小学五年级数学上册《除数是整数的小数除法（商需补0及验算）》教学设计

小学五年级数学上册《除数是整数的小数除法（商需补0及验算）》教学设计

  一、课标理念与内容分析

  本次教学设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心精神，以发展学生核心素养为导向，聚焦于“数的运算”这一重要主题。小数除法是整数除法、小数意义和性质等知识的综合延伸与深化，是学生从整数运算领域正式进入小数运算领域的关键桥梁，其算理的理解与算法的掌握直接关系到后续分数、百分数及更复杂数量关系学习的基础稳固性。本课时“商需补0及验算”的教学，处于小数除法单元承上启下的枢纽位置。它既是“除到被除数末尾有余数添0继续除”的自然进阶，又是后续学习“一个数除以小数”乃至解决复杂实际问题的逻辑前提。本课的教学价值不仅在于技能层面的“会算”，更在于思维层面的“懂理”——理解为何在特定情况下商的小数部分需要补“0”占位，以及如何通过验算反向确认计算过程的正确性，从而构建完整、严谨、可迁移的运算认知结构。本设计将摒弃机械训练的传统模式，着力于在真实问题情境中，通过具身探究、合作对话、多元表征和反思建构，引导学生深度理解算理的本质，掌握算法的要义，并初步养成严谨、有序、反思的数学思维习惯。

  二、学情精准诊断与分析

  五年级学生经过四年系统的数学学习，已具备较为扎实的知识基础与初步的抽象思维能力。其认知结构具体表现为：在知识储备上，学生已经熟练掌握了整数除法的运算规则（包括试商、调商、有余数除法），深刻理解了小数的意义、数位顺序及性质，并已初步学习了“除数是整数的小数除法”的基本类型（如商的小数点与被除数小数点对齐，能除尽的情况）。在技能层面，学生具备了基本的竖式计算能力和一定的迁移类比能力。在思维特点上，该年龄段学生正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，对规律的探究和原理的追问兴趣浓厚，但思维的严密性和完整性仍需引导。然而，潜在的认知障碍亦不容忽视：首先，“补0”操作对于学生而言是一个新的程序性知识，学生极易遗忘在商中间或末尾补0，或对“为何要补0”知其然而不知其所以然，易将其视为孤立、僵化的操作步骤。其次，小数除法的验算（乘法逆运算）虽是旧知，但在新情境（尤其是商有小数且经过补0）中的应用，学生容易出现数位对齐错误或概念混淆。再者，部分学生可能受整数除法“余数小于除数”定势思维的影响，难以理解小数除法中“余数”可以不断添0除下去直至除尽或找到循环节的过程本质。因此，教学设计的核心挑战在于，如何巧妙地设计认知冲突与探究阶梯，帮助学生实现从“整数除法余数观”到“小数除法精确度观”的意义转换，自主建构“补0”操作的合理性，并内化验算作为自我监控的思维工具。

  三、素养导向的教学目标

  基于上述课标要求与学情分析，确立本课时三维融通的核心素养教学目标：

  1.知识与技能目标：学生能准确表述在除数是整数的小数除法中，当被除数整数部分除完后有余数，或商的小数位数不够时，需要在商的相应位置补“0”再继续除的算理；能规范、熟练地完成竖式计算过程，包括正确补0和点小数点；能灵活运用“商×除数=被除数”的方法对计算结果进行验算，并解释验算过程。

  2.过程与方法目标：经历“创设情境，发现问题—操作探究，明晰算理—归纳算法，掌握技能—迁移应用，巩固内化”的全过程。通过人民币单位换算、长度测量等现实模型的操作与表征，发展数感与几何直观；通过小组合作探究与全班交流辩论，提升数学交流与推理能力；通过对比分析不同例题，归纳算法要点，培养模型意识与抽象概括能力。

  3.情感态度与价值观目标：在解决富有挑战性的数学问题中获得成功的体验，增强学习数学的自信心；在探究“补0”必要性的过程中，感受数学的严谨性与逻辑性，养成认真细致、有根有据的运算习惯和自觉验算、反思调整的学习品质；体会小数除法在解决生活实际问题中的价值，增强数学应用意识。

  四、教学重难点剖析

  教学重点：理解并掌握在除数是整数的小数除法计算中，当商的整数部分或小数部分位数不足时，需要补“0”占位的道理和操作方法。

  剖析：此重点的突破是学生完整构建小数除法计算法则的关键一环。它不仅是一个操作步骤，更是对“数位”、“计数单位”和“除法意义”的深度理解。教学必须通过直观模型和算理推演，让学生心悦诚服地接受“补0”是计算连续性的内在需求，而非外部强加的规则。

  教学难点：一是理解“为什么要在商中间或末尾补0”的算理本质；二是形成完整、规范、包含补0操作和验算的竖式计算程序性知识，并能灵活应用于变式情境。

  剖析：难点一源于学生整数除法认知结构的固化和对小数除法“无限可分”思想的陌生。难点二则是程序性知识从“知道”到“熟练自动化”的必然过程，易受粗心、定势干扰。突破策略在于“理法融合”，让“法”从“理”中自然生长出来，并通过多层次、有反馈的练习达到自动化。

  五、教学资源与环境准备

  1.数字化教学资源：交互式电子白板课件（内含动态演示“元角分”模型转换、长度单位细分动画、可拖动的竖式计算步骤组件、即时反馈的在线练习平台）；微课视频（课前预习：回顾整数除法和简单小数除法）；几何画板或类似工具（用于动态展示等分过程）。

  2.传统教具与学具：人民币学具（元、角、分模型卡片或实物）；米尺或数位顺序表；学生每人一份探究学习单（内含分层任务、记录表格和反思区）。

  3.学习环境：教室桌椅呈小组合作式布局（4-6人一组），便于讨论与操作；白板分区规划（新知探究区、算法归纳区、作品展示区、疑难问题区）。

  六、教学实施过程详案

  （一）情境激疑，孕伏算理（预计用时：8分钟）

  教师活动：创设一个贴近学生生活经验且蕴含认知冲突的复合型情境。

    第一步：呈现“班级科学采购”情境。问题1：“班费有28元，计划为科学小组购买同一种电池，电池单价为4元/节，最多可以买几节？”学生口答：28÷4=7（节）。此为整数除法复习，激活旧知。

    第二步：问题升级。问题2：“如果班费是28.4元，电池单价仍是4元/节，现在最多可以买几节？还剩多少钱？”引导学生用已有知识尝试解决。预设学生可能产生多种答案：a)买7节，好像没除完；b)用28.4÷4，但不知道怎么处理小数点；c)联想到可将28.4元转化为284角计算。教师不急于评判，将不同想法简要记录于“疑难问题区”。

    第三步：聚焦转化思想。请提出“化元为角”的学生（或教师引导）阐述思路：28.4元=284角，284÷4=71（角），71角=7.1元。所以可以买7节，花28元，余0.4元……但问题问的是“还剩多少钱？”，0.4元就是4角。追问：“这个结果‘7.1’在除法竖式中究竟表示什么？它是如何一步步得到的？”由此，自然引出对竖式计算过程的深度探究需求。

  学生活动：倾听情境，积极思考。快速解决整数除法问题，获得信心。面对新问题，调用已有经验和知识进行尝试性解决，可能产生困惑和分歧。在教师引导下，理解“单位换算”这一解决问题的策略，并对换算后得到的商“7.1”与原始问题之间的关系产生探究兴趣。

  设计意图：从整数除法自然过渡，制造“有余数但又是小数”的认知冲突，激发探究内驱力。利用人民币“元角分”这一最直观、学生最熟悉的小数模型，为算理理解提供坚实的生活支点。“化元为角”的策略，巧妙地将未知的小数除法转化为已知的整数除法，既复习了旧知，又为新知的算理理解埋下了伏笔——即将小数除法理解为更小计数单位上的整数除法。

  （二）合作探究，深度明理（预计用时：18分钟）

  教师活动：组织学生围绕核心问题“如何用竖式计算28.4÷4，并讲清每一步的道理”进行小组合作探究。提供学习单和必要的学具（人民币模型）。

    探究任务一：动手操作，对应竖式。要求小组：①利用人民币学具（28元4角），模拟平均分成4份的过程。②将操作过程与除法竖式的每一步对应起来，尝试写出竖式计算过程。③重点思考：当28元平均分成4份，每份7元，分完后还剩0.4元（4角）时，在竖式上如何表示？接下来怎么继续分？

    教师巡视指导，关注：学生是否将“余下的0.4元”与竖式中的“落下十分位上的4”建立联系；是否意识到需要将0.4元转化为4角才能继续平均分；在竖式上，这个“转化”动作对应什么操作（在商的位置点小数点，并将被除数十分位上的4落下来）。

    集体研讨一：邀请一个小组上台展示操作与竖式对应过程。关键对话引导：

    师：“28元平均分4份，每份7元，分完了吗？竖式上余数是几？”（生：余0，因为28-28=0）

    师：“但实际操作中，我们还有0.4元没分。这0.4元在竖式中哪里？”（引导学生看被除数的小数部分“.4”）

    师：“为了继续分这0.4元，我们在竖式上需要做什么？”（生：把十分位上的4落下来）

    师：“落下来的这个‘4’，表示多少？（4角）也就是0.4元。现在把4角平均分成4份，每份是？”（生：1角）

    师：“这‘1角’在竖式的商里应该写在什么位置？为什么？”（必须写在十分位，表示1个0.1。因为我们现在分的是十分位上的计数单位。）教师强调并示范：在商的个位“7”的右下角点上小数点，然后在十分位上写“1”。完成4÷4=1，1×4=4，4-4=0。

    探究任务二：挑战进阶，引发补0需求。教师出示新问题：“王鹏的爷爷计划16天慢跑28千米，平均每天跑多少千米？”列式：28÷16。让学生独立尝试竖式计算。此问题将必然出现两种关键情况：①商1后余12，继续除；②商的小数部分需要补0。

    教师巡视，捕捉典型做法（尤其是忘记点小数点、忘记在商个位后补小数点直接写余数、余数12后不知道怎么办等错误），以及正确的做法。

    集体研讨二：投影展示有代表性的做法（包括错误做法），组织辩论。

    焦点1：28÷16，个位商1，余12。这个12表示什么？（12个一）还能直接分吗？（不能，因为不够每份分到1个一了）怎么办？

    引导学生类比“元角分”模型：可以把12个“一”看成120个“十分之一”（即12.0），就像把12元看成120角。在竖式上如何实现这个“看”的过程？（在余数12后面添0，同时在被除数的小数点后没有数字的情况下，可以看作有无限个0，落下一个0，这个0写在十分位上，并在商1的后面点上小数点。）

    焦点2：120个十分之一除以16，商几？怎么试商？（商7，7写在十分位。因为120÷16商7，表示7个十分之一。）16×7=112，120-112=8，余8。

    焦点3：余8，表示8个十分之一，还能继续分吗？怎么办？（再次转化，把8个十分之一看成80个百分之一，在余数8后面添0继续除。）80÷16=5，5写在百分位。得到最终商1.75。

    教师核心总结：通过动画演示，强调在竖式计算中，当除到被除数的末尾仍有余数时，为什么可以“添0继续除”？因为在小数的意义里，可以在余数后面添上0，这个数的大小不变，但计数单位变小了（从“一”变成“十分之一”，再变成“百分之一”……），这样就可以继续除下去。而为了确定商的小数点位置，并且给这些更小的计数单位的商留出位置，必须在整数部分商完后，及时点上小数点。当某一位不够商1时，就在那一位上商0。这个“添0”和“商0”的过程，体现了小数除法可以无限追求精确度的思想。

  学生活动：在小组内积极动手操作、交流想法，尝试将具象操作与抽象竖式建立一一对应关系。参与全班研讨，倾听他人观点，对关键步骤（点小数点、落位、添0）进行辨析和确认。在挑战性任务中独立尝试，暴露思维困境。通过观看错误范例和参与辩论，深化对“添0继续除”和“商0占位”必要性的理解。跟随教师的动画演示，从计数单位细分的角度，整体把握算理的本质。

  设计意图：本环节是突破重难点的核心。采用“操作感知—数形对应—冲突挑战—思辨明晰”的递进式探究路径。第一个探究从最直观的模型入手，解决“小数部分直接够除”的情况，重点巩固“商的小数点与被除数小数点对齐”的法则。第二个探究故意设计“整数部分除后有余数”的情况，制造思维冲突，引导学生自发产生“添0”的需求，并通过类比推理和计数单位动态细化的演示，深刻理解“添0”的算理依据。将错误做法作为教学资源，通过对比辩论，使学生对正确算法的记忆和理解更为牢固。

  （三）算法归纳，建模内化（预计用时：7分钟）

  教师活动：引导学生对比分析刚才完成的两道例题（28.4÷4和28÷16）的竖式计算过程，寻找共同点与关键步骤，合作归纳除数是整数的小数除法的计算法则。

    提问引导：1.计算开始时，我们按什么除法来算？（整数除法）2.商的小数点如何确定？（与被除数的小数点对齐）这是最重要的定位法则。3.除到被除数末尾还有余数时，怎么办？（在余数后面添0继续除）4.如果被除数整数部分不够除，或者商的小数部分某一位上不够商1，怎么办？（整数部分不够商1，商0，点上小数点继续除；小数部分某一位不够商1，就在那一位商0占位。）

    师生共同归纳完整法则：除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除；商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除；如果被除数的整数部分不够除，商0，点上小数点再除；如果哪一位上不够商1，就在那一位上商0占位。

    教师将法则关键词板书于“算法归纳区”。随后，教师带领学生以28÷16为例，现场演示验算过程：1.75×16=28。强调验算时，乘数16与积1.75的数位对齐（16看作16.00），计算1.75×16时，先按整数乘法计算175×16=2800，再看因数中一共有两位小数，从积的右边起数出两位点上小数点，得到28.00，省略末尾0即28。通过验算成功，反向验证计算正确，并强调验算是计算不可或缺的一步。

  学生活动：回顾两道例题的计算步骤，在教师引导下进行比较、抽象和概括。尝试用自己的语言描述计算法则，并聆听教师的总结表述。观看教师规范的验算演示，理解验算的方法和意义，并在学习单上跟随练习验算。

  设计意图：在充分理解算理的基础上，及时引导学生从具体例子中归纳出具有一般性的算法模型，实现从“具体”到“抽象”的飞跃。完整的法则归纳，使学生对计算程序有了清晰、系统的认知图式。随即引入验算，将“计算”与“检验”作为一个完整的思维闭环呈现给学生，培养其严谨、负责的数学态度，同时巩固小数乘法的技能。

  （四）分层递进，巩固应用（预计用时：10分钟）

  教师活动：设计多层次、多形式的巩固练习，从基础模仿到综合应用，从技能训练到思维拓展。

    第一层：基础巩固（算法直接应用）。出示：①9.6÷4（巩固小数部分直接除尽）②6.3÷14（整数部分不够商1，商0）③1.8÷12（整数部分商0后，十分位仍不够商1，连续商0）④86÷16（除到末尾有余数需添0，且商中间有0）。要求学生独立完成竖式计算并验算。利用在线平台或实物投影即时反馈，重点讲评③和④，强调连续商0和添0的规范书写。

    第二层：诊断辨析（强化理解，纠正误区）。出示几道有代表性的错误竖式，如：计算1.26÷18时，忘记在个位商0；计算30÷24时，点错了小数点位置；计算4.5÷15时，余数后添0后商的小数点位置标错。让学生充当“小医生”，诊断错误原因并改正。此环节鼓励小组讨论。

    第三层：变式应用（解决实际问题）。出示：①（长度）一根绳子长8.4米，将它平均剪成6段，每段长多少米？②（价格）一套《百科全书》共4本，总价是97.6元，平均每本多少钱？③（数据统计）张华家上半年用水量是37.8吨，平均每月用水多少吨？要求学生审清题意，列式解答，并口头叙述计算过程的关键点。

    第四层：思维拓展（联系旧知，孕伏新知）。思考题：计算15÷8，你能除到百分位吗？千分位呢？观察每次的余数，你有什么发现？（此题引导学有余力的学生初步感受除不尽时，商是循环小数的现象，为后续学习埋下伏笔。）

  学生活动：独立完成基础练习，巩固算法，养成验算习惯。积极参与“诊断辨析”，在纠错中深化对算理和算法细节的理解。解决实际问题，体会数学的应用价值，提升信息提取和数学建模能力。挑战思维拓展题，进行更深层次的探索和思考。

  设计意图：练习设计遵循“掌握知识、形成技能、发展思维、渗透思想”的路径。基础层确保全体学生掌握核心算法；诊断层直击常见错误，防微杜渐；应用层实现数学与生活的链接，培养应用意识；拓展层满足学优生需求，体现差异性，并为单元后续内容做好铺垫。

  （五）反思总结，拓展延伸（预计用时：2分钟）

  教师活动：引导学生围绕以下问题进行课堂总结：1.今天我们一起探索了除数是整数的小数除法中哪种特殊情况？（商需要补0的情况）2.在什么情况下需要在商里补0？（整数部分或小数部分的某一位不够商1时）3.除到被除数末尾有余数怎么办？依据是什么？（添0继续除，依据是小数的性质）4.我们用什么方法来确保计算结果的正确性？（验算：商×除数=被除数）最后，教师进行升华性总结：“同学们，今天的学习，我们不仅掌握了补0和验算的方法，更重要的是，我们理解了小数除法‘无穷细分’的思想。每一次的‘添0’，都是向更精确迈进了一步。数学的严谨与精确，就体现在这些细节之中。希望大家能将这份严谨带到每一次计算中去。”

  学生活动：回顾整堂课的学习历程，从知识和思想方法两个层面进行梳理和总结。回答教师提问，分享自己的收获和仍存的疑问。聆听教师总结，感受数学的理性精神。

  设计意图：通过结构化的问题引导学生自主回顾学习内容，构建清晰的知识网络。教师的总结提升，将技能学习上升到数学思想方法和学习品质的高度，实现育人价值。

  七、板书设计（思维导图式）

  （黑板/白板分区设计）

  主标题：除数是整数的小数除法（商需补0及验算）

  左区：探究历程

    28.4÷4=7.1（元）……（模型：元角分）

      操作：28元÷4=7元→余0.4元（4角）→4角÷4=1角

      竖式对应：点小数点，落4，商1（在十分位）。

    28÷16=1.75（千米）

      冲突：余12怎么办？→添0（看作120个十分之一）→点小数点，商7（十分位）→余8怎么办？→再添0（看作80个百分之一）→商5（百分位）。

  中区：算法法则（核心）

    1.按整数除法算。

    2.商点对齐（小数点对齐）。

    3.有余添0（继续除）。

    4.不够商0（整数、小数位皆可）。

  右区：验算与关键

    验算：商×除数=被除数

    例：1.75×16=28

    关键思想：计数单位细分，无穷精确。

  八、分层作业设计

  A层（基础达标，面向全体）：

    1.竖式计算并验算：①14.4÷12②1.35÷15③7.83÷9④6÷25

    2.改正下面竖式中的错误（提供2-3道典型错例）。

    3.解决问题：一瓶1.5升的果汁，平均倒入3个杯子，每个杯子装多少升？

  B层（能力提升，面向大多数）：

    1.计算下面各题，想一想，什么情况下得到的商比1小？①4.08÷8②26.1÷18③0.54÷6

    2.解决问题：一辆汽车行驶76.5千米用了3小时，平均每小时行驶多少千米？照这样的速度，行驶完191.25千米需要多少小时？

    3.小探究：找一道除数是整数，但商是三位小数的除法题，并计算出来。

  C层（思维拓展，自主选做）：

    1.推理题：已知两个数的积是12.6，其中一个因数是4，求另一个因数。如果积变成1.26，其中一