<3,由题意知，「I.

fl-r1W3,

解得lvaW2,

答案A

（2）（2018•兰州模拟）已知函数於）一20nx+（〃一2A.

①当。=一1时，求函数久T）的单调区间；

②是否存在实数〃，使函数ga）=/a）一以在（（），+8）上单调递增？若存在，求

出。的取值范围；若不存在，说明理由.

解①当。=—1时，贝x)=32+21nx—3x,

.,2x2—3x+2(x—1)(x—2)

则rl/W=x+--3=---=-----------；------------.

当04<1或入>2时，/(幻>0,yw单调递增；当I令<2时，/。)<0,凡¥)单调递

减.

・・・«r)的单调增区间为(0,1)与(2,+8),单调减区间为(1,2).

②假设存在实数。，使g(x)=/a)一依在(0，+8)上是增函数，

・•・/(幻=/(幻一4=x—常一220恒成立.

x2—2t—2〃

即---言----20在x£(0，+8)上恒成立.

・'•x2—2x—2a20当x>0时恒成立，

又夕(x)=g(x—1)2—x£(0,+8)的最小值为一g.

，当。〈一;时，g'(x)20恒成立.

1(r—I)?

又当。=-5，g'(幻=丫---当且仅当x=i时，g'W=o.

乙人

故当〃£(—8,一；时，ga)=«r)—at在(0,+°°)卜.单调递增.

考点三函数单调性的简单应用(多维探究)

命题角度1利用函数的单调性解不等式

【例3—1](1)函数力㈤的定义域为R,犬-1)=2,对任意x£R,/(戏>2,则

Xx)>2x+4的解集为()

A.(—l,1)B.(-l,+8)

C.(—3,—1)D.(—8,十8)

(2)(2017.江苏卷)已知函数./U)=V-2x+e，一9，其中e是自然对数的底数，若火〃

C

—1)+八2/)・0,则实数a的取值范围是________.

解析(1)设相")=/5)一(21+4),

,:mr(x)=f(x)—2>0,

・・・加(》在R上是增函数.

•：m(-l)=y(-D-(-2+4)=0,

/??(x)>0的解集为｛x|x>—1).

=3x2—2+ev3x2—24-e'•看=3J?20且/&)不恒为0,所以人工)

为单调递增函数.

又X-x)=(-x)3-2(-x)4-e-x-4r=-^3-2x+ev-^=-/(x),故J&)为奇函

数.由4a-D+Q/WO得，/2"长一加一1)=洲1一0所以MWl-m解得

—1

故实数。的取值范围为［—1,

答案(1)B(2)-1,1

命题角度2利用函数的单调性比较大小

【例3—2】(1)(2017・安徽二模)已知於尸华，则()

人

AQ)/e)次3)B：«3)Xe)42)

C次3)次2)次e)D.^e)>/(3)>A2)

(2)(2017.南昌模拟)已知定义在(0,上的函数危)的导函数为了(X),且对于任意

的不£(0,丁)，都有/(x)sinx勺U)cosx,则()

A.我(高动周B后卜1)

。3疝<疝DW筋图

解析(1VU)的定义域是(0,+8),•"(幻=1二,'

A

・"(0,e),f(x)>Ofx£(e,+«>),/(x)<0,故x=e时,

氏*皿=/(e),而｛2)=芋=喈，｛3)=竽=野，则,/(e)注3)状2).

⑵构造g。)金ol11八，则g,a)=’⑴'oi对l!--V⑴。晨。在(、。，身乙)上恒成立，

，g(x)在(0,上单调递减，

答案(1)D(2)A

规律方法利用导数比较大小或解不等式的常用技巧：利用题目条件、构造辅助

函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数的单调性问题，

再由单调性比较大小或解不等式.

【训练3】(20I&武汉模拟)己知定义域为R的奇函数了一段)的导函数为)，=/(工),

口.“f(e)f(In2)f(—3)_.

当x>()时，xf(x)-/U)<(),右。=---,b=-j^2-，c=~-，则〃，b,

c的大小关系正确的是()

A..a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

5f(x)Exf(x)—f(x)

解析设g(x)=一：一，则g'(x)=-J.，

“I

•・•当人>0时，xf(x)-/(x)<o,r.g1(x)<0.

，g(x)在(0,+8)上是减函数.

由/U)为奇函数，知gCv)为偶函数,则g(—3)=g(3),

又Q=g(e),b=g(ln2),c=g(—3)=g(3),

-••g(3)<g(e)<g(ln2),iKc<a<h.

答案D

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.函数危)=/C—的单调递增区间是()

A.(—8,e)B.(l,e)

C.(e,+°°)D.(e—1,4-°°)

解析由./1。=母F一片十1,

得/(x)=(x+1—e)-ev,

令/W>0，解得x>e—1,

所以函数7U)的单调递增区间是(e—1,+8).

答案D

2.已知危)=l+x—sinx,则犬2),犬3),犬兀)的大小关系正确的是()

AJ(2)M3)次n)B：*3)次2)次n)

C./(2)>/(兀)>/(3)DJ(n)/3)》2)

解析因为/(x)=l+x-sinx,所以/(x)=l—cosx,

当x£(0,n］时，f(X)>O,

所以/(X)在(0,H］上是增函数，

所以犬兀)次3)次2).

答案D

3.(2017・浙江卷)函数)=应¥)的导函数)，=/(x)的医象如图所示，则函数y=/U)的

图象可能是()

A

解析利用导数与函数的单调性进行验证/(尤)>0的解集对应y=/(x)的增区问，

f(x)<0的解集对应),=7(x)的减区间，验证只有D选项符合.

答案D

4.(2018•豫南九校联考)已知了(处是定义在R上的连续函数«r)的导函数，满足了。)

一外幻<0,且犬-1)=0,则凡。>0的解集为()

A.(—8,-1)1)

C.(-3,o)D.(-l,+叼

、nf(x)IIf(x)—If(x),ILtx、

触析设gW—it1则g\x)—苫i<0在R上怛成立，所以g(x)

在R上递减,又因为我—1)=(),;U)>()u>g(x)>0,所以k一1.

答案A

5.(2018・乐山期末—〃lnx在(1,+8)上单调递增，则实数。的取值范围

为()

A.(—8,1)B.(—8,1J

C.(-8,2)D.(—8,2J

1

解析由J(x)=X—a\nxt得/(x)=2_¥—T，

••了")在(1,+8)上单调递增，

・・・21一32()在(1,+8)上恒成立，即2d在(1,+8)上恒成立，

Vxe(l,+8)时，2f>2,・・・aW2.

答案D

二、填空题

6.已知函数火幻=(一/+左)，。£&e为自然对数的底数)，则函数#x)的单调递

增区间为.

解析因为«x)=(—f+2x)e',

所以/。)=(-2x+2)ev+(-x2+2x)e'

=(—f+2)，.

令/(x)>0,BP(-?+2)ex>0,

因为e*>0,所以一』+2>0,解得一也<x<V5,

所以函数./U)的单调递增区间为(一地，6

答案(一也，也)

7.(2018・银川诊断)若函数40=0?+3/一不恰好有三个单调区间，则实数。的取

值范围是________.

解析由题意知〃此=362+6工一1,由函数/U)恰好有三个单调区间，得了(X)有

两个不相等的零点.需满足。工()，且4=36+12。>0,解得。>一3,

所以实数。的取值范围是(一3,0)U(0,4-oo).

答案(一3,0)U(0,+8)

8.(2018・长治联考)定义在(0,+8)上的函数人用满足不少(工)+1>0,川)=6,则

不等式4gx)〈卷+5的解集为.

解析构造g(x)=/u)一：一5,则g'a)=/(x)+E=4―M)+i>o,所以g(©在

人人人

(0,+8)上单调递增，

・.・火1)=6,*(1)=0,

故g(x)v()的解集为(0,1),即人工)<：+5的解集为(0,1),

i0<lgx<l,得14V10,不等式的解集为(1,10).

答案(1，10)

三、解答题

Y✓/3

9.已知函数/(.E)=1+:-ln工一3,其中〃£R,且曲线y=/&)在点(1,./(I))处的切

JiN

线垂直于直线y=%.

(1)求。的值；

(2)求函数次幻的单调区间.

解⑴对府)求导得/(x)=(一手一*

I3

由次工)在点(1,7(I))处的切线垂直于直线知/(1)=-^一。=一2,解得〃

5

-

4

3

Y5-O\

)

(2)由(1)知yu)=1+笳2/

.?-4x-5

则了

(x)=4r

令/'(x)=0，解得x=-l或X=5.

但一1*0,+8),舍去.

当x£(0,5)时，f(x)<0；当x£(5,+8)时，/(x)>o.

・・・/x)的增区间为(5,+8),减区间为(0,5).

1().已知Q&R,若函数«r)=(一乂+仆)F。£11,e为自然对数的底数)在(一1,1)

上单调递增，求。的取值范围.

解因为函数./U)在(-1,1)上单调递增，

所以/(x)20对工£(一1,1)都成立.

因为/(x)=(—2x+a)e'+(―x2+or)e*=[―x2+(«—2)x+a]e',

所以[—f+(。-2)x+a]e'20对(—1,1)都成立.

因为e'>0,所以一x2-(6/—2)x+〃20,

2

n.(x+1)—1.1.a、

则。2亍7=-----币----=(x+l)一干对x£(—1，1)都成立•

令g(x)=(x+1)-Wp则g'(x)=l+(丫；1)2>0,

所以g(x)=(x+l)一士在(一1，1)上单调递增，

人I1

13

所以g(©vg(i)=(i+1)—市=2，

所以心|,又当。=,时，当且仅当工=0时，，(x)=0,

所以。的取值