浙教版八年级数学上册《证明》同步练习题（含答案解析）

浙教版八年级数学上册《1.3证明》同步练习题（含答案解析）

一、选择题（每题3分，共15分）

1.如图/-DCA=60°,要证力B〃CD,需要的条件是（

A.Z.EAD=60°B.LB=60°C.^BCD=120°D.Z.EAC=120°

2.△ABC中，ZA=ZB+ZC,则对△ABC的形状判断正确的是（)

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

3.如图，以下条件不能判断4811c。的是（）

A.42=43B.Nl=z2

C.44=+Z3D./.ABC+乙BCD=180°

4.如图，下列判断正确的是（）

A.ZI和N2是同旁内角B.N3和N7是同位角

C.N5和/6是同旁内角D.N4和/3是同位角

5.如图，在四边形ABCD中，连接AC,下列判断正确的是（)

D

3

BC

A.若41=42,»\AD||BC

B.||CD,则43=/4

C.若上B4。+2BCD=180%则力DIIBC

D.若上BAD=LDCB,乙B=LD,^\AB||CD

二、填空题（每空3分，共21分）

6.我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形.已知关于a的代数式A=M+Q,请结

合你所学知识，判断下列说法：（1）当。=-2时4=2；②无论a取任何实数，不等式4+J之0恒成

立；③若力一1=0,则。2+a=4；正确的有.

7.（新人教版数学八年级上册第十一章三角形11.1.2三角形的高、中线与角平分线同步练习）如图所示，

在AABC中Z1=Z2G是AD的中点延长BG交AC于点EF为AB上一点CFJ_AD交AD

于点H.①AD是^ABE的角平分线@BE是4ABD的边AD上的中线③CH为^ACD的边AD

上的高④AH是△ACF的角平分线和高线其中判断正确的有.

8.如图直线ab都与直线c相交下列命题中能判断a〃b的条件是（把你认

为正确的序号填在横线上）。

1Z1=Z22Z3=Z63Z1=Z84Z5+Z8=180°

9.将一块三角板ABC（NBAC=90。NABC=30。）按如图方式放置使AB两点分别落在直线

mnh对于给出的四个条件：①Nl=25.5。/2=55.5。②Nl+/2=90。③N2=2N1

@ZACB=Z1+Z3(5)ZABC=Z2-Zl.能判断直线m〃n的有.（填序号）

10.判断：｛菰%2（填“是”或“不是”）方程组图）?二:的解。

11.一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场调查产品的销量占这三个大商场同类产

品销量的40%由此在广告中宣传他们的产品在国内同类产品的销售量占40%.请你根据所学的统

计知识判断该宣传中的数据是否可靠：理由是.

三解答题（共18题共114分）

12.如图已知点AC分别在NGBE的边BGBE±且AB=ACAD〃BENGBE的平分线与

AD交于点D连接CD.

证：①AB=AD

②CD平分NACE.

13.如图点D是等边△4BC中边4C上的任意一点且△BDE也是等边三角形那么4E与BC平行吗？

请说明理由.

解：因为是等边三角形（已知）

所以8c=84（等边三角形各边相等）

乙C=乙CAB=/.ABC=60。（等边三角形每个内角都是60。）

因为△BDE是等边三角形（已知）

所以E8=DB()

乙EBD=60°()

所以乙ABC=乙EBD（)

所以匕48。一匕A=LEBD-A（等量减等量）

即/A=ZA

在△48£和仆CBD中

fBA=BC(已HE),

(，团=々0(己斌，

[EB=DB(已泌,

所以△4BE三△CBD().

所以4E48=zA=60°()

所以4EA8+乙BAC=60°+60°=120°

所以乙EAC+Z.C=120°+60°=180°

所以HE||RC().

14.在AABC中如果乙力=248=3乙。那么你能判断△4BC是什么三角形吗？

15.如图BA平分NEBCCD平分NACF且AB〃CD.试判断AC与BE的位置关系并说明理

16.如图已知ABC三点在同一条直线上且AD〃BEZ3=Z1试判断BD与CE的位置关

系并说明理由.

17.如果44BC的三边长Q,b,。满足等式小+庐+,2一Qb-bc-ca=0试判断此ZL4BC的形状并写

出你的判断依据.

18.如图己知||CD试判断4BED和40之间的关系并说明理由.

B

E

CD

请判断他们的解法是否正确（在相应的方框内打y”或“X”）并写出你的解答过程.

21.计算6+（-*+当时李明同学的计算过程如下：

原式=6；（-3+6+寺=-124-18=6.

请你判断李明的计算过程是否正确若不正确请你写出正确的计算过程另用正确方法计算

&_'+3+（—表）+36+的值.

22.若^ABC的三边abc满足|a-15|+（b-8）2+VFF=0试判断△ABC的形状并说明理

由.

23.（湘教版七年级数学上册第三章一元一次方程单元检测b卷）如图将连续的偶数2468

10…排成一数阵有一个能够在数阵中上下左右平移的T字架它可以框出数阵中的五个数.试判

断这五个数的和能否为426?若能请求出这五个数若不能请说明理由.

46810

1214161820

24262830

3234363840

4244464850

24.如果A=5x2+4x-1B=-x2-3x-3C=8-7x-6x2小聪在计算A-B+C的值后判断A-B+C

的值与x无关请你说明小聪的判断是否正确并说明理由.

25,将一副三角板按如图方式进行摆放请判断N1/2是否互补并说明理由.

26.要比较〃与〃的大小，可以先求〃与〃的差,再看这个差是.正数负数还是零.由此可见，要判断两个

式子值的大小，只要考虑它们的差就可以了.

已知A=\6a2+a+\5,B=4a2+|<z+7,C=a2+i«+4.

(I)请你按照上述文字提供的信息:(1)试比较A与2B的大小；

(2)试比较28与3c的大小.

27.填写推证理由：已知：如图①AB和CD相交于点OZA=ZAOCNB=/BODJ汇?二知

求证：ACHBD.

(1)证明：*.*ZA=ZAOCZB=ZBOD

又ZAOC=ZBOD()

ZA=ZB.

AACIIBD().

(2)如图②宜线ABCD相交于点OOEJLAB.若NAOC：NAOE=2：3求NDOE的度数.

28.综合与实践

问题情境：

数学课上老师让同学们以'三角板与平行线”为主题开展数学活动.如图1已知h〃b直角三

角板ABC中ZB=90°将其顶点A放在直线L上并使边ABJ_直线h于点DAC与h相交于点

H.老师提出问题：试判断边BC与直线h的位置关系并说明理由.

相交于点PQ得到N1和N2试探究N1与N2的数量关系并说明理由.

下面是小亮不完整的解答过程和解题反思请你补充完整：

解：Zi+Z2=90°.过点B作直线BN〃h如图：

Vli/7h(已知)

・・・BN〃b()

:.Z1=▲Z2=▲()

':乙▲十/A=ZABCZABC=90°

.,.Zl+Z2=90o

解题反思：在图中“过点B作直线BN〃h”的作用是▲

(3)受小亮启发同学们续探究下列问题.

请从下列AB两题中任选一题作答.我选择▲

A.在图2中作线段P0和Q0使它们分别平分N1和N2的对顶角如图3.直接写出/POQ的

度数.

B.在图2中NABC内部作射线BE过点B作射线BFJLBE交直线L2于点M得到N3如图4.直

接写出N1Z3与NEBC的数量关系.

29.小明完成暑假作业后在家复习他看到七下课本12页例4：“如图1・13AP平分NBACCP

条件和结论互换改成了：“如图1-13AP平分/BACCP平分/ACDAB〃CD则Nl+N2=

小明认为这个结论正确.你赞同他的想法吗？请说明理由.

(2)【尝试探究】

小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线则“Nl+N2=90。”这个结论不成立.请帮小明完成

探究：

如图1AB/7CDAP平分/BACCP±ACN1是AP与AB的夹角N2是CP与CD的夹角

①若N2=22°求N1的度数

②试说明：2Z1-Z2=90°.

(3)【拓展提高】

如图2若AB〃CDAPIACCP平分NACD请直接写出N1与N2的等量关

系.

参考答案与解析

L【答案】D

【知识点】平行线的判定

【辞析】【解答】解：A由/DCA=60。ZEAD=Z60°不能得至ljAB〃CD不符合题意

B由/DCA=60。/B=60。不能得到AB〃CD不符合题意

C由NDCA=60。NBCD=120。不能得到AB/7CD不符合题意

DZDCA=60°ZEAC=120°/.AB#CD符合题意.

故答案为：D.

【分析】利用平行线的判定定理逐项分析。

2.【答案】B

【知识点】三角形内角和定理

【解析】【解答】解：•・・在4ABC中ZA=ZB+ZCZA+ZB+ZC=180°

.,.2ZA=18O°

解得NA=90。

・•・△ABC是直角三角形.

故答案为：B.

【分析】利用三角形的内角和及NA=/B+/C求出NA=90。即可得到△ABC是直角三角形.

3.【答案】B

【知识点】平行线的判定

【酢析】【解答】解：AVZ2=Z3ACDAB故不符合题意

B由N1=N2不能得到CD〃AB故符合题意

CVz4=Z1+Z3

JZ4=ZDAB

ACD//AB故不符合题意

D*：/.ABC-VZ-BCD=180°

ACD//AB故不符合题意

故答案为：B.

【分析】同位角相等两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补两直线平行据此逐项判断

即可.

4.【答案】A

【知识点】同位角的概念同旁内角的概念

【解析】【解答】解：N1和N2是同旁内角故A符合题意

BN3和N7不是同位角故B不符合题意

CN5和N6不是同旁内角故C不符合题意

DN4和N3是内错角故D不符合题意

故答案为：A

【分析】两条直线被第三条直线所截时都在两条直线的同一方向且在截线的同侧的两个角互为同

位用两条直线被第三条宜线所截时夹在两条直线的内部且在截线同侧的两个角互为同旁内角

根据图形可得到正确结论的选项.

5.【答案】D

【知识点】平行线的判定与性质

【解析】【解答】解：A若乙1=乙2则AB〃CD故不符合题意

B若A8IIC。则乙1=42无法得出23=44故不符合题意

C若乙84。十乙BCD=180°无法得出AO||BC故不符合题意

D•:乙BAD=LDCB=LDZBAD+ZDCB+ZB+ZD=360°

.\ZABC+ZBCD=180o

||CD故符合题意

故答案为：D.

【分析】根据平行线的性质与判定逐项分析即可.

6.【答案】①②

【知识点】完全平方公式及运用

【解析】【解答】解：当Q=-2时A=a2+a=4-2=2

，①符合题意

,**.4+*=Q2+Q+*=(Q+>Q

工②符合题意

V.4-1=0

a24-a-1=0

a+1—i=0

，-=1

・，・Q2+4=3

・••③不符合题意.

故答案为：①②.

【分析】将a=-2代入A=a2+a进行计算即可判断①利用完全平方公式将a?+a+〃分解因式进而根

据偶数次鼎的非负性即可②由A-1R得a2+a-l=0根据等式的性质两边除以a可得Q-：=一1再

两边同时平方即可判定③.

7.【答案】③④

【知识点】三角形的角平分线中线和高

【解析】【解答】①根据三角形的角平分线的概念知AD是2ABC的角平分线故此说法不正确

②根据三角形的中线的概念知BG是△ABD的边AD上的中线故此说法不正确

③根据三角形的高的概念知CH为△ACD的边AD上的高故此说法正确

④根据三角形的角平分线和高的概念知AH是4ACF的角平分线和高线故此说法正确.

【分析】本题考查了三角形的角平分线三角形的中线三角形的高的概念注意：三角形的角平分

线中线高都是线段且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题

的关键.

8.【答案】1234

【知识点】平行线的判定

【解析】【解答】解：,・•N1=N2・・・a〃b故1止确

VZ3=Z6，a〃b故2正确

VZ1=Z7Z1=Z8AZ7=Z8Aa/7b故3正确

VZ5+Z8=180°Z5+Z7=180°AZ7=Z8，a〃b故4正确.

故正确的序号为1234.

【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可得出答案.

9.【答案】①④⑤

【知识点】角的运算平行线的判定与性质

【解析】【解答】解：VZ1=25.5°Z2=55.5°ZABC=30°

，ZABC+Z1=55.5。=Z2

/.m//n故①符合题意

Z1+Z2=90°ZABC=30°

Z.Z1+ZABC不一定等于N2

/.m和n不一定平行故②不符合题意

VZ2=2Z1ZABC=30°

••・N1+ZABC不一定等于Z2

・・・m和n不一定平行故③不符合题意

过点C作CE//m

AZ3=Z4

ZACB=/1+N3ZACB=N4+Z5

.*.Z1=Z5

AEC//n

・・・m〃n故④符合题意

VZABC=Z2-Z1

・・・N2=NABC+N1

/.m//n故⑤符合题意

故答案为：①④⑤.

【分析】根据平行线的判定即可解答。

10.【答案】不是

【知识点】二元一次方程组的解

【解析】【解答】解：把｛短/分别代入到两个方程中看左右两边的值是否柜等即可可发现

它是方程①的解不是方程②的解所以它不是这个方程组的解。

【分析】将｛j与2代入到方程组葭［箕中去检验即可。

1L【答案】不可靠抽样不具有代表性

【知识点】抽样调查的可靠性

【解析】【解答】解：由于选择的样本在一个城市太片面所以不具有代表性数据不可靠.

【分析】根据抽样调查的优缺点和可靠性求解即可。

12.【答案】证明：①・・・AD〃BE

AZADB=ZDBC

・・・BD平分/ABC

AZABD=ZDBC

AZABD=ZADB

/.AB=AD

②TAD〃BE

AZADC=ZDCE

由①知AB=AD

又TAB=AC

AAC=AD

AZACD=ZADC

.*.ZACD=ZDCE

・・・CD平分NACE

【知识点】平行线的性质角平分线的概念

【解析】【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义作答即可.

13.【答案】解：因为△/1BC是等边三角形（已知）

所以=（等边三角形各边相等）

乙C=乙CAB=乙ABC=60°（等边三角形每个内角都是60。）

因为△80E是等边三角形（已知）

所以EB=DB（等边三角形各边相等）

乙EBD=60。（等边三角形每个内角都是60。）

所以乙ABC=4EBD（等帚代换）

所以4/1BC-/-ABD=乙EBD-/.ABD（等量减等量）

^LCBD=/-ABE

在A48E和ACBD中

（BA=BC（已证）,

ABE=LDBC（已i值＞

IEB=DB（已证）,

所以（边角边）.

所以乙比48=rC=60。（全等三角形对应角相等）

所以NE48+LBAC=60°+60°=120°

所以4EAC+ZC=120°+60°=180°

所以AEII（同旁内角互补两直线平行）.

【知识点】平行线的判定等边三角形的性质三角形全等的判定-SAS

【解析I分析】由等边三角形的性质可得BOBAzC=^CAB=^ABC=60°EB=DBZEBD=60°

即得NABC二NEBD利用等式的性质可得NABCNABD=NEBD-NABD即NCBD=NABE根据

SAS证明&ABEmACBD可得NE4B=NC=60。从而得出NEAC=NEAB+/BAC=120。继而

得出4瓦4C+4c=120。+60。=180。根据同旁内角互补诙直线平行即证结论.

14.【答案】解：VZA=2ZB=3ZC

AZB=iZAZC=1NA

乙D

VZA+ZB+ZC=180°

AZA+iZA+iNA=180°

,NA二位臀>90。

・•・△ABC是钝角三角形.

【知识点】三角形内角和定理

【辞析】【分析】由已知条件可得NBJNAZC=1ZA结合三角形内角和定理可得/A的度数进

而确定三角形的形状.

15.【答案】解：AC〃BE.

理由：TBA平分NEBCCD平分NACF

:.ZEBA=ZCBA=|ZEBCZACD=ZFCD=|ZACF

•；AB〃CD

AZCBA=ZFCD

AZEBC-ZACF

・・・AC〃BE.

【知识点】平行线的判定与性质角平分线的概念

【解析】【分析】利用角平分线的定义可证得/EBA=/CBA§NEBCZACD=ZFCD=iZACF利

用平行线的性质可证得NCBA=NFCD由此可推出NEBC=NACF然后利用平行线的判定定理可

得到AC与BE的位置关系.

16.【答案】结论：BD与CE的位置关系是平行.

证明：VAD/7BE

AZ1=Z2

VZ3=Z1

AZ2-Z3

，BD〃CE

【知识点】平行线的判定与性质

【解析】【分析】利用两直线平行内错角相等可证得N1=N2可推出N2=N3再利用内错角相

等两直线平行可证得BD与CE的位置关系.

17.【答案】解：ZL4BC是等边三角形

证明：:a2+b2+c2—ab—be-ca=Q

J2Q2+2b2+2c2—2ab-2bc-2ca=0.

2

a—Zab+匕？+Q2_2ca+c2+d2-Zbc+c2=0

即(Q-bp+(Q—c)24-(b-c)2=0

—b=0,a—c=0,b-c=0

••a=b,a=c,b=c即a=b=c

・・・ZL48C是等边三角形.

【知识点】因式分解的应用

【解析】【分析】将原等式两边同乘以2变形为2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0等式左边进行分组构

造完全平方公式即(a-b)2-(a-c)2-(b-c)2=0可得a-b=0a-c=0b-c=0即a=b=c则三角形

ABC为等边三角形。

18.【答案】解：过点E作EFIICD

A---------------yB

C---------------

*：AB||CD

：.EF||AB||CD.

工乙B二^BEF乙D二(DEF.

•:(BED=乙BEF+乙DEF

/.LBED=Z-B+Z-D.

故乙BEO=NB+4O.

【知识点】平行线的性质

【解析】【分析】过点E作“IIC。根据平行线的性质可得乙乙D3EF再结合

乙BED=£BEF+乙DEF即可得到_kBE0=48+/0。

19.【答案】解：AB||CDEF||HL理由如下：

VZ1+Z2=18O0Zl=ZEMN.

.*.ZEMN+Z2=180°

，ABUCD

延长EF交CD与点G如下图所示:

VAB||CD

AZAEF=ZFGL

VZAEF=ZHLN.

AZFGL=ZHLN

AEGUHL

即:EFHHL

【知识点】平行线的判定

【解析】【分析】延长EF交CD与点G利用平行线的性质可得NAEF二NFGL再结合NAEF二

ZHLN可得NFGL=NHLN即可证出EF//HL。

原式=-9-6x1+6x|

=-9-3+2

=-10.

【知识点】有理数混合运算法则(含乘方)

【解析】【分析】两个同学的解题过程都是错误的小红同学错在计算乘方的地方“-32=-%9”小亮

同学错在利用乘法分配律去括号的地方去括号的时候(括号前是负号去掉括号和负号括号里的

每一项都要变号括号前面是正号去掉括号和正号括号里的每一项都不变号括号前的数要与

括号里的每一项都要相乘)正确的解法应该是先计算乘方同时利用乘法分配律去括号再根据有

理数的减法法则算出答案.

21.【答案】不正确

正确计算过程为：6+(―；+3)=6+(―^)=6x(—6)——36

1111111

(2-6+9)"(-36)+36^(2-6+9)

原式=_1+1)x(-36)+36+&-1+义)

I119

二*x(-36)+(-高)x(-36)+5x(-36)+36x*

=-18+6—4+81

=65

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则

【解析】【分析】李明的计算过程不正确应该先计算括号里面的加法运算再计算除法运算首先

将&—+3)+(一各转化为&Y+3X(-36)然后根据乘法的分配律进行计算再计算

+的值然后将除法转化为乘法计算最后利用有理数加法法则计算即可.

22.【答案】解：△ABC是直角三角形

理由如下：由题意得a-15=0b-8=0c-17=0

解得a=15b=8c=17

Va2+b2=225+64=289c2=289

a2+b2=c2

/.△ABC是直角三角形

【知识点】平方根

【解析】【分析】由已知条件根据绝对值平方算术平方根的非负性可求得abc的值再计算a

bc的平方的值由勾股定理的逆定理即可判断。

23.【答案】解：这五个数的和能为426.原因如下：

设最小数为x则其余数为：x+10x+12x+14x+20.

由题意得Xi（XI10）I（XI12）I（XI14）I（x20）=426

解方程得：x=74.

所以这五个数为7484868894

【知识点】一元一次方程的实际应用-数字日历年龄问题

【解析】【分析】根据图中数据的规律设最小数为x则其余数为：x+10x+I2x+14x+20利

用和为426可得关于x的方程解方程即可判断

24.【答案】解：VA=5X2+4X-1B=-x2-3x-3C=8-7x-6x2

AA-B+C=5X2+4X-1+X2+3X+3+8-7x-6x2=10

与x的取值无关

【知识点】合并同类项法则及应用

【解析】【分析】把ABC代入A-B+C中去括号合并得到最简结果即可作出判断.

25.【答案】解：互补.

理由如卜：VZ2+Z3=90°Z3+Z4=90°

AZ2=Z4

VZ1+Z4=I8O°

.,.Zl+Z2=180°

AZIN2互补

【知识点】余角补角及其性质

【蟀析】【分析】根据同角的余角相等求出/2=/4然后根据邻补角的定义解答.

26.【答案】（1）解：A-2B=16a2+a+15-2（4a2+1a+7）=16a2+a+I5-8a2-a-14=8a2+l.

因为8a2+1>0,所以A>2B

（2）解：2B-3c=2（4a?+1a+7）-3（a2+1a+4）=8a2+a+14-3a2-a-12=5a2+2.

因为5a2+2>0,所以2B>3C

【知识点】多项式的概念多项式的项系数与次数

【辞析】【分析】（1）利用整体思想将AB代入A-2B计算其正负即可知A与2B的大小（2）利

用整体思想将BC代入2B-3c计算其正负即可知2B与3c的大小.

27.【答案】（1）证明：VZA=ZAOCZB=ZBOD

XVZAOC=ZBOD（对顶角相等）

.\ZA=ZB.

••・.AC||BD（内错用相等两白线平行）.

(2)解：VZAOC:ZAOE=2：3

・•・设NAOC=2xZAOE=3x.

VOE±AB

・・・NAOE=3x=90。.得x=30。.

AZAOC=2x=60°.

ZDOE=180°-ZAOC-ZAOE=30°.

【知识点】垂线的概念平行线的判定

【解析】【分析】(1)由对顶角相等可得/AOC二NBOD结合已知可推出NA=NB根据内错角相

等两直线平行可证AB〃BD.

(2)由题意可设NAOC=2xZAOE=3x由垂直定义可得NAOE=3x=90。求出x即得NAOC的

度数根据平角定义即可求解.

28.【答案】(1)解：BC〃直线h理由如下：

•・・AB_L直线li

AZHDA=90°

又/B=90。

AZB=ZHDA

.•・BC〃直线h.

(2)解：Zl+Z2=90°.过点B作直线BN〃h

Vh/7h(己知)

••・BN〃b(平行于同一直线的两条直线也互相平行)

AZ1=ZABNZ2=ZCBN(两直线平行同位角相等)

•・•ZABN+ZCBN=ZABCZABC=90°

AZl+Z2=90o

解题反思：在图中“过点B作直线BN〃h”的作用是构造平行线找到相等的同位角.

(3)解：选A如图NPOQ的度数为45。

A

理由如下：

由(1)得Nl+N2=90。

同理可知：ZE