高考数学一轮复习 课时规范练46　空间向量及其运算（基础版）

课时规范练46空间向量及其运算(分值:83分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.已知四面体ABCD中,G是BD的中点,则CA+12(ABA.AG B.CGC.BG D.CB2.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°角的是()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)3.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是()A.(43,-23,43) C.(23,-43,23) 4.设x,y∈R,a=(1,1,1),b=(1,y,z),c=(x,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|2a+b|=()A.22 B.0C.3 D.325.已知空间向量a=(2,-1,1),b=(m,3,-3),若a与b的夹角是钝角,则m的取值范围是()A.(-∞,-6)∪(-6,3) B.(-∞,3)C.(3,6)∪(6,+∞) D.(3,+∞)6.(多选题)已知空间向量a=(1,-1,4),则下列说法正确的是()A.|a|=32B.向量a与向量b=(-2,2,-8)共线C.向量a关于x轴对称的向量为(1,1,-4)D.向量a关于yOz平面对称的向量为(-1,1,-4)7.(多选题)下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A.OM=3OAB.OMC.MA+MBD.OM+OA8.(2025·上海行知中学模拟)如图,在四面体OABC中,OA=a,OB=b,OC=c.点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则MN=.

9.在空间直角坐标系中,A(1,-2,a),B(0,3,1),C(b,-1,2),若A,B,C三点共线,则ab=.

10.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=π3,点E,F满足AE=12AA111.已知向量b=(-2,1,1),A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上存在一点E,使得OE⊥b(O为原点),则点E的坐标为.

综合提升练12.已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动,则PA·PB的最大值为(A.6 B.7C.8 D.913.(多选题)《九章算术》中,将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵,在如图所示的堑堵中,B1D=2DC1,A.ADB.ADC.向量AD在向量AB上的投影向量为2D.向量AD在向量AC上的投影向量为214.在空间四边形OABC中,M为OA的中点,N为BC的中点,若OG=13OA+x3OB+x3OC,则使15.(2025·湖北武汉华中师范大学附属中学模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长相等,且∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,则异面直线AB与B1C所成角为.

16.(2026·广东华侨中学高三期中)将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC,则异面直线AD与BC的距离为.

参考答案课时规范练46空间向量及其运算1.B解析由题意,CA+12(AB+AD2.B解析设a与各项中的向量的夹角为θ,对于A,cosθ=-12×2=-12,则θ=120°;对于B,cosθ=12×2=12,则θ=60°;对于C,cosθ=-12×2=-12,则θ3.A解析b在向量a上的投影向量为a·b|a|·a|a|=a·b|a|24.D解析由a⊥c,得a·c=x-4+2=0,所以x=2,则c=(2,-4,2).由b∥c,得12=y-4=z2,所以y=-2,z=1,所以b=(1,-2,1),故2a+b=(3,0,3),则|2a+b|=5.A解析由题意可得a·b<0,且a,b不能反向共线,即2m-3-3<0,m≠-6,解得6.ABC解析对于A,|a|=12+(-1)2+42=32,故A正确;对于B,∵b=-2a,∴a与b共线,故B正确;对于C,设a=(1,∵点(1,-1,4)关于x轴对称的点的坐标为(1,1,-4),∴向量a关于x轴对称的向量为(1,1,-4),故C正确;对于D,设a=(1,-1,4)的起点为坐标原点,∴该向量的终点为(1,-1,4),∵(1,-1,4)关于平面Oyz对称的点的坐标为(-1,-1,4),∴向量a关于平面Oyz对称的向量为(-1,-1,4),故D错误.故选ABC.7.AC解析空间向量共面定理,OM=xOA+yOB+zOC,若A,B,C不共线,且A,B,C,M共面,则其充要条件是x+y+z=1.对于A,因为3-1-1=1,所以A,B,C,M四点共面,故A正确;对于B,因为15+13+12=3130≠1,所以不能得出A,B,C,M四点共面,故B错误;对于C,MA=-MB-MC,则MA,MB,MC为共面向量,所以M与A,B,C一定共面,故C正确;对于D,因为OM+OA+OB+OC=0,所以OM=-OA-OB-OC,8.-23a+12b+12c解析依题意,MN=MO+OB+BN=-23OA9.95解析由题得AB=(-1,5,1-a),BC=(b,-4,1).因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得AB=λBC即(-1,5,1-a)=λ(b,-4,1),所以λb=-1,-410.2解析由题得,EF=EA+AB∵斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=π3∴EF2=14AB2+14AC2+14AA∴|EF|=2.11.(-65,-145,25)解析由题知,AB=(-2,-2,2)-(-3,-1,4)=(1,∵E在直线AB上,设AE=tAB,则AE=(t,-t,-2t),OE=OA+AE=(-3,-1,4)+(t,-t,-2t)=(-3+t,-1-t,4-因为OE⊥b,则OE·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95,因此存在点E,使得OE⊥b,此时点E的坐标为(-65,-1412.C解析取AB的中点O,连接PO,如图,则PA·PB=(PO+OA)·(PO+OB)=PO2-OA2=PO2-1.当P在正方体表面上运动时,运动到点D1或C1处时,PO最大,所以POmax213.BD解析因为AD=AA1+A1B1+如图所示,故过点D作DU⊥BC,过点U作UV⊥AB,UW⊥AC,故向量AD在向量AB上的投影向量为AV,向量AD在向量AC上的投影向量为AW,由题意得,AVAB=13,AWAC=23,故AV14.12解析由题意可知OA=2OM,ON=12OB+12OC,则2ON=OB+OC,∴OG=13OA+x15.π4解析设三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2,因为∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,所以|AB|=|AC|=|AA1|=2,AB·AC=因为B1C=B1B+BC=-AA1+AC-AB,所以|B1C|2=(-AA1+AC-AB)2=AA12+AC2+AB2+2AB·AA1-2AB·AC-2AC·AA1=22+又异面直线夹角的范围为(0,π2]所以异面直线AB与B1C所成角为π416.263解析取AC的中点O,连接OB,OD