一元二次函数、方程和不等式 全章综合测试卷（提高篇）-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（提高篇）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（23-24高一上.山东青岛.期中）下列命题为假命题的是（）

A.若a>b>0,贝llac?>be2B.若Q<b<0,则a2>ab>b2

C.若Q>8>0且c<0,则春D.若a>b且>，则ab<0

【解题思路】对于A：举例分析判断；对于BC：根据不等式的性质分析判断；对于D：根据不等式的性质

结合作差法分析判断.

【解答过程】对于选项A：例如c=0,则ac2=bc2=0,故A为假命题；

对于选项B：若aVbV0,Ma2>ab,ab>b2,即标>。匕>62,故B为真命题：

对于诜项C：若a>b>0,则a?>匕2>0,可得会.<白，

azbz

因为CV0,所以城>表，故C为真命题；

对于选项D：因为工>；,则工一：=哼>0,

ababab

又因为Q>b,则b—QVO,可得ab<0,故D为真命题；

故选:A.

2.（5分）（23-24高一上.山东蒲泽.阶段练习）己知一1Mx+y<1,1<x-y<3,贝lj3x-2y的取值范

围是（）

A.2<3x-2y<8B.3<3x—2y<8

C.2<3x-2y<7D.5<3x-2y<10

【解题思路】设3%—2y=7n（x+y）-n（%-y）=（7n-n）x+（m+n）y,利用待定系数法求得m,n,利用

不等式的性质即可求3x-2y的取值范围.

（解答过程】设3x-2y=m（x+y）-n（x-y）=（m-n）x+（m十n）y,

'_1

所以｛工?二］2'解得二V即可得3%—2y=*x+y）+/—y）,

、2

因为-lW%+yWl,1<x—y<3»

所以2W3x-2y=1（x4-y）+|（x-y）<8,

故选：A.

3.(5分)(23-24高二上.山东潍坊•阶段练习)已知正实数a,匕满足Q+b=l,则竺之十竺三的最小值为

ab

()

A.10B.11C.13D.21

【解题思路】利用"乘1法''与基本不等式的性质即可得出.

【解答过程】解：正实数a,b满足a+6=1,

17|.|202+12b2+4c,.1.4

则-----F—■—=2a+o2b+-+:，

abab

=2+(/I2+/4\(,a+b)、

=7+-4-y^>74-2I--=7+4=11,

ab7ab

即：生J竺包“1,

ab

当H仅当2=答|=|以+匕=1,即b==；时取等号，

ab33

所以至把+等的最小值为IL

ab

故选：B.

4.(5分)(23-24高一下.湖南•期末)己知函数/(x)=x2+bx+c(b,c6R),若不等式/(幻<3x-2的解

集为(0,4),则不等式一N0的解集为()

A.[-1,0)U(0,2]B.(-oo,-2]u(0,l]

C.[—1,0)U[2,+oo)D.(—oo,—l)u[2,4-oo)

【解题思路】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系结合韦达定理即可求出，;二；，再分类得到不等

式组，解出即可.

【解答过程】•••不等式/(为<3x-2的解集为(0,4),

x2+(b-3)x+c+2=0的两实数根分别为％=0和义=4,

•••，+4二3绫+2=。，解得｛：：二卜

f(x)=(x+l)(x-2),令/(%)>0,解得%>2或C<-1,

则/(%)<0,解得一1Wx工2,

由做NO,

X

可得｛点"0或Lo'即1>lix<-1^｛-1<1°<2'

则所求解集为[-1,0）“2,+8）.

故选：C.

5.（5分）（23-24高一上•河南郑州•阶段练习）某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号

的产品降价，有四种降价方案：①先降价a%,再降价b%：②先降价（一）％,再降价a%；③先降价（?）％,

再降价（早）％：④一次性降价（a+b）%.其中a>b,则最终降价幅度最小的方案是（）

A.①B.②C.③D.@

【解题思路】设原价为I,求出匹种降价方案的价格，再比较大小可得答案.

【解答过程】设原价为1,

对于①，降价后的价格为：（1一。%）（1-力%）,

对于②，降价后的价格为：—e券）％]（1—Q%）,

对于③，降价后的价格为：[i一（等）％『，

对于④，降价后的价格为：一次性降价l—（a+8）%.

（1-a%）（l-6%）=1-（a+d）%+a%b%>!一（Q+b）%,所以①〉④，

因为Q>b,所以

（1-a%）（l-b%）<（j%；=[1一（早）％『，所以①<@

因为所以（等）%>（等）％,1-（等）％<1-（等）％,

2

[1-（^）%]（1-a%）<[1-%]>所以②〈③，

则最终降价幅度最小的方案是③.

故选:C.

6.（5分）（23-24高一上•安徽马鞍山•期末）已知对一切xE[2,3],yE[3,6],不等式7n/一孙+y220恒

成立，则实数血的取值范围是（）

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【解题思路】令£=3分析可得原题意等价于对一切3],mzt-d恒成立，根据恒成立问题结合二

次函数的性质分析运算.

【解答过程】•・"6[2,3],ye[3,6],贝咛

G[1,3],

X*.*mx2—xy+y2>0,且工€[2,3],x2>0,

可得

令£=7W[1,3],则原题意等价于对一切tW[1,3],血之亡一“恒成立，

••)=£—£?的开口向下，对称轴t=；,

则当t=1时，y=t-产取到最大值j^ax=1-/=(),

故实数m的取值范围是m>0.

故选：C.

7.(5分)(23・24高一上.重庆沙坪坝.期末)关于x的不等式(ax-1)2</恰有2个整数解，则实数。的

取值范围是()

【解题思路】由已知及一元二次不等式的性质可得(a+1)9-1)>0,讨论a结合原不等式整数解的个数

求a的范围，

【解答过程】由(a%-I)2</恰有2个整数解，即Ka+1)%-l][(a-l)x-1]<0恰有2个整数解，

所以(a+l)(a-1)>0,解得a>l或av-l,

①当a>1时，不等式解集为(六，三)，因为六£(°弓)，故2个整数解为1和2,

则2V<3,即2a—2<1<3a—3,解得:<a<

②当QV—1时，不等式解集为(止7，£彳)，因为三i"£(—表0)‘故2个整数解为—1,—2,

则-3<<—2,即-2(a+1)<1<-3(G+1),解得一g<G<—p

综上所述，实数a的取值范围为一：<Q4一争身Wa<|.

故选：B.

8.(5分)(23-24高一上・甘肃兰州・期末)对任意实数％>1,y不等式小丁+w吟恒成立，

/2a2(2y-l)a2(x-l)

则实数Q的最大值()

A.2R.4C.学D.2>/2

【解题思路】

首先不等式变形为M4工+/恒成立，再利用两次基本不等式求£=工+宅的最小值，即可求解a的

2y-lx-12y-lx-1

取值.

【解答过程】不等式+/八恒成立，可转化为

a2(2y-l)a2(x-l)

a2Wx+”恒成立，其中％>l,y>|»

2y-1x-1J2

令£=犬+更=a-l)2+2(x-l)+l+(2y-l)2+2(2y-l)+l,

2y-lx-12y-lx-1

>2悭-1)2+28-1)+1(2y-l)2+2(2y-l)7

-J2y-lx-1

=2J[(x-1)+£+2][(2y-1)++2]>2j(2+2)(2+2)=8,

第二次使用基本不等式，等号成立的条件是％-1=且2y-1=士，

x-1J2y-l

得x=2且y=L此时第一次使用基本不等式a—D72,T)+i=3-1)2+2段-1)+1,说明两次基本不等式能同

/2y-lx-1

时取得,

所以二+空的最小值为8,

2y-lx-1

即M<8,则一2鱼<a<2V2,

所以实数a的最大值为2四.

故选：D.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)(23-24高一上•江苏无锡・期末)十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首

先把"="作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“V”和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的

引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是()

A.如果a>b,c<d,那么Q-c>b—d

B.如果Q>b>0,那么我>—

C.若一1VQ<5,2<b<3,则一2Vah<15

D.如果Q>b>0,cvd<0,evO,那么—>—

a-cb-d

【解题思路】根据不等式的性质逐个选项推导即可.

【解答过程】对A,如果a>b,cVd,M-c>-d,那么a—c>b—d,故A正确;

对B,如果a>b>0,那么则0〈白〈白，故B错误；

aba2b2

对C,若一lVa<5,2<b<3,则一3VabV15,故C错误；

对D,如果a>b>0,c<dV0,e<0,则一c>-d>0,故Q-c>b-d>0,

则」—>-£-,故D正确；

a-cb-da-cb-d

故选：AD.

10.（5分）（23-24高一上•陕西西安,期中）已知关「％的不等式ax?++c>0的解集为｛x|无<一3或%>4],

则以下选项正确的有（）

A.a>0

B.不等式匕x+c>0的解集为｛x|xV-12｝

C.a+b+c>0

D.不等式ex2—hx+a<0的解集为｛x[x<—3或x>

【解题思路】求得。的取值范围判断选项A；求得不等式bx+c>0的解集判断选项B；求得Q+b+c的取

值范围判断选项C；求得不等式cd-"+a<0的解集判断选项D.

【解答过程】关于x的不等式a/^-bx+c>0的解集为<一3或x>4｝,

则=—3和上=4是方程a/+bx+c=0的二根，且Q>0

（-3+4=_-a>0

则，a>0»解之得b=-a,

-3x4=-（C=-12a

Va

rhoo,可得选项A判断正确；

选项B：不等式以4-c>0可化为f。、八，

解之得力<-12,则不等式bx+c>0解集为卜|文<一12｝.判断正确；

选项C：a+b+c=a-a-12a=-12a<0,判断错误；

选项D：不等式c/-匕工+Q<0可化为一12Q/+QX+Qv0,

即12炉一“一1>0,解之得｛x|xv或x>?｝.

则不等式c/一.+Qv0的解集为｛小V-；或x>）判断正确.

故选:ABD.

11.（5分）（23-24高一上•安徽安庆•阶段练习）已知a>0,b>0,ab+2（a+b）=14,则下列正确的是（）

A.ab的最大值为11-6&B.二的最小值为0

C.(a+l)b最大值为8D.2a+b的最大值为6

【解题思路】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.

【解答过程】依题意，a>0,b>O,ab+2(a4-b)=14,

A选项，ab+2(a+b)=14>ab+2x2y/ab,

2

(Vad)+4Vad-14<0,解得0V加工一2+3或，

当且仅当匕+2=",即°=k-2+3/时等号成立,

2

所以0<。/)工(一2+3鱼)=22-12V2,所以A选项错误.

B选项，ab+2(a+b)=14,ab+4+2(a+b)=(a+2)(8+2)=18,

33a+2+b+21

=3x-----——----=：(a+2+b+2)

Q+2b+2(Q+2)(/?+2)6、

>^x2J(a+2)•(b+2)=x718=V2,

当且仅当Q+2=b+2,Q=匕=-2+3注时等号成立，所以B选项正确.

2

D选项，14=ab+2(a+b)=1/>(2a+2)+b4-2a<+b+2a,

整理得(b+2a尸+12(8+2a)-108>0,(b+2a+18)(8+2tz-6)>0,ft+2a>6,

当且仅当b=2a+2=4时等号成立，所以D选项错误.

C选项，14=。匕+2(a+b)=aA+b+2Q+b=b(a+1)+2a+匕，

由D选项的分析可知：b(a+1)=14-(2a+b)<14-6=8,所以C选项正确.

故选：BC.

12.(5分)(23-24高一上.安徽芜湖.期末)已知关于」的不等式研--1)(X+3)+2>0的解集是(X1，必)，

其中与<%2,则下列结论中正确的是()

A.xr+x2+2=0B.-3</<%2<1

C.|Xj—x2|>4D.Xi%2+3<0

+%2=-2

【解题思路】由一元二次不等式的解集可得｛yy_2&j0判断人、D,再将题设转化为

%1%2—展—J<U

l)(x+3)>-2,结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.

【解答过程】由题设，a(x-1)(%+3)+2=a/+2ax-3a+2>0的解集为(%1，%2)，

+必=-2

・・・a<0,贝式2“八，

%1%2=--3<0

4-x2+2=0,xxx24-3=^<0,则A、D正确；

原不等式可化为/'（%）=a（x-l）（r+3）>一2的解集为（乙,32），而f（%）的零点分别为-3,1且开口向下,又

%i<%2»如下图示，

・•・由图知：/V-3VlV0，%—％2l>4,故B错误，C正确.

故选：ACD.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（23-24高三下.浙江.阶段练习）若Q>0,b>0,则min{ab,岛应}的最大值是一—.（其中min{a,b}

表示4,中的较小值）

【解题思路】先证明min{ab,葭5应}<5再说明当a=1,b=：时min{g/《正}=:

【解答过程】min[ab,f}=府西焉•Jmin{ab,f}<随•忌]=皈•

I-----7~~~—=--

■\J（a-2b）2+4ab74ab2

当a=l,b=决寸,min{ab,$}=min《t}=/

所以min{a瓦高赤}的最大值是g.

故答案为:

14.（5分）（23・24高一上•山西运城•期末）已知正实数a"满足a+26+5=协，且不等式端之缶接恒

成立，则实数加的取值范围是一次之一18.

【解题思路】分离参数得小”仔+?）（20+6）恒成立，即m*-G+3（2a+b）Lx，然后结合基本不

等式求解即可.

【解答过程】因为正实数小〃满足a+26+5=^

所以THN（］。一2山）（2。+匕）=_（2"W3+»）=_（a++切,

a+2b+5ab\baJ

因为仔+£）（2a+b）=y+2+84-y>10+218,

当且仅当千=竺，即Q=b=N”时取等号，

ba2

所以-G+T）（2a+b）<-18,

所以不等式义工—怒恒成立，只需加之-18即可.

故答案为：m>-18.

15.（5分）（23・24高一上•广东东莞•期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如

图2）是由两个相同的矩形43C。和EFG”构成的面枳为80m2的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一

座花坛，造价为99元/nA在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/nA在四个矩形（图中

阴影部分）上不做任何设计.设总造价为S（单位：元），A。长为x（单位：m）,则绿化花园总造价S的

最小值为1440元.

【解题思路】设DQ长为ym,则4xy+x2=80,求出y,再结合各个区域的造价求得S,利用基本不等式

可得最值.

【解答过程】设DQ长为ym,则4xy+x2=80,

即20_X

y=X4’

0<x<4x/5,

所以S=99/+8x4xgy2

=10012+引-160

>100x2卜唱-160=1440.

当且仅当/=充

即x=2x/2时，等号成立，

所以当x=2企时，S取最小值为1440.

故答案为：1440.

16.(5分)(23-24高一上•重庆沙坪坝•期中)设函数/•(%)=/+2%+如若关于％的不等式/•(/(%))<0的

解集为空集，则实数a的取值范围为［二+8).

【解题思路】根据题意，设/口)=i，可知C之Q-1,从而将不等式/(/(切)<0的解集为空集，转化为/«)<0

在区间［a-1,+8)上的解集为空臭，从得出而、=«+1)2+。-1工0在区间口一1,+8)上恒成立，根据二

次函数的图象与性质，得出y=Q++Q-1,开口向上，时称轴为t=-1,且4=4一4Q,分类讨论/<0

和1>0两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出a的取值范围.

【解答过程】解:根据题意，可知/(%)=%2+2x+a=(x+I)2+a-1>a-1,

设/1(%)=t,则tZa—1,

因为不等式/(/•(%))<0的解集为空集，

即/⑴<0在区间［a-1,+8)上的解集为空集，

即y=/+2t+Q=«+1)2+Q-1v0在区间［a-1,+8)上无解，

所以y=(t+I)2+a-1>0在区间［Q-1,+8)上恒成立，

对于二次函数y=Q+l)2+a—l,开口向上，对称轴为七二一1,

4=4-4a,

当』=4-4aW0,即QZI时，则

所以y=Q++a-1工0在区间［a-1,+8)上恒成立，符合题意：

当/=4—4a>0,即a<1时，

令)，=Q+1)2+Q-1之0,解得：t<-1-71^或£>-1+

要使得y=(t+I)2+a-1>0在区间［a-1,+8)上恒成立，

只需满足a-l>t=-1且a-1>-14-Vl^a,

即a>0且M+a-1>0,解得：Q<T；"(舍去)或Q>

又因为a41,故解得：二学4Q<1,

综上得，实数。的取值范围是［二芋,+8).

故答案为：F竽，+81

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.(1()分)(23-24高一上•湖北黄冈.阶段练习)(1)已知12VQV60,15<b<36.求a-b和三的取

b

值范围.

(2)已知0VQ+/?<2,-l<b-a<l,求2a-b的取值范目.

【解题思路】(1)根据不等式的性质，求出-b和!的范围，再利用性质求解作答.

D

(2)令2a-b=m(Q+b)+7i(b-Q),求出m,n的值，根据不等式的性质即可得到结果.

【解答过程】(1)因为15C8V36,由不等式的性质可得，-36<-8〈一15；白<：<3

36D15

因此12—36<。一8<60—15,即一24Va-b<45；g|J-<-<4,

36b153b

所以-24<a—b<45,-<7<4.

3b

(2)令2a—b=+b)+n(b—a),m,nER,BP(m—n)a-I-(m4-n)b=2a—b,

»^{m~n=\，解得卜=5

(m+n=-1ln=

而Cva+b<2,-l<b-a<l,于是0<号<1,-；<-；(b-a)<；,

所以，一：<呼一；3-。)vl+3即一：V2Q-bv3

J

222v222

所以-1<2a-ft<|.

18.(12分)(2024•四川资阳.模拟预测)已知a>0,b>0,且a+b=2.

(1)求M+八的最小值;

(2)证明：VaTT+VFTT<2V2.

【解题思路】(1)由基本不等式即可求出小+〃的最小值.

(2)化简已知得或(am+2不I)&4,即行riw等+等=4,利用基本不等

式即可得证.

【解答过程】(1)(2)因为a+b=2,所以Q?+力2+2Q/)=4,所以a?+/=4—2Q/J.

2

因为a>0,b>0,所以abW(学)=1,当且仅当Q=匕=1时，等号成立，

则。2+炉工4-2=2,即。2+"的最小值是2.

(2)证明：因为鱼乂衍1工等，当且仅当a=1时，等号成立,

&xVT巨W等，当且仅当b=l时，等号成立，

所以企x后+等+等=4.当且仅当Q=b=l时，等号成立

贝h0（&n+工4,即用闩+扬钉42企，当且仅当Q=b=l时，等号成立.

19.（12分）（23-24高一上•江苏苏州•阶段练习）已知如糖水中有ag糖（b>Q>0）,往糖水中加入mg糖

（771>0）,（假设全部溶解）糖水更甜了.

（1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.

（2）利用（1）的结论证明命题：”若在△48C中心b、c•分别为角A、B、C所对的边长，则・<£+二”

l+c1+a1+b

【解题思路】（1）根据题意直接写出答案，利用作差法证明该不等式；

（2）利用三角形的三边关系和放缩法即可证明.

【解答过程】（1）由题可得，7<―

bb+m

m口ra'I.aa+mab+am-ab-bm（a-b）in,一八、八

址明：^l79br--b+m=-匕7（7b-+-m;）-=b（d一+m）、，b>a>Q,TH>0,

所以，Q-b<0,b+rn>0,从而：一三吆<0,即fV三也

bb+mbb+m

（2）由三角形三边关系，可得a+b>C,而函数y=F=1-义，为单调递增函数，

Jl+x1+X

._£_<c+（a+b-c）_a+b_a+b

"l+cl+c+（a+b-c）1+a+b1+a+b1+a+b'

a<ab<b

1+a+b1+a'1+a+b1+b'

UAi、I,

1+a+b1+a+b1+a1+b

所以，名.

l+c1+a1+b

20.（12分）（23-24而一上•重庆・期末）若函数/（£）=ax2+bx+4,

（1）若不等式f（x）V0的解集为G，4），求a，b的值；

（2）当a=1时，求/（x）>0（bER）的解集.

1+4=-=--

【解题思路】（1）根据条件，利用韦达定理建立方程组92/,且a>0,即可求出结果;

^-4=2=-

2a

（2）利用含参的一元二次不等式的解法，分A<0,A=0,和A>0三种情况讨论，即可求出结果.

【解答过程】（I）因为。/+故+4<0的解集为6,4）,

—1|--4=-9=—b

212J,解得a=2/=—9.

r4=2=;

(2)va=lI,/(%)=/+以+4,所以f(x)>0,BPx2+bx+4>0,

又△=b2—16,

当AVO即一4vbv4时，f(x)>0的解集为R；

当A=0,即b=±4时，若b=4,fM>0解集为MxH-2｝,若b=-4,f(x)>0解集为｛»工02｝；

d+216

当A>0,即b<-4或b>4时，/+bx+4=0的两根为％1=土当三逅，x2=~^~,且有与〈小，

此时，/(%)>0的解集为卜卜<上手或不>上笠斗，

综上所述，当一4VbV4时，/(%)>0的解集为R：

当七=4,/(x)>0解集为｛x|xH-2｝,当b=-4,/(x)>0解集为｛x|xH2)；

当£V—4或b>4时，fM>。的解集为，卜<土笄羽或%>也竽适｝.

21.(12分)(23-24高一上.河北保定•期中)已知函数/"(x)=0n+l)/—(m—l)x+m—l.

(1)当机<0时，解关于x的不等式/(x)>3x+m-2；

(2)若存在％E[0,2],使得不等式/(无)3/+2%-1成立，求实数〃?的取值范围.

【解题思路】(1)根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集；

(2)采用分离变量的方法，转化成求函数的最值.

【解答过程】(1)由(m+1)/-(爪-l)x+血-1工3x+m-2=(zn+l)x2-(m+2)x+1>0=

(x-l)[(m+l)x-1]>0.

若机+1=0即m=-1,上式可化为：x—1<0=x<1；

若加+1<0即m<-1,上式可化为：(x-1)\x——三|<0=><%<1；

Lm+ljm+1

若m+1>0即-1<mV0,上式可化为：(％-1),一;2°，

因为一1<m<0=0<m+1<1=>—m+1>1,所以：x<1或不>—771+1.

综上可知：当加〈-1时，原不等式的解集为：Lm+1J

当m=-l时,原不等式的解集为：(-8,1]；

当—lVmVO时，原不等式的解集为：(-8,1]U