人教版八年级数学下册讲义 第7课 勾股定理逆定理（学生版）

第07课勾股定理逆定理

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课程标准

1.掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.

2.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.

趣:知识精讲

知识点01勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长4,b,C,满足,那么这个三角形是直角三角形.

注意：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

知识点02如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定

（2）验证与/+/是否具有相等关系若。2=/+廿，则^ABC是NC=90°的直角三角形；若

则AABC不是直角三角形.

注意：

当时，此三角形为_三角形；

当时，此三角形为_三角形，其中C为三角形的最大边.

一

知识点（）3互逆命题

如果两个命题的题设与结论，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的

逆命题.

注意：

原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错

误的命题我们称它为假命题.

知识点04勾股数

满足不定方程f+V=z2的三个,称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，

以X、），、Z为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

①3、4、5：②5、12、13：③8、15、17：④7、24、25：⑤9、40、41...

如果4、b、C是勾股数，当।为正整数时，以“、历、。为三角形的三边长，此三角形必为直角三角

形.

注意：

（1）（〃〉1,九是自然数）是直角三角形的三条边长；

（2）（〃是自然数）是直角三角形的三条边长；

（3）一（6>77,〃7、〃是自然数）是直角三角形的三条边长；

Q能力拓展

考法01原命题与逆命题

【典例1】写出下列命题的逆命题，并判断其真假：

（1）同位角相等，两直线平行：

（2）如果％=2,那么V=4；

（3）等腰三角形两底角相等；

（4）全等三角形的对应角相等.

（5）对顶角相等.

（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，

【即学即练】下列定理中，有逆定理的个数是（）

①有两边相等的三角形是等腰三角形：②若三角形三边。，b,。满足/+〃2=C2,则该三角形是直角三角

形；③全等三角形对应角相等；④若〃=人，则/二〃.

A.1个B.2个C.3个D.4个

考法02勾股定理逆定理的应用

【典例2】如图所示，四边形ABCD中，ABLAD,AB=2,AD=26，CD=3,BC=5,求NADC的度数.

A

【即学即练】△ABC三边a,b,。满足。2+/+。2+338=10。+24〃+26的则4八13（：是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【即学即练】如图所示，在AABC中，已知NACB=90。,AC=BC,P是aABC内一点，且PA=3,PB=1,

PC=CD=2,CD1CP,求NBPC的度数.

AB

【典例3］如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm,BC=15cm,CD=7cm,AD=24cm,ZABC=90°.猜

想/A与NC关系并加以证明.

【即学即练】下列各组数中，全是勾股数的一组是（）

A.2,3,4；6,8,10:5,12,13

B.3,4,5；10,24,26；7,24,25

C.」，工，工；8,15,17；30,40,50

445

D.0.4,1.2,1.3；6,8,10；9,40,41

考法02勾股定理逆定理的实际应用

【典例4】如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有

一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在删线上巡逻的

缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C

的速度不变，最早在什么时间进入我国海域?

X分层提分

题组A基础过关练

1.4ABe中，ZA,ZB,ZC的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZCB.ZA：ZB：ZC=l：2：3

C.a2=c2-b2D.a：b：c=3：4：6

2.若一个直角三角形的两直角边的长为12和5,则第三边的长为（）

A.13或ViT?B.13或15C.13D.15

3.已知△ABC的三边分别是6,2,10,则△ABC的面积是（）

A.24B.30C.40D.48

4.已知》，>为正数，且,2-4卜,2一3卜0,如果以X,y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个

直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）

A.5B.25C.7D.15

5.若“8。的三边长a、b、c满足a?+/=6a+8〃+10<?-50,那么8c是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

6.已知。，b,。是AABC的三边,如果满足a2c2一氏2=04-支，则三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

7.如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1）,点A,B,C恰好在网格图中的

格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）

I%

B

A.叵B.®C.®D.75

245

题组B能力提升练

8.若•个三角形的三边长为3、4、x,则使此三角形是直角三角形的x的值是.

9.在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2

分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体.一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到

几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是分米.

n

10.如图，4ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移

动，它们的速度分别为Vp=2cm/s,VQ=lcm/s,当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间

为ts,则当t=—s时，4PBQ为直角三角形.

11.如图，三角形ABC三边的长分别为AB=m2-M,AC=2mn,BC=m2+n2,其中m、n都是正整数.以

AB,AC、BC」为边分别向外画正方形，面积分别为Si、Sz、S3，那么Si、S2>S3之间的数量关系为.

12.如图，已知NADC=90°,AD=8m,CD=6m,BC=24m,AB=26m,则图中阴影部分的面积为

D

B

13.如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2,PB=2x/3,PC=4,则三角形ABC的边长为.

14.如图，点尸是等边△AAC内的一点，PA=6,PB=8,PC=10.若点P是8c外的一点，且

的△P4C,则N4必的度数为,

15.如图，每个小正方形边长为1,则△A8C边AC上的高8。的长为

16.如图，RtAABC中，NC=90°,AB=5,AC=4,分别以RSABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为.

题组C培优拔尖练

17.我市某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测

量NA=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m.

(1)求出空地ABCD的面积.

(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元?