高考数学一轮复习 课后习题 课时规范练16　函数模型的应用（黑龙江版）

课时规范练16函数模型的应用(分值:57分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.(2025·福建漳州一模)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气中的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k>0,若当t=5时消除了10%的污染物,则当t=15时污染物含量还剩余()A.70% B.85%C.81% D.72.9%2.(2025·广东揭阳模拟)向如图放置的空容器中匀速注水,直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是()A. B.C. D.3.(2025·安徽合肥模拟)放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量,发出射线的物质.在一个给定的单位时间内,放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳14元素稳定持续衰减的现象测定标本的年代.已知碳14的半衰期约为5730年.现在实验室测定某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的80%,则该标本大约距今()(lg2≈0.3)A.1146年 B.1375年C.1910年 D.2292年4.(多选题)(2025·河北衡水模拟)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道的半径r(单位:cm)的四次方成正比,当气体在半径为5cm的管道中时,流量为1250cm3/s,则()A.当气体在半径为3cm的管道中时,流量为162cm3/sB.当气体在半径为3cm的管道中时,流量为152cm3/sC.要使得气体流量不小于512cm3/s,管道的半径的最小值为4cmD.要使得气体流量不小于512cm3/s,管道的半径的最小值为32cm5.(2025·云南昆明模拟)某企业为研发新产品,投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元,之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%,记2025年1月为第1个月,第n(n∈N*)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元,则n的最小值是.(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)

综合提升练6.(2025·浙江杭州模拟)在边长为1的正方形ABCD上,E为边CD的中点,动点P在正方形ABCD的边上沿A→B→C→E运动,设点P经过的路程为x,△APE的面积为y,则y关于x的函数的图象大致为()A. B.C. D.7.(13分)(2025·福建宁德模拟)为了提升某水域的生态环境水平,科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物,投放量为1个单位数量.这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快,随后越来越慢,设投放x(x≥0)年后这种微生物的数量为y个单位.已知y与x的关系拟合后的分段函数的图象如图所示,给出3个函数模型:①y=mx2+n(m>0);②y=px+q(p>0);③y=ax-2+b(a>0).(1)请从①,②,③中选择两个合适的函数模型描述此分段函数,求出两个函数模型的解析式,并说明理由;(2)求该水域生态环境最佳的时长.(注:微生物的数量在26~42个单位之间生态环境最佳,包括26和42)创新应用练8.(13分)(2025·广东汕头模拟)新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源,目前比较常见的主要有两种:混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试,国道限速60km/h.经数次测试,得到该纯电动汽车每小时耗电量Q(单位:Wh)与速度x(单位:km/h)的数据如下表所示:x0104060Q0142044806720为了描述该纯电动汽车在国道上行驶时每小时耗电量Q与速度x的关系,现有以下三种函数模型供选择:①Q=150x3-2x2+cx;②Q=1-23x;③Q=300log(1)当0≤x≤60时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(不需说明理由),并求出相应的函数表达式;(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A中学行驶到B中学,其中,国道上行驶50km,高速上行驶300km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动,国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满足(1)中的函数表达式;高速路上车速x(单位:km/h)满足x∈[80,120],且每小时耗电量N(单位:Wh)与速度x(单位:km/h)的关系满足N=2x2-10x+200(80≤x≤120).则当国道和高速上的车速分别为多少时,该车辆的总耗电量最少?最少总耗电量为多少?参考答案1.D解析当t=0时,P=P0·e-k·0=P0;当t=5时,P0·e-5kP0=0.9,即当t=15时,P0·e-15kP0=e-15k=(e-5k)3=0.93=0.7292.C解析由于容器上粗下细,所以匀速注水的过程中,高度的增长会越来越慢,只有C选项的图象符合题意.故选C.3.C解析不妨设动物标本中碳14含量初始值是1个单位,则经过t年动物标本中碳14含量为f(t)=12令f(t)=12t5730=45,则t=5730×log1245=5730×1-3lg2lg24.AC解析依题意可设v=kr4,k为常数.当气体在半径为5cm的管道中时,流量为1250cm3/s,所以1250=k×54,解得k=2,则v=2r4.当r=3时,v=162,故A正确,B错误;由2r4≥512,解得r≥4,故C正确,D错误.故选AC.5.5解析由题意可得20×(1+20%)n-1≥40,则1.2n-1≥2,所以(n-1)lg1.2≥lg2,所以n-1≥lg2lg1.所以n≥4.810.因为n∈N*,所以n的最小值为5.6.A解析当动点P在正方形ABCD的边上沿A→B运动时,则△APE的面积为y=12x×1=12x,0当动点P在正方形ABCD的边上沿B→C运动时,则△APE的面积为y=12×1+12×1-12×(x-1)×1-12×当动点P在正方形ABCD的边上沿C→E运动时,则△APE的面积为y=12×52-x×1=14所以y=12x,0<x≤1,147.解(1)易知模型③y=ax-2+b(a>0)在(0,+∞)内单调递减,所以可排除;因为这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快,根据二次函数性质可得①y=mx2+n(m>0)符合题意;又随后繁殖速度越来越慢,由幂函数的性质可得②y=px+q(p>0)符合题意;所以当0≤x≤4时,y=mx2+n(m>0),当x>4时,y=px+q(p>0);结合图象可知y=mx2+n(m>0)经过点(0,1),(4,37);即m×0+n即y=94x2+1(0≤x函数y=px+q(p>0)经过点(4,37),(16,47),即p4+即y=5x+27(x>4);所以符合题意的两个函数解析式为①y=94x2+1(0≤x≤4)和②y=5x+27(x>4)(2)因为微生物的数量在26~42个单位之间生态环境最佳,当0≤x≤4时,令94x2+1≥26,解得103当x>4时,令5x+27≤42,解得4<x≤9.综上,当103≤x≤9时,所以该水域生态环境最佳的时长为9-103=1738.解(1)对于③Q=300logax+b,当x=0时,它无意义,故不符合题意;对于②Q=1-23x,当x=10时,Q=1-又0<2310所以1-2310<1,故不符合题意;故选①Q=150x3-2由表中的数据可得,150×103-2×102+c×10=1420,解得所以Q=150x3-2x2+160(2)高速上行驶300km,所用时间为300x则所耗电量为f(x)=300x·(2x2-10x+200)=600x+100x-3000,由对勾函数的性质可知,f(x)在[80,120]上单调递增,所以f(x)min=f(80)=600×80+10080-3000=4575