2026年黑龙江省哈尔滨市高考数学二模试卷（带答案解析）

2026年黑龙江省哈尔滨市高考数学二模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知命题p：则命题〃的否定为（）

22

A.3x^1,x-x<0B.3x<1»x-A:<0

9

C.1,x-A<0D.VA<1,

2.（5分）哈尔滨市某月连续10天的力。/（空气质量指数）分别为29,32,34,36,39,50,47,66,

48,78,则这组数据的第75百分位数为（）

A.33B.34C.49D.50

3.（5分）己知抛物线炉=2px上一点4（2,2企），则焦点到准线的距离为（）

A.1B.V2C.2D.3

4.（5分）已知亚数z满足|z-1T|=l,则|z|的取值范围为（）

A.[1,2]B.[0,2]C.[V5-1,V5+1]D.[V2-1,V2+1]

5.（5分）已知函数y=/（x）的定义域为R,/（1+x）=/（3-x）,当x<2时，/（x）=lnx,则曲线y=/

（x）在点（3,/（3））处的切线的斜率为（）

A.2B.1C.-1D.-2

6.（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接

雨水，天池盆盆口直径为二尺四寸（24寸），盆底直径为一尺二寸（12寸），盆深一尺八寸（18寸），

若盆中积水深9寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆II面积；②一尺等

于10寸；③古代计算降雨量时数据采用去尾法：不满整寸的部分忽略不计）（）

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

7.（5分）已知半径为2的圆O,如图所示，48为圆的一条直径，。为线段月8上异于端点力、8的任意

CI3Bc

一点，过。作与线段力8垂直的弦交圆于。、£两点，连接,4。和8。，则.标’的最小值为（）

A.1+苧B.2+苧C.4+V3D.2+V3

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8.（5分）在平面直角坐标系中，已知点4（1,3）、点/（2,0）,动点5满足|PB|=1,点C满足OC=204+OB,

记△。4C的面积为S,则S的最大值为（）

6+g3>/10+5V10+66x^10+10

A.-------B.--------C.-------D.----------

210410

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）以下运算正确的是（）

A.火一0.1)5=0.1

B.(/g2)2+lg2lg25+(也5)2=1

C・喈户=摄

D.i2=2e2

（多选）10.16分）已知正项等差数列情〃｝的前〃项和为S”*=5,公差为d,若S253=S6,贝IJ（）

人,....20

A.d=2或d=-y

B.(71=1

r$2026]_2026

J乙i=iS^+n-2027

D§2026_§2025_1

'2026—2025—

（多选）11.（6分）已知椭圆C：^+y2=i的左、右焦点分别为Q、F?,左顶点为4,下顶点为8,点

P（xo»yo）为曲线C上第一象限内一动点，直线以与y轴交于点直线P8与x轴交于点M则下

列结论正确的是（）

2V5

A.坐标原点O到直线AB的距离为一

B.若嘉1.而2<0,则xo的取值范围为（0,孚）

C.△刃8的面积最大值为夜+1

D.叫・|8%=4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知等比数列｛”“｝的各项都是正数，42mo=16,则1/2%=

COSC27T

B（5分）已知的内角儿B,。所对的边分别为小，c，若五嬴二他八且八亍则力

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14.(5分)定义在实数集R上的函数/(x),如果存在函数g(x)=ax+bCa,力为常数)，使得对函数/

G)定义域内任意x都有/(X)Wg(x)成立，那么称g(.v)为函数/(x)的一个“线性上界函数”，

若函数g(x)=x-2是函数/(x)=sin2x"/i(Q0)的一个“线性上界函数”，则实数。的取值范

围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)作为哈尔滨的地标性建筑，圣•索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成

为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣•索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物力、B,测得力

在C的北偏东15°的方向上，8在C的北偏东60°的方向上，从。处向正东方向行走10gm后到达

。处，测得力在。的北偏西45°的方向上，8在。的北偏东30°的方向上.

(1)求观测点C与建筑物A之间的距离；

(2)为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣•索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物力与

B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积.

16.(15分)已知菱形48C。中，AB=2,NBAD=K为边〃。的中点，将△力8月沿4E翻折成△月历F

(点4位于平面力8c加上方)，连接8c和当。.

(1)求证：AEA.B\C；

(2)当与。=2a时-，在线段AD上是否存在点P,使得直线CP与平面BiCD所成夹角的正弦值为了？

若存在，求出0点位置：若不存在，请说明理由.

17.(15分)已知函数/(x)=xex-ax(a>0).

(1)若函数/'(x)在x=-1处的切线与直线y=x垂直，求函数/G)的单调区间;

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（2）若Vx>0,都有/（x）2〃（MX+1）恒成立，求实数a的取值范围.

18.（17分）2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式4”（Ge〃em/汕》/）向“决策式

AI'y（Decision-makingA/）的全面跨越.行业焦点已从力/“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干

活”的自主决策与执行能力.某企业采用决策性加对电子元件进行智能质量检测.工程师随机抽取若

干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按[40,

50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成6组,绘制成（如下图）频率分布直方

图：

规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率.

与此同时进行4检测试验，4设备存在误判情况，试验结果显示：

若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为J;

OU

9

若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为行.

（1）估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）：

（2）该企业将4智能质量检测投入使用.

①任取一个元件进行4检测试验，求这个元件被4判定为不合格的概率；

②从该批已经被A/检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件

数为X,求X的分布列；

（3）企业规定：若4判为合格，则直接出厂；若4判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%

识别是否合格.

已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200装元：每个元件需

要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件

成本忽略不计）.若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望.

频率分布直方图

0.020.............................................................

0.015•……........................................

0.010....................

0.005...........

0.000--------------------------------------------------------►

405060708090100分数

19.（17分）双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面.由于双曲面可以由一条斜线通过连

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续旋转构成，容易建造，因此发电站的冷却塔、广州塔等一些高耸建筑通常采用单叶双曲面型结构，如

图所示.空间直角坐标系中M[l,LV3）,N（l,-1,-仃），动点尸（刖yp,zp）在直线A/N上，

则A//V/MN.令参数〃=±Jxp+yp,v=zp,则〃，v所在的平面直角坐标系中动点（”，？）在某双曲

线。上.

（1）求动点（“，丫）满足的双曲线C方程:

（2）双曲线。的弦力6与弦OE均过右焦点/且互相垂直，弦*6中点为0,弦OE中点为02，。1、

Q分别在第二、第三象限时，证明：与△尸。1。2的面积比:为定值;

5"QIQ2

（3）在（2）的条件下，设。到人：产和，2：尸一J电的距离为力、d2,。2到/1：y=和/2：

尸一岳的距离为心、西比较/?哈+看的大小关系.

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2026年黑龙江省哈尔滨市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知命题p：则命题〃的否定为«）

A.1,x7-x<0B.1»A7-x<0

C.x2-x<0D.Vx<1,x2-x<0

【解答】解：命题p：Vx21,f-x20,

则命题〃的否定为a21,f-xVO.

故选：A.

2.（5分）哈尔滨市某月连续10天的10（空气质量指数）分别为29,32,34,36,39,50,47,66,

48,78,则这组数据的第75百分位数为（）

A.33B.34C.49D.50

【解答】解:因为10X0.75=7.5,

把10个数据按照从小到大排序：29,32,34,36,39,47,48,50,66,78,

则第75百分位数为50.

故选：D.

3.（5分）已知抛物线炉=2内上一点4（2,2V2）,则焦点到准线的距离为（）

A.1B.V2C.2D.3

【解答】解：抛物线/=2px上一点4（2,2a），可得8=4夕，解得夕=2.

故选：C.

4.（5分）已知复数z满足|z-17|=1,则|z|的取值范围为（）

A.[1,2]B.[0,2]C.[V5-1,V5+1]D.[V2-1,V2+1]

【解答】解：设z="+〃（〃，6GR）,

|z-l・i|=l,则（。・1）2+（“1）2=1,表示以为圆心，i为半径的原,

团表示圆上的点到原点的距离.

\CO\=V2,

故|z|的取值范围为[注一1,V2+1].

故选：D.

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5.(5分)已知函数)，=/(x)的定义域为R,/(1+x)=/(3-X),当xV2时，/(%)=lnx,则曲线y=/

G)在点(3,/(3))处的切线的斜率为()

A.2B.1C.-1D.-2

【解答】解：/(1+x)=/(3-x),

则/(x)=/(4-x),

故/(x)=-f(4-x),

当xV2时，f(x)=lnx,则/(x)=

故/(1)=-/(3)=1,解得/(3)=-I,

故曲线y=/(x)在点(3,/(3))处的切线的斜率为-1.

故选：C.

6.（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接

闲水，天池盆盆口直径为一尺四寸（24寸），盆底直径为一尺一寸（12寸），盆深一尺八寸（18寸），

若盆中积水深9寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等

于10寸；③古代计算降雨量时数据采用去尾法：不满整寸的部分忽略不计）（）

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

【解答】解：根据题意可得水部分的圆台的上底面圆的半径为耳蛆=9寸，

下底面圆的半径为6寸，高为9寸，

所以水部分的体积为:x（81TT+367r+54兀）x9=513TT立方寸，

又盆口面积为TTX122=1441T平方寸，

所以平地降雨量为产=3.5625寸，

1447r

又古代计算降雨量时数据采用去尾法：不满整寸的部分忽略不计，

所以平地降雨量为3寸.

故选：B.

7.（5分）已知半径为2的圆。，如图所示，48为圆的一条直径，。为线段力8上异于端点4、8的任意

「|OD「

一点，过C作与线段垂直的弦交圆于。、E两点，连接力。和80,则2的最小值为（）

OLz

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D

c1B

C.4+V3D.2+V3

【解答】解：因为圆的半径为2,

所以/C+4C="=4,

由射影定理可知CD2=AC・BC

AC+3BCAC+3BC13BC+AC

所以---------=—+—=(—+—)(------

ACBCBCACvBCAC4

AC3BCIAC388,1、工同

~4BC+4AC+｛欢碗+1=1+，

AC3BC

当且仅当工；=F，结合ACi"C=4,

4BC4AC

即AC=6-2V3,BC=2^3-2时等号成立，

7

因此黑慧的最小值为1+多

故选：A.

8.（5分）在平面直角坐标系中，已知点力（1,3）、点0（2,0）,动点8满足|而|=1,点C满足位＞=2&+n,

记△04C的面积为S,则S的最大值为（）

【解答】解：设5（x,y）,已知产（2,0）,\PB\=1,

因此8的轨迹为圆：（x・2）2+r=1,

第8页（共19页）

。。=2。4+。8=2(1,3)+(%,y)=(x+2,y+6),即C(x+2,y+6),

直线。1的斜率k=/,所以直线。1的方程为y=3x,即3x-y=0,

点C到直线OA的距离d=电密0地=

月+(-1)2回

s=1.lM.vio=M,

v10/

设.*=2+cos6,y=sin。，

贝ij3x-y=3(2+cosO)-sinO=6+3cos8-sinO=6+VlOcos(0+(p)，(sin(p=,cos(p=

3月、

10-^

其中最大值为6+VTo＞因此：smax=6+丁

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

(多选)9.(6分)以下运算正确的是()

A..(-0.1)5=0.1

B.(/g2)2+7g2/g25+(/g5)2=1

1638

Cr•(f前)4，

D./卜加2=2/

【解答】解：V(-o-i)5=-o.h4错误；

(/g2)2+lg2lg25+(/g5)2=(/g2)2+2/g27g5+(Zg5)2=(妒+/g5)2=1,8正确：

嘴)4=(令击4=I，0错误;

e2+ln2—e2./〃2=2/,。正确.

故选：BD.

(多选)1().(6分)己知正项等差数列｛为｝的前〃项和为S”03=5,公差为d,若S253=S6，则()

A.c/=2或d=冬

B.41=1

rv20261_2026

V，乙1=1S^+n-2027

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S2026_£2025

D.

2026~2025=1

【解答】解：正项等差数列中，”3=m+2d=5①,

若S2s3=S6,则(2m+d)(3a1+3d)=6a1+l5d②,

联立①②可得，3d2-26d+40=0,

解得4=2或"=等，

因为41=5・240,则dv1,

所以c/=2,41=1,力错误，B正确;

由等差数列求和公式可得，s产〃+吗nx2=〃2,

1______1__11

S„+nn2+nnn+1*

故＞2026_1_------1——1_____1_=]___1—=2°260正确.

1

“乂乙i=iSn+n*2+23十十2026202720272027'一匚明'

%m.1^2026S20251八-rm,

—=〃，则7777—7777=1，。正确•

n20262025

故选：BCD.

（多选）11.（6分）已知椭圆C：苧+y2=i的左、右焦点分别为乃、Fi,左顶点为4,下顶点为8，点

P（xo,则）为曲线C上第一象限内一动点，直线4与y轴交于点直线四与x轴交于点N,则下

列结论正确的是（）

A.坐标原点。到直线力2的距离为亭

B.若西,欣<0，则xo的取值范围为（0,空）

C.△口8的面积最大值为戊+1

D./川・|8M=4

【解答】解：由题意可得Q（一次，0）,Fi（V3,0）,力（-2,0）,8（0,-I）,xo>O,/>0,

227s

直线44的方程为j，=-g-1,即x+2>2=0,原点。到直线48的距离为主=菅，故乂正确；

ttX2Qy2

222

-PF2<0,即（―V3—ro>-yo）,（V3—xo,-yo）=x0+y0—3=x0+1-—3=—2

<0,

解得OVxoV孥，故8错误;

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设与直•线力8平行的直线方程为x+2y+f=0（/VO）,且与椭圆相切，

（x+2y4-t=0.）,

由2/，可rZ得,I2/+2&+户-4=0,

（xz+4y"=4

由直线和椭圆相切，可得A=4p-8（尸-4）=0,解得/=-2加（正的舍去），

可得切线方程为x+2y-2V2=0,

4PAB的面积的最大值为3/184=卓X之皆=1+V2,故C正确；

2/v5

2

由P（xo>jo）在椭圆上，可得%（）2+4y0=4,

由直线小:尸晶（x+2）,可令x=0,可得与，即M（0,孕;），

由直线尸8：;；=-1,可令y=0,可得即N（』一,0）,

■xo■y0十，yo+i

则叫・|BM=（q+2）（辿+1）==4用+要聚,8%=8+4”之空”=%故。

yo+1邕+2X0丫0+%（）+2%+2xQyQ+xQ+2yQ^-2

正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知等比数列｛加｝的各项都是正数，a2mo=16,则log2〃6=2.

2

【解答】解：等比数列｛“〃｝的各项都是正数，^10=a6=16,

••46=4,

则R）g246=10g24=2.

故答案为：2.

co$c7

13.（5分）已知△48。的内角4B,。所对的边分别为a,b,c,若;——=tanA,且8=今，则4=

1+smCJ

n

6—，

【解答】解：在△"（?中8=手可得力+。=3

「、，cosCsinA

伙1：为------=tnnA=-----,

1+sinCcosA

可得cosCcos/-sinCsinJ=sin/l»

所以cos（J+C）=cog=siM,

可得sinJ=4,可得公看.

故答案为：7-

6

14.（5分）定义在实数集R上的函数/（x）,如果存在函数g（x）=ax+b｛a,b为常数），使得对函数/

第11页（共19页）

(x)定义域内任意X都有/(x)Wg(X)成立，那么称g(X)为函数/(X)的一个“线性上界函数”,

若函数g(x)=x-2是函数/(x)=sinZv-^+,(x^O)的一个“线性上界函数”，则实数〃的取值范

围是一［|，+8)一.

【解答】解：由题意可知，对任意的x20,/(x)Wg(x},即sin2x-a*Yx-2,参变量分离可得Q工

sin2x-x+2

-^+i-'

令h(X)=2x-sin2x,其中x20,则h'(x)=2-2cos2v>0,

所以函数/(x)在［0,+8)上单调递增,

故当时，h(x)=2x-s\n2x^h(0)=0,即2x2sin2x,

sin2x-x+22x-x+2x+2

所以当时,

构造函数p(x)=嚅,其中x20,则p«)=，然)=一貂VO,

c

所以函数p(x)在［0,+8)上单调递减，即pQ)=需工p(o)=：

e*c

」~r~生八一.iy一-x+2x+22

由不等式的性质可得一点一</万<->

即沏2："+2.当且仅当x=o时，等号成立，

故函数y=s勿2："+2在+8)上的最大值为2,

e“Q

所以a“即实数。的取值范围是+oo).

故答案为：4，+00).

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)作为哈尔滨的地标性建筑，圣•索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成

为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣•索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物48,测得力

在。的北偏东15°的方向上，E在C的北偏东60°的方向上，从。处向正东方向行走lOQm后到达

。处，测得4在。的北偏西45°的方向上，8在。的北偏东30°的方向上.

(1)求观测点C与建筑物A之间的距离；

(2)为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣•索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物/与

8三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积.

第12页(共19页)

北

【解答】解：（1）在△ICO中，根据方向角可得：Z/1C£>=90°-15°=75°，ZJDC=90°-45°

=45°，

因此NC4O=18()°-75°-45°=60°,已知CD=106

4CCD

由正弦定理:

sinZ-ADCsinz.CAD

CDsin450IQ"挈l

代入得:AC=―^二10⑸;

sin60°vS

~T

(2)根据方向角得：ZBCD=90°-60°=30°,Z^Z)C=90°+30°=120°,

因此NC4O=1800-30°-120°=30°,

BCCD

由正弦定理:

sin乙BDCsinZ.CBD'

o

小入省pr10>/3stnl2010v’3•亨

代人得：5"Ik"丁=3。,

又N乂CB=600-15°=45°,

因此△力8c的面积：S»ABC=^ACBC-sin^ACB=1•10<2•30~=150〃，.

16.（15分）已知菱形48CQ中，48=2,/BAD=等,E为边8c的中点，将△Z8E沿4E翻折成△力与£

»3

（点以位于平面48CD上方），连接8c和8iZ）.

（1）求证：AEYBxCx

（2）当囱0=2e时，在线段AD上是否存在点P,使得直线CP与平面B\CD所成夹角的正弦值为亍？

若存在，求出产点位置：若不存在，请说明理由.

第13页（共19页）

【解答】解：(1)证明：在菱形中，力8=2,4840=竽，

^ABE=j,E为BC中点,BE=l,

由余弦定理得力/=AB2+BE2_2AB•BECOS1L=4+l-2x2xlxi=3,

故4炉+班；2=482,

BPAE1BC,得力E工BE,AELEC,

翻折后，AE±B\Et仍成立，

又BTECIEC=E,BTE,ECu平面夕IEC,

故/后,平面BiEC,

又BiCu平面8iEC,因此4及L8C，

(2)存在，P为力。的中点，过程如下：

以石为原点，直线力正为x轴，月直线C为y轴，直线及为z轴建立空间直角坐标系,

得各点坐标：E(0,0,0),4(一6，0,0),C(0,1,0),D(一如,2,0),

设51(0,y>z),z>(),由田E=l,得f+(=l,

由当。=2或，得|当。|2=(-V3)2+(2-y)2+Z2=8,

代入)2+，=],解得歹=o,z=L故人(0,0,I),

P在线段力。上，设/=/应(0W4W1),

得P(一V5,2九0),则％=(-75,2A-1,0),

平面8C。中，CBX=(0,-1,1),CD=(-V3,1,0),

设平面81C。的一个法向量为n=(%i,力，Z。，

n-CH1=0得｛-yi+Z]=0

-V3%1+yi=0

n-CD=0

取.哂=1,得7=(1,V3,V3),|n|=V7.

设直线CP与平面B\CD夹角为6,

则sin。=?吗=辛,

\CP\-\n\

|2V3(A-1)|V7

代入计算:

j3+(2/l-1)2.V7―7

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化简得2入2-5入+2=0,解得a=*(入=2舍去),

因此存在点P,尸为力。的中点满足条件.

17.(15分)已知函数/(x)=谊-ax(«>()).

(1)若函数/'(X)在x=・1处的切线与直线y=x垂直，求函数/(x)的单调区间:

(2)若Vx>0,都有/(x)2〃(加+1)恒成立，求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)./(X)的定义域为(-8,+oo),f(x)=(x+1)F-Q,

由题意得/(-1)=-a=-\,解得4=1,.*./(x)=(x+1)-1,

当xW-1时，f(x)V0恒成立，即/(x)在(-8,-1］上单调递减；

当x>-1时，易知/(x)=(x+1)/-1在(-1,+8)上单调递增，

又/(0)=0,

所以.丫6(-1,0)时，/G)<0,(0,+8)时，/J)>0,

所以函数/(x)在(・8,0)上单调递减，在(0,+8)单调递增；

综上：函数/(x)的单调递减区间为(-8,0),单调递增区间为(0,+8)；

(2)由题意知：(x+lnx+\)20对任意x>0恒成立，

可化为(x")+1］对任意x>0恒成立，

令xev=f(/>0),则有(Zw/4-l)对任意/>0恒成立，

由。>0,/>o,可得L>-对任意/>()恒成立，

a""+t1

令g«)=竽(£>0)，则。(。=亨，

令g'(力=0,可得f=l,

当低(0,1)时，g'(/)>0,g(/)单调递增；

当怎(1,+8)时，g'(/)<0,g(/)单调递减；

所以g(/)max=g(1)=1»即，21»解得OVaWl,

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故。的取值范围为（0,1].

18.（17分）2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式4”（Ge〃es汕》/）向“决策式

AI'y（Decision-makingA/）的全面跨越.行业焦点已从力/“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干

活”的自主决策与执行能力.某企业采用决策性加对电子元件进行智能质量检测.工程师随机抽取若

干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按[40,

50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成6组,绘制成（如下图）频率分布直方

图：

规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率.

与此同时进行4检测试验，4设备存在误判情况，试验结果显示：

若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为J;

OU

9

若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为行.

（1）估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）：

（2）该企业将4智能质量检测投入使用.

①任取一个元件进行4检测试验，求这个元件被4判定为不合格的概率；

②从该批已经被A/检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件

数为X,求X的分布列；

（3）企业规定：若4判为合格，则直接出厂；若4判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%

识别是否合格.

已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200装元：每个元件需

要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件

成本忽略不计）.若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望.

频率分布直方图

0.020.............................................................

0.015•……........................................

0.010....................

0.005...........

0.000--------------------------------------------------------►

405060708090100分数

【解答】解：(1)平均数3=45X(M+55X0.15+65X0.2+75X0.25+85><0.15+95X0.15=7L5分;

第16页（共19页）

(2)设事件4元件实际合格，事件B：元件被4判定为不合格，

由题意得：P(A)=P(A)=1,P(B\A)=P(B\A)=^,

①由全概率公式：P(B)=P(A)P(B\A)+P(彳)P(用彳)=*x击+=/

②由题意，X〜B(3,卞,X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P(X=0)=政芬唱尸喑P(^=i)=cix(l)ix(|)2=27.

P(X=2)=C|x(i)2x(1)l=券P(X=3)=Cl(i)3(1)°=*,

所以X的分布列为：

X0123

P272791

64646464

(3)设每件元件收益为必分四种情况计算期望：

实际合格，4判合格：r=ioo,概率「1=,乂爱=需，

011

实际合格，4判不合格：y=100・10=90,概率P1=广壶=卷,

实际不合格，4判合格：Y=-200,概率P3="xa=焉，

实际不合格，4判不合格：丫=-10,概率P4Tx焉

2911Q

所以期望E(y)=100x而+90X而+(—200)X而4-(-10)X而=67.5兀.

19.(17分)双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面.由于双曲面可以由一条斜线通过连

续旋转构成，容易建造，因此发电站的冷却塔、广州塔等一些高耸建筑通常采用单叶双曲面型结构，如

图所示.空间直角坐