高中数学基础练习题-空间中的平行于垂直综合（解析版）

专题8：空间中的平行于垂直综合

题型一：空间中的平行及证明....................................2

题型一：空间中的垂直及证明....................................23

专题8：空间中的平行于垂直综合

题型一：空间中的平行及证明

1.若〃?，〃是空间两条不同的直线，夕是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（）

A.若/7〃/〃，那么。//尸B.若〃?//a,〃ua,那么〃?〃“

C.若〃?//〃，〃//a,那么〃?//aD.若a///,niua,那么加//〃

【答案】D

【分析】根据面面平行的性质，线面平行的性质和判定定理逐一判断即可.

【详解】当4〃初时，夕可以相交，故选项A不正确；

当"〃/a,〃ua时，机,〃可以是异面直线，因此选项B不正确；

当,〃//〃，〃//a时，存在这一情况，所以选项C不正确；

根据面面平行的性质可知选项D正确，

故选：D

2.（多选）下列说法中正确的是（）

A.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行

B.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行

C.一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行

D.一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行

【答案】CD

【分析】举出相交平面的实例说明判断AB；利用两个平面平行的定义和判定定理判断CD作答.

【详解】一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线是平行的，则这两个平面可能相

交，

因为两个相交平面，一个平面内与交线平行的所有直线都平行于另一个平面，A错误；

一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，如果这无数条直线是平行的，则这两个平面可能相交，

因为两个相交平面，一个平面内与交线平行的所有直线都平行于另一个平面，B错误；

一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行，由两个平面平行的定义知，C正确；

一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行，由两个平面平行的判定定理知，

D正确.

故选：CD

3.（多选）如图，空间四边形力68中，区”分别是边16,6c的中点，G”分别在线段。上，且

满足。G=/tOC,DH—DA,九〃e(O,l),则卜列说法止确的是()

2

B.当4=〃时，四边形EFG”是梯形

C.当2H〃时，四边形EFG”是空间四边形

D.当义工〃时，直线£〃,尸。80相交于一点

【答案】BC

【分析】利用三角形的中位线和相似比结合平行四边形和梯形的判定判断AB,利用异面直线的概念判断

C,假设直线相交于一点，利用线面平行的性质定理判断D.

【详解】选项A：在“8c中，因为民尸分别是边48,8C的中点，所以且E尸=；4C,

当/="=；时，”,G分别为04,0。中点，所以在AD4c中可得HG〃力。且HG=g4C,

所以EF〃HG且EF=HG,

所以四边形EFG"是平行四边形，

又心〃分别为48,4。中点，所以EH//BD,又EFHAC,

当4Q_L4C时有E〃_L£7L平行四边形£7PH为矩形，

所以四边形E~GH不一定是矩形，A错误；

选项B：当4=〃==时，粤=粤=之，所以HG=：AC,且HG〃/1C,

则由A可知Eb〃〃G且斯工“G,所以四边形是梯形，B正确；

选项C：当见工〃时，E厂不平行于又因为“Gu平面力。C,七厂吠平面4OC,

所以〃G,M是异面直线，四边形MG”是空间四边形，C正确；

选项D：不妨设直线E〃，bG,8。相交于一点。，

因为E/〃4C,/ICu平面4OC,Ma平面力。C,所以E尸”平面4。。，

又因为直线E","G相交于点O,所以EFu平面EHG/，

因为平面EZ/GbPl平面4OC="G,所以EF〃HG〃AC,

所以可得4=〃，矛盾，D错误；

故选：BC

4.已知正方体48CO-44GA的棱长为3,点加满足西=3瓦7.若在正方形48cA内有一动点P满

足3尸//平面力则动点。的轨迹长为（）

A.3B.痴C.V13D.3亚

【答案】C

【分析】在棱4。,上分别取点E1,使得4E=；4R,4尸力，连接EF,BC»BF，3E,DF、BM,

JJ

证明平面8目41/"平面小皿即可得点P的轨迹为线段GE,再计算长度即可.

【详解】解：如图，在棱4。，/4上分别取点E]，使得4E=：4A，4尸=!//,连接

EF,BC[,BF,C\E,D\F,BM,

因为4E=,A}F=^A}A,

所以，EF//ADi,

因为所（Z平面4Mq,平面/fMg,

所以“7/平面4%A，

因为4"=』44，CC^=3CA7,

3

所以，AF=C]M=2tCW=4/=1,

因为AB=J%NBAF=NMCRAR=BC,/BCM=/FAR,

所以，AABFACRM,ABCMmAD&F,

所以8/=RM，2F=8W

所以，四边形即?A"是平行四边形，

所以8b//乌"，

因为8尸（Z平面AMR,D、Mu平面AMD1,

所以，〃平面4HA，

因为BFcEF=F,BF,EFu平面BFRM,

所以平面BFD、M//平面AMD、,

因为平面BFD.Mfl平面44CQ=C,E,

所以，在正方形44GA内有一动点Q满足8P//平面时，点尸的轨迹为线段GE,

因为＜士=J22+3?=JI5

所以，动点P的轨迹长为行

故选：C

5.如图所示，在长方体力8CO-48cA中，点E是棱CG上的一个动点，若平面8E”与棱44交于点尸,

给出下列命题:

①四棱锥4-BEZ）厂的体积恒为定值;

②四边形8KA/是平行四边形;

③当截面四边形BED7的周氏取得最小值时，满足条件的点E至少有两个;

④直线。洒与直线OC交于点尸，直线。尸与直线D4交于点。，则P、B、。三点共线.

其中真命题是（）

A.®®@D.②③④C.®©®D.®®®

【答案】C

【分析】利用割补法判断四棱锥4-8矶）尸的体积是否为定值；利用面面平行性质定理证明四边形8EA产

是平行四边形；利用侧面展开图求得截面四边形BEO7的周长取得最小值时，满足条件的点£个数；利

用两平面有且仅有1条通过其公共点的直线证明P、8、。三点共线.

【详解】①四棱锥4-8%）厂的体积等于三棱锥E-84A的体积

与三棱锥"的体积之和，

又长方体49CQ-44GA中，CCJ/AA6平面BBR,

则点E,F到平面BBQ,的距离为定值，

则四棱锥4-8切尸的体积恒为定值.判断正确；

②由平面BED,与棱AAX交于点F,

可得平面BED/c平面=BF,平面BED.Fn平面CCRD=DiE,

又平面力4B\B〃平面CC；2。，则BFHD\E；

又平面BED、Fc平面BCC}B、=BE,平面BED.Fc平面ADD.Ay=D{Ft

又平面BCC}4〃平面ADD.A,,则BEHDf,

又BFHD\E,四边形8瓦）厂是平行四边形.判断正确；

③由②可得，截面四边形8砌厂是平行四边形.

当BE+3的值最小时，四边形BERF的周长取得最小值.

将测面朋5CC与侧面CG。。展开在同一平面，

当且仅当E为直线BD、与CG交点时BE+ED,的值最小，

则当截面四边形4EO产的周长取得最小值时，满足条件的点E仅有1个.判断错误；

④直线与直线。C交于点直线。尸与直线。力交于点

则〃、I）、2三点均为平面4。尸与平面X5CO的公共点，

由平面与平面有且仅有一条交线可得2、B、。三点共线.判断正确.

故选：C

6.（多选）如图，在棱长为2的正方体力中，点P在线段8G上运动，则下列判断中正确的

A.42//平面力C，

B.三棱锥4PA的体积不变

C.以。为球心，石为半径的球面与侧面的交线长为兀

D.异面直线4P与＜2所成的角的范围是

JJ

【答案】ABD

【分析】通过证明平面44G〃平面力C",即可得出A项；

4

根据4?//平面4CR,可推出求出心」a=］即可得出B项；

由己知可得交线即以C为顶点，1为半径的圆与侧面8片。。的交线，取8。、CG中点为E、F,求出扇

形的弧长即可得出结果，判断C项;

由BC.HAD,,可知异面直线4P与力。所成的角即等于直线吊尸与8G所成的角N4PB或其补角卬4.

根据图象，即可得出点尸为8G中点以及线段8G端点时，角最大或最小，即可求出结果.

【详解】

对于A项，如图，连结4比4G•根据正方体的性质可知，且44=CG，所以四边形力£。力是平

行四边形，所以AC//A,C,,乂4a0平面ACD、,ACu平面ACD,，所以力《〃平面力CR.同理可得BCJ/AD,,

8C”平面彳因为4Gu平面4/G，〃Gu平面48G，4Gc8G=G，所以平面力乃6“平面力C。.

又4Pu平面4〃G，所以4尸〃平面4c2,故A项正确；

对于B项，由A知40//平面/C2,所以点4到平面力CR的距离即等于点P到平面4c2的距离，所以

114

Vp-ACD、•由正方体的性质可得，CO_L平面所以七=5X3x44x44XC7)=《，又

44

〃-“s=^C-AAfD,二y»所以是个定值，故B项正确；

对于C项，由已知可得，点。到侧面88CC的距离等于a)=2.设球被侧面88CC截得圆的半径为L球

的半径R=X/5,则/•=JR2一8'].所以以。为顶点,“为半径的球面与侧面8片。。的交线即以C为

顶点，1为半径的圆与侧面的交线，分别取8C、CG中点为E、F,则有C£=Cb=l=r,所以

交线即NECF所对的圆弧/的长，/ECF=g所以/==故C项不正确；

对于D项，如图，由已知可得48=8G=4G=2后，所以N4BP《又BC'/Aj,所以异面直线40与

物所成的角即等于直线4P与8G所成的角4PB或其补角ZJ.PC,.显然当点尸为g中点时，

“PB=NAPCi=W，此时最大；当点P在4点时，N4PG=g,当点尸在G点时，NA,PB=g此时

—一

最小.所以异面直线4尸与力D所成的角的范围是p-|，故D项正确.

故选：ABD.

7.点P是648CZ)所在平面外一点，M是尸。中点，在。M上任取点G,过G和力尸作平面交平面40M于

GH.证明：AP//GH.

【答案】证明见解析

【解析】证明：连结/C,交4。于点0,连结。必.

因为四边形/灰刀为平行四边形，所以。是4c的中点.

又M是尸C中点，所以。M//AP.

因为OMu平面8。“，力平面8DW,

所以力尸〃平面

又平面G4PCI平面BDM=GH,APu平面GAP,

所以AP〃GH.

8.如图，在四棱锥P■被力中，就是以上的点，△48。为正三角形，CB=CD,"18。.若NBCZ)=120。,

DM//平面BPC,求证：点汹为线段总的中点.

【答案】证明见解析

【解析】取"的中点M连结邮和ZW,

因为N8CQ=120。，且8C=OC,所以/C8Q=30。,

又△48。为正三角形，所以/45C=90。，

即AB1BC.

•；△4BD为正三角形,凡是"的中点，

DN1AB,

又DN,BG"共面，/.DNHCB.

■:DN(z平面BPC,C8u平面即G

：・DN//平面BPC.

♦；DM"平面BPC,DN,DMu平面刎

:.平面DMN//平面BPC.

•：MNu平面。硼:・MN//¥面BPC.

・；MNu平面P4B,平面P4Bc平面BPHB,

：.MN//PB.

・・,”是"的中点，・・."为线段修的中点.

9.如图，在三棱柱力■-力中，"为例的中点，求证：8&〃平面彬

【答案】证明见解析

【解析】连接4C交4c于点。，连接掰9,

・・・0为4G中点，“为前中点，

，掰9为的中位线，:.MOHBC1,

又・・・"=平面刈见，砌(Z平面也46

•••明〃平面MA,C.

10.如图，在四棱锥产T8Q?中，底面仍必为梯形，BC//AD,夕为侧棱外的中点，且施T,/1ZM,求证：四

〃平面PAB.

P

BC

【答案】见解析

【解析】证明：取血的中点0,连接gOE,如图.

因为£为侧棱勿的中点，

所以OE〃PA,咽平面P4B,HU平面448

所以OE〃平面PAR

因为802,AD=4A0=rAD^2,BPA0=BC旦BC“AD,

tzt

所以四边形四必为平行四边形，所以0C〃AB.

又皈平面PAB,ABU平面PAB,所以0C〃平面PAB.

囚为OCC0E=0,林：平面0CE,况U平面OCE,

所以平面吸〃平面鹿

因为函=平面0CE,

所以CE〃平面PAR

11.正三棱柱48C-44G的底面正三角形的边长为2,。为AC的中点，/4=3.证明：48//平面4)G.

【答案】证明见解析

【解析】连接4。，设4CCMG=E,连接

・・・4CG4是正三棱柱的侧面，

；.4CCM为矩形，

・・・石是4。的中点，

・・・DE是&C4B的中位线,

；.DE//A}Bt

又48a平面力。G，OEU平面NOG，

・•・力乃//平面力z)G.

12.如图，在长方体力8CO-44GA中，底面48CZ)是边长为2的正方形，44=4,E、/分别为48,Afi

的中点.证明：〃平面

【解析】设4Qc/lA=G,连接G/，

由于G,厂分别是4。4c的中点，所以GF"AB,GF=gAB,

由于4E,

所以GF〃AE,GF=AE,所以四边形力MG是平行四边形，

所以EF//AG,

由于平面44Q。，彳6(=平面/14。。，

所以石尸〃平面

13.如图，在三棱柱43c-4瓦G中，2A分别为棱力C4G的中点.求证：平面力用2//平面8CQ.

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接8c交4G于点E,连接OE.

由三棱柱48C-44G的性质可知

四边形BCC他,4CCM均为平行四边形，

・•.E为8。的中点.

•.•。为4c的中点，.•・QE为△480的中位线，.〃名.

又「DE匚平面BCQ,,伍＜z平面"CQ,AB}//平面占G。.

在平行四边形4CC/中，2A分别为棱AC,4G的中点，

则四边形4OG。为平行四边形，，力A〃QC1.

又,/DC'u平面BQ力。＜z平面BCRg//平面BCQ.

AB】cAR=A,4B[,4D]u平面4BN,

二.平面/8Q"/平面8CQ.

14.如图：已知三棱柱/i〃c-44G中，〃为回边上一点，4为8c中点，且/田〃平面力OR.证明：平

面48。〃平面

4DCi

B

【答案】证明见解析

【解析】连接4c与4G交于点。，连接

・.・48〃平面力Z)G，/fu平面48C,平面48Cc平面zr>a=。。,

AA.B//OD,又。为/G中点，，。为8c中点，

•:BDgD、,且&)=CQ~

・・・四边形G。田。为平行四边形，・・・C.DI/BD..

又82a平面/QG，COU平面力OG，；.BDJ/平面<DG.

又44〃平面力。0,4BcB»=B,4B,BD】u平面

所以平面4瓦年/平面4DG.

15.如图，在正方体力8C。—44G仅中，石为84中点，8g与平面4。石交于点户.

(D求证:8G〃面皿E；

(2)求证：尸为8c的中点.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)因为48与GA平行且相等，所以48GA是平行四边形，所以力OJ/8G，

又AD、u平面ADiE,BC}(Z平面AD}E,

所以AC//平面

(2)由(1)3CJ/平面"。潜，〃Qu平面8。。百，平面4。田0平面=£7L

所以BCJJEF,又E是中点，

所以厂是用G中点.

16.如图，在四棱锥尸-力6。〃中，底面是菱形，MM,。分别为阳，PD,尸。的中点.

(1)求证：QV〃平面PAD：

(2)记平面与底面力版的交线为1,试判断直线/与平面〃劭的位置关系，并证明.

【答案】(1)证明见解析：(2)1〃平面物证明见解析

【解析】(1)证明：・・•底面480是菱形，N,M,。分别为如，PD,R7的中点.

:.QN〃BC,BC//AD,：.QN//AD,

「循平面用。，初U平面总

:、QNH平幅PAIh

(2)直线】与平面W平行，证明如下：

・・・〃，"分别为依，出的中点，

:.MN//BD,

":BDC平面ABCD,渺/0平面ABCD,

・・•松〃平面ABCD,

・・,平面6W与底面4瓦力的交线为1,

・••由线面平行的性质得朋V〃l,

,:MN〃BD,：.BD//lt

・・・。£/,。史面刊辽)，且切U平面电2I(Z平面PBD,

；・"/平面PBD.

17.如图，某组合体是由正方体与正四棱锥夕组成，且4广告前.

(1)若该组合体的表面积为36(5+五),求其体积；

(2)证明：48〃平面。/C

【答案】(1)252；(2)证明见解析

【解析】(1)连接4G、8a交于点O,连接PO,由正棱锥的性质可知尸。工平面44GA，

设46=2。，则尸4=石〃，AiO=-^A]Ci=\f2a,：.PO=y/PA^-A}O'=a,

取8£的中点E,连接尸E,则PE_L4G，且PE=《P氏一&E?

所以，几何体的表面积为5x4/+4x；x2。x、以a=（20+码/=345吗,

可得a=3,

,।4

所以，该几何体的体积为（2〃）+3x442x4=8x27+3x33=252

(2)证明：因为5C//MA，且8c=

所以四边形48cA是平行四边形，

则44//QC，48a平面。/C,"Cu平面OJC,

所以48//平面OJC

18.如图，在四棱锥P-4BCQ中，底面48CQ是菱形，N,必，。分别为P&PD,PC的中点.

(1)求证：QN〃平面为D；

(2)记平面CMN与底面W8CO的交线为/,试判断直线/与平面尸8。的位置关系，并证明.

【答案】(1)证明见解析

(2)/〃平面尸80,证明见解析

【分析】(1)推导出QV〃/1O,由此能证明QV〃平面以O；

(2)连接BD,则」WV〃BO,从而MN〃平面力SCO,由线面平行的性质得MN〃/,从而BD〃I,由此

能证明/〃平面PBD.

【详解】(1)证明；•・,底面是菱形，N,M,2分别为P",PDtFC的中点.

:・QN〃BC,BC//AD,：.QN//ADt

•.•QNU平面以O,4)U平面"O,

••・0V〃平面PADi

(2)直线/与平面080平行，证明如下：

连接40,・；M,N分别为尸氏P。的中点，

:.MN"BD,

TBOU平面/BCD,WNS平面44。，

・；WV〃平面ABCDf

;平面CMN与底面ABCD的交线为/,

・•・由线面平行的性质得MN//b

•:MN〃BD,：.BD//lt

*：Cel,CeBD,且8DU平面尸8。，/0平面尸80,

，/〃平面PBD.

19,如图所求，四棱锥尸-48CQ,底面/4CO为平行四边形，尸为尸力的中点，E为PB中点.

(1)求证：PC//平面BFD；

PM

(2)已知M点在PD上满足EC//平面BFM,求—的值.

MD

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】(1)连结/C交40于。，连结。尸，通过证明PC〃。品可证PC〃平面4五。；

(2)如图连结厂M交力。延长线于G,连结BG交CD于N,连结后b，FN,PG,EN.

由成;〃平面8QW,可得Z为。中点，后通过证明EV〃产O/BG,可得AFMDYGMP,继而可得答案.

【详解】(1)证明：连结力。交8。于。，连结。尸，

因在△P/1C中，尸为P4中点，。为力C中点，则PC〃尸0.

又PC(Z平面BFQ,R?u平面8尸Q,故PC//平面BFD；

(2)如图连结交4)延长线于G,连结BG交CD于N,

连结E尸，FN,PG,EN.

因EF〃CN,则民EMC四点共面.

又EC//平面BFM,平面B尸Me平面EFNC=BV,

则EC〃bN,四边形E/WC为平行四边形，可得EF=CN=gcDnN为C。中点.

则48CN*GDN,N为BG中点.

即EN为△P8G中位线，则EN"PG,EN=-PG.

2

又EF=DN,EFHDN,则四边形EFDN为平行四边形，EN//FD.

从而FD//PGAFMD〜AGMP=>—=—=—=2.

tFDEN

20.如图，在四棱锥尸-/HCO中，底面48C。为平行四边形，£为棱尸。的中点，平面相E与棱夕。交于点

F.

P

（l）求证："//平面BDE；

（2）求证：尸为PO的中点；

【答案】⑴详见解析；（2）详见解析；

【解析】（1）证明：如图所示：

连接”交切于点G,连接曲，

因为4奥为平行四边形，

所以G为4C的中点，又E为PC的中点,

所以GE//PA,又PAQ平面BDE,GEu平面BDE,

所以P4//平面3DE；

（2）因为底面48co为平行四边形，

所以AB//CD,

又ABu平面ABEF,CD2平面板"

所以C。//平面又平面/3E/c平面=

所以CD//EF,

又因为£为尸。的中点，

所以尸为。。的中点.

21.如图：在正方体力BCD-48cA中川？=2,M为的中点.

（I）求三棱锥/-44C的体积；

（2）求证：BDJI平面AMC：

（3）若N为CC；的中点，求证：平面4WC//平面8N〃.

【答案】（1）fl（2）证明见解析；（3）证明见解析

1112

【解析】(1)显然MD1平面ABC,于是V_=-xMDxS^=-xlx-x2x2=-.

SiABCDBCJ/rD

(2)设力cn〃o=o,连接OM,

V在正方体ABCDRCD、中，四边形力4CQ是正方形，

.•.o是8。中点，

•.•〃是的中点，，。“〃瓦儿

,/BD、<z平面AMC.OMu平面4MC,

BD、H平面4HC；

（3）;N为CG的中点，M为的中点，

:.CN〃D\M,:.CN=D\M,

二.四边形CND眼为平行四边形，

又/MCu平面AMC；；DNQ平面4MC,/.D、NH平面AMC,

由（2）知BD"/平面4MC；；B'C'N=A，BD】u平面8ND1,RNu平面8ND1,

平面AMCII平面BND、.

22.如图，在棱长为。的正方体4%）一力乃6。中，P,〃分别是被〃％44的中点.

AR

(I)若平面PQC与直线44交于火点，求:7的值;

（2）若”为棱CG上一点且CM=4CG，若8M〃平面PQC,求义的值.

【答案】（1）（2）1

34

【解析】（1）如图所示：

因为平面ABB.AJ!平面CQQG,且平面力班?/。平面PQC=RQ,

平面CDDGfl平面PQC=PC,

所以A0/PC,根据空间等角定理可知，RARQ5DPC，

则理=超，

DPDC

又DC=a,DP=—a,AQ=-a,

22

1

则罕=2-,即<R=；a,A#=；a,所以霹=；.

a444禺3

2

（2）取网的中点E则火为熊的中点，连接豳则BE//R。,

又RQu平面尸C0,8E（z平面尸C。，则8E〃平面PC0.

又8例〃平面PC。，BM,BEu平面BME且BMcBE=B,所以平面8WE〃平面PC'0,

设。"c平面后W£=/，连接E凡尸加，

由平面BM£7/平面尸C。，平面6A/En平面COAG=EW,平面PC0CI平面CORG=PC,

所以FMHPC,又CMMPF,则四边形CPEW为平行四边形，

同理四边形PREF也是平四边形，

所以CM=PF=ER=：a,所以

4CC,a4

23.已知点尸为正方形48co所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=13,M、N分别为P4、BD上

（1）求证：MN”平面PBC；

（2）求线段MN的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）MN=7

【解析】（1）证明：过M作48的平行线交所于E,过N作CQ的平行线交4C于尸，连接E/L

因为PM:M4=8N:NQ=5:8,所以，ME:AB=NF:CD=5:13,

因为四边形力AC。是正方形，贝!）力〃=。。，所以，ME=NF,

因为ME//AB,NF//CD,ABHCD,所以，MEHNF,

所以，四边形是平行四边形，则,

因为MV。平面尸2C,痔u平面P4C,所以，MN〃平面PBC.

（2）过E作PC的平行线交8C于G,

因为PM:MA=BN:ND=5:8,P8=8C=13,且ME//AB,NF"CD,

PFPMS

所以，,=詈=］，则0E=5,同理可得刃"=5,

CGPE5

因为〃G〃PC,所以,贝|JCG=5,

所以，BG=BC-CG=\3-5=8,贝！JFG=尸=3,

由筝嘿4且PC="可得EG=8,

因为PB=PC=BC=13,贝!)APBC为等边三角形，贝」I/EG/7=NPC8=60°,

由余弦定理得EUnEGZ+PGZ-^G/GcosNEG/^S+3-Zxgxbx-L49,

2

所以，E尸=7,故MN=EF=1.

24.在如图所示的多面体中，四连形48CO是平行四边形，四边形8。跖是矩形，FB工平面月BCD.

（1）求证：4f〃平面3/C；

（2）若力。=。E=1,4B=2,DB=4i,求三棱锥尸—4EC的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）也

3

【解析】（1）•・,四边形力BCO是平行四边形，工力。〃〃。，

<四边形BDEF是矩形，JDE〃BF,

8CQ平面8C尸，.4O（z平面8c产，二8C//平面8CF,同理。£7/平面8c产,

力。£平面力。后，平面力OE,4DcDE=D,

：.平面ADE〃平面BCF,

,•,力后会平面力0口工力七”平面^。7

（2）设力CnBO=O,则O为/1C中点，连结OE,0F,

则VF-AEC=VC-AEF=2%T卬=2'OEF，

在△44。中，AD=\t49=2,BD=0易知力外=力£>2+4。2,:・ADJ.BD,

•・•尸81平面48cZ),FB||ED,J£。_L平面4?CO,

又力。拿平面49c0,・・・EO14。，又BDcDE=D,BD,DE限平面BDEF,

J4D工平面BDEF,

故力。为力到平面BDEF的距离，

S八0EF~TBDEF-—XBDxDE——xlx>/3=——

2223

***VA-OEF=l^EFAD=J*y-X1=y-'

332o

・•・三棱锥F-AEC的体积VFAEC=2匕OFF=2x3=正.

r-/ICCA-kJt.r63

25.如图，在正方体力8C。-44cA中，S是鸟。的中点，E,EG分别是3C,OC,SC的中点，求证:

(1)EG//平面BDD圈;

（2）平面EFG//平面

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）如图，连接SB,・・・E,G分别是8cse的中点，

EG//SB.

又〈SB匚平面BDDM，EG<Z平面3。。心，

・,・直线以7//平面8。。£.

（2）连接幼，:EG分别是OC,SC的中点，

・・・FGf/SD.又SDq平面BDD.B.,FGa平面BDD.B,,

・••一G〃平面5。。耳,由（1）知，EG"平面BDD画,

且EGq平面E产G,尸Gq平面E6G,EGCFG二G,

，平面EFG〃平面BDDXB}.

26.如图，在四棱柱中，点"是线段瓦。上的一个动点，E,〃分别是比；6M的中点.

（1）求证：EF〃平面BDD耳;

（2）设G为棱刃上的中点，求证：平面6£尸〃平面％以片.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）证明：在四棱柱松笫-42中，连接圾如图,

则有EF〃BM,

又EFQ平面BDDB，BMu平面则比,

所以跖〃平面皮叫瓦・

（2）证明：取切的中点G,连接EG,FG,如图，

而£是勿的中点，

于是得EG〃做

而EG①平面及肛为BDu平面BDDB],

从而得比〃平面M

由（1）知EF〃平面BDD即

EK}EG=E,且跖EGu平面面R

因此，平面GEF〃平面BDD]B〃

所以当G是小的中点时，平面呼〃平面应2%

27.如图，己知在四棱锥尸-,486中，底面45C。是平行四边形，M为尸。的中点，在。〃上任取一点G,

过G和/P作平面PAHG交平面DMB于GH.

（1）求证：BC〃平面PAD；

（2）求证：IP〃平面BOM；

（3）求证：APHGH.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】（1）证明：因为四边形488为平行四边形，则8c〃4D,

•••8。。平面尸/。，力Ou平面尸40,因此，B。/平面P4D.

（2）证明：连接力C交3。于点N,连接

因为四边形48co为平行四边形，ACcBD=N,

则N为力C的中点，

又因为M为〃C的中点，则21//MV,

•.•4尸.平面80.",MNu平面BDM,

/.APH平面BDM.

（3）证明：•.•力尸〃平面8QM,4Pu平面力PGH,平面/!PG〃c平

面BDM=GH,

APHGH.

28.如图，已知正方体/1比7?・力'后E,/分别为/〃，/山的中点，点G在上底面INC/（含边界）

卜运动.请补充一个恰当条件,当点。满足—条件时\有/T〃平而研7.

【答案】G在BC中点与CD中点连线上.

【解析】取胡，BC,CD,M的中点分别为Q,M,N,P,

连接即,BD,FQ,QM,MN,NP,PE,PQ

因为属尸分别为包四的中点，所以EF〃BD.

同理可得极V〃8Z7,

因为明〃㈤，BB=DD,所以四边形胡。。是平行四边形，可得BD〃即.

所以EF〃MN,所以瓦共面，同理可证明用〃四即RE,Q,〃共面.

因为胡，血的中点分别为。，P,所以〃尸。所以EFI/PQ

所以E,F,Q,尸共面，所以区F,Q,M,N,尸共面，

因为BC〃。机BCQ平面EFQMNP,0/U面EFQMNP,

所以比*“平面EFQ出R

若BC〃平面EFG,则点G在平面夕碰卬内，

又因为点G在上底面140〃（含边界），

所以点G在面EFQMNP与面ABCD的交线上，

所以点G在线段也V上，即点G在耳C中点与中点连线上

题型二：空间中的垂直及证明

1.如图所示，长方体44GA中，力4=44=2,力。=1,o是4。的中点，直线4c交平面力42

于点则下列结论错误的是（）

BA

A.A,M,。三点共线

B.的长度为1

C.直线力。与平面4CGA所成角的正切值为正

4

D.△4MO的面积为好

6

【答案】C

【分析】利用公理3证明三点共线即可判断A,利用长方体的性质以及中位线定理，可判断B,利用线面

角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可判断C,利用三角形面积转化求解，可判断

D.

【详解】

对于A,连结4G,4C,则4GlMc,.•.4C，ac四点共面，

二.4Cu平面力CC/i，vA/€AtC,Me平面力CG4,

又Mw平面：.M在平面ACC{At与平面AB}Dl的交线上,

同理儿。也在平面ACC.A,与平面ABR的交线上.

・・・.4,",。三点共线，故A正确：

对于B,设直线4c与平面8CQ的交点为N,

二,ADJ/BC、,BQu平面C[BD,/"二平面弓鸟。，NR〃平面RBO,

v3,0,||BD,BDu平面C/D,8a<z平面C/。，，4。〃平面C/。，

又/1£>]C4Q=R,/Ru平面力BQ,BQ】u平面力BQi，

二.平面力8Q〃平面Ga）,

又平面平面4CG4=0M,平面C田。c平面4CG4=GN,

:.0M//C{Nt

•••0为4c中点，.・・〃为4N中点，同理可得N为CM的中点，

力也="4c=1,故B正确；

对于C,取于《中点E,连接彳及OE,•••0EIIG2，平面力。24，

则NO4E即为直线力O与平面4）A4所成角，又平面力。A4〃平面8CC圈，

故ZOAE即为直线力。与平面8CC£所成角，

5LOE=-AB=\,AE=6+//j=,

tan^OAE=—=冬叵，故C错误；

AE17

对于D,.••4O=：4G，4M=14。，

c—A.MxAOxsinZ.MAO...

,XoM2111

5MCC,34Gx4cxsinNC4G326

1,S,o.f=—Sjcc=—x—xA.C.xCC.=—x—xyjsx2=■>故D正确.

Maw6a4CC,62111626

故选：C

2.（多选）已知正方体力5CQ-4MG。，E,尸分别为48,4c的中点，则（）

A.ACIB^B.AiFlABlC.BDJ平面/EFD.。尸〃平面耳。小

【答案】AB

【分析】根据正方体的性质，利用线线平行判断A,由线面垂直判断B,根据垂线性质判断C,由线线平

行及线面相交判断D.

【详解】正方体4BCD-4BCQ,如图,

由国知，B'D'HBD,而ACJ.BD,所以4C14A，故A正确：

因为FB1平面A.ABB,,力4u平面4/BB],则用144，

又4〃_L44，A&CBF=B,4民8"u平面4BF,所以44_L平面49"

又4/匚平面49"所以4/_144，故B正确；

因为_1_面