2026年高考数学一轮培优练习（新高考）数列求和（学生版+解析）

第六章数列

§6.5数列求和

【考情分析•探规律】

考点3年考情(2021-2024)命题趋势

2024•全国甲卷、2024•天津熟练掌握裂项相消求

2023•北京卷、2023•全国甲卷和和错位相减求和，该内容是

2023•新课标II卷、2022•天津新高考卷的常考内容，常考查

数列求和

2022•全国新II卷、2022•新高考全国I卷裂项相消求和、错位相减求

2021•全国新I卷、2021•浙江卷和、奇偶并项求和，需重点综

2021•全国新II卷合复习。

【知识梳理】

1.数列求和的几种常用方法

(1)公式法

直接利用等差数列、等比数列的前〃项和公式求和.

①等差数列的前〃项和公式：

22-

②等比数列的前〃项和公式：

几q=l,

ai(-qn)_«i-QnQ〃,1

(F^"，"L

(2)分组求和法与并项求和法

①分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用

分组求和法，分别求和后相加减.

②并项求和法

一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如〃〃=(-1)7(〃)

类型，可采用两项合并求解.

(3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那

么这个数列的前〃项和即可用此法来求，如等比数列的前〃项和公式就是用此法

推导的.

（4）裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其

和.

常见的裂项技巧

n+r

③1—1

J(2n-l)(2n+l)2

④一1

标+ln+1

⑤11

n(n+l)(n+2)2[n(n+l)(n+l)(n+2)

点拨】

n(〃+1)

1.1+2+3+4+…+〃=

n(〃+1)(2〃+1)

2.12+2?+...+/=

6

3.裂项求和常用的三种变形

【随堂练习】

i.思考辨析（在括号内打y”或“X”）

（1）若数列伍”｝为等比数列，且公比不等于1,则其前〃项和£=写吧.（）

1q

⑵当论2时，合产物五一）

⑶求乂=〃+2/+3/+...+〃/时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减

法求和.（）

（4）若数列0,〃2一出，…，小一小T是首项为1,公比为3的等比数列，则数列｛恁｝的通

3H—1

项公式是小=丁.（）

2.已知数列｛小｝满足0=2,小+而M=（—1）",则数列数/前2025项和为（）

A.-lOilB-1012C.1013D.1014

35=2+2+?+~+/等于（）

A2n-n-l口2n+1-n-2

A.—^~B.---

2n-n+l2n+1-n+2

4.在数列｛a〃｝中，0=2,%+[=«,+,则通项公式a”=

n（Jn+l）------------------------

【必练核心题型】

题型一分组求和与并项求和

【典例】1.设数列｛〃〃｝的前〃项和为S,数列｛〃〃｝满足①+2=『-2]对数，且

（2—为奇数,

0=2,42=1,则S20等于（）

A.1023B.1124C.2146D.2145

【典例】2.已知数列｛〃”｝是等差数列，0=tan225。，〃5=13m,设S“为数列｛（一

1）%〃｝的前〃项和，则S2O26等于（）

A.2026B-2026

C.3039D-3039

【变式训练】

变式1.已知数列｛0｝满足m=2义(一2尸|+〃一2.求数列｛〃〃｝的前〃项和S”.

题型二裂项相消法求和

【典例】1.已知数列｛外｝的前〃项和为S”，且S“=2a〃-2(〃£N").

⑴求数列｛小｝的通项公式；

(2)若bn=log2a2〃-1,Cn=，求证；Cl+C2+C3H-----hCn<^.

如4+12

【变式训练】

变式1.(2025安顺模拟)记S〃为数列｛〃〃｝的前〃项和，已知0=1,且V〃£N。a„Sn

⑴求｛〃〃｝的通项公式；

(2)设瓦=?2Hl'I｛d｝的前，项和为7；,求攻的最小值.

题型三错位相减法求和

【典例】1.(2025・贵阳模拟)已知数列｛〃〃｝满足m且山=一条设｛〃〃｝

的前〃项和为7；,5=3”•扇.

(1)证明：｛d｝是等差数列；

⑵求Tn.

【变式训练】

变式1.已知数列｛a〃｝满足闭=1且a,尸丝叱『(〃£?4)且〃》2).

2On-1+2

(1)设儿求证：数列｛儿)是等差数列；

QnT

(2)记&=3+1)・3〃s,求数列｛Cn)的前n项和Sn.

【限时训练】(限时：60分钟)

1.(12分)(2025・南通模拟)设数列｛小｝的前〃项和为工，若工一/="+1,〃£N”.

(1)求0，。2,并证明:数列小｝是等差数列；(6分)

(2)求520.(6分)

2.(12分)已知数列｛小｝满足出=10,%+1=3小一2.

(1)求｛〃“)的通项公式；(5分)

(2)若儿,记数列｛仇｝的前〃项和为〃，求证：丁〃<"(7分)

(an+2)an8

3.(13分)已知数列｛〃〃｝的首项ai=a(aW0),前n项和为S”，且满足S„^\—S=—

n4a”+1

N*).

(1)判断数列｛^—1｝是否为等比数列；(6分)

(2)若见=3,记数歹的前〃项和为〃，求〃.(7分］

【尖子生加餐特训】

4.（13分）已知在数列｛〃〃｝中，0=1,册+L（〃+1）知=1.

（1）求数列｛〃”｝的通项公式；（6分）

⑵若数列｛儿｝满足^=sinQan+1）+cos（7w„）,求数列的｝的前2026项和72026.（7分）

第六章数列

§6.5数列求和

【考情分析-探规律】

考点3年考情(2021—2024)命题趋势

2024•全国甲卷、2024•天津熟练掌握裂项相消求

2023•北京卷、2023•全国甲卷和和错位相减求和，该内容是

2023•新课标II卷、2022•天津新高考卷的常考内容，常考查

数列求和

2022・全国新II卷、2022・新高考全国I卷裂项相消求和、错位相减求

2021•全国新1卷、2021•浙江卷和、奇偶并项求和，需重点综

2021•全国新n卷合复习。

【知识梳理】

1.数列求和的几种常用方法

⑴公式法

直接利用等差数列、等比数列的前〃项和公式求和.

①等差数列的前〃项和公式：

22-

②等比数列的前〃项和公式：

naltq=l,

(5(1-q")_fli-OnQc,1

(2)分组求和法与并项求和法

①分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用

分组求和法，分别求和后相加减.

②并项求和法

一个数列的前〃项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如加=(一14〃)

类型，可采用两项合并求解.

(3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那

么这个数列的前〃项和即可用此法来求，如等比数列的前〃项和公式就是用此法

推导的.

（4）裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其

和.

常见的裂项技巧

n+r

③1—1

J(2n-l)(2n+l)2

④一1

标+ln+1

⑤11

n(n+l)(n+2)2[n(n+l)(n+l)(n+2)

点拨】

n(〃+1)

1.1+2+3+4+…+〃=

n(〃+1)(2〃+1)

2.12+2?+...+/=

6

3.裂项求和常用的三种变形

【随堂练习】

i.思考辨析（在括号内打y”或“X”）

（1）若数列伍”｝为等比数列，且公比不等于1,则其前〃项和£=写吧.（）

1q

⑵当论2时，合产物五一)

⑶求S,尸〃+2/+3/+...+〃/时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减

法求和.()

(4)若数列0,。2一0，…,。〃一如T是首项为1,公比为3的等比数列，则数列｛为｝的通

3H—1

项公式是小=丁.()

【答案】(1W(2)4(3)x(4)4

【解析】⑶要分4=0或4=1或4//0且存1讨论求解.

2.己知数列仅〃｝满足。1=2,4〃+斯+1=(-1)",贝IJ数歹前2025项和为()

A.-lOilB-1012C.1013D.1014

【答案】D

【解析】由题意可知，当〃为偶数时,小+斯+产(-1)”=1,

因此，数列｛。”｝前2025项和为S2O25=ai+(a2+a3)+Q+as)T------卜32024+02025)=2+

1X1012=1014.

35=//升…+会等于()

<2n-n-l「2n+1-n-2

A.^—B.---

nn

r2-n+l2+i-n+2

【答案】B

【解析】由&W+5+5+・・・+/,①

得*s“=2+5+•••+―+—,②

1J222232n2n+1

4.在数列｛小｝中，0=2…+尸小+高，则通项公式

【答案】3-工

n

【解析】因为。"+1=。”+(:二，

n(n+l)

即一如=5一2

则—三一，栏2,

11]

所以仇一0=%一。〃—+斯—+u—

三+专—W+…+'抖1谒=1—'〃22,

又因为41=2,所以小=1—工+。1=3—工，”22.

nn

又。1=3-；=2,符合上式；

所以。”=3-工，〃£N：

n

「12许熊获'i常而三不i甚》

\（1）并项求和时注意哪些项进行并项.

；（2）裂项时注意是否还有系数及是否前后相邻的项相消.

；（3）错位相减后构造的等比数列的项数是否是〃项.

【必练核心题型】

题型一分组求和与并项求和

【典例】L设数列｛。〃）的前〃项和为£“数列｛〃〃｝满足4〃+2=fn+2，：]?数，且

（2.—为奇数,

41-2,02—1,则S20等于（）

A.1023B.1124C.2146D.2145

【答案】C

【解析】根据递推公式可知，数列的奇数项依次为：2,22,23,…，为等比数列；

数列的偶数项依次为：1,3,5,…，为等差数列.

所以S20=10X1+—X2+2（1~21O-=100+2II-2=2146.

21—2

【典例】2.已知数列｛m｝是等差数列，o=tan225。，4=13。，设S”为数列｛（一

1）%〃｝的前〃项和，则S2026等于（）

A.2026B-2026

C.3039D-3039

【答案】C

【解析】由已知。1=tan225°=tan(180°+45°)=tan450=I，故。$=I3m=13,

设数列｛恁｝的公差为d,可得=笠?=3,

5—15—1

所以52026=(42—ai)+(a4—a3)+(〃6—〃5)H-----b(^2O26—«2025)=1013d=3039.

吊露面瓯I

(1)分组求和法常见题型

①若数列｛C〃｝的通项公式为金=七±乩，且｛%｝,｛儿｝为等差或等比数列，可采用分组求

和法求数列｛金｝的前〃项和.

an,九为奇数，

②若数列｛C”｝的通项公式为金=

(%,九为偶数，

其中数列｛知｝,也｝是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列｛点｝的前〃项和.

⑵并项求和法常见题型

①数列｛斯｝的通项公式为即=(-1)悟〃)，求数列他”)的前〃项和.

②数列｛%｝是周期数列或热为定值,求数列①〃｝的前〃项和.

【变式训练】

变式1.已知数列｛0｝满足m=2X(-2)〃」+〃一2.求数列｛〃“｝的前〃项和Sn.

【解析】由于a〃=2X(—2尸+〃—2,

所以SLm+s+a3H-----Fa”

=2X(-2)°+(-l)+2X(-2y+0+2X(-2)2+l+・・・+2X(-2)”T+〃一2

=2义[(-2)°+(—2)1+(—2)2+・・・+(—2)〃[+[(-1)+0+1+・・・+(〃-2)]

=2_2x(-2)n,n(n-3)

332

题型二裂项相消法求和

【典例】1.已知数列｛必｝的前〃项和为S”,且S“=2a”一2(〃eN)

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)若仇=log2a2〃-1,c,t=—7—,求证：CI+G+S-I---FCn<^.

*+i2

(1)【解析】由S”=2即一2,①

当〃=1时,S\=2ai-2=ai,解得a\=2,

当时,5”-1=2加1-2,②

①一②，得,

・.・数列｛〃〃｝是首项为2,公比为2的等比数列，

,nln

..an=al2~=2.

(2)【证明】由⑴知e-i=22rtL

bn—log2a2〃-1=2〃11ibn+1=2〃+1.

则Q=KU*-就),

故ci+cz+cjd---\-c,t

V—>0，,1一一1,-(1———)<-,

2n+l'2n+l'2V2n+l/2'

故C|+C2+C3H---F

【解题技巧】裂项相消法的原则及规律

(1)裂项原则

一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去领的规律为止.

(2)消项规律

消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.

・裱嬴I章

变式1.(2025安顺模拟)记S〃为数列｛m｝的前〃项和，已知0=1,且V〃WN*,anSn

_anan+1

+1-an+\On--------------.

2

⑴求｛〃〃｝的通项公式；

(2)设8=四"｛仇｝的前〃项和为4,求救的最小值.

fln<,n+l

【解析】⑴♦・"〃£!<,

・%=1，，数列舟是首项为I,公差为抽等差数列,

则步］+如T尸等，

即2S”=(〃+1)a〃，2S”-i-1(〃22),

两式作差得2a”=(〃+\)an—nan-\,

即普心2),

an-i八一1

...工义…X超又强=」-X…,

an-1a2ax7i-l21

即&=〃,%=n(n22),

Qi

,•a\=I符合上式,；・%=儿

小\,n2+n+l?i24-n+l,.1

(2)bn—----------=----------=1+--------

anan+1n(n+l)n(n+l)

••口尸〃+(i后+A升…+:号?)

=〃+1——--.

n+1

•・・。+1—7；=(九+2)一白一(九+1)一劣

[n+2J「'n+l.

=1+------------->0,

(n+l)(n+2)

・•・数列｛7；｝为递增数列，

・・・(Tn)min=。得

题型三错位相减法求和

【典例】1.(2025・贵阳模拟)已知数列｛“〃｝满足〃〃+尸)〃+(或",且n=一条设｛m｝

n

的前〃项和为7；,bn=3-an.

(1)证明：｛仇｝是等差数列;

⑵求Tn.

n

⑴【证明】因为bll=3-ci„,

所以瓦+1=3"+%”+1,

b“+[—b„=3/1s+J—3"a

=3'U2+()+'135=1,

且仇二一2,所以伯〃｝是以一2为首项，1为公差的等差数列.

(2)【解析】由(1)知，儿=〃一3,

所以％="=(〃_3>0.

则7“=(-2)©+(-1乂»+0©+...+(1).©1X+(„-3).g)n,

所以孤=(-2)©+(-1)窃+0.似+…+("-4)0n+("-3)0"1,

两式相减彳哥力,=_：+Q)2+(1)3+-----(n—3)Q)nH1

n+l

=一2|+1」一(〃_3).(/g1X

J1--

因此「=+(A洸)"

「・■・■・■・・•・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・•・・・・・・・•・・■・・・・・■・・•・・■・■・■■・■・■・■■・■・■・■・・•・MB・・・・•■・■・・・・・・・・・・・・・■・・・・,■・■■・■・・・・•・・・・・・・・・・■,■・.

:【解题技巧】

\⑴如果数列3｝是等差数列，｛儿｝是等比数列，求数列｛4也｝的前〃项和时，常采用错\

i;

I位相减法.\

i;

\⑵用错位相减法求和时，应注意：!

ii

\在写出“SJ与"qSj的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出

iS„—qSn”的表达式.

|(3)1万能公式I形如如=3〃+bM一(，产1)的数列的前八项和为S“=(A〃+8"+C(gWI),

!其中8=W，C=-B.

q-1Q-l

-7至劫/i

变式1.已知数列｛〃〃｝满足且a”="*(〃£N,，且〃22).

2厮-1+2

(1)设仇=一—，求证：数列｛〃〃｝是等差数列；

an-l

(2)记c“=(〃+1)3%“求数列｛&7｝的前〃项和Sn.

⑴【证明】因为如=如W，〃22,

&n-i+2

则〃”一1=®『一।=3仇-『),

*1+2%-1+2

则」_—工(1+=_)=」_+!,

dfi~13。^一]-13\Q〃一1/%[—1—13

即bn—bn-\=\,,

«3

故数列｛6｝是首项为±=2公差为!的等差数列.

Q1一133

(2)【解析】由(1)可知，儿=)+；,

即

Qn-13

解得为=告+1=*；

n+1n+l

则c“=(〃+1)3%“=(〃+4)-3”,

故S“=C]+c2+c3H-----\-Cn,

即,^=5-34-6.32+7.334------F(〃+4)・3",

234,,+,

35,/=5-3+6-3+7-3+-+(Z?+4)-3,

故一2s“=5・3+32+33+…+3”—(〃+4)・3"+|=12+3—32+…+3”一(〃+4>3”+|

=12+^p-(〃+4>3〃'

4-（*）*，

故）产-今

【限时训练】（限时：60分钟）

2

1.（12分）（2025♦南通模拟）设数列｛a｝的前〃项和为S”，若St,-^a„=n+1,〃右N*.

⑴求卬,如并证明：数列｛为+%+i｝是等差数列；（6分）

⑵求520.（6分）

【解析】

（1）当n=\时，由条件得〃[一）产？,所以s=4.

当n=2时，由条彳牛得（。|+。2）—、2=5,

所以G=2.

因为S“一）“=〃2+1,

所以5”一1一1〃-1=（〃-1）2+1（〃22）,

两式相减得知一1=2〃-1,

即4”+4〃一1=4〃-2,

所以（。”+1+a„）—（atl+）=[4（〃+1）—2]—（4/7—2）=4,

从而数列｛小十|+。“｝为等差数列.

（2）由（1）知知+如+|=4（〃+1）—2=4〃+2,

所以S2o=（〃i+。2）+（。3+。4）+…+（09+〃2O）=（4X1+2）+（4X3+2）+…+（4X19+2）

=1OX（6±78）=42O>

2

2.（12分）已知数列｛。〃｝满足0=10,an+i=3an—2.

（1）求｛斯｝的通项公式；（5分）

（2）若儿,记数列仍〃｝的前〃项和为北，求证：分）

（an4-2）an8

（1）【解析】因为4rH=3的-2,

所以。”+1-1=3(即-1),又0—1=9,

所以&；=3,

a“T

所以｛斯一1｝是以9为首项，3为公比的等比数列，

所以为一1=9・31=3””,所以m=3〃”+1.

3nli

⑵【证明】由（）知无尸

1n+,n+1n+1rt

(fln+2)an(3+l)(3+3)(34-l)(34-l)

1

3n+1+l

所以Tn=b\-\-bi-\---Vbn

IQn+1+i)

--------：------又---：----->0

82(3n+1+l)'2(3n+,+l)

所以脸.

O

5a〃

3.（13分）已知数列｛小｝的首项s=a（aWO）,前〃项利为S”，且满足*+】一&二

4即+1

N"）.

⑴判断数歹|」｛^一1｝是否为等比数列；（6分）

⑵若0=（记数列吩｝的前〃项和为〃，求乙.（7分］

【解析】

（1）若高一1=；-1=0，解得。=1，

则数列陆-1｝不是等比数列；

若三一1