2026高中数学10大导数：专题34 单变量不等式能成立之最值分析法(学生版)

专题34单变量不等式能成立之最值分析法

【方法总结】

单变量不等式能成立之最值分析法

遇到f(x)≥g(x)型的不等式能成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右

减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)max≥0或u(x)min≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为

求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．

注意“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小

值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可

以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小

值．注意与恒成立问题的区别．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．

【例题选讲】

[例1]设函数f(x)＝2lnx－mx2＋1．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)>m－1成立，求实数m的取值范围．

a－1

[例2]设f(x)＝x－－alnx(a∈R)．

x

11

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线方程；

22

1

，e

(2)当a<1时，在e内是否存在一实数x0，使f(x0)>e－1成立？

a

[例3]已知f(x)＝xeax－x2－x＋1，a≠0．

2

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

a

(2)若x0≥1，使f(x0)＜成立，求参数a的取值范围．

2

∃

ex

[例4]已知函数f(x)＝－alnx－＋ax，a∈R．

x

(1)当a<0时，讨论f(x)的单调性；

x2

(2)设g(x)＝f(x)＋xf′(x)，若关于x的不等式g(x)≤－ex＋＋(a－1)x在[1，2]上有解，求实数a的取值

2

范围．

11a＋1

[例5]已知函数f(x)＝x2－(a＋3)x＋3alnx，g(x)＝x2－(a＋4)x－＋4alnx．

22x

(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值；

(2)当a＞0时，若在[1，e](e为自然对数的底数)上存在一点x0，使得f(x0)＜g(x0)成立，求实数a的取

值范围．

【对点精练】

1．已知函数f(x)＝ax2＋lnx．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若x∈(0，＋∞)使f(x)>0成立，求a的取值范围．

∃

a＋1

2．已知函数f(x)＝x－alnx，g(x)＝－(a∈R)．若在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的

x

取值范围．

1－ex

3．已知函数f(x)＝x(lnx－1)，g(x)＝．

2

17

(1)求证：当0<x<时，f(x)<x2－x；

e3

(2)若存在x0∈(0，m]，使f(x0)－g(m)≤0，求m的取值范围．

4．已知函数f(x)＝lnx－a(x＋1)，a∈R，在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求f(x)的单调区间；

x21

(2)若存在x0＞1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)－＋2x＋＞k(x－1)成立，求k的取值范围．

22

1

5．已知函数f(x)＝2x－＋klnx．

x

(1)当k＝－3时，求f(x)的极值；

k

(2)若存在x∈[1，e]，使得3x－f(x)<－成立，求实数k的取值范围．

x

6．已知f(x)＝x2＋ax－lnx＋e，g(x)＝x2＋e．