高考数学 函数模型的应用（附解析）

函数模型的应用

新课标要求真题分布

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数未单独考

2025年

学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画查

现实问题的变化规律.

2024年北京卷T7

2.结合实际情境中的具体问题，比较对数函数、一兀一次函

新高考【

数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上

2023年

卷Tio

升”“指数爆炸”等术语的现实意义.

必备知识助学教材清单式排查彰显•个“准”

知识清单

1.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数

J(x)=ax-^b(a,h为常数，aWO)

模型

反比例函数

J(x)=A--ib(k,人为常数且LHO)

模型

二次函数

J(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a#0)

模型

指数函数

./a)=br+c(q,b,c为常数，b#0,a>0,且。#1)

模型

对数函数

/(x)=ZJIO^Y+c(a,b,c为常数，bWO,G>0,且aWl)

模型

塞函数

flx)=axn-\~b(a,b为常数,aWO)

模型

“对勾”函数

Av)=x+;(f/>0)

模型

2.指数、对数、器函数性质比较

裔考数名

函数

性质

y=c^(a>\)y=log,M4>l)y=W<〃>0)

在(0,+8)

单调________单调________单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的随工的增大逐渐表现随X的增大逐渐表现随n值变化而各有不

变化为与________平行为与________平行同

自主诊断

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)寻函数增长比直线增长更快.()

(2)不存在.％,使a'。<xjjvlog涡).()

(3)在(0,+8)上，随着x的增大，y=a'(a>[)的增长速度会超过并远远大于》=律“>1)

的增长速度.()

(4)“指数爆炸”是指数型函数y=/〃+c(aW0,b>0,1)增长速度越来越快的形象

比喻.()

2.(人教A版必修一P139T,改编)下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时I'瓦x的

函数模型，从足够长远的角度看，使公司获益最大的函数模型是.

®)^=10X1.05x；励，=20+/；③y=30+1g(x+l)；@y=50.

3.(人教A版必修一P139T3改编)如图，对数函数y=lgx的图象与一次函数y=/(x)的图

象有力，8两个公共点，则一次函数y=/U)的解析式为.

4.(人教A版必修一P|50T2改编)在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的

倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要年.(参考数据：Ig

220.3)

考教衔接活用教材探究式精练收获一个“赢”

命题点一用函数图象刻画变化过程

例1(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度

裔考数名

和最低中毒浓度之间时药物发挥作用.某种药物服用1单位后，体内制药浓度变化情况与相

关阈值如图所示（服用药物时间对应0时），则下列说法中正确的有（）

最低中毒浓度（MTC）

城低有效浓度（MEC）

012345；6789101112服用药物后

H持续期T残留期的时间〃h

A.服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效

B.若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药

C.若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药

D.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用

［听课笔记］___________________________________________________________________

当霸富亿：

（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选

图象.

（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是

否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

跟踪训练（衔接•人教A版必修一P140T6）ff.2h内将某种药物注射进患者的血液中,

在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰

减.下面能反映血液中药物含量。随时间t变化的图象是（）

裔考数名

A

命题点二已知函数模型的实际问题

例2（多选）（捱接•2023年新高考I卷）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量

声音的强弱，定义声压级4=20Xlg*其中常数poSo>（））是听觉卜限阈值，〃是实际声

压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为“，〃，

P3,则（）

A.Pi2P2B.P2>1（）P3

C.〃3=1OOpoD.p［W1OOp2

［听课笔记］___________________________________________________________________

考密皂忆：

（I）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

跟踪训练在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为£=L°D嬴。为常数），其中

L表示每轮优化时使用的学习率，及表示初始学习率，。表示哀减系数，〃表示训练迭代

裔考数名

轮数，当〃=10时，学习率为0.25：当〃=30时，学习更为0.0625,则学习率衰减到。.005

以下所需的训练迭代轮数至少为(已知1g2%().3)()

A.64B.65

C.66D.67

命题点三构建函数模型的实际问题

例3为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过

调研知，往年每年每生产x千台智能按摩椅，获利C(x)千元，且C(x)=

’20x2—21x+332o<x<2

,

492-21X-幽’2<X<5更新技术后需要另外投入费用(》+2)千元，且每千台按摩椅

比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完.

(1)求更新技术后的利润£(幻(千元)关于年产量M千台)的函数解析式；

(2)更新技术后，当年产量为多少T•台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润.

［听课笔记J__________________________________________________________________

考/名化：解题步骤

(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；

(2)推理与运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；

(3)评价与解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价与解释，并返回到原来的

实际问题中去，得到实际问题的解.

跟踪训练2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运

会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运

会吉祥物的供货价格=固定价格+浮动价格，其中固定价格为6()元，浮动价格=品(浮

动价格单位：兀，销售量单位：力件)，假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价

不超过100元时，销售量为10万件；当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，

销售量就减小0.2万件，总利润=(售价一供货价格)X偌售量.

(1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？

(2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？

裔考数名

函数模型的应用

必备知识•助学教材

知识清单

2.递增递增y轴x轴

自主诊断

1.答案：(1)X(2)X(3)J(4)X

2.解析：结合三类函数的增长差异可知指数型函数增长最快，所以①的预期收益最

大.

答案：①

3.解析:A(l,0),B(2,Zg2).设f(x)=ax+b,则止,二然,所以f(x)

UgL—Za十DID----1gL,

=(fe2)x-lg2=(lg2)(x-1).

答案:f(x)=(/g2)(x-l)

4.解柝设经过x年后的野兔有y只，由题意可知、y=104-2H\即yno」？弃，令y

=10\则呼2"=此所以2"=叽两边取常用对数可得条=已解得*=表223.3,

故1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要24年.

答案：24

考教衔接•活用教材

例I解析：对于力，从题图的持续期可以得出，服用药物后10分钟到5.5小时之间，

血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，药物发挥作用，故力正确；对于8,服药

1单位后，若2.5小时后再次服药，则在首次服药3.5小时后，即第2次服药1小时后，体

内血药浓度将会超过最低中毒浓度，会引起中毒，因此若每次服药1单位，首次服药后，2.5

小时之内不能再次服药，故4正确；对于C,服药1单位后，若3小时后再次服药，则在首

次服药4小时后，即第2次服药1小时后，血药浓度将会超过最低中毒浓度，引起中毒，

故C错误；对于。，第一次服药10分钟到5.5小时之内，药物会持续发挥治疗作用，第1

裔考数名

次服药5.5小时后第2次服药，由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第I次服药对

应的血药浓度降低速度，从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度，同时观察两次累计的最

大值，不会超过最低中毒浓度，故。正确.故选48。

答案：ABD

跟踪训练解析：在2/?内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且

为增函数，排除/；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C;药物含量Q不能

为负值，排除。；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是8.故选8.

答案：B

例2解析：由题意可知，Lp|G/'60,907，LP2€£50,60/,1^=40.对于A,Lpt

-Lp2=20X/g^-20X/gJ；=20X/g因为所以Lp「Lp2=20X/g合20,

即/g^>0,所以^>1且Pi>0,P2>0,可得PBP2,故力正确；对于B,Lp2-Lp3=20X/g

^-20X/g^=20X/g^因为Lp「Lp3=Lpz.40210,所以2()X/g需21(),即/g羟，

所以最'而且P2>0,P3>0,可得P22、J而P3,当且仅当Lpz=50时等号成立，故4错误；

对于C,因为Lp3=20X/g需=40,即lg£=2,所以需=100,即p3=l()()Po.故C正确；对于

。，由力可知，Lp|-Lpz=20X/gK，且Lp|-Lp2W90-50=40,M20xlg^40,即/g

Pl

2,可得豆W100,且p/0,p2>0,所以piWlOOp?,故。正确•故选力CD

答案：ACD

10(I=1n

0.25=L0D2o,3Io-j，L=|x(l)^,即L=1x

(0.0625=L0D元(D=“2W2

nnn

9)%().005=。%().01=收Q)^</g0.01=-2=>^/gG)<-2=n嗡666.7,所以学习率衰

减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为67次.故选D

答案：。

例3解析：(1)由已知，L(x)=C(x)-(x+2)+2x,

20x2-21x4-332,0<x<2,

又C(x)=492-21X-R,2<x<5,

x—1

f20x2-20x+330,0<x<2,

所以L(x)=490---20x,2<x<5,