图形的旋转【十大考点】-北师大版数学八年级下册重难点突破（解析版）

专题3.2图形的旋转【十大考点】一【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化

讲与练

模块一4考点类型

模块二q知识点一遍过

(一)旋转的定义

(1)旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋

转.这个定点叫做旋转中心.转动的角叫做旋转角

如图所示，AA'OB'是ZL40B绕定点。逆时针旋转45。得到的，其中点4与点/叫作对应点，线段。8与线段。夕

叫作对应线段，4OAB与叫作对应角，点。叫作旋转中心，乙4。4(或48。夕)的度数叫作旋转的角度.

(2)【注意】旋转中心可以是图形内,也可以是图形外。

(3)【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.

(二)旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离相等；

旋转的

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

性质

(3)旋转前、后的图形全等

(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度；

重点

(2)对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等,对应角相等；

解读

(3)图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置

第1页

(三)旋转作图

旋转作图(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

的依据(2)对应点到旋转中心的距离相等

作图要素(1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点

(1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心.

(2)转:根据旋转方向与旋转角度,以⑴中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋

转角.

(3)截:在该旋转角的另一边上，从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度，得

作图步骤

到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点.

(4)接:按原图形顺次连接所得到的各点.

注意:为了避免作图时的混乱，以上连、转、截这三步每个点独立完成后，再进行下一

个点的旋转

典例1:

1.如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90。而形成的是()

【变式1】

2.如臭齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向()

A.顺时针B.逆时针

C.顺时针或逆时针D.不能确定

【答案】B

【变式2】

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3.下列现象中属于旋转的有(填序号)

①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟撰的运动；⑤圆规画圆.

【答案】②④⑤

【解析】【解答】解：根据平移、旋转的定义即可得：①火车在笔直行驶是平移，③地下水位下降是平移，

②荡秋千运动，④钟摆的运动，⑤圆规画圆，属于旋转.

故答案为：②④⑤.

【分析】根据平移、旋转的定义对各个进行判断即可.

【变式3】

4.我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉

n；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有.(填序号)

【答案】②④⑥

【解析】【解答】解：①拉抽屉，平移运动；②拧水龙头，旋转运动；③划小船，不是旋转运动；④调钟

表，旋转运动；⑤推动推拉门，平移运动；⑥转动方向盘，旋转运动；⑦乘电梯，平移运动，

故答案为②④⑥.

【分析】旋转是指把一个图形绕某一点沿一定的方向转动一定的角度，它包括三要素，一是旋转中心，二是

旋转角度，三是旋转方向.

考点2旋转的性质旋转中心、旋转角

典例2：

5.如图，已知点4(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),连接4B,CD,将线段4B绕着某一点旋转一定角度，使

【答案】D

【变式1】

6.将两块全等的含30。角的直角三角板按图1的方式放置，已知乙84c=4当4传=30。，固定三角板

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AXBXC,然后将三角板4BC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，4B与41C、4当分别交于点。，E,4c与

D.90°

【答案】A

【解析】【解答】解：由题意得到，LBAC=Z-ByAxC=30°,

则48=90°-/,BAC=60°,

F8_&当，

"A回=90°,

"BDC=Z.A^E=90°-30°=60°,

：.Z.BCD=180°-乙BDC一乙B=60°,

所以4&C4=90°-乙BCD=30°,

即旋转角是30。.

故答案为：A

【分析】旋转角是指对应线段的夹角，即4&CA的度数，当48_1a当时,由直角三角形两锐角互余可得

^AFA'=60°,再由三角形外角的性质可得〃iC4=30°.

【变式2】

7.如图，在正方形网格中，△4BC烧某点旋转一定的角度得到△&B1G，则旋转中心是点.（填

“p”或，Q，，）

【变式3】

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8.如图，一块含30。角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△AB'C,当&C,A在一条直线上时.，三角

【答案】150°

【解析】【解答】解：:将一块含30。角的直角三角板48c绕点C顺时针旋转到△4®。,

・・・BC与B,C是对应边，

・••旋转角4BCB'=180°-30°=150°.

故答案为：150。.

【分析】旋转前后对应线段的夹角即旋转角，即求△夕C8的度数，由旋转的性质结合邻补角的概念即可得

Z-BCB1=150°.

旋转的性质一求角

典例3：

9.如图，在△A8C中，乙4=50。，将△48C绕点8逆时针旋转，得到△8DE,点。恰好落在AC的延长线

上，则旋转角的度数是（）

A.90°B.80°C.70°D.60°

【答案】B

【变式1】

10.如图，把△A8C绕点C按顺时针方向旋转24。得9C.若AR_LAC于点。，贝叱力=（）

【答案】A

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【变式2】

11.如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△/WE,使点。落在3C上，4C与0E相交于点F.若

Z-C=40°,DE1AC,则4DAC的大小为.

【答案】25°

【解析】【解答】解：:将△ABC绕点4逆时针方向旋转一定角度得到△4/)/?,

/.Z.BAC-Z.DAE,Z.E—Z.C—40°,AB-AD,

'：DELAC.

：./-CAE=90°-Z-E=50。，

'：/.BAD=Z.BAC-£.DAC,Z-CAE=^DAE-"AC,

：.LBAD=Z.CAE=50°,

'：AB=AD,

180°-^BAD

。,

^Z-ADB=tABC=265

•・•乙408=LC+LDAC,

・・・65°=400+zJX4C,解得：^DAC=25°.

故答案为：25°.

【分析】由旋转的性质结合直角三角形两锐角互余可得NBA。=乙G4E=50。，再由等边对等角结合三角形内

角和定理可得乙408=65。，再由三角形外角的性质可得4OAC=N4D8-”即可.

【变式3】

12.如图，在RtZkABC中，乙84c=52。，点。在斜边48匕如果△48C经过旋转后与△E8D完全重合，则

乙1EO的度数是.

【答案】19。

【解析】【解答】解：由题意可知，将AABC顺时针旋转得到△EBD,点。落在斜边4B上,

•.EB=AB,乙BDE=Z-C=90°,乙BED=匕BAC=52。，

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乙ABE=90°-乙BED=38°

•••/-AEB=2LEAB=|x(180°-/-ABE)=1x(180°-38°)=71',

/.AED=乙AEB-乙BED=71°-52°=19°,

故答案为:19°.

【分析】先由旋转的性质可得BA=BE、Z.DEB=^BAC=52°,再由直角三角形两锐角互余可得4ABE=

38°,再由等边对等角结合三角形内角和定理可得=71。，再利用角的和差关系即可.

考点4［旋转的性质——求线段

典例4：

13.如图，在等腰ABC中，/-ABC=90°,AB=BC,以点B为旋转中心，将8c逆时针旋转60。得到线

段8。，连接CO,AD.若AC=4,则4。的长为()

A.2B.3C.2V3-2D.4b-3

【答案】C

【变式1】

14.如图，将RM4BC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90。，得到点/落在8C的延长线上.若

4c=8,BC=6,点、M,M,是48,的中点，则的长是()

A.5V2B.4C.3D.5

【答案】A

【变式2】

15.如图，在中，Z-BAC=150°,A8=2,8c=2夕，将△48C绕点力逆时针旋转60。得到△48'。',

连接0C，则的长度是.

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c

B'

【答案】4

【变式3】

16.如图，在△力8c中，乙4c8=90。，AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在48边上

的点石处，点6落在点。处，连接80.

(1)40的长为;

(2)80的长为.

【答案】(1)10

⑵4V5

考点5［旋转中的坐标与图形变换

典例5：

17.在平面直角坐标系中，将点4(-4,2)绕原点。顺时针旋转90。，则点4的对应点/的坐标是()

A.(2,4)B.(4,2)C.(-4,-2)D.(-4,2)

【答案】A

【解析】【解答】解：如图，过点4作481%轴于点B,4'CJLx轴于点C,

由旋转的性质可知，乙404=90。，0A=0A\

•••Z-A0B+Z-AfOC=90°,

AB1X轴，AC1不轴，

/.ABO="CO=90°,

乙4+Z,AOB=90°,

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:.Z.A=Z-A'OC,

在△403和404c中，

(乙4=AA0C

IAABO=L0CA>

(0A=0A

:.AAOB三△04C(AAS),

'.AB=OC,OB=AC

•・T(_4,2),

:.OB=4,AB=2,

OC=2,/c=4，

:.4(2,4),

故选：A.

【分析】

本题考查了图形旋转的性质和全等三角形的判定和性质，通过作辅助线构造△408三△OAC(AAS),利用旋

转的性质和全等三角形的对应边相等求出旋转后的点的坐标.

【变式1】

18.在平面直角坐标系中，△A8C的三个顶点的坐标分别是4(一1,3),5(-3,0),6(-2,-2),将△48C绕原点

按顺时针方向旋转90。，得到△ABV',其中4与才对应，B与炉对应，则才的坐标是()

A.(1,3)B.(3,1)C.(1,-3)D.(-1,-3)

【答案】B

【变式2】

19.如图，在平面直角坐标系中，点8在x轴上，08=48=5，点A到x轴的距离为4,将△。48绕点。

逆时针旋转90°,得到△0AB',则点/的坐标是.

【答案】(一4,8)

【变式3】

20.如图，正比例函数的图象经过/(-1,-2),8(2,m)两点，现将线段48绕点8顺时针旋转90。得到线段

BC,则点C的坐标为.

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考点6'旋转作图

典例6：

21.在图中网格上按要求画出图形，并回答问题:

(1)如果将三角形4BC绕点。向逆时针方向旋转90。，使得点4、点B、点C的对应点分别为点E、点F、点

G,请画出三角形EFG；

(2)画出三角形力8c关于点O成中心对称的三角形&B1C1；

(3)三角形EFG与三角形481cl上(填“是”或“否”)关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出

这个对称中心；如果不是，请描述通过怎样的运动可以使三角形EFG与三角形4&C］重合.

【答案】(1)解：如图所示，三角形EFG即为所求；

(2)解：如图所示，=角形4%已即为所求;

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(3)解：否；三角形E/G与三角形4181cl不是关于某个点成中心对称，可把三角形EFG绕点。逆时针旋转

90。可与三角形重合

【解析】【解答］解：(3)解：三角形EFG与三角形4&C1不是关于某个点成中心对称，可把三角形EFG绕点

。逆时针旋转90。可与三角形为小前重合，

故答案为：否.

【分析】(1)如图分别取格点E、F、G,再顺次连接E、F、G三点，则由一线三垂直全等模型可得乙4DE二

乙BDF=^CDG=9。。、AD=ED、BD=FD、CD=GD,即AER；即为所求作；

(2)由中心对称的性质可分别连接AD、BD、CD并延长，使AD=AID、BD=BQ、CD=CID,再顺次连

接Ai、Bi、G即可；

(3)由于成中心对称的两个图形对应点的连接经过同一点即对称中心，显然△EFG与△&8iQ不可能成中

心对称；但由中心对称的性质可得AAiBiG是把△ABC绕点口顺时针旋转180度得到的，则由旋转的性质可

知把△EFG绕点D逆时针旋转90度即可得到△

【变式1】

22.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1,△4BC三个顶点的坐标分别为4(1,1),8(4,2),

C(3,4)

(1)AC的长等于.

(2)请回出把△48C向左平移2个单位得△48传1，并写出点4的坐标；

(3)请画出把△ABC绕原点。旋转180。得到△力282c2，并写巴点。2的坐标•

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【答案】（1）713

<2）解：如图所示，△&31G即为所求;

【解析】【解答】解:（1）・・・4（1,1）,6（3,4）

：-AC=V22+32=履;

【分析】

（1）直接利用勾股定理计算即可;

（2）把A、B、C三点分别没水平方向向左移动2个单位长度即可得到点Ai、Bi、Ci,再顺次连接AH

BI、Ci即可;

（3）直接作点A、B、C关于原点。的对应点儿、口2、的，再顺次连接即可.

【变式2】

23.如图，在平面直角坐标系xoy中，点A,B,C的坐标分别为（一2,1）,（1,2）,（2,1）,将△ABC绕点夕逆时

针方向旋转得到△48'。'，点4的对应点4,的坐标为（-2,-1），点8的对应点8,的坐标为（一3,2）.

第12页

(1)点夕的坐标是一;(填写正确的选项)

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,-1)

(2)画出旋转后的△48'C',并写出C'的坐标是______________________________________________

(3)线段8A的延长线与线段4H交于点M，直接写出28M4的度数.

【答案】(1)A

(2)解：如图，△AITU即为所求作，

(3)解：由旋转的性质可得，LAPA'=LBPB'=90°,AP=A'PfBP=B'P

：.LAPB三△APB'(SAS)

：.Z-ABP=Z.A'B'P,又=

=Z.BPA=90°,

贝此18帆4'=180°-Z.B'MA=90°.

【解析】【解答】解：⑴解:如图,旋转中心P的坐标为(-1,0),

故答案为：A.

(2)W：如图，△481'即为所求作，点°'坐标为(一2,3),

故答案为：(一2,3)；

【分析】此题考查了坐标与图形•旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题的

关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解.

(1)线段4)，的垂直平分线的交点P即为所求；

(2)根据要求作出图形，根据图形可得C'坐标；

(3)根据旋转的性质，即可解决问题.

【变式3】

24.如图，在平面直角坐标系中，△48。的三个顶点的坐标分别是4(3,-1),8(0,-3),。(4,一4).

第13页

(1)将△4BC以点B为旋转中心旋转180。，画出旋转后对应的△ABC1；

(2)平移△/8C,若A的对应点儿的坐标为(3,3),画出平移后的△42殳。2；

(3)若将△482C2绕某一点旋转可以得到△A18C1，请直接写出旋转中心的坐标.

【答案】(1)解：如图，△48C］即为所求；

(2)解：:A的对应点心的坐标为(3,3),

故将△A8C沿着y轴，向上平移4个单位得到△4282c2；

如图，△4为金即为所求；

第14页

V

6

5

4

3

2

一6一5一4一

Ai

(0,—1).

【解析】【分析】（1）由旋转的性质知旋转角为180度时，旋转前后两三角形关于点B成中心对称，即分别

倍长AB、CB到点Ai和Ci,再顺次连接Ai、G、B即可;

（2）由点A与A2的坐标可知，△%为。?是把△A8C沿竖直方向向上平移4个单位长度得到的，则点B、C

的对应点坐标可得，再顺次连接A2、B2、C2即可;

（3）由旋转的性质可得旋转中心是线段AiA?、B1B2、C1C2垂直平分线的交点，再结合坐标与图形性质即

可.

考点7［旋转的综合应用一最值

典例7：

25.如图，Rtz^BC中，41cB=90。，AA=30°,BC=5,点E是边4c上一点，将BE绕点B顺时针旋转

60。到8F,连接CF,贝IJCF长的最小值是（）

第15页

A

【答案】B

【变式1】

26.如图，在mZM8C中，N4BO90。，AB=BC,点P在AABC为一点、,连接以，PB,PC,若

NBAP:NCBP,且AP=6,则PC的最小值是（）

A.25/2B.3C.3V5-3D.3或

【答案】D

【变式2】

27.如图，将线段BC绕点8逆时针旋转120。得到线段84,点。是平面内一动点，且。、8两点之间的距离

为5,连接DA,DC,则ZM+DC的最小值为.

【答案】5V3

【变式3】

28.如图，在矩形A8C0中，AB=4,BC=3,CE=2BE,EF=2,连接力心将线段4尸绕着点4顺时针旋

转90。得到4P,则线段PE的最小值为.

第16页

【答案】V34-2/-2+V34

【解析】【解答】解：如图，连接过点4作4G14E,截取4G=4E,连接PG,GE,

:将线段力口绕着点A顺时针旋转90。得到力P,

：.AF=APf^PAF=90°,

：.Z-FAE+Z-PAE=Z-PAE+/-PAG=90°,

：.Z-FAE=4PAG.

又・・・?!G=AE,

：.LAEF三△4GP(SAS),

：.PG=EF=2.

YBC=3,CE=2BE,

：.BE=1.

・••在々△4BE中，AE=>1AB2+BE2=717.

*：AG=AEf^GAE=90°t

:,GE=y[2AE=V34.

*：PE>GE-PG,且当点G,P,E三点共线时取等号，

・・・PE的最小值为GE-PG=回一2.

故答案为：V34-2.

【分析】连接4E,过点A作4G_LRE,截取4G=4E,连接PG,GE,通过S4s证明△4EF三A4GP,得

PG=£F=2,再求出GE的长.最后在AGPE中，利用三边关系即可得出答案.

考点8［旋转的综合应用一周期

典例8：

29.如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持小动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行施

转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第2022次旋转后得到的图形与图①〜④中

第17页

相同的是()

①②③④

A.图①B.图②C.图③D.图④

【答案】B

【解析】【解答】解：观察图形可知每4次循环一次，2022+4=505…2,

・••第2022次旋转后得到的图形应与图②相同，

故答案为：B.

【分析】由题意知每旋转4次一个循环，且每次的旋转知为45度，则用2022除以4取余即可得结果对应的

图形序号.

【变式1】

30.如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是

()

第一次第二次第三次第四次

【答案】A

【变式2】

31.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90。算一次，则滚动

第2019次后骰子朝下一面的点数是.

第一次第二次第三次

第18页

【答案】5

【解析】【解答】解：观察图形知道点数二和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环,

72019-4=504...3,

・•・滚动第2019次后与第三次相同，

・•・朝下的数字是2的对面5,

故答案为：5.

【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，则可用2019除以4取余

即可得正面朝上的数字，则底面数字也可得.

【变式3】

32.如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走5m,然后逆时针转动一个角度，每次

转动的角度增加10°.第一次直走5m后转动10。，第二次直走5m后转动20。，第三次直走5m后转动30。，如此

下去.那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了米.

【答案】45

【解析】【解答】解：设第n次直走结束时机器人面向西方，即第二次面向西方时一共转了360。+90。=

450°,

10°+20°+30°…+/x10°=450°

当n=9时第二次面向西方，

一共走了9x5=45(米)；

故答案为：45.

【分析】由题意知，第n次直走结束时一共转动的角度为5以九+1)。，即一共转动了360。+90。=450。，再

解关于n的方程可得n=9,再由题意知每次向前移动5米，则第9次移动后共走了45米.

考点9

典例9：

33.将AOBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中4084=90。，乙4=30。，顶点A的坐标为

(1,75),将△0B4绕原点逆时针旋转，每次旋转60。，则第2024次旋转结束时，点4对应点的坐标为

()

第19页

B.(-1,73)C.(-2,0)D.(-1,-73)

【答案】C

【变式1】

34.如图，把正方形铁片0A8C置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标(3,0),点P(l,2)在正方形铁片匕将

正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90。，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位

置，…,则正方形铁片连续旋转2019次后，则点P的坐标为()

A.(6058,1)B.(6058,2)C.(6037,1)D.(6037,2)

【答案】A

【变式2】

35.如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB顶点A的坐标为(一2,0),将△4。8绕点。顺时针方向旋转60。,

同时边扩大为原来的2倍，得到△为。名,再将△&OB］作相同变换得到△&OW，…，依次类推，则点

^2025的坐标为•

【答案】(22°26,0)

【变式3】

36.如图，在△A8C中，顶点力在％轴的负半轴上，5(0,2),C(V5,2),AB=BC,将△力8c绕点A逆时针旋

转，每次旋转9()。，则第6次旋转结束时点3的坐标是

第20页

【答案】(-2,-2)

【解析】【解答】解：设点A的坐标为(m,0),

•'-AB2=加+22=/+4,BC=遥，

*：AB=BC,

；・*+4=5,

：.m=-l(正值舍去)，

0),

•・•将△ABC绕点A逆时针旋转，每次旋转90。，

•・.每4次为一个循环，点B回到起始位置，

V6-r4=1...2,

・•・第6次旋转结束时点8的坐标与第2次旋转点B的位置相同，即相当于把点B绕点A逆时针旋转180。，

六此时点B的对应点与点(0,2)关于4-1,0)对称，

・•・此时点B的对应点坐标为(-2,-2),

故答案为：(—2,—2).

【分析】由于一个周角是360度，则由旋转角知每旋转4次点B回到原来位置，则第6次旋转结束时点B绕

点A逆时针旋转了180度，即点B与对应点关于点A中心对称，此时可利用两点距离公式结合已知求出点

A的坐标(注意点A在x轴的负半轴上，即点A的横坐标为负)，再利用中点坐标公式即可.

考点10旋转的综合应用一几何综合

典例10：

37.如图1是实验室中的一种摆动装置，9。在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂4。可

绕点4旋转，摆动臂OM可绕点。旋转，AD=30,DM=10.

(I)在旋转过程中,

第21页

①当4D,M三点在同一直线上时，求AM的长.

②当4D,M二点为同一直角二角形的顶点时，求/1M的长.

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90。，点。的位置由△ABC外的点Di转到其内的点小处，连结。42，如图2,

此时NAD2c=135。,CD2=60,求8出的长.

【答案】（1）解：①当4。，M三点在同一直线上时，

若点M在40的延长线上，

则AM=DM+40=10+30=40,

若点M在AO上，

则4M=AD-DM=30-10=20,

综上所述8M的长为40或20：

②当40,M三点为同一直角三角形的顶点时，

若力。为直角边，

则/IM=\）AD2+DM2=V3024-102=A/1000=lOx/lO.

若40为斜边，

AM=\/AD2-DM2=V302-102=V800=205

综上所述当4,D,M三点为同一直角三角形的顶点时，4M的长为10旧或20或:

•••Z-DAAD2=90。，40[=AD2=30.

。1。2=V302+302=30及，4AD1O2=44。2。1=45°,

•••^AD2C=135°,

：•乙D1D2c—90°,

在Rt/kDi。2c中，后，

v乙BAC=Z.D2Aoi=90。，

Z.BAC-Z-D2AC=Z-D2AD1-Z.D2AC,

:.Z.BAD2=Z-CAD1»

AD2-4D]

在△ASO?和△ACOi中^BAD2=/-CADX,

AB=AC

第22页

:AABD?=△ACDr,

:.BD2=CD^=30vs.

【变式1】

38.如图1,在由△ABC中，ZA=90°,AB=AC,点D,E分别在边A3,AC上，AD=AEf连接0G点M,

P,N分别为OE,DC,8c的中点.

（1）观察猜想：图1中，请判断线段与PN的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）探究证明：把绕点八逆时针方向旋转到图2的位置，连接MMBD,CE,判断△PMN的形

状，并说明理由：

（3）拓展延伸：把AAOE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3,AB=7,请直接写出△PMN面积的最大

值.

【答案】（1）解：PM=PN,PM1PN.理由：

•・•点P,N是BC,CO的中点，

cY呵

•・•点P,M是CD,OE的中点，

i

PM//CE.PM=^CE,

'：AB=AC,AD=AE,

:・BD=CE,

:・PM;PN,

vPN//BD,

：.ZDPN=ZADC,

•••PM//CE,

：.ZDPM=ZDCA,

,/ZBAC=90°,

・•・NAOC+N4CD=90。，

/MPN二/DPM+/DPN=/DCA+/ADC=9D0,

第23页

PM1PN,

故答案为：PM=PN,PM1PN.

（2）解：△PMN是等腰直角三角形.

理由如下：

由旋转知，NBAD=/CAE,

•：AB=AC,AD=AE,

・•・△ABOg/XACE（SAS）,

AZABD=ZACE,BD=CE,

利用三角形的中位线得，PN=^BD,PM=^CE,

乙乙

:・PM二PN,

・♦・△PM/V是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

：.NDPM二NDCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

:.NPNC=/DBC,

'：ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

：.NMPN=NDPM+/DPN=NDCE+NDCB+NDBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=/ACB+NA">+/DBC=NACB+/ABC,

VZBAC=90°,

・•・ZACB+ZABC=90°f

・•・NMPN=90。,

・•・△PA/N是等腰直角三角形；

（3）解：把△40E绕点A旋转到如图所示的位置时,

第24页

由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PNJBD,

最大时，APM/V面积最大，

・••点。在84的延长线上，

：.BD=AB+AD=\O,

：.PM=5f

・•・SAPMN^x=iPA^=lx52=^

乙乙/1

【变式2】

39.如图1,在△4BC中，41=90。，AB=AC=&，点、D、E分别在边48、4c上，且40=4E=2—

五,连接OE.现将/MOE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为a（0。VaV360。），分别连接CE、BD.

图1图2图3

(1)如图2,当0。＜。＜90。时，求证：CE=BD；

(2)如图3,当a=90。时，延长CE交BD于点F,求证：CF垂直平分80；

(3)连接CD,在旋转过程中，求A8C0的面积的最大值,并写出此时旋转角a的度数.

【答案】(1)证明：由题意得，AB=AC,AD=AE,Z.CAB=Z.EAD=90°,

v乙CAE+Z.BAE=/.BAD+乙B