2026届高考物理一轮复习模型解读与针对性训练：小球-弹簧模型（学生版+解析）

高考力学压轴题模型解读与针对性训练

专题5小球-弹簧模型

【小球・弹簧模型解读】

2*霞长

crnww

»V量%—*V

0WTO

条件与畏型

Vi原长Vi

V最长.

V

Vo

①=（如:mA=Ikg；m产Vp

2

1kg）

1

•»taht.

V

Vo

②m/>mB（如:nu=2kg；m产

¥

1kg）V

3»Jt«»

V

Vo—

③m”Vm〃（如:》71人=1kg；m0=

2kg）2*

•17iXt，«4»

情况一:从原长到最短（或最长）时

2

①mg,=（m4+m0）u；②ymxvi!=y（+mfl）v+

规律与公式

情况二:从原长先到最短（或最长）再恢复原长时

①mxv0=m4v；+0赢；②

【典例剖析】

【典例1].（2025高考山东卷17题）（14分）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置

于光滑水平面上，尸、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，〃处轨道的切线沿水平方

向，。处轨道的切线沿竖直方向。小物块。、〃用轻弹簧连接置于光滑水平面上，匕被锁定。

一质量〃，=gkg的小球自。点正上方力=2m处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从尸

点水平抛出，恰好击中小与。粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到厂=151^时・，解除锁

39

定开始运动。已知。的质量？=1kg,b的质量〃1=：施，方形物体的质量M=]kg,重力

加速度大小g=10m/s2,弹簧的劲度系数A=50N/m,整个过程弹簧均在弹性限度内，弹

性势能表达式耳=：丘2（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：

（I）小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小片、v2；

（2）弹簧弹性势能最大时，》的速度大小九及弹性势能的最大值Epm。

【典例2].[2022全国乙]如图（a）,一质量为，〃的物块4与轻质弹簧连接，静止在光滑水

平面上；物块4向A运动，/=0时与弹簧接触，至h=2；o时与弹簧分离，第一次碰撞结束，

A、B的图像如图（b）所示.已知从，=0到，=，0时间内,物块A运动的距离为O.36w，o.A、

8分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次

滑上斜面，达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为0（疝访=0.6）,与水平面光滑连接碰撞

过程中弹簧始终处于弹性限度内.求

（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；

（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值：

（3）物块A与斜面间的动摩擦因数.

图（a）图（b）

【针对性训练】

1.（湖北省2025届八校三统联考汝I图所示，光滑水平面上有两个质量均为，"的物体A、B,

B上连接一劲度系数为々的轻弹簧。物体A以初速度也）向静止的物体B运动。从A接触弹

簧到第一次将弹簧压缩到最短的时间为/--"弹簧弹性势能为耳正2a为弹簧

2

的形变量），弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（）

zzzz/zzzzzzzz^//ZZZZ/Z//zz

A.弹簧的最大压缩量为

B.弹簧的最大压缩量为

（乃+1）%Im

C.从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体A的位移为4收

（乃一2）%叵

D.从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体B的位移为

-4\2k

2.如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为孙和利的两物块A、8相连接并静止在光

滑的水平地面上.现使A以3m/s的速度向8运动压缩弹簧，速度一时间图像如图乙，则有

（）

A.在小门时刻两物块达到共同速度lm/s,且弹簧都处于压缩状态

B.从力到由时刻弹簧由压缩状态恢复原长

C.两物块的质量之比为mi：“2=1：2

D.在f2时刻A与8的动能之比Eki：仄2=1：8

3.（2024山东济南期末）如图甲所示，物块A、B用轻弹簧拴接，放在光滑水平面上，B

左侧与竖直墙壁接触。物块C以速度%向左运动，与A相碰后立即粘在一起后不分开并开

始计时。A、B运动的〃一/图像如图乙所示，耳、邑分别表示4到L时间内A、B的图

线与坐标轴所围面积的大小。已知三个物块质量均为阳，下列说法正确的是（）

h

L

A.a2=2%

B.S2=2sl

C.Of内墙对B的冲量大小为2mv0

D.在口时刻弹簧的弹性势能为

4.如图所示，一木板放在光滑水平面上，木板的右端与一根沿水平方向放置的轻质弹簧相

连，弹簧的自由端在。点木板的上表面左端点尸与。点之间是粗糙的，P、Q之间的距离

为L,Q点右侧表面是光滑的.一质量为机=O.2kg的滑块（可视为质点）以水平速度v0=3nVs

从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回.已知木板质量M=O.3kg,滑块与木板

表面尸、Q之间的动摩擦因数为4=0.2,^=10m/s2.

P

77777777777777777777777777777777

（1）若L=O.8m,求滑块滑上木板后的运动过程中弹簧的最大弹性势能；

（2）要使滑块既能挤压弹簧，最终又没有滑离木板，则木板上P、。之间的距离L应在什

么范围内？

5.（15分）（无锡市2024年秋学期高三期中教学质量调研）如图甲所示，上表面光滑的固

定平台上有A、8两物体，A与一轻弹簧相连，以初速度”向8运动.从弹簧接触8到与B

分离过程A、8的U一，图像如图乙所示.已知从/=0到/二％时间内，河运动的距离为

O.73voro.完全分离后8滑上静止在光滑地面上与平台等高的木板c,。由水平粗糙轨道和

1/4光滑圆弧轨道组成、两者相切，圆弧轨道半径R=工，水平轨道长度L=日.已知

32g8g

B、。质量均为m,A、8可视为质点，不计空气阻力，重力加速度&求：

（1）A物体质量加八；

（2）为使H物体能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离C,则B与C的水平轨道间的动摩

擦因数〃满足的条件；

（3）A、4碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值Ax,

6.（2024年11月河北保定期中）如甲图所示，两个物体A、B（均可视为质点）中间用劲

度系数为20N/m的轻质弹簧连接，静置于水平地面上，物体B与P点左侧地面间动摩擦因

数为0.1,与P点右侧的摩擦可忽略不计。时刻开始，物体A受水平向右的拉力”，F

与物体A的位移关系如乙图所示。Is后撤去拉力F,此时物体B刚好开始运动，整个过程

中物体A、B的速度与时间关系如丙图所示。物体B质最为10kg,最大静摩擦力等于滑动

2

摩擦力，=10m/so求:

1；

//////(//////////////

p

甲乙丙

（I）物体B刚开始运动时弹簧的形变量；

（2）f=ls时，物体A、B及弹簧系统的机械能：

（3）弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速率。

7.（2024年10月华师大附中质检）如图所示，内壁粗糙、半径R=0.4m的四分之一圆弧

轨道AB在最低点B与足够长光滑水平轨道8c相切。质量叫=0.2kg的小球b左端连接一

轻质弹簧，静止在光滑水平轨道上，另一质量町=0.2kg的小球。自圆弧轨道顶端由静止释

放，运动到圆弧轨道最低点8时，对轨道的压力为小球〃重力的两倍。忽略空气阻力，重力

加速度g取10m/

（1）求小球〃由A点运动到8点的过程中，摩擦力做功》匕。

（2）求小球。通过弹簧与小球”相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能Ep；

（3）求小球。通过弹簧与小球人相互作用的整个过程中，弹簧对小球〃的冲量/的大小。

高考力学压轴题模型解读与针对性训练

专题5小球-弹簧模型

【小球-弹簧模型解读】

W厚长

0WW0

»v量%—*V

0WTO

条件与模型

vs原长vj

V最长.

V

Vo

①0^=7710（如:ma=1kg；m产Vp

24

1kg）

<itahut

【典例剖析】

【典例1】.（2025高考山东卷17题）（14分）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置

于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方

向，。处轨道的切线沿竖直方向。小物块。、人用轻弹簧连接置于光滑水平面上，匕被锁定。

一质量m=gkg的小球自。点正上方/?=2m处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从。

点水平抛出，恰好击中小与。粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到歹=15N时，解除锁

定开始运动。已知a的质量收，匕的质显叫=：3kg,方形物体的质量M=]9kg,重力

加速度大小g=10m/s2,弹簧的劲度系数左=50N/m,整个过程弹簧均在弹性限度内，弹

性势能表达式综=3近2J为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：

（1）小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小9、v2；

（2）弹簧弹性势能最大时，。的速度大小心及弹性势能的最大值耳^。

【答案】（l）6m/s,水平向左，:m/s,水平向右

25

（2）1m/s,水平向左，Epm=-J

【解析】（1）根据题意可知，小球从开始下落到尸处过程中，水平方向上动量守恒，则有

mvt=MV2

Ftl能量守恒定律有nigh=；小片+gMv；

2

联立解得M=6m/s,v2=-m/s

2

即小球速度为6m/s,方向水平向左,大物块速度为gm/*,方向水平向右。（6分）

（2）由于小球落在物块〃正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0,小球和物块。水

平方向上动量守恒,则有哂=（利+?）匕

解得匕=2m/s

设当弹簧形变量为阳时物块〃的固定解除，此时小球和物块〃的速度为匕，根据胡克定律

系统机械能守恒：（+叫）片=；（〃?+〃?"）4+；履；

乙乙4

联立解得匕=1m/s,X）=0.3m

固定解除之后，小球、物决〃和物块b组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势

能最大，由动量守恒定律有。力+?）匕=（，力+?+〃%）%

2

解得i%=§m/s，方向水平向左。

由能量守恒定律可得，最大弹性势能为

Epm=；（，〃+，叫,）式+；依：-；（〃?+/>=|j

（8分）

【典例2].[2022全国乙]如图（a）,一质量为小的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水

平面上；物块B向A运动，，=0时与弹簧接触，至卜=2;。时与弹簧分离，第一次碰撞结束，

4、8的V—/图像如图（b）所示.已知从，=0到，=“）时间内，物块A运动的距离为O.36vVo示、

3分离后,A滑上粗糙斜而，然后滑下，与一直在水平面上运动的3再次碰撞，之后A再次

滑上斜面，达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为。（sin®=0.6）,与水平面光滑连接碰撞

过程中弹簧始终处于弹性限度内.求

（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；

（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；

（3）物块A与斜面间的动摩擦因数.

答案（1）0.6〃诟（2）0.768vo/o（3）0.45

解析（1）水平面光滑，故在水平面上两物块碰撞过程动量守恒，从3与弹簧接触到弹簧

第一次压缩到最短过程中有

W»V|=（〃加+加人）V0

其中V|=1.2v0

可得mB=5m

该过程中机械能守恒，设弹簧最大弹性势能为品，得

Ep+鼻(/〃A+WQvl=-mnvl

由上式得Ep=0.6/7/Vo

(2)由图像知0〜m内物块8与物块4的位移差等于弹簧的最大压缩量，也就是题图中该

段时间物块A、4图像所为面积，物块A在0〜M时间内的位移SA=O.36I“O,即为0〜;o内，

v—/图像中A线与，轴所失面积.

解法I

在压缩弹黄的过程中，物块A、4所受弹簧弹力大小相等，方向相反，则物块4的加速度始

终是物块B加速度的5倍，有aA=5ciB

若两者均做初速度为零的变速运动，则两者的位移满足SA=5S'B

在图1中深灰色阴影面积为浅灰色阴影面积为S%.

最大压缩量为X=1.2VO/O-5A-SB=0.768vo/o

图1图2

解法2

。〜m过程，由动量守恒定律有

〃八，八+5〃八%=(〃?+5〃?)Vo

结合运动学知识有ITISA+5〃?SB=6"?vWo

解得SB=1.128mo(B在0〜/o内的位移)

最大压缩量为X=SB—SA=1.128VO^O—0.36v*oAj=0.768v(jZo

(3)设物块A第一次从斜面滑到平面上时的速度为心，物块A(含弹黄)回到水平面，第

二次与B相互作用过程系统机械能守恒、动量守恒.则有

IHHV2—mAVx=〃?8y3+W,v2vo

)28爆+1［八避=］加诏+)八(2即)2

其中也=0.8%

可得以=w(另一解舍去)

物块A第一次从斜面底端滑到最高点的过程，由动能定理有一加耿scos。一〃?g$sinO=0一

"(2%)2

物块A第一次从最高点滑到水平面的过程，由动能定理有一〃?gRCQsO+〃?gssin〃=；“M—O

由上式得"=0.45.

【针对性训练】

1.（湖北省2025届八校三统联考汝1图所示，光滑水平面上有两个质量均为，〃的物体A、B,

B上连接一劲度系数为々的轻弹簧。物体A以初速度也）向静止的物体B运动。从A接触弹

簧到第一次将弹簧压缩到最短的时间为/--"弹簧弹性势能为耳正2a为弹簧

2

的形变量），弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（）

IA1-£0

////////////

A.弹簧的最大压缩量为

B.弹簧的最大压缩量为

（乃+1）%Im

C.从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体A的位移为4收

（乃一2）%叵

D.从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体B的位移为

-4\2k

【答案】BD

【解析工弹簧压缩到最大时，A、B的速度相同，以A初速度方向为正方向，根据动最守

恒定律可得

〃?%=Imv

根据能量守恒定律可得

121C，厂

弓〃呜=52"+七印

解得

「12

综口1二严）

根据弹性势能公式可得

故A错误，B正确:

CD.由动量守恒定律可得

z??vA+mvB=/7zv()

则有

mv^t+mv^=tnv{f

故

nix：、+如%刁〃％片

由AB选项分析可知

4一莅=%=

联合解得

故C错误，D正确。

2.如图甲所小，一个轻弹簧•的两端与质量分别为/川和/由的两物块A、8相连接并静止在光

滑的水平地面上.现使A以3m/s的速度向8运动压缩弹簧，速度一时间图像如图乙，则有

(CD)

A.在小门时刻两物块达到共同速度lm/s,且弹簧都处于压缩状态

B.从A到A1时刻弹簧由压缩状态恢复原长

C.两物块的质量之比为加：加2=1：2

D.在上时刻4与8的动能之比反1：&2=1：8

解析由题图乙可知八、白时刻两物块达到共同速度1m/s,且此时系统动能最小，

根据系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，人时刻弹簧处于压缩状态，而△时刻

处于伸长状态，故A错误；结合图像弄清两物块的运动过程，开始时A逐渐减速，B

逐渐加速，弹费被压缩，力时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被

压缩到最短，然后弹簧逐渐恢复原长，B仍然加速，4先减速为零，然后反向加速，

12时刻，弹簧恢复原长状态，由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增

大，两物块均减速，在小时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此

从f3到白过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B错误；根据动量守恒定律，可知，=0

时刻和/=”时刻系统总动量相等,有〃?”I=(〃?I+〃?2)V2,其中也=3m/s,V2=lm/s,

解得加：〃?2=1：2,故C正确；在々时刻A的速度为以=/m/s,8的速度为卜出=2

m/s,根据〃?i：〃[2=1：2,求出Eki：&2=1：8,故D正确.

3.(2024山东济南期末)如图甲所示，物块A、B用轻弹簧拴接，放在光滑水平面上，B

左侧与竖直墙壁接触。物块C以速度％向左运动，与A相碰后立即粘在一起后不分开并开

始计时。A、B运动的。-f图像如图乙所示，5、邑分别表示％到J时间内A、B的4―7图

线与必标轴所围面积的大小。已知三个物块质量均为〃？，下列说法正确的是()

Z

Z

Z

Z

/

Z

.BA

甲乙

A.a2=2al

B.S2=2sl

C.0内墙对B的冲量大小为2//zv0

1,

D.在L时刻弹簧的弹性势能为§〃?%

【参考答案】BC

【名师解析】

二者碰撞过程中动量守恒，可得mvQ=(m+f?i)v

解得v=1v0

在0〜。内对AC研窕，设水平向左为正方向，由动量定理可得

I=-2mv-2mv=-2mv()

而B处于静止状态，墙壁对B的冲量大小等于弹簧弹力对A的冲量大小，故。〜。内墙对B

的冲量大小为2机％,故C正确；

。一，图线与坐标轴所围的面积表示速度的变化量，AC物体初速度为I，，根据对称性可知，

乙时刻AC的速度为'，，AC的加速度为0,此时弹簧恢复原长，B开始离开墙壁，到与时刻

加速度均达到最大，此时弹簧的伸长量达到最大，速度用同，即2〃八，=3加匕，S2=V,,

E=X匕

故S2=2S,,故B正确；

11

729

A的加速度为4时弹簧压缩量最大，即Ep=-2/nv=-Ax；

解得%=后，°

根据牛顿第二定律可得4=生=与口

2m2Vtn

在G时，三者共速，则根据能量守恒定律可知3已加一二3^6十+综

1,1,

解得与二五团%=/公3

故4=J|4，故A错误；

B离开墙壁后整体机械能守恒，贝ij2mv=3mv]

故在右时刻，根据能量守恒定律可知；2〃“2=；3〃2彳+综

解得综=全心故D错误。

4.如图所示，一木板放在光滑水平面上，木板的右端与一根沿水平方向放置的轻质弹簧相

连，弹簧的自由端在Q点木板的上表面左端点P与。点之间是粗糙的，P、。之间的距离

为L,Q点右侧表面是光滑的.一质量为机=0.2kg的滑块（可视为质点）以水平速度v0=3m/s

从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弼回.已知木板质曷M=0.3kg,滑块与木板

表面尸、Q之间的动摩擦因数为4=0.2,g=10m/s2.

P

x77777777777777777777777777777z7

（1）若L=0.8m,求滑块滑上木板后的运动过程中弹簧的最大弹性势能;

（2）要使滑块既能挤压弹簧，最终又没有滑离木板，则木板上P、。之间的距离L应在什

么范围内？

答案（1）0.22J（2）0.675m<L<1.35m

解析（1）滑块滑上木板后将弹簧压缩到最短时，弹簧具有最大弹性势能，此时滑块、木

板共速，取向右为正方向，由动量守恒定律得〃八，o=（加+M）u共

由能量守恒定律得£p=）诏—1（"7+Mj—ftmgL

解得Ep=0.22J

（2）滑块最终没有离开木板，滑块和木板具有共同的末速度，设为〃，滑块与木板组成的

系统动量守恒，有

mv（）=U

设共速时滑块恰好滑到。点，由能量守恒定律得

〃加g£i=，?诏-g（〃?+M）ir

解得Li=1.35m

设共速时滑块恰好回到木板的左端尸点处，由能量守恒定律得2〃〃7g乙2=2〃用一J（机+M）

22

ir

解得上2=0.675m

所以P、。之间的距离L应满足0.675m9Vl.35m.

5.（15分）（无锡市2024年秋学期高三期中教学质量调研）如图甲所示，上表面光滑的固

定平台上有A、8两物体，A与一轻弹簧相连，以初速度％向8运动.从弹簧接触3到与3

分离过程A、3的廿一,图像如图乙所示.已知从，=0到1=%时间内，A运动的距离为

O.73voro.完全分离后8滑上静止在光滑地面上与平台等高的木板c,。由水平粗糙轨道和

1/4光滑圆弧轨道组成、两者相切，圆弧轨道半径R=2-,水平轨道长度£二2.已知

32g8g

B、。质量均为m,A、8可视为质点，不计空气阻力，重力加速度&求:

图乙

（1）A物体质量加八；

（2）为使H物体能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离C,则B与C的水平轨道间的动摩

擦因数〃满足的条件；

（3）A、B碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值Ax,”.

【解析】：⑴A、3碰撞，系统动量守恒，由图乙有加A%=（m八+〃。才（2

分）

解得：〃?='（1分）

八3

（2）从弹簧接触8到与8分离，设分离时人物体速度以，8物体速度％，有

121212

乙乙乙

解得：以=0.5%（2分）

若B物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速,则对8与C整体由水平方向动量

守恒加也=2"?匕（1分）

由能量守恒定律—mvj=-x+pixmgL（1分）

解得：自二0.5

若8物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对B与C整体由水平方向

动量守恒fnvR=2niv2（1分）

由能量守恒定律1mv^=-x2〃”片+^2mgL+mgR（I分）

22

解得：生二0.25

综上所述B与C的水平轨道间的动摩擦因数〃的取值范围为0.25W,<0.5（1

分）

（3）弹簧接触B后，弹簧压缩过程中，4、8动量守恒,有:〃??=!〃?〃+小也

（1分）

对方程两边同时乘以时间Af,有-/?/v0Ar=匕*△/+加以△/（1分）

0~f°之间，根据位移等于速度在时间上的累积，可得〃a八+〃优8

（1分）

将4=。.73卬0代入，得/=。・。9卬0（I分）

则弹簧压缩量的最大值此,=4-而=O.64voro.（1分）

6.（2024年11月河北保定期中）如甲图所示，两个物体A、B（均可视为质点）中间用劲

度系数为20N/m的轻质弹簧连接，静置于水平地面上，物体B与2点左侧地面间动摩擦因

数为0.1,与P点右侧的摩擦可忽略不计。/=0时刻开始，物体A受水平向右的拉力凡F

与物体A的位移关系如乙图所示。Is后撤去拉力凡此时物体B刚好开始运动，整个过程

中物体A、B的速度与时间关系如丙图所示。物体B质量为10kg,最大静摩擦力等于滑动

摩擦力，g=]0m/s2°求:

1；

//////(//////////////

p

甲乙丙

(1)物体B刚开始运动时弹簧的形变量；

(2)f=1s时，物体A、B及弹簧系统的机械能；

(3)弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速率。

【答案】(1)x=0.5m

(2)E=3.5J

(3)1.5m/s,0.5nVs

【解析】

(1)物体B刚开始运动时，对B进行受力分析，弹簧弹力等于最大静摩擦力

代=

可得弹簧的形变量

x=0.5m

(2)由图乙可知，x=0时，Fo=2N,由牛顿第二定律得

F(}=ma

由图丙可知，0~1s内物体A做初速度为。的匀加速直线运动，则有

12

x=-at-

2

解得

以=2kg

x=0.5m时

F-kx=ni.a

解得

F=12N

由功能关系，A、B及簧系统的机械能E等于厂做的功

£=%

由图像可得

%=；(玲+尸)尢

则系统机械能

E=3.5J

(3)/=ls时，物体A、B的速度分别为

v^=cit=Im/s