广西河池某中学校2025-2026学年高一年级下册第一次自主检测练习数学（解析版）

广西河池高级中学等学校2025-2026学年高一下学期第一次自主检测练习

数学试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.复数z=-10+12i的共扼复数是（）

A.10+⑵B.-10+12iC.-10-12iD.I0-12i

【答案】C

【解析】

【分析】借助共规复数定义计算即可得.

【详解】由z=—10+12i,则之二—10—⑵.

2.下列函数中，既是偶函数，又在（0,+8）上单调递减的是（）

A.y=-x2B.尸工C.y=ND.）'=g

【答案】A

【解析】

【分析】逐个选项判断奇偶性与（0,+8）上的单调性即可.

【详解】A选项，.y=3为偶函数，在（0,+8）上单调递减：

B选项，），=工为奇函数，在（0,+。）上单调递增；

C选项，y=N为偶函数，在（0,+8）上单调递增；

D选项，），=（为奇函数，在（0,y）上单调递减；

故选:A.

3.若VAAC的内角A、R、C所对的功分别为。、b、c,八=30。.〃=J5,〃=2.则角。的度数

为()

A.45°B.135°C.60°D.45。或135。

【答案】D

祸斤】

【分析】借助正弦定理计算即可得.

【详解】由正弦定理可得」一=一也，则sin8=2.sinA=2x」=YZ,

sinAsinBaJ222

X0°<B<150°,且/?>〃，故8=45。或135°.

4.函数/。)=/中+%-2的零点所在的区间().

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,10)

【答案】B

【解析】

【详解】/(2)=lg2+2-2=lg2>0,

/(l)=lgl+I-2=-l<0,

零点定理知，

了(》)的零点在区间(1,2)上.

所以B选项是正确的.

5.在VA8C中，是角A,民。分别所对的边，NB=60。,〃=砒,则VA8C一定是()

A.底边和腰不相等的等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边

三角形

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理可得”二c,结合/8=60。可得答案.

【洋解】因为解8=60。,加=au,

所以，由余弦定理有b2=a2+c2-24/CCOS60°=ac，

整理得(a-c『=O,即。=c,VABC为等腰三角形，

又/3=60。，所以VA8c为等边三角形.

故选：D

6.在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力

分别为耳,鸟，且卜闯不与马夹角为巴当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（

I")

B.当。角越大时，用力越省

C.当6=与时，闾=.D当闻券时'吟

【答案】c

【解析】

【分析】对A：根据力的平衡计算即可得；对B：由A得园+闾=―万，结合余弦函数单调性即可得；

cos—

2

对C：由闾=|闾，结合G=cosg（同+|即计算即可得;对D：由闾=园，结合忖=*（即园）

计算即可得.

【详解】对A：由题意可得G=/cosg+g・cos/=cosg（同+归。，故A错误；

对B：由A得闵+|玛卜上彳，当。角越大时，cos,越小，则一口）越大,

cos—2cos—

22

故忻|+|胃越大，故当。角越大时，用力越大，故B错误;

对C：当。4时，忖=8S卜酮项=叫回,

JJ

由题意可得同=同,故忖」［+园=同

故c正确;

对D：当忻卜号时,由耳=|巴卜则G=2008-^1^1=2cos-^--L=,

即有2cos—=百，则cos——,由gu(0,1,

222212)

故g=工，即。=工，故D错误.

263

7.圆台的上下底面半径分别为8、16,A3、CD为圆台的两条母线，且4B=10,则四边形AB。。的

面积的最大值为()

A.72B.144C.150D.156

【答案】C

【解析】

【分析】延长84、DC交r点p,求出将圆台补成的圆锥的母线长，结合余弦定理可知，圆锥轴截面的顶

3

角为钝角，可知当心_LP£>时，5,8。取最大值，再由S梯形A8£>C=1%p8/)可求得结果•

【详解】延长84、0c交于点p，将圆台补成的圆锥的母线长为/,

/-AB/-1()8

则nI------=------=一，解得1=20,

II16

则故S梯形A8DC=1S&PBD»

/2,/2_0^2Of)27

设轴截面的顶角为6,由余弦定理可得cos。===-—<0,

2/22x20225

故夕为钝角，则尸。£夕，

故当尸时，S〃8/)取最大值，且其最大值为g/2=gx2()2=200,

P

/7

D乙--------------------X

33

因此，梯形ABDC面积的最大值为一S~PBD=-x200=150,

44

故选：C.

02

8.已知。=logs2,b=log050.2,c=O.5-»则的大小关系为

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】

利用0，!」等中间值区分各个数值的大小.

【详解】r/=log52<log5>/5<l,

b=lug050.2>log050.25=2,

OSv0.5°2<0.5°，故!<cvl,

2

所以a<cvb.

故选A.

【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是()

A.复数z=3—4i的虚部为一4iB.(1—i)+(2+3i)=a+〃i,则实数a,6的值分别

为3,2

232026

C.|2-i|=5D.i+i+j+...+i=j_]

【答案】BD

【解析】

【详解】对于A,复数z=3—4i的虚部为T,A错误；

对干B,(1-i)+(2+3i)=3+2i,所以。=3,b=2,B正确；

对干C,|2-i|=V5,C错误；

对于D,i+i2+j3++[改6以4为循环，每四项和都为0,

所以i+i2+i3+.・,+i2026=i+i2=i—1，D正确.

10.已知平面向量4=(戈+1,-1)为=(l,2x),xeR,则下列说法正确的是()

A.存在xsR,使得&/"B.若之上6,则x=l

C.若x=l,则|+夕=加D.若x=—l,则。在〃上的投影向量的坐标为

停4)

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A：令2Mx+1)+1=。，借助判别式可得该方程无解；对B：借助向量垂直性质及数量积的坐

标表示计算即可得；对C：借助向量坐标运算及模长公式计算即可得；对D：借助投影向量公式计算即可得.

【详解】对A：令21(工+1)+1=0,即2F+2X+1=0，△=4-8=Y<0,

故该方程无解，即不存在xcR,使得d//,故A错误；

对B：由。_//?，则。力=工+1-2%=0，解得x=l,故B正确；

对C：若工=1,则a=(1,2),故〃+力=(3,1),

则,+4=J^不=J16,故C正确；

对D：若工=一1,则a=(0,—=(1,—2),

abb_2b_2-

呵用'

故〃在〃上的投影向量的坐标为(l，故D正确.

11.如图，一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个

全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是()

A.当x=2m时，正四棱锥的侧面积为8m2

B.当x=2m时，正四棱锥的体积为生gnd

3

C.当工=2m时，正四棱锥的外接球半径为亚m

6

D.当x=2m时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是立m

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】画出正四棱锥P—A8C。，对于A,四棱锥的侧面积为4sMc，对于B,求出四棱锥的高PG,

可求出其体积，对于C,设正四楂锥的外接球的球心为。，则。在PG上，由==布'可

求出外接球的半径，对于D,利用等体积法可求出正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径.

【详解】川余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示为正四棱锥P-ABCD,

对干A,当x=2时，则A3=8C=CO=4)=2,

设E为3C的中点，连接尸£,则尸E_L3cpE=2,

所以四棱锥的侧面积为4sMe=4x：x2x2=8m。所以A正确，

对于B,设ACc3O=G,连接尸G,GE,则PG_L平面A8CO,GE=\,

所以PG=dPE?-GE2=B

所以四棱锥P-A3c。的体积为形二'x2x2xG=勺叵n?,所以B正确，

3HizjI)33

对于C,设正四棱锥的外接球的球心为O,则。在PG上，连接04,

设外接的半径为R,则。4=OP=R,OG=|后-网,4G=0,

在RtZXQAG中，OA2=OG2+AG\所以R?二(、万一尺『+(忘了，解得尺=千口］，所以C正确,

对干D,设在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径为「，

则此球与正四棱锥的每一个面都相切，则;(4S/旌+S正方形正方形八8。•PG,

所以(4x4x2x2+4)r=46,解得r=3口1，所以D错误，

23

故选：ABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数z满足z・（l+i）=2（，为虚数单位），则2=,

【答案】l-i

【解析】

【分析】直接进行复数除法.

【详解】解：因为z・（l+，）二2,

22(—)2-2/

所以z=

1+z(1+0(1-02

故答案为：1一八

13.如图，正方体ABC。-A百GR的棱长为〃，E,产分别为线段AA，上的点，则三棱锥

6

U新斤】

【分析】借助等体积法及三棱锥体积公式计算即可得.

12

【详解】5=-xDDxAD=—,

•/na42।i2

1123

则%•四=?c「S"吗=-a--=^-.

JJ乙u

14.如图.在VA8C中，已知A3=2,AC=6,/BAC=60°,M为5c的中点，N为AC边上靠近C的

三等分点，AM.8N相交于点P,NMPN的余弦值为.

【解析】

【分析】借助平面向量线性运算法则可用A3、AC表示AM、BN，再利用平面向量夹角公式及数量积公

式计算即可得.

【详解】由M为BC的中点，则AM=；A8+gAC,

由N为AC边上靠近C的三等分点，

则8N=AN-4B=2AC-AB,

3

故cosNMPN=cos(AM、BN\二吗”

'/AM\\BN

J-x22+-x62+-x2x6x^-22+—x62--x2x6xi

V4422V932

_-2+12-1_9_3而

-Jl+9+3.j4+16-8-岳.屈一26'

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15,复数z=(〃P4-3m-4)+-1Om+9)i(mGR).

(1)当实数机为何值时，复数z为实数；

(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求〃，的取值范闱.

【答案】（1）m=1或加=9

（2）1</H<9

【解析】

【分析】（1）利用复数定义计算口1可得;

（2）利用复数几何意义计算即可得.

【小问1详解】

令〃/一106+9=0，即（利一1）（，〃-9）=。，解得m=1或加=9,

故加=1或，72=9时，兔数Z为实数；

【小问2详解】

nr+3m-4>0

若复数z在复平面内对应的点在第四象限，可得《，

W2-10AW+9<0

1,解得lvmv9,

1(w-l)(^-9)<0

故阳的取值范围为1〈根<9.

16.如图，（XATTC为四边形。13C的斜二测直观图，其中0'4=2,0'。'=1,8'。'=1.

（1）在直角坐标系中画出平面四边形OA3c并求它的面枳；

（2）若四边形。43C以。4为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

【答案】（1）平面四边形OV?C见解析，四边形OA3C面积为3

（2）几何体体积为与兀，表面积为（8+2后）兀

【解析】

【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，则可求出四边形QAAC对应边长，即可得四边形OABC的面积；

（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的

体积与表面积公式求解.

【小问1详解】

由。A'=ZOC=1,BC：=1,则QA=2,。。=2,8C=1.

画出平面四边形OABC如图:

四边形OABC面积为S=1x(FC+0/1)x0C=x(1+2)x2=3；

【小问2详解】

将四边形。48c以0A为旋转轴，旋转一周后,

可得圆柱加上一个同底的圆锥形成的组合体，

且该圆柱底面半径为OC=2,高为BC=1,

圆锥底面半径为OC=2,高为0A—BC=l,

22

该几何体体积为7f2xl+17r-2xl=-71；

33

22

该几何体表面积为冗•22+27T・2xl+1T・2x\/2+I=(8+2次)口.

17.已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量〃2=(GcosA,sin5),〃=(〃,〃)，且

mlhi­

(1)求角A：

(2)若。=2石,〃=2,求VA6C的面积.

兀

【答案】(1)-

⑵26

【解析】

【分析】(1)利用向量平行的坐标运算及正弦定理计算即可得：

(2)利用正弦定理可求出3,即可得C,再利用面积公式计算却可得.

【小问1详解】

由〃?//〃，则G》cosN-asin8=0，

由正弦定理可得GsinBcosA-sinAsinB=0,

由夕£(0,兀)，故sinAwO,故gcos4-sinA=0.

即tanA='又A£（0,兀），故A=4；

【小问2详解】

由正弦定理可得"=",故sin8=2.sinA=—=,

sinAsinBa2J322

rhBe（0,7i）,b<citB=-t则。=兀一

故出:，x2gx2=2百.

18.已知函数/(x)=sin(x+已卜亩x-^+cosx+〃的最大值为1,

(1)求常数。的值；

(2)求函数/(x)的单调递减区间；

(3)求使“X)2。成立的x的取值集合.

【答案】(1)a=-\

兀八,4兀-,

(2)—F2k兀,---,keZ

33

(3)«2%兀Wx<丁+2%兀，4wZj

【解析】

【分析】(1)利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为y=Asin(cux+9)的形式，最后

根据三角函数的性质可得。的值：

(2)利用正弦函数的单调性得2历1+/£工+看工2如1+孝，(twZ),求解“即可；

(3)利用整体思想，借助三角函数)=sinx的图象与性质即可解不等式.

［小问1详解】

/（A）=sinx+—+sinX--+cosx+a

6jI6,）

.Tt.7171.71

=sinxcos—+cosxsin—+sinA:cos——cosxsin—+cosx+a

6666

=73sinx+cosx+ci

=2sinLv+-Utz,

k6J

因为sinL+J的最大值为1，且函数/(x)的最大值为I,

所以2xl+〃=l,解得。=—1.

【小问2详解】

兀

由(1)可矢口/(a)=2sinAH---1.

6

由2履十二<x+二<2痴+次，(kGZ)

262I)

解得2依+当《］工2痴+与，(^eZ),

所以函数/(X)的单调递减区间为1+2E与

卜2攵兀，eZ)；

【小问3详解】

,兀、(7T1I

由f(l)之()，得2sinx+——120,即sinx+一］之一.

Ik6J2

所以2包十四工4+四工2依+亚，QwZ).

6667

解得2EKxK2E+g.(攵GZ)

因此，/(同20成立的x的取值范围是，A-|2A：7r<x<^+2kn,keZ

19.记VAAC的内角A、B、。所对的边分别是。、b、c.直线/与V48C的边AB、AC交于D、

£两点.

①用m、h表示A/7、DE；

②若8=60。,。=2c,证明AF1DE：

（2）记NADE=6,用向量方法证明