高中数学基础练习题-两条直线平行和垂直的判定（解析版）

2.2两条直线平行和垂直的判定

模块一：基础知识...................................................2

考点一：两条直线平行............................................2

考点二：两条直线垂直............................................2

模块二：题型分类...................................................3

题型一：两条直线平行的判定......................................3

题型二：两直线垂直的判定........................................6

题型三：两直线平行求参数.......................................10

题型四：两直线垂直求参数.......................................12

题型五：直线平行垂直在几何中的应用.............................15

模块三：综合巩固..................................................18

2.2两条直线平行和垂直的判定

模块一：基础知识

考点一：两条直线平行

对于两条不重合的直线4，4,其斜率分别为K，&，有41140勺=42.如下1图

对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点

⑴人||，2=&成立的前提条件是：

①两条直线的斜率都存在；②人与/2不重合.

⑵当两条直线不重合且斜率都不存在时，4与4的倾斜角都是90、则4114,如上2图

⑶两条不重合直线平行的判定的一般结论是：41|/2。勺二&或4,4斜率都不存在.

考点二：两条直线垂直

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之枳等于-1；反之，如果它们的斜率之积等

于一1,那么它们互相垂直，即=勺•&二一1・

对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点

(1乂_1_/2=勺夕=一1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②勺。0且％2工0.

⑵两条直线中，-条直线的斜率不存在，同时另•条直线的斜率等于零，则两条直线垂直.

⑶判定两条直线垂直的一般结论为：

<_L4=勺=T或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零.

模块二：题型分类

题型一：两条直线平行的判定

1.下列各对直线互相平行的是()

A.直线人经过点4(0,1),8(1,0),直线I经过点M(T,3),N(2,0)

B.直线丸经过点力(-1,-2),5(1,2),直线6经过点河(-2,-1),N(0,-2)

C.直线4经过点4(1,2),5(1,3),直线4经过点C(LT)，。(1,4)

D.直线<经过点力(3,2),5(3,-1),直线《经过点加(1,一1),N(3,2)

【答案】A

【解析】对于A,因为4=汜=-1,4=二二2=-1,所以/"4；

对于B,因为勺=±匕=2人=二1吉1=一。所以直线//不平行；

对于C,由直线乙经过点4(1,2),8(1,3),直线4经过点C(1,T),0(1,4),

得直线44的斜率都不存在，且两直线重合；

对于D,因为直线人经过点彳(3,2),4(3,-I),所以直线直线4的斜率不存在，

而勺,=一-1-一2=：3，所以直线44不平行.故选：A.

1-32

2.根据下列给定的条件，判断宜线4与直线是否平行.

⑴4经过点4(2,3),3(-4,0),)经过点M(T1),N(-2,2)；

(2)人的斜率为-；，6经过点力(42),8(2,3)；

⑶《平行于。轴,(经过点P(O，-2),0(0,5)；

(4片经过点用0,1),尸(一2,-1),4经过点G(3,4),〃(2,3).

【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合

3-0I2-1

【解析】(1)脑=泞=93彳91,附工心，所以4与4不平行.

2+42-2+3

I2-31

(2)4的斜率尢=—g,4的斜率的=W=-g,k、=k),所以与"平行或重合.

(3)由题意，知4的斜率不存在，且不与y轴重合，的斜率也不存在，且与y轴重合，所以〃〃2.

-1-14-3

(4)由题意，知k=—~~-=1>k--~~-=1,

EF-2—vGH3一，

kEF=kGH，所以6与4平行或重合.

需进一步研究七，F,G,〃四点是否共线，.=:：=L

—1—4

所以E,F,G,〃四点共线，所以4与4重合.

3.(多选)已知直线4与4为两条不重合的直线，则下列命题正确的是()

A.若“〃2,则斜率占=原

B.若斜率占=&,则"〃2

C.若倾斜角%=%,则“〃2

D.若/“加则倾斜角4=%

【答案】BCD

【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果.

【详解】A选项，“〃2,可能直线4与4的倾斜角都是90。，斜率不存在，所以A选项错误.

B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.

C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.

D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.

故选：BCD

4.(多选)满足下列条件的直线4与4,其中“％的是().

A.4的斜率为2,4过点力(1,2),8(4,8)

B.《经过点尸(3,3),。(-5,3),平行于工轴，且不经过点P

C.4经过点”(-1,0),N(-5,-2),4经过点〃(-4,3),5(0,5)

D.4的方向向量为(11)，的倾斜角为3

【答案】BC

【分析】根据题意，结合直线斜率的计算公式以及两直线平行的结论，一一判断即可.

【详解】对于A,由题意得&&=*=2,所以4与/,平行或重合，故A错；

4-1

对于B,由题意得怎0=二三=0,因平行于x轴，且不经过点P,所以故B正确；

-5一3

-2-015-313—0

对于c,由题意得3N=V=7,y沁q,所以故c正确;

-3+12U+4Z—4+I

对于D,直线乙的斜率为;=1,直线的斜率为tanq=6,

所以4与不平行，故D错.

故选：BC.

5.记平面直角坐标系内的直线4、与工轴正半轴方向所成的角的正切值分别为勺、左2，则“〃〃2”是“占=内〃

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.先要条件

【答案】A

【分析】根据直线的位置关系结合充分、必要条件分析判断.

【详解】由题意可知：[皆已经存在，

若乙〃儿则勺=%2,即充分性成立；

若k1=k”贝1"12可能重合，即必要性均不成立；

综上所述：“〃〃2〃是“占=〃2〃的充分不必要条件.

故选：A.

6.已知直线4过4(-1,4),4(2,0),且A/4,则直线的斜率为()

434

A.-B.-C.——I

343

【答案】C

【解析】由题意直线4的斜率为4=—4-0=-；4,

—1—23

4

又因为(私，所以直线%的斜率为％2=4=-鼻•故选：C.

7.已知经过点力(3,〃)](5川)的直线4与经过点尸(t〃⑼,0(0")(阳"0)的直线右平行，则5的值为()

A.-1B.-2C.-1或2D.-2或1

【答案】C

【解析】由题意得勺=二二!=破，

424m

因为“〃2,所以与一勺，即空士一日，

2m

化简得〃/-mn-2/J=0,所以〃7=—〃或111=2n,

又由/〃〃工0得”=—1或2,故选:C.

n

8.过力(也3),8(-1,〃?)两点的直线与直线/平行，直线/的倾斜角为45。，则m=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【解析】过力(，％3),8(-1,〃?)两点的直线与直线/平行，直线/的倾斜角为45。，所以-1,

因此过4外3),8(-1,间两点的直线的斜率为牛工,

-I-/??

因为过力(/%3),8(-1刈)两点的直线与直线/平行，直线/的倾斜角为45。，

m—3

所以有一;---=tan45v=l=>zw=l,故选：A

-1-zn

9.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的

纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合，点(2023,2024)与点(对/))重合，则〃+()

A.4046B.4047C.4048D.4049

【答案】B

【解析】设力(2,0),劣-2,4),则点A,8所在直线的斜率为心=±^=-1,

由题意知，过点(2023,2024),(凡与的直线与直线4;平行，

h-2024

所以-------=-1,整理得：“+6=2023+2024=4047.故选：B

a-2023

题型二：两直线垂直的判定

1.判断直线小与4是否垂直.

(1)4的斜率为-10,(经过点力。0,2),8(20,3)；

⑵4经过点4(3,4),8(3,10),经过点"(T0,40),N(10,40)：

⑶4经过点力(-1,2),8(5,7),4经过点C(I,0),。(4,6).

【答案】

⑵卬2

(3)A1/2

【分析】(1)根据％他=-1判断直线垂直；

(2)4斜率不存在，则判断4是否与X平行，若平行，则两直线垂直；

(3)方法一：根据左芯=-1判断直线垂直；方法二：利用直线的方向向量判断直线垂直.

【详解】(D设直线心4的斜率分别为左，右，则尢=70,&=齐3-2"=2I，

2。—1010

因为卬：2=-1,所以

(2)由点力，片的横坐标相等，得4的倾斜角为90。，则4_Lx,

设直线《的斜率为刈，贝1」&=10_(_]0)=0,

所以，2〃X轴.故

(3)方法一：直线(的斜率4.二一百1一K2二-51,直线的斜率&=6昔—0=2,

因为"2=-1，所以4U；

方法二：直线乙的方向向量方=(6,-3),直线6的方向向量加=(3,6),

因为万.历=0,所以而_L函，所以

2.判断下列直线4与4是否垂直：

(1)4的倾斜角为牛，，2经过知卜4,一行)，N(5,2g)两点：

⑵4的斜率为-1右经过*3，-2),。(-6,4)两点；

\3

⑶/1的斜率为-§,，2的倾斜角为。，。为锐角，且匕n2a二-7

【答案】(1)/.1/2

(2)乙与4不垂直

(3)/.1/2

【分析】(1)乙的斜率为tan与n-g,根据过两点的斜率公式可求4的斜率，判断斜率的乘积是否为-】

即可；

(2)根据过两点的斜率公式可求右的斜率，判断斜率的乘积是否为T即可；

(3)根据二倍角的正切公式求出lana的值，判断斜率的乘积是否为-1即可.

【详解】⑴因为4的倾斜角为斗，所以4的斜率为tan4u-百.

JJ

因为4经过N卜,2后)两点，所以右的斜率为、=电.因为—Gx曰=-1,所以

(2)因为乙经过。(3,-2),。(-6,4)两点，所以4的斜率为土3=—.

-6-33

因为4的斜率为-g,所以4与4不垂直.

⑶记,2的斜率为3因为41,所以』T解得1或％

因为a为锐角，所以左=3.因为4的斜率为-：，且3x(-=

所以4U

3.(多选)满足下列条件的直线4与，2,其中的是()

A.4的倾斜角为45',。的斜率为1

B.乙的斜率为一年，6经过点力(2，。)，8(3,百)

C.4经过点P(2,l),。(工-5),〃经过点“(T，2),N(LO)

D.4的方向向量为(IM),4的方向向量为

【答案】BCD

【解析】对A,^=tan45°=l,<=1,心产一1,所以A不正确;

对B,攵=步-。=6&•号=一立乂6=一1,故B正确；

k3-2h43

对&h=:；=,h=？0=T,除％=一\,故C正确；

-4一2一1一1

对D,因为==

k

所以两直线的方向向量互相垂直，故，K故D正确.故选：BCD

4.已知力（7,-4）,5（-5,6）,若直线〃?与直线垂直，则直线用的斜率为（）

66〃55

A.-B.——C.-D.——

5566

【答案】A

【分析】根据题意，利用斜率公式求得左祐=-3，再由两直线的位置关系，得到心即可求解.

6

【详解】由点代一）,8（—5,6）,可得册=号半=一,

因为直线机与直线48垂直，可得3・3B=7,即心•（-；）=-1，解得心=，

65

所以直线机的斜率为

故选：A.

5.若直线4的倾斜角为45。，直线4经过点夕（-2,-1）,Q（3,-6）,则直线4与4的位置关系是（）

A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合

【答案】A

【分析】由倾斜角可得直线4的斜率，由斜率公式可得直线4的斜率，可判断垂直关系.

【详解】由题可知直线4的斜率为tan4S=l,直线4的斜率为二6一（二）=7,所以直线人与/?垂直

故选：A

6.已知直线4经过力（-3,2）,4（1,-2）两点，直线&倾斜角为45。，那么人与4（）

A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直

【答案】B

【分析】根据两点求出直线人的斜率，根据倾斜角求出直线，2的斜率，可知斜率乘积为-1，从而得到垂直

关系.

【洋解】由题意可得：直线乙的斜率勺=立4=-1,直线4的斜率e=13045。=1,

—3—1

・・•毕2=7,则4与4垂直.

故选：B.

7.已知两直线/"的斜率分别为匕目&&是方程，+.]=0的两根，则4与4的位皆关系为()

A.平行B.相交且垂直C.重合D.相交且不垂直

【答案】B

【解析】由题意女人=-1，因此两直线垂直.平面上的两直线垂直时当然相交.故选：B.

8.已知两条直线4和4，其斜率分别是一元二次方程42+202公=1的两不等实数根，则其位置关系是()

A.平行B.垂直C.重合D.异面

【答案】B

【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得.

【详解】由题意，设两条直线4和4的斜率分别为勺，七，

且为一元二次方程公+202必=1的两不等实数根，

则占•七二一1,所以仆儿

故选：B

9.若过点P(3,2〃?)和点0(一肛2)的直线与方向向量为2=(-5,5)的直线垂直，则实数〃?的值是.

【答案】5

【解析】由2=(-5,5)得直线的斜率为告=7,

2m-2.

若两直线垂直，则直线尸。的斜率为两二疥二1,解得m=5.

故答案为：5.

io.直线4过点/(叭1)和点8(-1,阳)，直线右过点。(〃?+〃,〃+1)和点。(〃+1,〃-间，则直线4与1的位置关

系是.

【答案】垂直

【分析】分〃?=1,m=-1,加=±1三种情况讨论即可.

【详解】①当〃7=1时，直线4过点4(1,1)和点8(T1),

直线，2过点C(l+〃,〃+l)和点。+

此时直线4的斜率勺=0,直线4的斜率不存在，因此

②当小=7时，直线4过点4(7,1)和点8(7,-1),直线4过点C(T+〃,〃+l)

和点。(〃+1,〃+1).此时直线人的斜率不存在，直线6的斜率0=0,因此4，小

③当±1时，直线4的斜率占=不1,直线的斜率刈=t二，

-1―///I—m

此时勺•&=-1,.\/11/2-

故答案为：垂直.

题型三：两直线平行求参数

1.在平面直角坐标系中，直线1经过M（l,，〃）,N（4,-5）两点，［经过我（-6,0）,义-1,3）两点，若乙_L，2,则

m=；若4〃4，则〃?=•

【答案】0

【分析】根据垂直时，斜率乘积为T,平行时，斜率相等来列式计算即可.

【详解】由己知仆若

当口，2时,

所以勺=与?二-9解得m=0,

4—13

当//4时,

.-5-m3回,启34

勺=年丁=丁解得,"一三,

经验证：当阳=-三34时，不重合.

34

故答案为：0;.

2.己知直线”〃2,它们的斜率分别记作配%2,若配“2是方程f+2奴+1=0的两个根，则4的值（）

A.1B.-I

C.1或TD.无法确定

【答案】C

【分析】利用直线平行得到占=&,从而得到二次方程判别式为零，由此得解.

【详解】因为“〃2,所以占=&，

因为勺，攵2是方程f+2ox+l=0的两个根，所以A=4"-4=0,解得。=±1.

故选：C.

3.已知力（一2,〃?），B（m,4）,“（血+2,3）,N（l,1）,若AB〃MN,则机的值为

【答案】。或1

【分析】

分当直线的斜率不存在，直线MN的斜率不存在及两直线的斜率都存在时进行求解即可，注意检验下

两直线不重合.

【详解】解：当盟=一2时，直线48的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与不平行，不合

题意；

当旭=一1时，直线MN的斜率不存在，而直线48的斜率存在，MN与不平行，不合题意；

当"iw—2,且〃iw—1时，

4-w_4-/«

Ain+2'

,3-1_2

k；\fx=--------------.

m+2-\ni+\

因为所以A"=AMN,

即Y4—w=7—2，解得，〃=°或m=L

m+2，〃+I

当m=0或1时，由图形知，两直线不重合.

综上，力的值为。或L

故答案为：0或1

4.已知直线4经过/（冽,3）,80,用）两点，心经过尸（2,1）,。（4,2）两点.

⑴若〃〃2,求明的值；

⑵若的倾斜角互余，求，〃的值.

【答案】（1）6=：

（2）w=|

【分析】（D根据〃〃2,可得加B=kpQ,再结合斜率公式即可得解；

（2）设4的倾斜角为。，则直线/,的倾斜角为5-a，再结合斜率公式即可得解.

【详解】（1）原。=言2-1=；1，

因为〃〃2，

所以心8=$^=%^=；，得〃?二:，

1-w23

经检验，符合题意，

7

所以〃?二§；

（2）因为44的倾斜角互余，

设式的倾斜角为a,则直线4的倾斜角为。，

~,w-315

所以〃酢=匚£=口=2,得机

5.己知直线4的倾斜角为60。，直线6的斜率e=/+6-4,若l\〃k，则〃?的值为,

【答案】±2

【详解】由题意得〃J+G-4=tan60o=6，解得m=±2.

6.当〃为何值时，直线4：y=f+2a与直线《：y=（a2-2）x+2.

⑴平行;

（2）垂直.

【答案】（1）4=一1

（2）a=±5/3

【分析】（1）根据题意得到］：—：二7,即可得到答案.

2。W2

（2）根据题意得到（a?-2）x（-］）=-1,即可得到答案.

【详解】（1）要使则需满足;二="na=T.

故当4=-1时，直线4与直线，2平行.

（2）要使，山2,则需满足（。2-2卜（-1）=-1,・・・。=±6.

故当4=±6时，直线4与直线右垂直.

题型四：两直线垂直求参数

1.若直线/经过点力（4-2,-1）和川且与斜率为-g的直线垂直，则实数。的值是（）

2323

A.—B.—C.士一D.±—

3232

【答案】A

【分析】先利用斜率公式表示出再根据两直线垂直列出关系式求解即可.

—1—11

【详解】由题意得，直线I的斜望必存在，且心=一——£=一一（。=。）.

a~2—（­a-2）a

因为直线I与斜率为-；2的直线垂直

所以-^x--=-1,解得。二一：

31"3

故选：A.

2.已知力（7,-4）,4（-5,6）,若直线用与直线48垂直，则直线利的斜率为（）

6655

A.—B.—C.—D.—

5566

【答案】A

【分析】根据题意，利用斜率公式求得再由两直线的位置关系，得到心•七8=-1，即可求解.

6

【详解】由点力（7,T）,8（-5,6）,可得篇=匕=1=_，

因为直线〃，与直线力6垂直，可得心•左”--1,即心•(-■|)=T,解得

65

所以直线用的斜率为q.

故选：A.

3.已知点4f-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),Z)(3,3M+2),若直线48_LCQ,则〃?的值为()

A.1或—1B.-3或-1C.—1或3D.3或一3

【答案】A

【解析】・・,4B两点纵坐标不相等，与x轴不平行.

*：ABLCDt则CD与x轴不垂直，，一机*3,即布工一3.

当48与x轴垂直时，-〃?-3=-2〃?-4,解得加=-1,

此时，点C,D的纵坐标均为-1,则CZ)〃x轴，此时/B_LCO,满足题意；

4-2.3w+2-m2(加+1)

当A8与x轴不垂直时，鼠=k「n==

-2m-4-(-m-3)-(m+1)*3-(一⑼m+3

22(/〃+1)

VAB±CD,：-—1,即_(〃?十1)、〃[+3解得，〃二L

综上，m的值为1或-1,故选：A.

4.若直线4与4的斜率尢、质是关于4的方程-2〃2-4&=6的两根，若则6=()

A.2B.-2C.0D.-4

【答案】B

【分析】由直线垂直得左〃=7,结合韦达定理得参数值.

2

【详解】/,1/2=>^^=-1,方程一2k?-4k=b为2k+4k+b=0,所以&K=?=-1，b=-2,

此时△=16-8b>0满足题意.

故选：B.

5.当。为何值时，直线《：尸-x+2a与直线)，=(/-2卜+2.

⑴平行；

⑵垂直.

【答案】⑴"一1

(2)〃=±>/3

【分析】(1)根据题意得到：一：=一,即可得到答案.

2(1*2

(2)根据题意得到(。2-2卜(-1)=-1,即可得到答案.

【详解】(1)要使//〃，则需满足］：一：二一1=。=一1.

2。工2

故当4=7时，直线4与直线平行.

(2)要使41g则需满足什-2卜(-1)=-1,・・・〃=土百.

故当〃=±百时，直线乙与直线4垂直.

6.已知4的倾斜角为45。，4经过点0(-2,-1),。(3,加).若I»,则实数”为()

A.6B.-6C.5D.-5

【答案】B

【分析】

根据垂直关系得到勺•鼠=7,由此计算出川的值.

【详解】因为4=tan45o=l,勺=三丹="1,且《乜，

所以勺&=lx"=—l,解得〃?二一6,

故选：B.

2

7.若直线/经过点("2,7)和(-"2』)，且与经过点斜率为的直线垂直，则实数〃的值

为•

【答案】J2

【分析】求出直线/的斜率，利月直线垂直关系列式求出〃的值即得.

【详解】依题意，直线/的斜率存在且为g,由直线/经过点(。-2,-1)和

得直线,的斜率H-1-~13解得。=-22，

(a-2)-(-a-2)23

2

所以实数a的值为

2

故答案为：

8.已知直线4：y=-x+2。与直线4：»=(/-2卜+2垂直，则。的值为.

【答案】±73

【分析】根据两直线垂直得充要条件计算即可得解.

【详解】因为直线4：y=r+2a与直线占卜=(/一2卜+2垂直，

所以一1x(/-2)=-1,解得。二士内.

故答案为：±x/5.

9.已知过4(3,1)、8(1,-3)的直线与过。(-3刈)、2)的直线互相垂直，则点(叫〃)有()

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【答案】D

【解析】由力(3,1)与8(1,-3),则直线48的斜率"8=兴=2,

由44J.CO,则直线CO的斜率存在，即"-3,且%8="，=一:,

kAB2

由C(-3，M与0(*2),则言Y，整理化简可得〃=2〃?-7,

显然该方程有无数个解.故选：D.

题型五：直线平行垂直在几何中的应用

1.以4(5,—1)*(1,1),。(2,3)为顶点的三角形是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.以A为直角顶点的直角三角形D.以8为直角顶点的直角三角形

【答案】D

【解析】直线4B的斜率左襁二一^二一!，直线6C的斜率媪.=兴=2,

1—522—1

由e8•怎c=T，所以4BJ.BC,

故"8C是以8为直角顶点的直角三角形.故选：D

2.已知四边形MNP。的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4,O),0(2,2),则四边形MVP。的形状为.

【答案】矩形

【分析】分别求出直线“〃00,必0,乂户的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.

【详解】解：•••八小=匕上迎=-1,即丑=-1,且P不在直线MN上，，MNHPQ.

又：*。=归=1，h/=上±"=1，且N不在直线上，・•.MQ//NP，.•.四边形MN。。为平行四边形.又

'2-14-3

・•・平行四边形MNP。为矩形.

故答案为：矩形.

3.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为

O(O,O),P(M，0(1-=2+Z),衣(-2人2),其中"0.试判断四边形OPQR是否为矩形.

【答案】四边形OPQR为矩形，理由见解析.

/-0_2_(2+/)

【解析】由斜率公式得左〃,=

1-0RQ-2/-(1-2/)-1

,2-01,2+t-t21

kcR=----------=——,K=------------==——

°R-2/-0/p股n1-2/-12//

所以％=",k（＞R~左松，

从而OP〃RQ,OR//PQ.

所以四边形OPQR为平行四边形.

又LG=T,所以OP_LOR，

故四边形OPQR为矩形.

4(多选)已知点尸(-4,2),0(6,-4)1(12,6),S(2,12),则下列结论正确的是()

A.PQHSRB.PQLPSC.PSHQRD.PRIQS

【答案】ABCD

【解析】由斜率公式知=心=照=一"%=鉴=24,

vz-T~।D1J4I-fJJ

kpQ=ksR,且R2，R,S四点不共线，则尸0//SA,A选项正确；

35

—=-河=-1，PQ±PS,B选项正确；

kQR=W^=3=kps，PSHQR,C选项正确；

12-63

=-4选项正确・故选：

kQS=-7-7»kpR=?：=!,-kPR=-4xl=-l,PRA.QS,DABCD.

"2-612+44v4

5.（多选）直线《人的斜率仁凡是关于k的方程2公一软+m=0的两个根，则下列说法正确的是（）

A.若人士“，则，〃=一2B.若L工4,则”=2

C.若乙//4则机=一2D.若4/〃?，贝lj6=2

【答案】AD

【解析】直线4,/2的斜率4，的是关于％的方程2公—4%+加=0的两根，・—三，

若则桃2=3=-1，得，〃二一2；

若〃〃2,则％=%2,•*•A=16-8/M=0,得6=2,故选：AD

6.已知41,3),8(5,1),。(3,7),4B,C,。四点构成的四边形是平行四边形，求点。的坐标.

【答案】(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点。的坐标.

【详解】由题，力。,3)*(5/)<(3,7),

所以A/C=2,kAB=,kBC=-3,

设。的坐标为(x,p),分以下三种情况：

①当5c为对角线时，有kCD=kAB,kBD=kACf

所以，原0=匕1=2,e0=上三=一；，

x-5X-J2

得x=7,产5,即。(7,5)

②当力C为对角线时，有kCD=k4B,kAD=kBCf

得x=-l,产9,即。(-1,9)

③当48为对角线时，有kBD=kAC,kAD=kBC

所以既。=~~=2，k=-=-3，

x-5ADx-1

得x=3,产-3,即。(3,—3)

所以。的坐标为。,5)或(-1,9)或(3,-3).

7.在平面直角坐标系中，四边形。尸。〃的顶点按逆时针顺序依次是0(0,0),0(U),2(1-2/,2+/),

〃(-2/,2),其中/€(0,内)，试判断四边形"。我的形状，并给出证明.

【答案】四边形0PQR是矩形，证明见解析

【分析】根据题意，结合直线斜率的坐标计算公式，分别判断直线是否平行与垂直即可.

【详解】四边形。尸是矩形.证明如下：

0P边所在直线的斜率“勿=/,

2+;-2

QR边所在直线的斜率k”=—=/，

OR边所在直线的斜率向&=-：，

2+/-/1

P0边所在直线的斜率4卬=17^=7

所以心P=即A,院”二心©,所以OP//QR.ORHPQ,

所以四边形OPQR是平行四边形.

又3£坎="卜：=-1,

所以。&J_OR,所以四边形OP0R是矩形.

p1_2+Z/_t-2

又乜=E即~=币?

令卜足％口=-1,即*1,无解，

1-2/1+2/

所以。。与不垂直，故四边形。P0R是矩形.

模块三：综合巩固

1.经过4(0,4),8(-1,3)两点的直线的方向向量。,左),则左=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】由题意方=(-1,-1)与向量。,行共线，所以由对应分量成比例即可求解.

【详解】由题意＜4=(-1,-1)与直线的方向向量。,6共线，所以金=占，解得〃=1.

故选：C.

2.已知直线4过4(2,3),8(0,4),且4J.%则直线4的斜率为()

11

A.2B.——C.-2D.-

22

【答案】A

【解析】由题设勺:七,二4-%3==-：1，又3?,则直线4的斜率为2.故选：A

0—22

3.已知两直线44的斜率分别为心内，且占佐是方程/+』-1=0的两根,贝匹与4的位置关系为()

A.平行B.相交且垂直C.重合D,相交且不垂直

【答案】B

【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得.

【详解】由题意2色=-1，因此两直线垂直.平面上的两直线垂直时当然相交.

故选：B.

4.已知经过点力(-2,0)和点以1,3.)的直线/1与经过点。(0,-1)和点0(4,-2〃)的直线/2互相垂直，则实数。

的值为()

A.0B.IC.0或1D.-1或1

【答案】C

,3。一0

【解析】直线乙的斜率勺=77不=”・

1-㈠

①当。工0时，直线4的斜率左,二—2"—(7)二上当.

a-0a

因为《J./?,所以女生=-1,即q,j=-l,解得0=1.

a

②当〃=0时，p(o,T)、o(o,o),此时直线4为y轴，

又4(-2,0)、8(1,0),则直线4为X轴，显然4U.

综上可知，。=0或1.故选：C.

5.已知直线/的倾斜角为宁，直线4经过点力(3,2)和6(d-1),且直线/与4垂直，4的值为(

A.1B.6C.0或6D.0

【答案】D

【分析】求出直线/与4的斜率，利用两个斜率乘积等于-1即可求解.

【详解】因为直线/的倾斜角为个,所以直线/的斜率为tan与=-l,且/与垂直，

44

所以直线4斜率存在，

由经过点力(3,2)和所以直线4斜率为士：，

。一3

所以土3=1,解得：4=0,

a-3

故选：D

6.以4(7,1),5(2,-1),C(l,4)为顶点的三角形是()

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.以点A为直角顶点的直角三角形

D.以点8为直角顶点的直角三角形

【答案】C

【分析】求出力8、4C的斜率，即可判断力8/4C.

【详解】因为力(-L1),8(2,7),C(l,4)

所以G=生1-(-，1)=-“2标/=中4-15=子3

，3B・3C=-1，AABIAC,

:.、4BC是以点A为直角顶点的直角三角形.

故选：C

7.下列说法中正确的有()

①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行；

②若"%，则占=&；

③，所有的直线都有倾斜角；

④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-L

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正

确；对于④，举出反例.

【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确；

对于②，若"4,但可能斜率不存在，此时不能得到占=A2,错误；

对于③，所有的直线都有倾斜角，正确；

对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0,另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之

积为-1,错误.，

故正确的个数为2.

故选：B

8.已知点4(1,1)和8(2,4),点p在歹轴上，且N/PB为直角,则点。坐标为()

A.(0,2)B.(0,2)或(0,3)C.(0,2)或(0,4)D.(0,3)

【答案】B

【解析】由题意，设点尸

•;NAPB为直角,：.APLBP.

由~~~=y>^BP~~‘软/一)')("^)=一L解得y=3或2,

所以点P的坐标为(0,2)或(0,3)故选：B

9.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的

纸折叠一次，使点(2,0)与点(-2,4)重合，点(2023,2024)与点(0力)重合，则a+b=()

A.4046B.4047C.4048D.4049

【答案】B

【分析】根据轴对称的性质，可知直线N4与过点(2023,2024),的直线平行，且斜率都存在，则由

斜率相等列出式子即可.

【详解】设力(2,0),川-2,4),则点A,8所在直线的斜率为"8=2三=-1,

由题意知，过点(2023,2024),(a,与的直线与直线力8平行，

所以-------=-1,整理得：。+5=2023+2024